درجة الحرارة ومتوسط طاقة الحركة في فيزياء HSC
افهم لماذا تقيس درجة الحرارة متوسط طاقة حركة الجسيمات، لا الطاقة الحرارية الكلية. يتضمن الشرح أمثلة محلولة ومفاهيم خاطئة شائعة وتدريبات بأسلوب HSC.
يبدو كوبٌ من الماء عند \(80^\circ\text{C}\) أكثر سخونة بكثير من مسبح عند \(25^\circ\text{C}\). ولكن أيّهما يحتوي على طاقة حرارية أكبر؟
قد يكون حدسك الأول هو الكوب لأن درجة حرارته أعلى. لكن هذا التوقع يخلط بين فكرتين مختلفتين. تخبرنا درجة الحرارة عن متوسط طاقة الجسيمات. أما الطاقة الحرارية الكلية فتعتمد على مقدار الطاقة التي تمتلكها جميع الجسيمات مجتمعة. لذلك يمكن لعدد هائل من الجسيمات ذات الطاقة المتوسطة أن يحتوي على طاقة أكبر من عدد صغير من الجسيمات عالية الطاقة.
هذا التمييز هو مفتاح استخدام نموذج الجسيمات بصورة صحيحة.
01ابدأ بالجسيمات
تخيّل صندوقين محكمَي الإغلاق يحتويان على الغاز نفسه.
يحتوي الصندوق A على 100 جسيم. ويحتوي الصندوق B على 1,000 جسيم. افترض أن الجسيمات في كلا الصندوقين لها متوسط طاقة الحركة نفسه.
أي الصندوقين درجة حرارته أعلى؟
لا أحد منهما. درجتا حرارتهما متساويتان لأن جسيماتهما لها متوسط طاقة الحركة نفسه.
أي الصندوقين لديه طاقة أكبر مرتبطة بحركة جميع جسيماته؟
الصندوق B. فهو يحتوي على عشرة أضعاف عدد الجسيمات التي تسهم بالطاقة.
وهذا يعطينا أول نموذج ذهني مفيد:
- ترتبط درجة الحرارة بمتوسط طاقة الحركة لكل جسيم
- تعتمد الطاقة الكلية على كلٍّ من الطاقة لكل جسيم وعدد الجسيمات
فكّر في مجموعة تحصل على درجات في اختبار. تشبه درجة الحرارة إلى حد ما متوسط الدرجات. أما الطاقة الكلية فتشبه أكثر مجموع درجات الجميع. فصف يضم 100 طالب بمتوسط 70 لديه مجموع أكبر بكثير من صف يضم 10 طلاب بمتوسط 90، رغم أن الصف الأصغر لديه المتوسط الأعلى.
لكن هذا التشبيه له حدود، لأن الطاقة كمية فيزيائية يمكن أن تنتقل بين الأنظمة، بينما درجات الاختبارات لا تنتقل بهذه الطريقة بالطبع. والجزء المفيد من التشبيه هو فقط التمييز بين المتوسط والمجموع الكلي.
02ما الذي تقيسه درجة الحرارة فعليًا؟
تتحرك الجسيمات في المادة دائمًا بطريقة ما.
في الغاز، تتحرك الجسيمات عبر الفراغ في اتجاهات تتغير باستمرار. وفي المادة الصلبة، تهتز الذرات حول مواضع ثابتة تقريبًا. أما السوائل فتقع بين هاتين الصورتين، إذ تتحرك الجسيمات وتعيد ترتيب نفسها مع بقائها متقاربة.
طاقة الحركة لجسيم واحد هي
\[
E_k = \frac{1}{2}mv^2
\]
حيث:
- \(E_k\) هي طاقة الحركة بوحدة الجول (J)
- \(m\) هي كتلة الجسيم بالكيلوغرام (kg)
- \(v\) هي سرعة الجسيم بالمتر لكل ثانية (m s\(^{-1}\))
لا تتحرك جميع جسيمات المادة بالسرعة نفسها. ففي أي لحظة، تتحرك بعض الجسيمات بسرعة أكبر وبعضها بسرعة أبطأ.
لذلك لا تخبرنا درجة الحرارة بطاقة الحركة لجسيم معين. بل ترتبط بـ متوسط طاقة حركة الجسيمات.
وبالنسبة إلى غاز مثالي أحادي الذرة، يمكن كتابة هذه العلاقة بدقة على الصورة
\[
\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}k_B T
\]
حيث:
- \(\langle E_k \rangle\) هو متوسط طاقة الحركة الانتقالية لكل جسيم بوحدة الجول
- \(k_B\) هو ثابت بولتزمان، \(1.38 \times 10^{-23}\text{ J K}^{-1}\)
- \(T\) هي درجة الحرارة المطلقة بالكلفن (K)
لاحظ أمرًا مهمًا: لا يظهر عدد الجسيمات في هذه المعادلة.
وهذا يعني أن مضاعفة كمية الغاز مع إبقاء درجة حرارته ثابتة لا تزيد متوسط طاقة الحركة لكل جسيم. بل يصبح لديك ببساطة ضعف عدد الجسيمات، مع بقاء متوسط طاقة الحركة نفسه.
03لماذا يجب أن تكون درجة الحرارة بالكلفن؟
افترض أن غازًا ارتفعت درجة حرارته من \(20^\circ\text{C}\) إلى \(40^\circ\text{C}\).
هل تضاعف متوسط طاقة حركته؟
قد يبدو من المغري أن تقول نعم لأن 40 تساوي ضعف 20. لكن مقياس سلسيوس لا يبدأ من حالة تكون فيها طاقة الحركة صفرًا.
حوّل إلى الكلفن:
\[
20^\circ\text{C} = 293\text{ K}
\]
\[
40^\circ\text{C} = 313\text{ K}
\]
بالنسبة إلى الغاز المثالي، يتناسب متوسط طاقة الحركة الانتقالية طرديًا مع درجة الحرارة المطلقة، لذا تكون النسبة
\[
\frac{313}{293} \approx 1.068
\]
ازداد متوسط طاقة الحركة بنحو \(6.8\%\)، وليس \(100\%\).
ولهذا تتطلب المعادلات التي تتضمن طاقة حركة الجسيمات استخدام درجة الحرارة بالكلفن.
مثال محلول: متوسط طاقة حركة جسيم غاز
يوجد غاز مثالي أحادي الذرة عند \(300\text{ K}\). احسب متوسط طاقة الحركة الانتقالية لجسيم غاز واحد.
الخطوة 1
\[
\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}k_B T
\]
الخطوة 2
\[
\begin{aligned}
\langle E_k \rangle
&= \frac{3}{2}(1.38 \times 10^{-23})(300) \\
&= 6.21 \times 10^{-21}\text{ J}
\end{aligned}
\]
الخطوة 3
لا يمتلك كل جسيم من جسيمات الغاز بالضبط \(6.21 \times 10^{-21}\text{ J}\) من طاقة الحركة. فبعض الجسيمات يمتلك أكثر وبعضها أقل. تمثل هذه القيمة متوسط طاقة الحركة الانتقالية لكل جسيم.
04درجة الحرارة ليست الطاقة الحرارية الكلية
تخيّل الآن إبقاء ذلك الغاز عند \(300\text{ K}\) مع مضاعفة عدد الجسيمات.
يبقى متوسط طاقة الحركة لكل جسيم
\[
6.21 \times 10^{-21}\text{ J}
\]
ولذلك تبقى درجة الحرارة كما هي.
لكن أصبح هناك الآن ضعف عدد الجسيمات التي تحمل طاقة حركة. لذا تتضاعف طاقة الحركة الانتقالية الكلية.
بالنسبة إلى \(N\) من جسيمات غاز مثالي أحادي الذرة،
\[
E_{k,\text{total}} = N\langle E_k\rangle
\]
ومن ثم
\[
E_{k,\text{total}} = \frac{3}{2}Nk_BT
\]
وباستخدام \(N = nN_A\)، حيث \(n\) هي كمية الغاز بالمولات و\(N_A\) هو ثابت أفوجادرو، يمكننا أيضًا أن نكتب
\[
E_{k,\text{total}} = \frac{3}{2}nRT
\]
حيث:
- \(n\) هي كمية الغاز بالمولات (mol)
- \(R\) هو ثابت الغاز العام، \(8.31\text{ J mol}^{-1}\text{ K}^{-1}\)
- \(T\) هي درجة الحرارة المطلقة بالكلفن
توضح هذه المعادلة التمييز بوضوح.
يعتمد متوسط الطاقة لكل جسيم على \(T\).
أما طاقة الحركة الانتقالية الكلية فتعتمد على كلٍّ من \(n\) و\(T\).
مثال محلول: غاز أسخن في مقابل كمية غاز أكبر
تحتوي العينة A على \(0.20\text{ mol}\) من غاز مثالي أحادي الذرة عند \(600\text{ K}\). وتحتوي العينة B على \(0.50\text{ mol}\) من الغاز نفسه عند \(300\text{ K}\).
أي العينتين لها درجة الحرارة الأعلى، وأيهما لها طاقة الحركة الانتقالية الكلية الأكبر؟
الخطوة 1
العينة A عند \(600\text{ K}\)، بينما العينة B عند \(300\text{ K}\).
لذلك تمتلك الجسيمات في A متوسط طاقة حركة أكبر.
وفي الواقع،
\[
\frac{\langle E_k\rangle_A}{\langle E_k\rangle_B}
=
\frac{600}{300}
=
2
\]
متوسط طاقة الحركة الانتقالية لكل جسيم في A يساوي ضعف قيمته في B.
الخطوة 2
\[
\begin{aligned}
E_{k,A}
&= \frac{3}{2}nRT \\
&= \frac{3}{2}(0.20)(8.31)(600) \\
&= 1.50 \times 10^3\text{ J}
\end{aligned}
\]
الخطوة 3
\[
\begin{aligned}
E_{k,B}
&= \frac{3}{2}(0.50)(8.31)(300) \\
&= 1.87 \times 10^3\text{ J}
\end{aligned}
\]
الخطوة 4
العينة A أسخن، ولذلك يمتلك كل جسيم فيها طاقة حركة أكبر في المتوسط.
لكن العينة B تحتوي على عدد أكبر من الجسيمات. وهذا العدد الأكبر يعوّض بأكثر من الكفاية انخفاض متوسط طاقة الحركة، لذلك تمتلك B طاقة الحركة الانتقالية الكلية الأكبر.
وهذا تحديدًا هو السبب في أن كون جسم ما «أسخن» لا يعني تلقائيًا أنه «يحتوي على طاقة أكبر».
05مزيد من الدقة: الطاقة الداخلية تشمل أكثر من حركة الجسيمات
حتى الآن، استخدمنا عمدًا غازًا مثاليًا أحادي الذرة لأنه يوفر لنا نموذجًا بالغ البساطة والوضوح. ويمكن التعامل مع طاقته الداخلية على أنها طاقة الحركة الانتقالية لجسيماته.
أما المواد الحقيقية فقد تكون أكثر تعقيدًا.
يمكن للجسيمات أن تخزن الطاقة من خلال:
- الحركة الانتقالية
- الحركة الدورانية
- الاهتزازات
- التفاعلات بين الجسيمات
والكمية الأدق هي الطاقة الداخلية، وهي الطاقة المجهرية المخزنة داخل النظام نتيجة حركة الجسيمات والتفاعلات بينها.
فعلى سبيل المثال، تجذب الجسيمات في السائل الجسيمات القريبة منها. ويمكن أن يؤدي تغيير المسافة بينها إلى تغيير طاقة الوضع إلى جانب طاقة الحركة.
ويصبح هذا مهمًا بوجه خاص أثناء تغير الحالة.
فكّر في ذوبان الجليد عند درجة حرارة ثابتة. تدخل الطاقة إلى نظام الجليد والماء، ولكن يمكن أن تبقى درجة الحرارة ثابتة أثناء حدوث الانصهار.
هل يعني ذلك أن الطاقة المنتقلة اختفت؟
لا. فالطاقة تغيّر الترتيب المجهري للجسيمات وتفاعلاتها بدلًا من زيادة متوسط طاقة حركتها.
ولهذا فإن العبارة «إضافة الطاقة ترفع درجة الحرارة دائمًا» غير صحيحة.
06الفكرة الخاطئة التي يجب تجنبها
يرى طالب هذين الجسمين:
- شرارة عند \(1200^\circ\text{C}\)
- حوض استحمام كبير مملوء بالماء عند \(40^\circ\text{C}\)
فيستنتج أن الشرارة لا بد أن تحتوي على طاقة حرارية أكبر لأن \(1200^\circ\text{C}\) أعلى بكثير.
يبدو هذا الاستدلال منطقيًا لأن درجة الحرارة تخبرنا بشيء حقيقي عن طاقة الجسيمات. لكن الخطأ هو التعامل مع متوسط كما لو كان مجموعًا كليًا.
تحتوي الشرارة على كمية ضئيلة جدًا من المادة. أما حوض الاستحمام فيحتوي على عدد هائل من الجسيمات.
لذلك لا تكفي درجة الحرارة وحدها لمقارنة الطاقات الداخلية الكلية لنظامين مختلفين.
وهناك تعقيد آخر أيضًا. فإذا اختلفت المواد، فقد تختلف بنيتها المجهرية والآليات التي تخزن بها الطاقة. لذلك لا يمكنك عمومًا تحديد الطاقة الداخلية الكلية من درجة الحرارة والكتلة وحدهما من دون معرفة شيء عن المادة وحالتها.
قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار هي:
| السؤال | الكمية التي ينبغي التفكير فيها |
|---|---|
| ما مقدار طاقة الحركة العشوائية لجسيم نموذجي؟ | درجة الحرارة |
| أي غاز مثالي لديه متوسط طاقة حركة انتقالية أكبر؟ | قارن درجات الحرارة المطلقة |
| ما مقدار الطاقة المجهرية المخزنة في النظام بأكمله؟ | الطاقة الداخلية |
| هل تؤدي إضافة مزيد من الجسيمات عند درجة الحرارة نفسها إلى زيادة متوسط طاقة الحركة؟ | لا |
| هل تؤدي إضافة مزيد من الجسيمات عند درجة الحرارة نفسها عادةً إلى زيادة الطاقة الداخلية الكلية؟ | نعم، إذا كانت المادة المضافة في الحالة نفسها وتحت ظروف قابلة للمقارنة |
| هل يؤدي انتقال الطاقة دائمًا إلى زيادة درجة الحرارة؟ | لا، وخصوصًا أثناء تغيرات الحالة |
07أسئلة وحلول
السؤال 1
عينتان من الغاز المثالي الأحادي الذرة نفسه كلتاهما عند \(350\text{ K}\). تحتوي العينة X على \(0.10\text{ mol}\)، بينما تحتوي العينة Y على \(0.30\text{ mol}\).
قارن بين متوسط طاقة الحركة الانتقالية لكل جسيم في العينتين وبين طاقة الحركة الانتقالية الكلية لكل منهما.
الحل 1
للجسيمات متوسط طاقة الحركة الانتقالية نفسه، لكن العينة Y تمتلك ثلاثة أضعاف طاقة الحركة الانتقالية الكلية.
يعتمد متوسط طاقة الحركة فقط على درجة الحرارة المطلقة:
\[
\langle E_k\rangle = \frac{3}{2}k_BT
\]
كلتا العينتين عند \(350\text{ K}\)، لذا فإن متوسط طاقة حركة الجسيمات متساوٍ فيهما.
أما بالنسبة إلى طاقة الحركة الكلية،
\[
E_{k,\text{total}} = \frac{3}{2}nRT
\]
كلتا العينتين لهما \(T\) نفسها، لذا تتناسب الطاقة الكلية طرديًا مع كمية المادة \(n\):
\[
\frac{E_Y}{E_X}
=
\frac{0.30}{0.10}
=
3
\]
لذلك تحتوي العينة Y على ثلاثة أضعاف طاقة الحركة الانتقالية الكلية.
الخطأ الشائع هو الاعتقاد بأن وجود جسيمات ذات طاقة أكبر يعني أن درجة الحرارة أعلى. في هذه الحالة، الجسيمات ليست أعلى طاقة في المتوسط. بل يوجد عدد أكبر منها ببساطة.
السؤال 2
يُسخَّن غاز مثالي أحادي الذرة من \(27^\circ\text{C}\) إلى \(127^\circ\text{C}\) من دون تغيير عدد الجسيمات.
احسب العامل الذي يتغير به متوسط طاقة الحركة الانتقالية.
الحل 2
يزداد متوسط طاقة الحركة الانتقالية بمعامل يقارب \(1.33\)، وليس بنسبة \(127/27\).
تتطلب علاقة طاقة الحركة استخدام درجة الحرارة المطلقة.
حوّل درجتي الحرارة إلى الكلفن:
\[
\begin{aligned}
T_1 &= 27 + 273 = 300\text{ K} \\
T_2 &= 127 + 273 = 400\text{ K}
\end{aligned}
\]
لأن
\[
\langle E_k\rangle \propto T
\]
فإن النسبة هي
\[
\frac{\langle E_k\rangle_2}{\langle E_k\rangle_1}
=
\frac{400}{300}
=
1.33
\]
إذن يصبح متوسط طاقة الحركة الانتقالية نحو \(1.33\) من قيمته الأصلية، أي بزيادة تقارب \(33\%\).
والخطأ المغري هو استخدام قيم سلسيوس في النسبة. فصفر سلسيوس لا يمثل انعدام طاقة حركة الجسيمات، ولذلك لا يمكن استخدامه مباشرة في علاقة التناسب هذه.
السؤال 3
تحتوي الحاوية P على \(0.40\text{ mol}\) من غاز مثالي أحادي الذرة عند \(250\text{ K}\). وتحتوي الحاوية Q على \(0.15\text{ mol}\) من الغاز نفسه عند \(500\text{ K}\).
حدّد:
- أي الغازين لديه متوسط طاقة الحركة الانتقالية الأكبر لكل جسيم
- أي الغازين لديه طاقة الحركة الانتقالية الكلية الأكبر
الحل 3
يمتلك الغاز Q متوسط طاقة الحركة الأكبر لكل جسيم، لكن الغاز P يمتلك طاقة الحركة الانتقالية الكلية الأكبر.
بالنسبة إلى الجزء 1، يتناسب متوسط طاقة الحركة طرديًا مع درجة الحرارة المطلقة:
\[
\frac{\langle E_k\rangle_Q}{\langle E_k\rangle_P}
=
\frac{500}{250}
=
2
\]
إذن تمتلك الجسيمات في Q ضعف متوسط طاقة الحركة الانتقالية.
بالنسبة إلى الجزء 2، استخدم
\[
E_{k,\text{total}} = \frac{3}{2}nRT
\]
بالنسبة إلى P:
\[
\begin{aligned}
E_P
&= \frac{3}{2}(0.40)(8.31)(250) \\
&= 1.25 \times 10^3\text{ J}
\end{aligned}
\]
بالنسبة إلى Q:
\[
\begin{aligned}
E_Q
&= \frac{3}{2}(0.15)(8.31)(500) \\
&= 9.35 \times 10^2\text{ J}
\end{aligned}
\]
لذلك،
\[
E_P > E_Q
\]
على الرغم من أن Q تبلغ درجة حرارته ضعف درجة حرارة P على مقياس الحرارة المطلقة، فإن P يحتوي على عدد إضافي كافٍ من الجسيمات ليمنحه طاقة حركة كلية أكبر.
الخطأ هو مقارنة درجة الحرارة أولًا والتوقف عند ذلك. تحدد درجة الحرارة المتوسط، بينما تعتمد الطاقة الكلية أيضًا على كمية الغاز.
السؤال 4
يقدم طالب الحجة الآتية:
“الجسم A والجسم B مصنوعان من المادة نفسها. درجة حرارة A أعلى، لذلك لا بد أن تكون طاقته الداخلية أكبر.”
اذكر شرطًا واحدًا يكون فيه هذا الاستنتاج معقولًا، ثم اشرح لماذا لا تكون العبارة صحيحة بوجه عام.
الحل 4
يكون الاستنتاج معقولًا إذا كان الجسمان يحتويان على الكمية نفسها من المادة نفسها وفي الحالة الفيزيائية نفسها وتحت ظروف قابلة للمقارنة، لكن درجة الحرارة وحدها لا تحدد الطاقة الداخلية الكلية.
إذا كانت لعينتين الكتلة والتركيب والحالة نفسها، فإن ارتفاع درجة الحرارة سيقابل عمومًا طاقة داخلية أكبر لأن الجسيمات المجهرية تمتلك متوسط طاقة أكبر.
لكن العبارة الأصلية لا تقول إن الجسمين يحتويان على الكمية نفسها من المادة.
قد تكون لعينة صغيرة وساخنة طاقة داخلية كلية أقل من عينة أكبر بكثير وأبرد. الطاقة الداخلية كمية امتدادية، أي إنها تعتمد على كمية المادة الموجودة.
أما درجة الحرارة فهي كمية مكثفة. فهي لا تزداد لمجرد إضافة المزيد من المادة نفسها.
لذلك تخلط حجة الطالب بين خاصية تصف الحالة المجهرية المتوسطة وكمية تصف طاقة النظام بأكمله.
السؤال 5
تحتوي حاويتان محكمتا الإغلاق على غازات مثالية أحادية الذرة.
تحتوي الحاوية A على \(N\) جسيم عند درجة حرارة \(T\).
وتحتوي الحاوية B على \(2N\) جسيم عند درجة حرارة \(T/2\).
يدّعي طالب: «تحتوي الحاوية A على طاقة حركة انتقالية كلية أكبر لأن جسيماتها تمتلك متوسط طاقة حركة أكبر».
قيّم هذا الادعاء من دون التعويض بقيم عددية.
الحل 5
الادعاء غير صحيح. فالحاويتان لهما طاقة الحركة الانتقالية الكلية نفسها، رغم أن الجسيمات في A تمتلك ضعف متوسط طاقة الحركة.
بالنسبة إلى جسيم واحد،
\[
\langle E_k\rangle = \frac{3}{2}k_BT
\]
إذن بالنسبة إلى A،
\[
\langle E_k\rangle_A = \frac{3}{2}k_BT
\]
وبالنسبة إلى B،
\[
\begin{aligned}
\langle E_k\rangle_B
&= \frac{3}{2}k_B\left(\frac{T}{2}\right) \\
&= \frac{1}{2}\langle E_k\rangle_A
\end{aligned}
\]
إذن تمتلك A متوسط طاقة حركة أكبر لكل جسيم.
لكن طاقة الحركة الانتقالية الكلية هي
\[
E_{k,\text{total}} = \frac{3}{2}Nk_BT
\]
بالنسبة إلى A:
\[
E_A = \frac{3}{2}Nk_BT
\]
وبالنسبة إلى B:
\[
\begin{aligned}
E_B
&= \frac{3}{2}(2N)k_B\left(\frac{T}{2}\right) \\
&= \frac{3}{2}Nk_BT
\end{aligned}
\]
لذلك،
\[
E_A = E_B
\]
تحتوي الحاوية B على ضعف عدد الجسيمات، لكن لكل جسيم نصف متوسط طاقة الحركة. ويلغي هذان التأثيران بعضهما بعضًا تمامًا.
وهذا هو السبب الأعمق في أنه لا يمكن استخدام درجة الحرارة وحدها لمقارنة الطاقة الكلية للأنظمة.
08ما الذي يساعدك هذا التمييز على فهمه لاحقًا؟
بمجرد أن تفصل بين متوسط طاقة الجسيمات والطاقة الداخلية الكلية، يصبح تنظيم العديد من أفكار الفيزياء الحرارية اللاحقة أسهل بكثير.
يمكن أن يؤدي تسخين مادة إلى زيادة متوسط طاقة حركة الجسيمات، وبالتالي زيادة درجة الحرارة. لكن يمكن للطاقة أيضًا أن تغيّر ترتيب الجسيمات وطاقات وضعها، وخصوصًا أثناء تغيرات الحالة. كما تعتمد كمية الطاقة المطلوبة على مقدار المادة الموجودة وعلى المادة نفسها.
وهذا يمهّد للتمييز المفيد التالي: تغير درجة الحرارة نتيجة يمكن ملاحظتها، أما الحرارة فهي طاقة تنتقل بسبب فرق في درجة الحرارة. إن إبقاء هذه الأفكار منفصلة يمنع كثيرًا من الأخطاء نفسها التي تنتج عن التعامل مع درجة الحرارة كما لو كانت ببساطة «مقدار الطاقة الحرارية التي يمتلكها شيء ما».