الرنين في الأنظمة الصوتية: شرح الترددات الطبيعية

يرسل مكبر صوت نغمة ثابتة إلى داخل أنبوب. عند معظم الترددات، لا يحدث شيء ملحوظ. ثم يتغير التردد قليلًا، وفجأة يصبح صوت الأنبوب أعلى بكثير، رغم أن مكبر الصوت لم يصبح أكثر قدرة.

لماذا؟

قبل أن تواصل القراءة، ضع توقعًا. لنفترض أن للأنبوب ترددًا طبيعيًا مقداره 400 Hz. أي نغمة قيادة ينبغي أن تنتج أكبر استجابة: 350 Hz أم 400 Hz أم 450 Hz؟

النغمة ذات التردد 400 Hz. يتطابق تردد القيادة مع أحد الترددات الطبيعية للأنبوب، لذلك تنتقل الطاقة إلى الاهتزاز بفعالية كبيرة على نحو خاص. هذه الاستجابة الكبيرة هي الرنين.

01ابدأ بالتوقيت

فكر في دفع شخص على أرجوحة.

إذا دفعته عند النقطة المناسبة تقريبًا في كل دورة، فإن كل دفعة تضيف طاقة إلى الحركة. ويزداد اتساع تأرجح الأرجوحة. أما إذا دفعت بتوقيت غير مناسب، فبعض الدفعات تساعد، وبعضها لا يفعل إلا القليل جدًا، وبعضها قد يعاكس الحركة.

يتصرف وتر مُقاد أو عمود هوائي مُقاد بطريقة مشابهة. يزوّد مصدر خارجي النظام باهتزازات متكررة. وعندما يقود المصدر النظام عند أحد تردداته الطبيعية، تعزز الدورات المتتابعة الاهتزاز.

تشبيه الأرجوحة مفيد لفهم التوقيت، لكنه غير مكتمل. فالوتر أو العمود الهوائي ليس جسمًا واحدًا يتحرك ذهابًا وإيابًا ككتلة واحدة. تنتقل الموجات خلاله، وتنعكس عند الحدود، وتتداخل لتكوّن موجات واقفة. وتنشأ تردداته الطبيعية من أنماط الموجات الواقفة التي تلائم الحدود.

وهذه هي الطبقة الإضافية التي نحتاج إليها.

02ما التردد الطبيعي؟

لكل نظام مهتز ترددات يستطيع عندها الحفاظ على أنماط معينة من الحركة.

بالنسبة إلى وتر مثبت عند كلا الطرفين، لا يمكن أن تستمر إلا الموجات الواقفة التي توجد عند كل طرف منها عقدة.

أما بالنسبة إلى عمود هوائي، فتعتمد الأنماط المسموح بها على ما إذا كان كل طرف مفتوحًا أم مغلقًا.

قبل أن نكتب المعادلات، تذكّر ثلاث أفكار عن الموجات:

• التردد، \(f\)، هو عدد الاهتزازات في كل ثانية، ويُقاس بالهرتز (Hz)
• الطول الموجي، \(\lambda\)، هو طول دورة موجية كاملة، ويُقاس بالمتر (m)
• سرعة الموجة، \(v\)، ترتبط بهما بالعلاقة \(v = f\lambda\)

تتكون موجة واقفة عندما تتداخل موجات تنتقل في اتجاهين متعاكسين.

العقدة هي نقطة يكون عندها اتساع الاهتزاز صفرًا.

البطن هو نقطة يكون عندها الاتساع أكبر ما يمكن.

تحدد شروط الحدود الأماكن التي يجب أن توجد فيها العقد والبطون. وهذا القيد يحدد الأطوال الموجية الممكنة، وبالتالي الترددات الممكنة.

03الترددات الطبيعية لوتر مثبت عند كلا الطرفين

لا يستطيع الطرف المثبت أن يتحرك، لذلك يجب أن يكون كلا طرفي الوتر عقدتين.

أبسط موجة واقفة ممكنة تجعل نصف طول موجي يمتد على طول الوتر:

\[
L = \frac{\lambda_1}{2}
\]

حيث \(L\) هو طول الوتر و\(\lambda_1\) هو الطول الموجي للنمط الأساسي.

إذن،

\[
\lambda_1 = 2L
\]

وباستخدام \(v = f\lambda\)،

\[
f_1 = \frac{v}{2L}
\]

حيث:

• \(f_1\) هو التردد الأساسي بوحدة Hz
• \(v\) هي سرعة الموجة على الوتر بوحدة m s\(^{-1}\)
• \(L\) هو طول الوتر بوحدة m

يمكن لأنماط موجات واقفة أعلى أن تستوعب اثنين أو ثلاثة أو أربعة أو أكثر من أنصاف الأطوال الموجية على امتداد الوتر.

لذلك تكون الترددات المسموح بها

\[
f_n = \frac{nv}{2L}
\]

حيث \(n = 1, 2, 3, \ldots\)

وهذه هي الترددات الطبيعية للوتر.

يكون \(n=1\) للنمط الأساسي. وتكون \(n=2\) للتوافقية الثانية. وتكون \(n=3\) للتوافقية الثالثة، وهكذا.

04ما الذي يعنيه الرنين فعليًا؟

من الاختصارات الشائعة القول:

يحدث الرنين عندما يساوي تردد القيادة التردد الطبيعي.

هذا مفيد، لكنه قد يُفهم بطريقة خاطئة.

لا يعني الرنين أن قوة القيادة تصبح فجأة أكبر. فقد يكون للقوة الخارجية الاتساع نفسه تمامًا على امتداد مسح التردد بالكامل.

ما يتغير هو مدى فعالية انتقال الطاقة من القيادة المتكررة إلى النظام.

بالقرب من تردد طبيعي، يسمح التوقيت بين المُشغِّل والاهتزاز بتراكم الطاقة على مدى دورات كثيرة. أما بعيدًا عن التردد الطبيعي، فلا تعزز القوة المؤثرة الحركة بالفعالية نفسها.

ويصحح الرسم البياني أيضًا تصورًا خاطئًا آخر. فالرنين ليس حدثًا من نوع الكل أو لا شيء، بحيث يبقى النظام ساكنًا عند جميع الترددات الأخرى. يستجيب النظام المُقاد عمومًا عبر نطاق من الترددات. لكن الاتساع يصبح كبيرًا بصورة خاصة بالقرب من الرنين.

05الرنين في عمود هوائي مفتوح

تخيل الآن أنبوبًا مفتوحًا من الطرفين.

عند الطرف المفتوح، يكون الهواء حرًا في الحركة، لذلك يقابل الطرف المفتوح تقريبًا بطن إزاحة.

وكلمة “تقريبًا” مهمة. فالأنابيب الحقيقية لها تأثيرات طرفية، ما يعني أن الطول الصوتي الفعال يختلف قليلًا عن الطول الفيزيائي المقاس. وفي حسابات HSC القياسية، ما لم يُذكر خلاف ذلك، نستخدم عادة نموذج الحدود المثالي.

مع وجود بطني إزاحة عند الطرفين، يكون للأنبوب المفتوح نمط الأطوال الموجية المسموح نفسه الذي يوجد في وتر مثبت عند كلا الطرفين، رغم اختلاف مواضع العقد والبطون.

لذلك تكون تردداته الطبيعية

\[
f_n = \frac{nv}{2L}
\]

حيث \(v\) هي الآن سرعة الصوت في الهواء.

ومن ثم يدعم الأنبوب المفتوح التردد الأساسي وجميع التوافقيات الصحيحة:

\[
f_1,\ 2f_1,\ 3f_1,\ 4f_1,\ldots
\]

كن حذرًا عند تشبيه ذلك بالوتر. فنمط الترددات هو نفسه، لكن شروط الحدود الفيزيائية ليست نفسها. طرف الوتر المثبت هو عقدة إزاحة، بينما الطرف المفتوح للعمود الهوائي هو تقريبًا بطن إزاحة للهواء.

06يتصرف الأنبوب المغلق من طرف واحد بطريقة مختلفة

أغلق الآن أحد طرفي الأنبوب.

لا يستطيع الهواء التحرك ذهابًا وإيابًا عبر الطرف المغلق، لذلك يكون الطرف المغلق عقدة إزاحة. ويظل الطرف المفتوح بطن إزاحة.

هل يمكن أن يلائم نصف طول موجي المسافة بين هذين الحدين؟

لا. فنصف طول موجي ينقلك من عقدة إلى العقدة التالية، أو من بطن إلى البطن التالي. أما هنا فنحتاج إلى الانتقال من عقدة إلى بطن.

أقصر نمط يساوي ربع طول موجي:

\[
L = \frac{\lambda_1}{4}
\]

إذن

\[
\lambda_1 = 4L
\]

ومن ثم

\[
f_1 = \frac{v}{4L}
\]

ويجب أيضًا أن يكون للنمط المسموح التالي عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح. وهذا يعطي ثلاثة أرباع طول موجي، ثم خمسة أرباع، وهكذا.

الترددات الطبيعية هي

\[
f_n = \frac{(2n-1)v}{4L}
\]

حيث \(n = 1, 2, 3, \ldots\)

وينتج عن ذلك

\[
f_1,\ 3f_1,\ 5f_1,\ 7f_1,\ldots
\]

لا تظهر في الأنبوب المثالي المغلق-المفتوح إلا التوافقيات الفردية.

07لماذا لا يستمر الاتساع في الازدياد إلى الأبد؟

قد يوحي تشبيه الأرجوحة البسيط بأن كل دفعة ذات توقيت صحيح تستمر في زيادة الاتساع بلا حد.

لكن الأنظمة الحقيقية لا تتصرف بهذه الطريقة.

تُفقد الطاقة باستمرار من خلال عمليات مثل:

• مقاومة الهواء
• الاحتكاك عند الدعامات
• التشوه الداخلي للمواد
• إشعاع الصوت إلى الوسط المحيط

تُجمع هذه التأثيرات تحت اسم التخميد.

عند الرنين، يكتسب النظام الطاقة في البداية ويزداد اتساعه. وفي النهاية، تصبح الطاقة المتوسطة التي يزوّد بها المُشغِّل النظام في كل دورة مساوية للطاقة المتوسطة المفقودة بسبب التخميد.

عندها يصل النظام إلى اهتزاز مستقر ذي اتساع محدود.

يؤدي التخميد الأكبر عمومًا إلى قمة رنين أقل ارتفاعًا وأعرض. أما التخميد الأقل فيؤدي إلى قمة أكثر حدة وأكبر ارتفاعًا.

لذلك فإن عبارة “الرنين يعطي اتساعًا لا نهائيًا” لا تصح إلا في نموذج مثالي غير واقعي لا توجد فيه أي خسائر في الطاقة.

08مطابقة التردد ضرورية، لكن هناك تفصيل آخر

لنفترض أن التوافقية الثانية لوتر ما هي 300 Hz. توصل مُشغِّلًا صغيرًا وتشغله عند 300 Hz تمامًا.

هل يجب أن تُثار التوافقية الثانية بقوة؟

ليس بالضرورة.

فموضع المُشغِّل مهم إلى جانب تردده.

في التوافقية الثانية لوتر مثبت عند كلا الطرفين، توجد عقدة عند المنتصف. وهذه النقطة لا تتحرك في نمط الموجة الواقفة المثالي.

إذا حاول مُشغِّل تحريك الوتر عند هذه العقدة بالضبط، فإنه يقترن اقترانًا ضعيفًا جدًا بنمط التوافقية الثانية. ويمكن أن يؤدي نقل المُشغِّل بعيدًا عن العقدة إلى إثارة ذلك النمط بفعالية أكبر بكثير.

وهذا يضيف توضيحًا مهمًا:

إن تطابق تردد القيادة مع تردد طبيعي يهيئ شروط الرنين، لكن يجب أيضًا أن يقترن المُشغِّل بذلك النمط بفعالية.

على مستوى HSC، تركز معظم المسائل العددية على شرط التردد. أما في التجارب والآلات الحقيقية، فقد يكون الاقتران المكاني مهمًا أيضًا.

09أكثر التصورات الخاطئة إغراءً

يرى طالب قمة رنين كبيرة ويقول:

“تنتقل الموجة بسرعة أكبر عند الرنين، ولهذا يزداد الاتساع.”

قد يبدو هذا التوقع معقولًا لأن شيئًا ملحوظًا يتغير بوضوح.

لكن سرعة الموجة ليست سبب قمة الرنين.

بالنسبة إلى وسط معين وتحت ظروف ثابتة، تتحدد سرعة الموجة بخصائص ذلك الوسط. ففي الوتر، تعتمد على كميات مثل الشد والكثافة الخطية للكتلة. وفي الهواء، تعتمد سرعة الصوت أساسًا على خصائص الهواء ودرجة حرارته.

عند الرنين، يكون التغير المهم هو كفاءة انتقال الطاقة، وليس زيادة مفاجئة في سرعة الموجة.

تظل المعادلة

\[
v=f\lambda
\]

صحيحة. فإذا كان لنمط طبيعي مختلف تردد أعلى بينما تظل سرعة الموجة ثابتة تقريبًا، فيجب أن يكون طوله الموجي أقصر.

فعلى سبيل المثال، مضاعفة التردد على وتر مثالي مع بقاء سرعة الموجة دون تغيير تؤدي إلى خفض الطول الموجي إلى النصف.

10الأسئلة والحلول

السؤال 1

وتر طوله \(0.60\text{ m}\) مثبت عند كلا الطرفين. تنتقل الموجات على امتداد الوتر بسرعة \(180\text{ m s}^{-1}\).

احسب تردده الأساسي. هل يُحدث مُشغِّل يعمل عند 150 Hz رنينًا أساسيًا؟

الحل 1

التردد الأساسي هو \(150\text{ Hz}\)، ولذلك يُحدث مُشغِّل بتردد 150 Hz رنينًا أساسيًا.

بالنسبة إلى وتر مثبت عند كلا الطرفين،

\[
f_1=\frac{v}{2L}
\]

حيث \(v=180\text{ m s}^{-1}\) و\(L=0.60\text{ m}\).

بالتعويض،

\[
f_1
=\frac{180}{2(0.60)}
=\frac{180}{1.20}
=150\text{ Hz}
\]

إذن يساوي تردد القيادة التردد الطبيعي الأساسي للوتر:

\[
f_{\text{drive}}=f_1=150\text{ Hz}
\]

يمكن لدورات القيادة المتتابعة أن تنقل الطاقة بفعالية إلى نمط الموجة الواقفة الأساسي، لذلك يُتوقع حدوث استجابة رنينية كبيرة.

السؤال 2

أنبوب مثالي طوله \(0.40\text{ m}\). اعتبر سرعة الصوت \(344\text{ m s}^{-1}\).

احسب التردد الأساسي عندما:

a. يكون كلا الطرفين مفتوحين

b. يكون أحد الطرفين مغلقًا

اشرح لماذا يؤدي مجرد إغلاق أحد الطرفين إلى تغيير تردد الرنين رغم أن طول الأنبوب وسرعة الصوت لم يتغيرا.

الحل 2

للأنبوب المفتوح-المفتوح تردد أساسي مقداره \(430\text{ Hz}\)، بينما للأنبوب المغلق-المفتوح تردد أساسي مقداره \(215\text{ Hz}\). يؤدي إغلاق أحد الطرفين إلى تغيير شروط الحدود، ولذلك يجب أن يلائم طول الأنبوب نفسه نمط مختلف من الموجات الواقفة.

بالنسبة إلى الأنبوب المفتوح-المفتوح،

\[
f_1=\frac{v}{2L}
\]

بالتعويض،

\[
f_1
=\frac{344}{2(0.40)}
=\frac{344}{0.80}
=430\text{ Hz}
\]

بالنسبة إلى الأنبوب المغلق-المفتوح،

\[
f_1=\frac{v}{4L}
\]

إذن

\[
f_1
=\frac{344}{4(0.40)}
=\frac{344}{1.60}
=215\text{ Hz}
\]

لا يحدث التغير بسبب اختلاف سرعة الموجة. فالهواء لا يزال الوسط نفسه.

بدلًا من ذلك، يجب أن تحقق الموجة الواقفة شروط حدود مختلفة. يضم النمط الأساسي للأنبوب المفتوح-المفتوح نصف طول موجي داخل الأنبوب:

\[
L=\frac{\lambda}{2}
\]

أما النمط الأساسي للأنبوب المغلق-المفتوح فيضم ربع طول موجي فقط:

\[
L=\frac{\lambda}{4}
\]

وللقيمة نفسها من \(L\)، يكون الطول الموجي للنمط الأساسي في الأنبوب المغلق-المفتوح ضعف الطول الموجي. ولأن \(v=f\lambda\) و\(v\) لم تتغير، فإن مضاعفة الطول الموجي تعني أن التردد يصبح نصف قيمته.

السؤال 3

يُوصَل مكبر صوت بمولد إشارة ويوضع بالقرب من عمود هوائي. ومع زيادة تردد القيادة، يُلاحظ رنين قوي عند 240 Hz ورنين آخر عند 720 Hz.

يستنتج طالب:

“لا بد أن يكون الأنبوب مغلقًا عند أحد الطرفين لأن 720 Hz تساوي ثلاثة أضعاف 240 Hz.”

هل هذا الاستنتاج مبرر اعتمادًا على هذه الملاحظات وحدها؟ اشرح.

الحل 3

لا. تتفق الملاحظات مع أنبوب مغلق-مفتوح، لكنها لا تثبت أن الأنبوب مغلق عند أحد الطرفين.

في الأنبوب المثالي المغلق-المفتوح، تكون التوافقيات المسموح بها مضاعفات فردية للتردد الأساسي:

\[
f_1,\ 3f_1,\ 5f_1,\ldots
\]

إذا كان \(f_1=240\text{ Hz}\)، فإن

\[
3f_1=720\text{ Hz}
\]

ولذلك فإن القمتين المرصودتين تتفقان بالتأكيد مع هذا النمط.

لكن للأنبوب المفتوح-المفتوح ترددات طبيعية هي

\[
f_1,\ 2f_1,\ 3f_1,\ldots
\]

وبالتالي يمكن أن تكون له أيضًا ترددات طبيعية عند

\[
240\text{ Hz},\ 480\text{ Hz},\ 720\text{ Hz},\ldots
\]

إذا لم تُرصد استجابة النمط عند 480 Hz، فلا يعني ذلك تلقائيًا أن هذا النمط غير موجود. فقد يجعل موضع المصدر، أو موضع الكاشف، أو التخميد، أو الاقتران بذلك النمط تحديدًا، الاستجابة المرصودة ضعيفة.

الخطأ هنا هو اعتبار عبارة “لم نلاحظ قمة” مطابقة لعبارة “لا يمكن أن يوجد هذا التردد الطبيعي”. نحتاج إلى أدلة إضافية عن شروط الحدود أو إلى بحث دقيق عن رنين 480 Hz.

السؤال 4

لوترين الطول والشد والكثافة الخطية للكتلة نفسها، ولذلك فلهما الترددات الطبيعية نفسها. الوتر A مخمّد بشدة، بينما الوتر B ضعيف التخميد.

يُقاد كلاهما بقوتين متساويتين في الاتساع بينما يُمسح تردد القيادة عبر الرنين الأساسي.

قارن بين ترددي الرنين وأقصى اتساع لكل منهما.

الحل 4

للوترين تقريبًا تردد الرنين الأساسي نفسه، لكن الوتر B ضعيف التخميد يصل إلى اتساع أقصى أكبر.

تتحدد تردداتهما الطبيعية أساسًا بسرعة الموجة وطول الوتر. وبما أن هذه الخصائص الفيزيائية ذات الصلة متساوية، فإن تردديهما الطبيعيين الأساسيين متساويان في نموذج HSC البسيط:

\[
f_1=\frac{v}{2L}
\]

يؤثر التخميد في معدل إزالة الطاقة الميكانيكية من الاهتزاز.

يفقد الوتر A الطاقة بسرعة أكبر، ولذلك يظل اتساعه الرنيني المستقر أصغر.

يفقد الوتر B طاقة أقل في كل دورة. وبالقرب من الرنين، يمكن للطاقة التي يزود بها المُشغِّل الوتر أن تتراكم لتكوّن اهتزازًا مخزنًا أكبر قبل أن يتوازن معدل الطاقة الداخلة مع معدل الطاقة المفقودة.

التصور الخاطئ الذي يجب تجنبه هو أن ارتفاع قمة الرنين يعني أن للنظام ترددًا طبيعيًا مختلفًا. يؤثر التخميد أساسًا في مقدار الاستجابة الرنينية وحدتها، بدلًا من أن ينشئ مجموعة مختلفة تمامًا من ترددات الموجات الواقفة.

السؤال 5

لوتر مثبت عند كلا الطرفين تردد طبيعي للتوافقية الثانية مقداره 400 Hz. يُثبّت مُشغِّل ميكانيكي صغير عند منتصف الوتر بالضبط ويهتز عند 400 Hz.

يتوقع طالب حدوث رنين كبير جدًا للتوافقية الثانية لأن تردد القيادة يطابق التردد الطبيعي تمامًا.

اشرح لماذا قد يفشل هذا التوقع، حتى في وتر مثالي.

الحل 5

قد تُثار التوافقية الثانية بضعف شديد فقط لأن المنتصف عقدة لهذا النمط، ولذلك فإن مطابقة التردد وحدها لا تضمن اقترانًا قويًا.

في التوافقية الثانية لوتر مثبت عند كلا الطرفين، يحتوي نمط الموجة الواقفة على عقدتين عند الطرفين وعقدة أخرى عند المنتصف.

ولذلك تكون الإزاحة عند المنتصف صفرًا في نمط التوافقية الثانية المثالي.

ورغم أن للمُشغِّل التردد الصحيح،

\[
f_{\text{drive}}=f_2=400\text{ Hz},
\]

فإنه يحاول إجبار الوتر على الحركة بالضبط عند الموضع الذي يتطلب فيه ذلك النمط المحدد انعدام الحركة تقريبًا.

ونتيجة لذلك، يقترن المُشغِّل بالتوافقية الثانية اقترانًا ضعيفًا. وسيتيح نقل المُشغِّل بعيدًا عن المنتصف، باتجاه موضع تكون فيه إزاحة النمط كبيرة، انتقالًا أكثر فعالية للطاقة.

الافتراض الخفي في حجة الطالب هو أن مطابقة التردد هي الشرط الوحيد. فهي تحدد نمطًا طبيعيًا يمكنه أن يرن، لكن الرنين القوي يعتمد أيضًا على كيفية تفاعل قوة القيادة مكانيًا مع ذلك النمط.

11ما الذي يتيح لك الرنين استنتاجه بعد ذلك؟

بمجرد أن تتمكن من ربط الرنين بشروط الحدود للموجات الواقفة، يصبح الاستدلال على عدة أفكار لاحقة أسهل بكثير.

يمكنك التنبؤ بالتوافقيات التي تستطيع آلة ما دعمها، وشرح سبب تغير حدة النغمة عند تغيير الطول الفعال، واستخدام ترددات الرنين المقاسة لاستنتاج خصائص مثل طول موجي مجهول، أو سرعة موجة، أو الطول الفعال لعمود هوائي.

والخطوة المفيدة التالية هي ربط أنماط الرنين هذه بـ التوافقيات، والنغمات الفوقية، وجودة الصوت. يحدد التردد الأساسي إلى حد كبير حدة النغمة التي ندركها، بينما يساعد مزيج أنماط الرنين الأعلى على التمييز بين مصدرين صوتيين حتى عندما يعزفان النغمة نفسها.