الموجات الواقفة في الأنابيب المفتوحة: التردد الأساسي والتوافقيات
تعلّم كيف تتكوّن الموجات الواقفة في الأنابيب المفتوحة عند كلا الطرفين، ولماذا يحتوي النمط الأساسي على نصف طول موجي، وكيف تُحدَّد ترددات التوافقيات.
الأنبوب مفتوح عند كلا الطرفين. تنفخ عبر أحد الطرفين، فيستقر الهواء بداخله على نغمة قوية وثابتة. وهنا يأتي السؤال: لماذا يتسع النمط الأساسي لنصف طول موجي فقط داخل الأنبوب؟ إذا كان على الموجة أن «تتلاءم» بين طرفين، فقد يبدو أن طولًا موجيًا كاملًا هو الاختيار الأكثر منطقية.
قبل متابعة القراءة، توقّع الإجابة. عند الطرف المفتوح للأنبوب، هل يستطيع الهواء الحركة بحرية، أم يجب أن يبقى ساكنًا؟
يستطيع الحركة بحرية. وهذه الحقيقة وحدها تتحكم في النمط الكامل لتوافقيات الأنبوب المفتوح.
01ما الذي يفعله الهواء فعليًا؟
الصوت في الهواء هو موجة طولية. تتذبذب جزيئات الهواء ذهابًا وإيابًا على امتداد الأنبوب، بينما ينتقل الاضطراب الصوتي على طوله.
عندما تتراكب موجات تنتقل في اتجاهين متعاكسين، يمكن أن تكوّن موجة واقفة. بعض المواضع تكاد لا تتحرك، بينما تتذبذب مواضع أخرى بقوة.
نصف هذه المواضع باستخدام مصطلحين:
- عقدة الإزاحة هي موضع تكون فيه إزاحة جزيئات الهواء صفرًا في النموذج المثالي للموجة الواقفة.
- بطن الإزاحة هو موضع تتذبذب فيه جزيئات الهواء بأقصى إزاحة.
عند الطرف المفتوح، لا يكون الهواء محصورًا بجدار. ويمكنه التحرك ذهابًا وإيابًا بحرية نسبية. لذلك يتصرف الطرف المفتوح تقريبًا بوصفه بطن إزاحة.
وهذا يعطينا شرط الحد الذي نحتاج إليه:
الأنبوب المفتوح عند كلا الطرفين له بطن إزاحة عند كل طرف.
هناك طريقة أخرى لوصف الموجة الصوتية نفسها باستخدام الضغط بدلًا من إزاحة جزيئات الهواء. وفي هذين الوصفين تتبادل العقد والبطون أماكنها:
| الموضع | إزاحة الهواء | تغير الضغط |
|---|---|---|
| الطرف المفتوح | بطن | عقدة |
| عقدة الإزاحة | عقدة | بطن |
عند الطرف المفتوح، يجب أن يظل الضغط قريبًا من الضغط الجوي، لذلك يكون تغير الضغط صغيرًا جدًا. ولهذا يكون الطرف المفتوح عقدة ضغط، لكنه بطن إزاحة.
في مسائل HSC، تأكد من معرفة نوع الرسم الذي تنظر إليه. فرسم الإزاحة ورسم الضغط للموجة الواقفة نفسها لا تقع فيهما العقد في المواضع نفسها.
02بناء النمط الأساسي
لنعد الآن إلى الأنبوب.
نحتاج إلى أبسط نمط ممكن لموجة واقفة يكون له بطن إزاحة عند كلا الطرفين.
تخيّل امتداد نمط الإزاحة بين الطرفين. يبدأ من بطن، ثم تمر الموجة عبر عقدة في المنتصف، وتصل إلى بطن آخر عند الطرف الآخر.
ما مقدار الطول الموجي الذي يمثله ذلك؟
إنه نصف طول موجي.
لذلك، بالنسبة إلى النمط الأساسي،
\[
L = \frac{\lambda_1}{2}
\]
حيث:
- \(L\) هو طول الأنبوب بالمتر،
- \(\lambda_1\) هو الطول الموجي للتردد الأساسي بالمتر.
وبإعادة الترتيب،
\[
\lambda_1 = 2L
\]
معادلة السرعة لأي موجة هي
\[
v = f\lambda
\]
حيث \(v\) سرعة الصوت بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)، و\(f\) التردد بالهرتز، و\(\lambda\) الطول الموجي بالمتر.
بالنسبة إلى التردد الأساسي،
\[
f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{2L}
\]
إذن، التردد الأساسي لأنبوب مثالي مفتوح عند كلا الطرفين هو
\[
\boxed{f_1 = \frac{v}{2L}}
\]
الأنبوب الأطول له تردد أساسي أقل لأنه يتطلب طولًا موجيًا أكبر. كما أن زيادة سرعة الصوت تؤدي إلى تردد أعلى عند بقاء طول الأنبوب نفسه.
مثال محلول: إيجاد التردد الأساسي
أنبوب مفتوح عند كلا الطرفين وطوله \(0.85\ \text{m}\). سرعة الصوت هي \(340\ \text{m s}^{-1}\). أوجد تردده الأساسي.
الخطوة 1
بالنسبة إلى الأنبوب المفتوح،
\[
\lambda_1 = 2L
\]
عوّض \(L = 0.85\ \text{m}\):
\[
\lambda_1 = 2(0.85) = 1.70\ \text{m}
\]
الخطوة 2
\[
v = f\lambda
\]
إذن
\[
f_1 = \frac{v}{\lambda_1}
\]
عوّض القيم:
\[
f_1 = \frac{340\ \text{m s}^{-1}}{1.70\ \text{m}}
= 200\ \text{Hz}
\]
الخطوة 3
أدنى تردد رنيني للأنبوب هو
\[
\boxed{200\ \text{Hz}}
\]
عند هذا التردد، يتسع عمود الهواء لنصف طول موجي.
03لماذا توجد توافقيات أعلى؟
النمط الأساسي ليس النمط الوحيد الذي يحقق شرط الحد.
لنفترض أننا زدنا التردد. هل يمكننا وضع موجة واقفة أخرى داخل الأنبوب مع الإبقاء على بطن إزاحة عند كلا الطرفين المفتوحين؟
نعم. فبدلًا من أن يتسع الأنبوب لنصف طول موجي واحد، يمكن أن يتسع لنصفَي طول موجي.
ثم ثلاثة.
ثم أربعة.
بوجه عام،
\[
L = n\frac{\lambda_n}{2}
\]
حيث \(n\) عدد صحيح موجب:
\[
n = 1,2,3,4,\ldots
\]
وبإعادة الترتيب،
\[
\lambda_n = \frac{2L}{n}
\]
وباستخدام \(v=f\lambda\)،
\[
f_n = \frac{nv}{2L}
\]
وبما أن
\[
f_1 = \frac{v}{2L}
\]
فيمكننا أيضًا أن نكتب
\[
\boxed{f_n = nf_1}
\]
هذا هو النمط الأساسي للتوافقيات في أنبوب مفتوح عند كلا الطرفين.
| التوافقية | الطول الموجي | التردد |
|---|---|---|
| الأولى، \(n=1\) | \(2L\) | \(f_1\) |
| الثانية، \(n=2\) | \(L\) | \(2f_1\) |
| الثالثة، \(n=3\) | \(\frac{2L}{3}\) | \(3f_1\) |
| الرابعة، \(n=4\) | \(\frac{L}{2}\) | \(4f_1\) |
لذلك يدعم الأنبوب المفتوح المثالي جميع التوافقيات ذات الرتب الصحيحة.
هناك قاعدة مفيدة للعد هنا. بالنسبة إلى التوافقية ذات الرتبة \(n\) في أنبوب مفتوح:
- يتسع الأنبوب لـ \(n\) من أنصاف الأطوال الموجية،
- توجد \(n\) من عقد الإزاحة داخل الأنبوب،
- توجد \(n+1\) من بطون الإزاحة إذا شملنا الطرفين المفتوحين.
04الخطأ المغري: «كلا الطرفين بطنان، إذن لا بد أن يكون ذلك طولًا موجيًا واحدًا»
هذا التوقع مفهوم.
قد تتخيل موجة جيبية وتظن أنه إذا كان الطرفان كليهما بطنين، فلا بد أن تبدأ الموجة من بطن، وتكمل دورة كاملة، ثم تعود إلى بطن من النوع نفسه.
لكن بطني الإزاحة المتجاورين يفصل بينهما نصف طول موجي فقط.
ولا يلزم أن يهتزا في الاتجاه نفسه في اللحظة نفسها. في النمط الأساسي، عندما يُزاح الهواء قرب أحد الطرفين المفتوحين في اتجاه ما، يمكن أن يُزاح الهواء قرب الطرف المفتوح الآخر في الاتجاه المعاكس.
شرط الحد يقول فقط إن كلا الطرفين يجب أن يكونا بطنين. ولا يقول إن هذين البطنين يجب أن يكونا في الطور نفسه.
ولهذا يكون أقصر نمط مسموح به
\[
L=\frac{\lambda}{2}
\]
بدلًا من \(L=\lambda\).
05التوافقيات والنغمات الفوقية ليستا المصطلح نفسه تمامًا
يسبب هذا الاصطلاح أخطاء غير ضرورية.
التوافقية الأولى هي التردد الأساسي.
ولذلك يكون التردد التالي:
- التوافقية الثانية، ولكنه
- النغمة الفوقية الأولى.
بالنسبة إلى أنبوب مفتوح مثالي:
| التردد | اسم التوافقية | اسم النغمة الفوقية |
|---|---|---|
| \(f_1\) | التوافقية الأولى | التردد الأساسي |
| \(2f_1\) | التوافقية الثانية | النغمة الفوقية الأولى |
| \(3f_1\) | التوافقية الثالثة | النغمة الفوقية الثانية |
لذلك، إذا طلب منك سؤال إيجاد «النغمة الفوقية الأولى» لأنبوب مفتوح، فلا تستخدم \(f_1\). المقصود هو \(2f_1\).
مثال محلول: تحديد التوافقية من ترددها
أنبوب طوله \(0.60\ \text{m}\) مفتوح عند كلا الطرفين. سرعة الصوت هي \(340\ \text{m s}^{-1}\). يرن الأنبوب بقوة عند إثارته بتردد \(850\ \text{Hz}\). حدّد التوافقية الناتجة وأوجد طولها الموجي.
الخطوة 1
بالنسبة إلى الأنبوب المفتوح،
\[
f_1 = \frac{v}{2L}
\]
عوّض:
\[
f_1
= \frac{340\ \text{m s}^{-1}}{2(0.60\ \text{m})}
= 283.3\ \text{Hz}
\]
الخطوة 2
تخضع التوافقيات للعلاقة
\[
f_n = nf_1
\]
إذن
\[
n = \frac{f_n}{f_1}
= \frac{850}{283.3}
\approx 3.00
\]
إذن الرنين هو التوافقية الثالثة.
الخطوة 3
يمكننا استخدام \(v=f\lambda\):
\[
\lambda_3
= \frac{v}{f_3}
= \frac{340\ \text{m s}^{-1}}{850\ \text{Hz}}
= 0.400\ \text{m}
\]
ونحصل على النتيجة نفسها من
\[
\lambda_3 = \frac{2L}{3}
= \frac{2(0.60)}{3}
= 0.400\ \text{m}
\]
إذن،
\[
\boxed{n=3,\qquad \lambda_3=0.400\ \text{m}}
\]
تتسع مساحة عمود الهواء البالغ طوله \(0.60\ \text{m}\) لثلاثة أنصاف أطوال موجية.
06طريقة مفيدة للتعرّف على مسألة الأنبوب المفتوح
لا تبدأ بالبحث في ورقة القوانين. اسأل أولًا عما يُسمح للهواء بفعله عند كل حد.
بالنسبة إلى أنبوب مفتوح عند كلا الطرفين:
- كلا الطرفين هما بطنا إزاحة.
- يجب أن يتسع الأنبوب لعدد صحيح من أنصاف الأطوال الموجية.
- لذلك \(L=n\lambda/2\).
- وبالتالي تكون الترددات المسموح بها \(f_n=nv/(2L)\).
- وتكون الترددات \(f_1, 2f_1, 3f_1,\ldots\).
هذا الاستدلال أكثر موثوقية من حفظ صيغة، لأنه يخبرك لماذا تنطبق الصيغة.
07للنموذج المثالي قيد بسيط
في نموذج HSC المبسط، يُفترض أن بطن الإزاحة يقع تمامًا عند الطرف المفتوح للأنبوب.
أما الموجة الصوتية الحقيقية فهي أقل انتظامًا بقليل. فالهواء الموجود خارج الفتحة مباشرة يتحرك أيضًا، ولذلك يتصرف عمود الهواء كما لو كان أطول قليلًا من الأنبوب الفعلي. ويُسمّى هذا التأثير تصحيح الطرف.
ما لم يعطك السؤال معلومات عن تصحيح الطرف، فإن النموذج المثالي المعتاد هو
\[
L = n\frac{\lambda}{2}
\]
لأنبوب مفتوح عند كلا الطرفين.
وهذا مثال جيد على الفرق بين نموذج مفيد والوضع الفيزيائي الكامل. فالنموذج لا يدّعي أن العالم الحقيقي له حدود حادة بطريقة سحرية، بل يحتفظ بالفيزياء المهمة مع جعل نمط الرنين قابلًا للحساب.
08الأسئلة والحلول
السؤال 1
أنبوب مفتوح عند كلا الطرفين وطوله \(0.50\ \text{m}\). اعتبر سرعة الصوت \(340\ \text{m s}^{-1}\).
أوجد ترددات التوافقيات الثلاث الأولى.
الحل 1
ترددات التوافقيات الثلاث الأولى هي \(\boxed{340\ \text{Hz},\ 680\ \text{Hz},\ 1020\ \text{Hz}}\).
بالنسبة إلى الأنبوب المفتوح،
\[
f_1=\frac{v}{2L}
\]
بالتعويض،
\[
f_1
=\frac{340\ \text{m s}^{-1}}{2(0.50\ \text{m})}
=340\ \text{Hz}
\]
جميع التوافقيات ذات الرتب الصحيحة مسموح بها، لذلك
\[
f_n=nf_1
\]
ومن ثم،
\[
\begin{aligned}
f_1 &= 340\ \text{Hz}\\
f_2 &= 2(340)=680\ \text{Hz}\\
f_3 &= 3(340)=1020\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]
النمط المهم هو أن الترددات الرنينية متباعدة بالتساوي بمقدار التردد الأساسي، \(340\ \text{Hz}\).
السؤال 2
أنبوب مجهول مفتوح عند كلا الطرفين. قيس ترددان رنينيان متتاليان فكانا \(510\ \text{Hz}\) و\(680\ \text{Hz}\). سرعة الصوت هي \(340\ \text{m s}^{-1}\).
حدّد التردد الأساسي، وطول الأنبوب، ورتبتي التوافقيتين للرنينين المقاسين.
الحل 2
التردد الأساسي هو \(\boxed{170\ \text{Hz}}\)، وطول الأنبوب هو \(\boxed{1.00\ \text{m}}\)، والرنينان المقاسان هما التوافقية الثالثة والتوافقية الرابعة.
بالنسبة إلى الأنبوب المفتوح،
\[
f_n=nf_1
\]
لذلك يختلف ترددا توافقَيتين متتاليتين بمقدار \(f_1\) تمامًا.
إذن،
\[
f_1=680-510=170\ \text{Hz}
\]
الآن استخدم
\[
f_1=\frac{v}{2L}
\]
وأعد ترتيبها:
\[
L=\frac{v}{2f_1}
\]
عوّض:
\[
L
=\frac{340\ \text{m s}^{-1}}{2(170\ \text{Hz})}
=1.00\ \text{m}
\]
وأخيرًا،
\[
\frac{510}{170}=3
\]
و
\[
\frac{680}{170}=4
\]
إذن \(510\ \text{Hz}\) هو التوافقية الثالثة، و\(680\ \text{Hz}\) هو التوافقية الرابعة.
الفخ هنا هو افتراض أن الترددين المقاسين لا بد أن يكونا التوافقية الأولى والثانية. كلمة متتاليان تخبرنا فقط بأن رتبتيهما التوافقيتين تختلفان بمقدار واحد.
السؤال 3
يرسم طالب نمط موجة واقفة للإزاحة لأنبوب مفتوح عند كلا الطرفين. يحتوي الرسم على بطون إزاحة عند الطرفين وفي مركز الأنبوب، وعقد إزاحة في منتصف المسافة بين المركز وكل طرف.
يقول الطالب: «هناك ثلاثة بطون، إذن لا بد أن تكون هذه التوافقية الثالثة».
هل الطالب محق؟ حدّد التوافقية وبرر إجابتك باستخدام الطول الموجي.
الحل 3
الطالب غير محق. النمط هو \(\boxed{\text{التوافقية الثانية}}\).
عدّ أنصاف الأطوال الموجية، لا البطون.
من بطن الطرف الأيسر إلى بطن المركز يوجد نصف طول موجي:
\[
\frac{\lambda}{2}
\]
ومن بطن المركز إلى بطن الطرف الأيمن يوجد نصف طول موجي آخر.
إذن يحتوي الأنبوب كله على
\[
2\left(\frac{\lambda}{2}\right)=\lambda
\]
وبالتالي،
\[
L=\lambda
\]
بالنسبة إلى الأنبوب المفتوح،
\[
L=n\frac{\lambda}{2}
\]
بالتعويض بـ \(L=\lambda\)،
\[
\lambda=n\frac{\lambda}{2}
\]
ومنها
\[
n=2
\]
ينشأ التصور الخاطئ من عدّ الملامح الظاهرة بدلًا من السؤال عن مقدار الطول الموجي الذي يتسع له الأنبوب. تظهر ثلاثة بطون إزاحة في التوافقية الثانية لأن الطرفين محسوبان ضمنها.
السؤال 4
أنبوب طوله \(0.75\ \text{m}\) ومفتوح عند كلا الطرفين، يُثار بواسطة مكبر صوت بتردد ثابت مقداره \(680\ \text{Hz}\). في البداية، تكون سرعة الصوت في الهواء \(340\ \text{m s}^{-1}\).
ثم يُسخّن الهواء بحيث تصبح سرعة الصوت \(350\ \text{m s}^{-1}\)، بينما يظل طول الأنبوب وتردد مكبر الصوت دون تغيير.
حدّد ما إذا كان \(680\ \text{Hz}\) يمثل رنينًا دقيقًا قبل التسخين وبعده. واشرح لماذا لا يستطيع الأنبوب ببساطة الانتقال إلى توافقية قريبة بعد التسخين.
الحل 4
يمثل الصوت ذو التردد \(680\ \text{Hz}\) في البداية رنينًا دقيقًا للتوافقية الثالثة، لكنه بعد التسخين يصبح \(\boxed{\text{ليس رنينًا دقيقًا}}\).
قبل التسخين، تكون رتبة التوافقية المطلوبة
\[
n=\frac{2Lf}{v}
\]
بالتعويض بـ \(L=0.75\ \text{m}\)، و\(f=680\ \text{Hz}\)، و\(v=340\ \text{m s}^{-1}\):
\[
n
=\frac{2(0.75\ \text{m})(680\ \text{Hz})}{340\ \text{m s}^{-1}}
=3
\]
بما أن \(n\) عدد صحيح، فإن شروط الحدود متحققة. والصوت هو التوافقية الثالثة.
بعد التسخين،
\[
n
=\frac{2(0.75\ \text{m})(680\ \text{Hz})}{350\ \text{m s}^{-1}}
\approx 2.91
\]
يتطلب الأنبوب المفتوح
\[
n=1,2,3,\ldots
\]
لأن عددًا صحيحًا من أنصاف الأطوال الموجية يجب أن يتسع بين الطرفين المفتوحين. والقيمة \(2.91\) لا تحقق هذا الشرط، لذلك لم يعد \(680\ \text{Hz}\) ترددًا رنينيًا دقيقًا.
لا يستطيع الأنبوب ببساطة أن «يختار» توافقية \(n=2.91\). رتبة التوافقية ليست كمية يمكن تعديلها بصورة مستمرة. يجب أن يحقق كل نمط مسموح به شرطي الحد معًا.
أدى تسخين الهواء إلى زيادة \(v\)، ولذلك تزداد جميع الترددات الرنينية للأنبوب وفقًا للعلاقة
\[
f_n=\frac{nv}{2L}
\]
فعلى سبيل المثال، يصبح تردد التوافقية الثالثة الجديد
\[
f_3
=\frac{3(350\ \text{m s}^{-1})}{2(0.75\ \text{m})}
=700\ \text{Hz}
\]
إذن انتقل رنين التوافقية الثالثة من \(680\ \text{Hz}\) إلى \(700\ \text{Hz}\).
الخطوة المفيدة التالية هي مقارنة هذا النمط للأنبوب المفتوح عند الطرفين بأنبوب مغلق عند أحد الطرفين. إن تغيير شرط حد واحد فقط يغيّر الأطوال الموجية التي يمكن أن تتسع داخل الأنبوب، ولهذا يكون للأنبوب المغلق تسلسل توافقيات مختلف جدًا.