قانون سنيل في فيزياء HSC: شرح زوايا الانكسار

تدخل حزمة ليزر إلى كتلة زجاجية بزاوية. إذا رسمت الحزمة وهي تواصل مسارها في خط مستقيم، فعادةً ما يكون رسمك خاطئًا. لكن مجرد تذكّر أن «الضوء ينحرف في الزجاج» لا يكفي أيضًا. عليك أن تتنبأ بالاتجاه الذي سينحرف نحوه، ثم تحسب الزاوية الجديدة.

قبل إجراء أي حسابات، تنبأ بما سيحدث. ينتقل شعاع من الهواء إلى الزجاج بزاوية بالنسبة إلى السطح. هل سينحرف نحو العمود المقام أم بعيدًا عن العمود المقام؟

ينحرف نحو العمود المقام. والسؤال المفيد هو: لماذا؟

01لماذا يؤدي تغيّر السرعة إلى تغيّر الاتجاه

ينتقل الضوء بسرعات مختلفة في المواد المختلفة. ونصف ذلك باستخدام معامل الانكسار، \(n\):

\[
n = \frac{c}{v}
\]

حيث:

• \(n\) هو معامل الانكسار، ولا وحدة له
• \(c\) هي سرعة الضوء في الفراغ، وتساوي تقريبًا \(3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)
• \(v\) هي سرعة الضوء في المادة، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)

يعني معامل الانكسار الأكبر أن سرعة الضوء في ذلك الوسط أقل.

معامل انكسار الهواء قريب من \(1.00\). ويبلغ في الماء نحو \(1.33\)، بينما يبلغ في كثير من أنواع الزجاج نحو \(1.5\). وتعتمد القيمة الدقيقة على المادة وطول موجة الضوء.

لذلك، عندما ينتقل الضوء من الهواء إلى الزجاج، تقل سرعته.

تخيّل عربة تسوق تتحرك قطريًا من سطح خرساني أملس إلى عشب كثيف. تصل إحدى العجلتين الأماميتين إلى العشب أولًا، فتتباطأ قبل أن تصل العجلة الأخرى إليه. فتنعطف العربة.

تتصرف جبهة الموجة بطريقة مرتبطة بذلك. يدخل أحد جانبي جبهة الموجة إلى الوسط الأبطأ أولًا، ولذلك يقطع ذلك الجانب مسافة أقل. فتدور جبهة الموجة، مما يغيّر الاتجاه الذي ينتقل فيه الضوء.

عندما يدخل الضوء إلى وسط أبطأ، يجعل هذا الدوران الشعاع ينحرف نحو العمود المقام.

لكن لتشبيه عربة التسوق حدودًا. فالضوء ليس جسمًا صلبًا ذا عجلات، والانكسار لا يحدث بسبب مقاومة ميكانيكية. وبصورة أدق، تتغير سرعة الموجة الكهرومغناطيسية وطولها الموجي عند الحد الفاصل، بينما يظل ترددها ثابتًا.

وبما أن

\[
v = f\lambda
\]

فإن انخفاض سرعة الموجة \(v\)، مع بقاء التردد \(f\) ثابتًا، يعني أن الطول الموجي \(\lambda\) ينخفض.

02قِس كل زاوية من العمود المقام

هذه هي التفصيلة التي تتسبب في عدد كبير على نحو مفاجئ من الإجابات الخاطئة.

العمود المقام هو خط تخيلي يُرسم عموديًا على الحد الفاصل بين الوسطين.

تُقاس الزوايا في قانون سنيل بين الشعاع والعمود المقام، وليس بين الشعاع والسطح.

تُسمى زاوية الشعاع الساقط زاوية السقوط، \(\theta_1\). وتُسمى زاوية الشعاع الخارج في الوسط الثاني زاوية الانكسار، \(\theta_2\).

إذا أخبرك السؤال أن الشعاع يصنع زاوية \(25^\circ\) مع السطح، فإن زاويته مع العمود المقام ليست \(25^\circ\). بل هي

\[
90^\circ – 25^\circ = 65^\circ
\]

يجب إجراء هذا التحويل قبل استخدام قانون سنيل.

03قانون سنيل

بمجرد أن تصبح الهندسة واضحة، يكون الحساب مختصرًا:

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

حيث:

• \(n_1\) هو معامل انكسار الوسط الذي يحتوي على الشعاع الساقط
• \(n_2\) هو معامل انكسار الوسط الذي يحتوي على الشعاع المنكسر
• \(\theta_1\) هي زاوية السقوط، مقاسة من العمود المقام
• \(\theta_2\) هي زاوية الانكسار، مقاسة من العمود المقام

إذا كنت تريد إيجاد زاوية الانكسار، فأعد ترتيب المعادلة:

\[
\theta_2 = \sin^{-1}\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1\right)
\]

في حسابات HSC التي تتضمن زوايا بالدرجات، تأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات.

قبل الضغط على أي أزرار، تنبأ بالإجابة. إذا دخل الضوء إلى وسط ذي معامل انكسار أكبر، فهل ينبغي أن تكون \(\theta_2\) أكبر أم أصغر من \(\theta_1\)؟

أصغر. ينحرف الشعاع نحو العمود المقام.

هذا التنبؤ مفيد لأنه يمنحك وسيلة فورية للتحقق من وجود خطأ.

04قاعدة سريعة لتحديد الاتجاه

يمكنك عادةً تحديد الاتجاه قبل إجراء أي حساب.

ينتج الصفان الأولان مباشرة من قانون سنيل.

افترض أن \(n_2 > n_1\). بإعادة ترتيب المعادلة نحصل على

\[
\sin\theta_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1
\]

وبما أن \(n_1/n_2 < 1\)، فإن قيمة \(\sin\theta_2\) أصغر من \(\sin\theta_1\). وبالنسبة إلى الزوايا الواقعة بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\)، فهذا يعني أن

\[
\theta_2 < \theta_1
\]

لذلك فإن عبارة «نحو العمود المقام» ليست قاعدة منفصلة تحتاج إلى حفظها. بل إنها نتيجة مباشرة لقانون سنيل.

05ما معنى «نحو العمود المقام» فعليًا

يتخيل بعض الطلاب أحيانًا أن العمود المقام يسحب الشعاع إلى جانبه. لكنه لا يفعل ذلك.

تعني عبارة «نحو العمود المقام» ببساطة أن الشعاع المنكسر يصنع زاوية أصغر مع العمود المقام من زاوية الشعاع الساقط:

\[
\theta_2 < \theta_1
\]

وبالمثل، تعني عبارة «بعيدًا عن العمود المقام» أن

\[
\theta_2 > \theta_1
\]

لا يكون لهذه العبارات معنى إلا إذا كانت الزاويتان كلتاهما مقاستين من العمود المقام.

وهناك أيضًا حالة خاصة مهمة. افترض أن الضوء يصطدم بالحد الفاصل على امتداد العمود المقام تمامًا:

\[
\theta_1 = 0^\circ
\]

يعطي قانون سنيل

\[
n_1\sin0^\circ = n_2\sin\theta_2
\]

وبما أن \(\sin0^\circ = 0\)،

\[
\sin\theta_2 = 0
\]

ومن ثم

\[
\theta_2 = 0^\circ
\]

يمكن أن تتغير السرعة رغم ذلك. ويمكن أن يتغير الطول الموجي أيضًا. لكن الشعاع لا يغيّر اتجاهه لأنه لا توجد مركبة جانبية يعاد توجيهها.

لذلك فإن ملاحظة «عدم وجود انحراف» لا تثبت تلقائيًا أن للوسطين معامل الانكسار نفسه.

06أكثر الأخطاء شيوعًا في قانون سنيل

استخدام الزاوية مع السطح

هذا هو الخطأ الأكبر. يستخدم قانون سنيل دائمًا الزوايا المقاسة من العمود المقام.

إذا كان الشعاع يصنع زاوية \(70^\circ\) مع السطح، فهو يصنع زاوية \(20^\circ\) فقط مع العمود المقام.

تبديل معاملي الانكسار

يجب أن تتبع الرموز السفلية مسار الشعاع.

الوسط 1 يحتوي على الشعاع الساقط. والوسط 2 يحتوي على الشعاع المنكسر.

ومن العادات المفيدة أن تكتب

\[
\text{الوسط 1} \rightarrow \text{الوسط 2}
\]

قبل التعويض.

التنبؤ بالانحراف باستخدام قاعدة خاطئة

معامل الانكسار الأكبر يعني سرعة أقل للضوء.

لذلك:

• من \(n\) أقل إلى \(n\) أعلى: نحو العمود المقام
• من \(n\) أعلى إلى \(n\) أقل: بعيدًا عن العمود المقام

لا تحدد الاتجاه استنادًا إلى أفكار غامضة مثل كون إحدى المادتين «أكثر سماكة» أو «أعلى كثافة». معامل الانكسار هو الكمية المهمة هنا.

نسيان استخدام الجيب العكسي

بعد إيجاد \(\sin\theta_2\)، ما زلت بحاجة إلى إيجاد الزاوية.

إذا كان

\[
\sin\theta_2 = 0.60
\]

فإن

\[
\theta_2 = \sin^{-1}(0.60)
\]

وليس \(0.60^\circ\).

الثقة في نتيجة الآلة الحاسبة من دون التحقق من الفيزياء

افترض أن الضوء ينتقل من الهواء إلى الزجاج. إذا كانت زاوية الانكسار التي حسبتها أكبر من زاوية السقوط، فمن المحتمل أن شيئًا ما قد حدث بشكل خاطئ.

تنبؤك النوعي جزء من الحل، وليس مجرد إضافة شكلية.

07عندما يعطي قانون سنيل قيمة مستحيلة للجيب

لنفترض أن الضوء ينتقل من الزجاج إلى الهواء. ولأنه ينتقل من معامل انكسار أعلى إلى معامل انكسار أقل، ينحرف الشعاع بعيدًا عن العمود المقام.

كلما زادت زاوية السقوط، اقتربت زاوية الانكسار أكثر فأكثر من \(90^\circ\).

وفي النهاية، قد ينتج عن حساب باستخدام قانون سنيل شيء مثل

\[
\sin\theta_2 = 1.08
\]

لا توجد زاوية حقيقية يكون جيبها \(1.08\). فقيم الجيب للزوايا الحقيقية لا يمكن أن تتجاوز \(1\).

هذا لا يعني أن قانون سنيل قد فشل. بل يعني أنه لا يوجد شعاع منكسر منتشر في الوسط الثاني. ويخضع الضوء إلى الانعكاس الكلي الداخلي.

تحدث الحالة الحدية عندما يكون الشعاع المنكسر متجهًا بزاوية \(90^\circ\) إلى العمود المقام، أي على امتداد الحد الفاصل. وتُسمى زاوية السقوط المقابلة الزاوية الحرجة.

بالنسبة إلى الضوء المنتقل من \(n_1\) إلى وسط ذي معامل انكسار أقل \(n_2\)،

\[
n_1\sin\theta_c = n_2\sin90^\circ
\]

ومن ثم

\[
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}
\]

لا تحتاج إلى إجبار الآلة على إجراء حساب الجيب العكسي عندما يعطي قانون سنيل قيمة أكبر من \(1\). إدراك أن القيمة مستحيلة هو بحد ذاته جزء من الفيزياء.

08أسئلة وحلول

السؤال 1

ينتقل شعاع ضوئي من الهواء، \(n_1 = 1.00\)، إلى الماء، \(n_2 = 1.33\)، بزاوية سقوط مقدارها \(48.0^\circ\).

احسب زاوية الانكسار وحدد ما إذا كان الشعاع ينحرف نحو العمود المقام أم بعيدًا عنه.

الحل 1

زاوية الانكسار هي \(34.0^\circ\)، وينحرف الشعاع نحو العمود المقام.

يدخل الشعاع إلى وسط ذي معامل انكسار أعلى، لذلك ينبغي أن نتوقع انخفاض زاويته مع العمود المقام.

باستخدام قانون سنيل،

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

نحصل على

\[
1.00\sin48.0^\circ = 1.33\sin\theta_2
\]

إذن،

\[
\sin\theta_2
= \frac{1.00\sin48.0^\circ}{1.33}
= 0.559
\]

و

\[
\theta_2 = \sin^{-1}(0.559) = 34.0^\circ
\]

إذن

\[
\boxed{\theta_2 = 34.0^\circ}
\]

وبما أن \(34.0^\circ < 48.0^\circ\)، فقد انحرف الشعاع نحو العمود المقام. ويوفر ذلك أيضًا فحصًا مفيدًا للتأكد من أن الحساب منطقي من الناحية الفيزيائية.

السؤال 2

ينتقل شعاع من زجاج ذي معامل انكسار \(1.52\) إلى سائل ذي معامل انكسار \(1.36\). قبل وصوله إلى الحد الفاصل، يصنع الشعاع زاوية \(52.0^\circ\) مع سطح الحد الفاصل.

احسب زاوية الانكسار، مقاسة من العمود المقام.

الحل 2

زاوية الانكسار هي \(43.5^\circ\) من العمود المقام.

الفخ المهم هنا هو أن القيمة المعطاة \(52.0^\circ\) مقاسة من السطح، وليس من العمود المقام.

إذن زاوية السقوط هي

\[
\theta_1 = 90.0^\circ – 52.0^\circ = 38.0^\circ
\]

والآن طبّق قانون سنيل:

\[
1.52\sin38.0^\circ = 1.36\sin\theta_2
\]

وبإعادة الترتيب،

\[
\sin\theta_2
= \frac{1.52\sin38.0^\circ}{1.36}
= 0.688
\]

إذن،

\[
\theta_2 = \sin^{-1}(0.688) = 43.5^\circ
\]

ومن ثم،

\[
\boxed{\theta_2 = 43.5^\circ}
\]

ينخفض معامل الانكسار من \(1.52\) إلى \(1.36\)، لذلك ينبغي أن ينحرف الشعاع بعيدًا عن العمود المقام. وتتفق زيادة الزاوية من \(38.0^\circ\) إلى \(43.5^\circ\) مع هذا التنبؤ.

السؤال 3

ينتقل شعاع من الهواء، \(n = 1.00\)، إلى لوح زجاجي، \(n = 1.50\)، بزاوية سقوط مقدارها \(60.0^\circ\). ثم ينتقل من الزجاج إلى الماء، \(n = 1.33\).

سطحا الزجاج متوازيان.

احسب:

• زاوية الشعاع داخل الزجاج
• زاوية الشعاع بعد دخوله الماء

يدّعي أحد الطلاب أن تغيير معامل انكسار الزجاج لا بد أن يغيّر الزاوية النهائية في الماء. قيّم هذا الادعاء، بافتراض أن الحدين الفاصلين يظلان متوازيين.

الحل 3

ينتقل الشعاع خلال الزجاج بزاوية \(35.3^\circ\) مع العمود المقام، ويدخل الماء بزاوية \(40.6^\circ\). عندما يكون الحدان الفاصلان متوازيين، فإن تغيير معامل انكسار الزجاج يغيّر المسار داخل الزجاج، لكنه لا يغيّر الزاوية النهائية في الماء.

عند الحد الفاصل بين الهواء والزجاج،

\[
1.00\sin60.0^\circ = 1.50\sin\theta_g
\]

حيث \(\theta_g\) هي الزاوية داخل الزجاج.

إذن،

\[
\sin\theta_g
= \frac{1.00\sin60.0^\circ}{1.50}
= 0.577
\]

ومن ثم

\[
\theta_g = \sin^{-1}(0.577) = 35.3^\circ
\]

إذن،

\[
\boxed{\theta_g = 35.3^\circ}
\]

عند الحد الفاصل بين الزجاج والماء،

\[
1.50\sin35.3^\circ = 1.33\sin\theta_w
\]

حيث \(\theta_w\) هي الزاوية في الماء.

ويعطي ذلك

\[
\sin\theta_w
= \frac{1.50\sin35.3^\circ}{1.33}
= 0.651
\]

ومن ثم

\[
\theta_w = \sin^{-1}(0.651) = 40.6^\circ
\]

إذن،

\[
\boxed{\theta_w = 40.6^\circ}
\]

وهناك طريقة أكثر وضوحًا لفهم النتيجة. بما أن سطحي الزجاج متوازيان، فإن العمودين المقامين عليهما متوازيان. ومعادلتا قانون سنيل هما

\[
1.00\sin60.0^\circ = 1.50\sin\theta_g
\]

و

\[
1.50\sin\theta_g = 1.33\sin\theta_w
\]

وبدمجهما نحصل على

\[
1.00\sin60.0^\circ = 1.33\sin\theta_w
\]

لقد اختُصر معامل انكسار الزجاج.

لذلك فإن ادعاء الطالب غير صحيح بالنسبة إلى الاتجاه النهائي عندما يكون الحدان الفاصلان متوازيين. فتغيير معامل انكسار الزجاج يغيّر الزاوية وطول المسار داخل الزجاج، لكن الزاوية النهائية في الماء تحددها خصائص الوسط الابتدائي والوسط النهائي والزاوية الابتدائية.

السؤال 4

ينتقل شعاع من مادة شفافة إلى مادة شفافة أخرى من دون أن يغيّر اتجاهه.

يستنتج أحد الطلاب أن المادتين لا بد أن يكون لهما معاملا انكسار متساويان.

هل هذا الاستنتاج مبرر؟ اشرح كيف يمكنك التمييز بين التفسيرات الممكنة عن طريق تغيير التجربة.

الحل 4

لا. إن عبور شعاع من دون تغيير اتجاهه لا يثبت، بمفرده، أن معاملي الانكسار متساويان.

أحد الاحتمالات هو أن

\[
n_1 = n_2
\]

في هذه الحالة، يعطي قانون سنيل

\[
\sin\theta_1 = \sin\theta_2
\]

ولذلك يواصل الشعاع حركته في الاتجاه نفسه.

لكن هناك احتمالًا آخر: قد يكون الشعاع قد دخل على امتداد العمود المقام، بحيث

\[
\theta_1 = 0^\circ
\]

عندها يعطي قانون سنيل

\[
n_1\sin0^\circ = n_2\sin\theta_2
\]

ومن ثم

\[
\theta_2 = 0^\circ
\]

بغض النظر عما إذا كان معاملا الانكسار متساويين أم لا.

للتمييز بين التفسيرين، وجّه الشعاع نحو الحد الفاصل بزاوية غير صفرية.

إذا استمر في العبور من دون تغيير اتجاهه، فإن تساوي معاملي الانكسار سيكون متوافقًا مع الملاحظة. أما إذا انحرف، فإن المسار المستقيم الأصلي كان بسبب وصول الشعاع الأول على امتداد العمود المقام.

الفخ هنا هو افتراض أن «عدم وجود انحراف» يعني «عدم وجود تغير في الخصائص البصرية». عند السقوط العمودي، قد تتغير السرعة والطول الموجي حتى لو لم يتغير الاتجاه.

السؤال 5

ينتقل الضوء داخل بوليمر شفاف ذي معامل انكسار \(1.40\)، ويصل إلى حد فاصل بين البوليمر والهواء بزاوية سقوط مقدارها \(55.0^\circ\).

يطبق أحد الطلاب قانون سنيل ويحصل على

\[
\sin\theta_2 = 1.15
\]

ويقرر أن الآلة الحاسبة لا بد أن تكون معطلة.

اشرح ما يحدث فعليًا للضوء. ثم احسب أكبر زاوية سقوط يمكن عندها لشعاع منكسر منتشر أن يدخل الهواء.

الحل 5

يخضع الضوء للانعكاس الكلي الداخلي عند \(55.0^\circ\). وزاوية السقوط الحدية هي الزاوية الحرجة، وتساوي تقريبًا \(45.6^\circ\).

طبّق قانون سنيل باستخدام \(n_1 = 1.40\) للبوليمر و\(n_2 = 1.00\) للهواء:

\[
1.40\sin55.0^\circ = 1.00\sin\theta_2
\]

إذن

\[
\sin\theta_2
= 1.40\sin55.0^\circ
= 1.15
\]

النتيجة العددية التي حصل عليها الطالب ليست دليلًا على وجود مشكلة في الآلة الحاسبة. بل هي الإشارة المهمة.

لأي زاوية حقيقية،

\[
-1 \leq \sin\theta \leq 1
\]

ولذلك لا توجد زاوية انكسار حقيقية تحقق \(\sin\theta_2 = 1.15\). ومن ثم لا يوجد شعاع منكسر منتشر في الهواء. بل ينعكس الضوء انعكاسًا كليًا داخليًا.

لإيجاد أكبر زاوية سقوط ما زالت تسمح بالانكسار، اجعل زاوية الانكسار تساوي قيمتها الحدية:

\[
\theta_2 = 90^\circ
\]

عندها

\[
1.40\sin\theta_c = 1.00\sin90^\circ
\]

وبما أن \(\sin90^\circ = 1\)،

\[
\sin\theta_c = \frac{1.00}{1.40} = 0.714
\]

إذن،

\[
\theta_c = \sin^{-1}(0.714) = 45.6^\circ
\]

ومن ثم

\[
\boxed{\theta_c = 45.6^\circ}
\]

عند \(45.6^\circ\) بالضبط، ينتقل الشعاع المنكسر على امتداد الحد الفاصل بزاوية \(90^\circ\) مع العمود المقام. وبالنسبة إلى زوايا السقوط الأكبر من \(45.6^\circ\)، بما في ذلك \(55.0^\circ\)، يحدث الانعكاس الكلي الداخلي.

خطوة الاستدلال الأساسية هي إدراك أن قيمة الجيب «المستحيلة» تمثل نتيجة فيزيائية، وليست شيئًا يجب إصلاحه بتغيير إعدادات الآلة الحاسبة أو إجبارها على إعطاء زاوية.

09ما الذي يتيح لك قانون سنيل فعله بعد ذلك

يمنحك قانون سنيل أكثر من مجرد طريقة لحساب زاوية واحدة مجهولة. فهو يربط هندسة مسار الشعاع بتغير سرعة الموجة عند الحد الفاصل.

بمجرد أن تتمكن باستمرار من تحديد العمود المقام، والتنبؤ باتجاه الانحراف، وتطبيق

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

يمكنك التعامل مع عدة أفكار مترابطة ارتباطًا وثيقًا: الانكسار عبر عدة حدود فاصلة، والعمق الظاهري، والزاوية الحرجة، والانعكاس الكلي الداخلي.

والعادة التي يجدر بك الاحتفاظ بها عند الانتقال إلى هذه الموضوعات بسيطة: تنبأ بالسلوك الفيزيائي أولًا، ثم احسب. وإذا اختلفت النتيجة العددية عن توقعك، فتحقق من السبب بدلًا من الثقة تلقائيًا في الآلة الحاسبة.