شدة الصوت والمسافة: قانون التربيع العكسي في فيزياء HSC
تعرّف لماذا تنخفض شدة الصوت مع المسافة، وكيف يؤدي الانتشار الهندسي إلى علاقة التربيع العكسي، ومتى يكون هذا النموذج مناسبًا.
قف على بُعد \(1\ \text{m}\) من مكبر صوت صغير، ثم ابتعد حتى تصبح على بُعد \(2\ \text{m}\). تنخفض شدة الصوت، لكن بمقدار كم؟
قد يبدو من المغري أن تتوقع أنها تصبح «النصف»، لأنك ضاعفت المسافة. لكن بالنسبة إلى مصدر نقطي مثالي ينشر الصوت بالتساوي في جميع الاتجاهات، فهذا التوقع غير صحيح. فعند مضاعفة المسافة، تصبح الشدة ربع قيمتها فقط.
والسبب ليس أن المصدر يفقد فجأة ثلاثة أرباع قدرته. بل إن القدرة الصوتية نفسها يجب أن تنتشر على مساحة أكبر بكثير.
01تصوّر انتشار الصوت
تخيّل مصدرًا صوتيًا صغيرًا جدًا يطفو في فضاء مفتوح هائل. يرسل الصوت بالتساوي في كل اتجاه.
بعد لحظة من مغادرة الاهتزاز للمصدر، يكون الاضطراب قد وصل إلى نقاط تقع على كرة صغيرة تحيط به. وبعد وقت أطول، يصل إلى كرة أكبر.
تنتشر طاقة الصوت على سطح كل كرة.
من النماذج الذهنية المفيدة تخيّل طلاء موزعًا على بالون يتمدد. افترض أن الكمية نفسها من الطلاء يجب، بطريقة ما، أن تغطي سطح البالون كله أثناء انتفاخه. كلما كبر البالون، أصبحت طبقة الطلاء أرق.
بالنسبة إلى الصوت، تؤدي القدرة دور كمية الطلاء، بينما تخبرنا مساحة السطح الكروي بمدى اتساع المنطقة التي توزعت عليها تلك القدرة.
هذا التشبيه ليس دقيقًا تمامًا. فالصوت ليس طبقة تغطي سطحًا، بل إن الطاقة تنتقل باستمرار عبر الفضاء. لكن صورة البالون تمثل الهندسة بصورة صحيحة.
02ما الذي تقيسه الشدة فعليًا؟
تخبرنا شدة الصوت، \(I\)، بمقدار القدرة الصوتية التي تمر عبر كل متر مربع.
بوجه عام،
\[
I = \frac{P}{A}
\]
حيث:
- \(I\) هي الشدة بوحدة واط لكل متر مربع، \(\text{W m}^{-2}\)
- \(P\) هي القدرة الصوتية بوحدة الواط، \(\text{W}\)
- \(A\) هي المساحة التي تمر عبرها تلك القدرة، بوحدة المتر المربع، \(\text{m}^2\)
ومن المهم التمييز بين هذا وبين كلمات نستخدمها في الحياة اليومية مثل «علو الصوت».
الشدة كمية فيزيائية. فهي تقيس القدرة لكل وحدة مساحة.
أما مدى ارتفاع الصوت كما نشعر به، فيعتمد أيضًا على السمع البشري، ولذلك فإن علو الصوت المُدرَك والشدة الفيزيائية ليسا الشيء نفسه.
03من أين تأتي علاقة التربيع العكسي؟
بالنسبة إلى مصدر نقطي مثالي يشع بالتساوي في كل اتجاه، يمر الصوت عبر كرة نصف قطرها \(r\).
مساحة سطح الكرة هي
\[
A = 4\pi r^2
\]
ولذلك تكون الشدة
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
وهذه هي علاقة التربيع العكسي.
الجزء المهم هو
\[
I \propto \frac{1}{r^2}
\]
بشرط أن تظل القدرة الصوتية \(P\) ثابتة وأن ينتشر الصوت كرويًا.
تعني عبارة التربيع العكسي أن الشدة تعتمد على مقلوب مربع المسافة.
إذا تضاعفت المسافة،
\[
I \propto \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}
\]
إذا أصبحت المسافة ثلاثة أضعاف،
\[
I \propto \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}
\]
إذا أصبحت المسافة أربعة أضعاف،
\[
I \propto \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}
\]
إذن تنخفض الشدة بمعدل أسرع بكثير من \(1/r\).
لماذا تؤدي مضاعفة المسافة إلى زيادة المساحة أربعة أضعاف؟
لنأخذ كرة عند مسافة \(r\):
\[
A_1 = 4\pi r^2
\]
والآن نضاعف نصف القطر إلى \(2r\):
\[
A_2 = 4\pi(2r)^2 = 16\pi r^2
\]
قارن المساحتين:
\[
\frac{A_2}{A_1}
= \frac{16\pi r^2}{4\pi r^2}
= 4
\]
أصبحت القدرة نفسها الآن موزعة على مساحة أكبر بأربعة أضعاف، لذلك تصبح القدرة لكل متر مربع ربع قيمتها.
وهذا هو السبب الهندسي الكامل وراء علاقة التربيع العكسي.
04معادلة أسرع للمقارنة
في كثير من الأحيان، لا تعرف القدرة الصوتية ولا تحتاج إلى معرفتها.
افترض أن الشدة هي \(I_1\) عند المسافة \(r_1\)، ثم تصبح \(I_2\) عند المسافة \(r_2\).
بالنسبة إلى الانتشار الكروي،
\[
I_1 = \frac{P}{4\pi r_1^2}
\]
و
\[
I_2 = \frac{P}{4\pi r_2^2}
\]
عند أخذ النسبة، يُختصر كل من \(P\) و\(4\pi\):
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\frac{r_1^2}{r_2^2}
\]
أو
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
وهذه الصيغة هي عادةً أسرع طريقة لمقارنة الشدات عند مسافتين مختلفتين.
مثال محلول: إيجاد الشدة الناتجة عن مصدر نقطي
ينتج مصدر صوتي صغير قدرة صوتية مقدارها \(3.0\ \text{W}\)، ويشع بالتساوي في جميع الاتجاهات. احسب شدة الصوت على بُعد \(2.0\ \text{m}\) من المصدر.
الخطوة 1
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
هنا، \(P = 3.0\ \text{W}\) و\(r = 2.0\ \text{m}\).
الخطوة 2
\[
I
=
\frac{3.0}{4\pi(2.0)^2}
=
\frac{3.0}{16\pi}
\]
الخطوة 3
\[
I = 5.97\times10^{-2}\ \text{W m}^{-2}
\]
إلى رقمين معنويين،
\[
\boxed{I = 6.0\times10^{-2}\ \text{W m}^{-2}}
\]
عند مسافة \(2.0\ \text{m}\)، يستقبل كل متر مربع نحو \(0.060\ \text{W}\) من القدرة الصوتية وفق نموذج الانتشار الكروي المثالي.
05الخطأ الأكثر شيوعًا: التعامل مع المسافة باعتبارها تناسبًا عكسيًا بسيطًا
يرى طالب أن المصدر انتقل من مسافة 3 m إلى مسافة 6 m، فيفكر:
تضاعفت المسافة، إذن تنخفض الشدة إلى النصف.
سيكون ذلك صحيحًا لو كانت \(I\) تتناسب مع \(1/r\).
لكنها لا تفعل.
بالنسبة إلى مصدر نقطي،
\[
I \propto \frac{1}{r^2}
\]
ولذلك
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{3}{6}\right)^2
=
\left(\frac{1}{2}\right)^2
=
\frac{1}{4}
\]
تصبح الشدة ربع قيمتها الأصلية.
ومن العادات المفيدة أن تسأل: ماذا حدث للمساحة؟
إذا تضاعفت المسافة، فقد تضاعف نصف قطر الكرة المتخيلة. وزادت مساحتها بمقدار \(2^2 = 4\)، ولذلك انخفضت الشدة بمعامل قدره 4.
مثال محلول: توقّع الشدة عند مسافة جديدة
يقيس ميكروفون شدة صوت مقدارها \(2.4\times10^{-4}\ \text{W m}^{-2}\) على بُعد \(5.0\ \text{m}\) من مصدر صغير. افترض انتشارًا كرويًا وامتصاصًا مهملًا. ما الشدة التي ينبغي أن يقيسها عند \(12\ \text{m}\)؟
الخطوة 1
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
هنا،
\[
I_1 = 2.4\times10^{-4}\ \text{W m}^{-2},\quad
r_1 = 5.0\ \text{m},\quad
r_2 = 12\ \text{m}
\]
الخطوة 2
\[
I_2
=
I_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
الخطوة 3
\[
I_2
=
(2.4\times10^{-4})
\left(\frac{5.0}{12}\right)^2
\]
\[
I_2
=
(2.4\times10^{-4})(0.1736)
=
4.17\times10^{-5}\ \text{W m}^{-2}
\]
إلى رقمين معنويين،
\[
\boxed{I_2 = 4.2\times10^{-5}\ \text{W m}^{-2}}
\]
يؤدي الانتقال من \(5.0\ \text{m}\) إلى \(12\ \text{m}\) إلى خفض الشدة إلى نحو \(17\%\) من قيمتها الأصلية.
لاحظ أن المسافة زادت بمعامل \(12/5 = 2.4\)، بينما انخفضت الشدة بمعامل \(2.4^2 = 5.76\).
06متى يكون قانون التربيع العكسي مناسبًا فعليًا؟
تبدو المعادلة
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
دقيقة تمامًا، لكنها تصف حالة مثالية.
تعمل جيدًا عندما يمكن بصورة معقولة التعامل مع المصدر على أنه مصدر نقطي، وعندما تنتشر طاقته الصوتية بصورة متساوية تقريبًا في فضاء ثلاثي الأبعاد.
توجد عدة افتراضات ضمنية داخل هذا النموذج:
| الافتراض | لماذا يهم |
|---|---|
| يتصرف المصدر تقريبًا كمصدر نقطي | يمكن عندئذٍ أن تصبح جبهات الموجة كروية تقريبًا |
| تظل قدرة المصدر ثابتة | وإلا فقد تتغير الشدة لأن المصدر نفسه قد تغير |
| ينتشر الصوت بحرية في ثلاثة أبعاد | وهذا يعطي المساحة الكروية \(4\pi r^2\) |
| الامتصاص مهمل | يمكن للهواء الحقيقي أن يزيل بعض طاقة الصوت أثناء انتقاله |
| الانعكاسات غير مهمة | يمكن للجدران والأرضيات والأسطح الأخرى أن تعيد توجيه الصوت نحو الكاشف |
| المصدر ليس شديد الاتجاهية | المصدر الاتجاهي لا يرسل قدرة متساوية في كل اتجاه |
وهذا يعني أن قانون التربيع العكسي هو نموذج للانتشار الهندسي، وليس ضمانًا بأن كل قياس حقيقي للصوت يجب أن يتبع \(1/r^2\) بصورة مثالية.
الغرفة ليست فضاءً فارغًا
تخيّل قياس صوت مكبر داخل غرفة مفروشة.
يستقبل الميكروفون الصوت مباشرة من مكبر الصوت، لكنه قد يستقبل أيضًا صوتًا منعكسًا عن الجدران والأرضية والسقف. وعند المسافات الأكبر، قد تصبح هذه المساهمات المنعكسة مهمة.
لذلك، إذا لم تنخفض الشدة المقاسة بمعامل أربعة بالضبط عند مضاعفة المسافة، فهذا لا يعني تلقائيًا أن استدلال التربيع العكسي كان خاطئًا. فقد يعني أن الحالة الفيزيائية لا تحقق افتراضات النموذج.
07المصدر النقطي لا يعني «نقطة حرفيًا»
لا يوجد مكبر صوت حقيقي حجمه يساوي صفرًا.
وصف شيء بأنه مصدر نقطي يعني أن أبعاده الفيزيائية صغيرة بما يكفي، مقارنة بالمسافات التي ندرسها، بحيث يكون التعامل مع كل صوته كما لو كان صادرًا من موضع واحد تقريبًا مفيدًا.
افترض أن مصفوفة كبيرة من مكبرات الصوت ارتفاعها 3 m. القياس على بُعد 1 m فقط منها يختلف كثيرًا عن القياس على بُعد مئات الأمتار. فعند الاقتراب منها، تكون الأجزاء المختلفة من المصفوفة على مسافات مختلفة بوضوح عن الميكروفون، وقد لا تشبه جبهة الموجة كرة مركزها نقطة واحدة.
أما على مسافة بعيدة بما يكفي، فقد تتصرف المصفوفة كلها بدرجة أكبر كمصدر مدمج واحد.
لذلك، قبل استخدام \(I\propto1/r^2\)، اطرح سؤالًا فيزيائيًا قبل السؤال الجبري:
هل يُعد الانتشار الكروي نموذجًا معقولًا هنا؟
08الشدة ليست هي نفسها سعة الموجة
هناك خلط شائع آخر.
بالنسبة إلى موجة كروية، تنخفض بعض سعات الموجة تقريبًا وفق
\[
\frac{1}{r}
\]
بينما تنخفض الشدة وفق
\[
\frac{1}{r^2}
\]
ولا يوجد تناقض في ذلك.
ترتبط الشدة بـمربع سعة الموجة. ففي نموذج مبسط للموجة الصوتية،
\[
I \propto A^2
\]
حيث تمثل \(A\) مقياسًا مناسبًا للسعة.
إذن إذا انخفضت السعة تقريبًا وفق \(1/r\)،
\[
I \propto
\left(\frac{1}{r}\right)^2
=
\frac{1}{r^2}
\]
يصبح هذا التمييز مهمًا كلما انتقل السؤال بين السعة وانتقال الطاقة.
09أسئلة وحلول
السؤال 1
يشع مصدر صوتي صغير بالتساوي في فضاء مفتوح. نُقل كاشف من مسافة \(4.0\ \text{m}\) إلى \(8.0\ \text{m}\) من المصدر. ماذا يحدث لشدة الصوت؟
الحل 1
تصبح الشدة ربع قيمتها الأصلية.
بالنسبة إلى الانتشار الكروي،
\[
I \propto \frac{1}{r^2}
\]
ولذلك
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
=
\left(\frac{4.0}{8.0}\right)^2
=
\frac{1}{4}
\]
إذن،
\[
\boxed{I_2 = 0.25I_1}
\]
الخطأ الشائع هو القول إن مضاعفة المسافة تخفض الشدة إلى النصف. وهذا يتجاهل أن مساحة الكرة تزداد مع \(r^2\)، وليس مع \(r\).
السؤال 2
على بُعد \(6.0\ \text{m}\) من مصدر نقطي، تبلغ شدة الصوت \(7.5\times10^{-5}\ \text{W m}^{-2}\). عند أي مسافة تصبح الشدة \(1.2\times10^{-5}\ \text{W m}^{-2}\)، بافتراض انتشار كروي مثالي؟
الحل 2
المسافة المطلوبة تساوي تقريبًا \(15\ \text{m}\).
ابدأ من
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
عوّض بالكميات المعروفة:
\[
\frac{1.2\times10^{-5}}{7.5\times10^{-5}}
=
\left(\frac{6.0}{r_2}\right)^2
\]
نسبة الشدة هي
\[
0.16
=
\left(\frac{6.0}{r_2}\right)^2
\]
خذ الجذر التربيعي:
\[
0.40 = \frac{6.0}{r_2}
\]
ومن ثم
\[
r_2 = \frac{6.0}{0.40}
= 15\ \text{m}
\]
إذن،
\[
\boxed{r_2 = 15\ \text{m}}
\]
انخفضت الشدة إلى \(16\%\) من قيمتها الأصلية. ولأن \(0.16 = 0.4^2\)، فلا بد أن تكون المسافة الجديدة أكبر من المسافة الأصلية بمقدار \(1/0.4 = 2.5\) مرة.
السؤال 3
ينتج مصدر شدة مقدارها \(1.2\times10^{-3}\ \text{W m}^{-2}\) عند \(2.0\ \text{m}\). يتوقع طالب أن تكون الشدة عند \(4.0\ \text{m}\) مساوية لـ\(3.0\times10^{-4}\ \text{W m}^{-2}\).
لكن الشدة المقاسة بدلًا من ذلك هي \(4.0\times10^{-4}\ \text{W m}^{-2}\).
هل يبين هذا القياس أن الانتشار الهندسي غير صحيح؟ اشرح سببًا فيزيائيًا واحدًا للاختلاف.
الحل 3
لا. تبين النتيجة أن الحالة الحقيقية لا تتطابق تمامًا مع افتراضات نموذج التربيع العكسي البسيط.
توقع الطالب المثالي صحيح:
\[
I_2
=
I_1
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
\[
I_2
=
(1.2\times10^{-3})
\left(\frac{2.0}{4.0}\right)^2
\]
\[
I_2
=
(1.2\times10^{-3})(0.25)
=
3.0\times10^{-4}\ \text{W m}^{-2}
\]
لكن القيمة المقاسة أكبر:
\[
4.0\times10^{-4}\ \text{W m}^{-2}
\]
أحد التفسيرات الممكنة هو الانعكاس. فإذا أُجريت التجربة بالقرب من جدران أو أسطح أخرى، فقد يستقبل الكاشف الصوت المنعكس إضافة إلى الصوت الذي ينتقل إليه مباشرة من المصدر.
تشمل التفسيرات الممكنة الأخرى الإشعاع الاتجاهي، أو صوت الخلفية، أو عدم اليقين في القياس، أو عدم تصرف المصدر كمصدر نقطي مثالي.
الخطأ هنا هو التعامل مع معادلة التربيع العكسي باعتبارها قاعدة يجب أن يطيعها كل قياس. فهي تنطبق عندما تكون افتراضاتها الفيزيائية معقولة.
السؤال 4
يصدر مصدر صوتي عادة قدرة صوتية \(P\). خُفضت قدرته إلى \(0.80P\)، بينما نُقل كاشف من المسافة \(r\) إلى \(0.90r\).
بافتراض الانتشار الكروي، هل تكون الشدة النهائية أكبر من الشدة الأصلية، أم أقل منها، أم مساوية لها تقريبًا؟ احسب النسبة.
الحل 4
الشدة النهائية أقل قليلًا من الشدة الأصلية، حيث \(I_2/I_1 \approx 0.99\).
لقد تغيرت كل من القدرة والمسافة، لذلك يجب الاحتفاظ بالعاملين كليهما في معادلة الشدة:
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
في البداية،
\[
I_1 = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
وفي النهاية،
\[
I_2
=
\frac{0.80P}{4\pi(0.90r)^2}
\]
خذ النسبة:
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\frac{0.80P}{4\pi(0.90r)^2}
\cdot
\frac{4\pi r^2}{P}
\]
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\frac{0.80}{0.90^2}
=
\frac{0.80}{0.81}
=
0.988
\]
إذن،
\[
\boxed{\frac{I_2}{I_1}\approx0.99}
\]
الشدة أقل بنحو \(1.2\%\) مما كانت عليه، ولذلك فهي تكاد لا تتغير.
وهذا تذكير مفيد بأن الاقتراب من المصدر يزيد الشدة، لكن الانخفاض المتزامن في قدرة المصدر يمكن أن يعوض هذا التأثير. والنظر إلى المسافة وحدها سيؤدي إلى استنتاج خاطئ.
السؤال 5
يضع طالب ميكروفونًا على بُعد \(1.0\ \text{m}\) من مركز مصفوفة كبيرة من مكبرات الصوت يبلغ عرضها \(4.0\ \text{m}\). ويقيس شدة مقدارها \(I\).
ثم يجادل بأن نقل الميكروفون إلى \(2.0\ \text{m}\) لا بد أن ينتج شدة تساوي تمامًا \(I/4\).
حدد الافتراض الخفي في حجة الطالب واشرح لماذا لا تكون النتيجة مضمونة.
الحل 5
الافتراض الخفي هو أن مصفوفة مكبرات الصوت يمكن التعامل معها على أنها مصدر نقطي ينتج جبهات موجية كروية تقريبًا عند هذه المسافات. وقد لا يكون هذا الافتراض صحيحًا.
سيكون توقع التربيع العكسي هو
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{1.0}{2.0}\right)^2
=
\frac{1}{4}
\]
لكن هذه المعادلة تفترض انتشارًا كرويًا من مصدر يمكن اعتباره نقطيًا فعليًا.
هنا يبلغ عرض المصدر \(4.0\ \text{m}\)، بينما لا يبعد الميكروفون عنه سوى \(1.0\ \text{m}\) أو \(2.0\ \text{m}\). ولذلك تقع الأجزاء المختلفة من المصفوفة على مسافات مختلفة بدرجة كبيرة عن الميكروفون. ويُعد التعامل مع المصفوفة كلها كنقطة واحدة تقريبًا غير جيد.
وقد يكون الميكروفون أيضًا في منطقة يكون فيها المجال الصوتي ذا نمط مكاني أكثر تعقيدًا.
لذلك،
\[
\boxed{I_2 \text{ ليس مضمونًا أن يساوي } I/4}
\]
الجزء الصعب في هذا السؤال ليس حساب التربيع العكسي، بل ملاحظة أن نموذج التربيع العكسي يجب تبريره قبل استخدامه.
10ما الذي تتيحه لك هذه الفكرة بعد ذلك؟
يمنحك الانتشار الهندسي طريقة للربط بين انتقال الطاقة وسعة الموجة والمسافة.
والسلسلة الأساسية هي:
\[
\text{مسافة أكبر}
\rightarrow
\text{مساحة كروية أكبر}
\rightarrow
\text{قدرة أقل لكل وحدة مساحة}
\rightarrow
\text{شدة أقل}
\]
بالنسبة إلى مصدر نقطي مثالي،
\[
\boxed{I = \frac{P}{4\pi r^2}}
\]
ومن ثم
\[
\boxed{I\propto\frac{1}{r^2}}
\]
الخطوة المفيدة التالية هي ربط هذه الشدة الفيزيائية بـمقياس الديسيبل. ويقدم ذلك طريقة لوغاريتمية لوصف نسب الشدة، وهو ما يفسر لماذا لا يقابل التغير الكبير في الشدة الفيزيائية تغير عددي كبير بالقدر نفسه في مستوى الصوت.