تأثير دوبلر: تغيّرات التردد في فيزياء HSC

تمرّ بك سيارة إسعاف وصفارتها تعمل. قبل أن تصل إليك مباشرةً، تكون حدة الصوت مرتفعة. وبعد أن تتجاوزك مباشرةً، تنخفض الحدة فجأة. لم يتغير إعداد الصفارة، فما الذي تغير إذن؟

قبل متابعة القراءة، توقّع الإجابة: هل ينتقل الصوت نفسه بسرعة أكبر بينما تقترب منك سيارة الإسعاف؟

لا. في الهواء الساكن، تتحدد سرعة الصوت أساسًا بخصائص الهواء، لا بسرعة حركة المصدر. ما تغيّره سيارة الإسعاف هو شيء آخر: المسافة بين الموجات ومعدل وصولها. وهذا التغير في التردد المرصود هو تأثير دوبلر.

01ابدأ بجبهات الموجة، لا بالصيغة

تخيّل مكبر صوت ساكنًا يصدر نغمة ثابتة. تُنشئ كل دورة تضاغطًا جديدًا في الهواء. وتنتقل هذه التضاغطات إلى الخارج بسرعة الصوت.

إذا أصدر مكبر الصوت \(500\) دورة كل ثانية، فإن تردده يساوي \(500\ \text{Hz}\). والزمن بين دورتين متتاليتين هو الزمن الدوري:

\[
T = \frac{1}{f}
\]

حيث:

• \(T\) هو الزمن الدوري بالثواني،
• \(f\) هو التردد بالهرتز (\(\text{Hz}\)).

أثناء إنتاج دورة واحدة، تتحرك جبهة الموجة السابقة مسافة معينة خلال الهواء. وهذا يعطينا الطول الموجي:

\[
v = f\lambda
\]

حيث:

• \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(f\) هو التردد بوحدة \(\text{Hz}\)،
• \(\lambda\) هو الطول الموجي بالأمتار.

عندما يكون كل من المصدر والراصد ساكنًا، لا يحدث شيء غير معتاد. يستقبل الراصد جبهات الموجة بالمعدل نفسه الذي ينتجها به المصدر.

والآن حرّك المصدر أو الراصد. تبدو الحالتان متشابهتين، لكنهما من الناحية الفيزيائية ليستا متطابقتين تمامًا.

02عندما يتحرك الراصد

افترض أن مكبر الصوت يظل ساكنًا، لكنك تركض نحوه.

لا يتغير الطول الموجي في الهواء. فالمصدر ما زال ينتج النمط نفسه من جبهات الموجة في المواقع نفسها. بدلًا من ذلك، أنت تتحرك نحو جبهات الموجة القادمة، لذلك تلتقي بها بمعدل أكبر.

تخيّل أنك تمشي نحو صف من الأشخاص يقف كل منهم على بُعد متر واحد من الآخر. لا تتغير المسافة بين الأشخاص لمجرد أنك تمشي. كل ما يحدث هو أنك تمر بعدد أكبر منهم في كل ثانية.

وبالطبع، جبهات الموجة الصوتية ليست أشخاصًا ساكنين. إنها اضطرابات متحركة في وسط. يفيد هذا التشبيه فقط في توضيح كيف يمكن للراصد أن يغيّر معدل التقائه بالجبهات من دون أن يغيّر الطول الموجي الموجود بالفعل في الهواء.

إذا تحرك الراصد نحو المصدر بسرعة \(v_o\)، فإن جبهات الموجة تقترب من الراصد بمعدل فعّال يعتمد على \(v + v_o\).

وبما أن

\[
f_{\text{obs}} = \frac{\text{سرعة التقاء الراصد بجبهات الموجة}}{\text{الطول الموجي}},
\]

فإننا نحصل على

\[
f_{\text{obs}}
= \frac{v+v_o}{\lambda}
= f_s\frac{v+v_o}{v}
\]

حيث:

• \(f_{\text{obs}}\) هو التردد المرصود،
• \(f_s\) هو التردد الذي يصدره المصدر،
• \(v\) هي سرعة الصوت خلال الوسط،
• \(v_o\) هي سرعة الراصد في اتجاه المصدر.

إذا تحرك الراصد مبتعدًا عن المصدر، فإن \(v_o\) تكون سالبة. يلتقي الراصد بعدد أقل من جبهات الموجة في كل ثانية، ولذلك ينخفض التردد المرصود.

03عندما يتحرك المصدر

أبقِ الراصد ساكنًا الآن وحرّك المصدر نحوه.

يحدث هذه المرة شيء مختلف. ينتج المصدر جبهة موجية واحدة، ثم يتحرك إلى الأمام قبل أن ينتج الجبهة التالية. وهذا يجعل جبهات الموجة المتتالية أقرب إلى بعضها أمام المصدر.

افترض أن الزمن الدوري للمصدر هو \(T\). خلال زمن دوري واحد:

• تقطع جبهة الموجة الأولى مسافة \(vT\)،
• يتحرك المصدر إلى الأمام مسافة \(v_sT\).

إذن تكون المسافة بين جبهتي موجة متتاليتين أمام المصدر

\[
\lambda’ = vT-v_sT
\]

وبأخذ العامل المشترك نحصل على

\[
\lambda’ = (v-v_s)T
\]

وبما أن \(T=1/f_s\)،

\[
\lambda’ = \frac{v-v_s}{f_s}
\]

الراصد ساكن، ولذلك تمر به جبهات الموجة بسرعة \(v\). إذن،

\[
f_{\text{obs}}
= \frac{v}{\lambda’}
= f_s\frac{v}{v-v_s}
\]

عندما يقترب المصدر، تصبح \(v-v_s\) أصغر. وهذا يجعل التردد المرصود أكبر.

أما إذا تحرك المصدر مبتعدًا، فنتعامل مع \(v_s\) على أنها سالبة. يصبح المقام أكبر، وينخفض التردد المرصود.

04جمع حركة المصدر والراصد معًا

إذا تحرك كل من المصدر والراصد على الخط الواصل بينهما، فإننا نجمع التأثيرين:

\[
\boxed{
f_{\text{obs}}
=
f_s
\frac{v+v_o}{v-v_s}
}
\]

استخدم اصطلاح الإشارات الآتي:

لا تحدد الإشارات باستخدام «اليسار» و«اليمين». حدّدها باستخدام نحو وبعيدًا عن.

وهذا أكثر أمانًا عندما يكون اتجاه الرسم معكوسًا.

05لماذا لا تكفي «السرعة النسبية»؟

هناك فكرة مغرية جدًا تقول:

إذا كان المصدر والراصد يقتربان من بعضهما بسرعة \(20\ \text{m s}^{-1}\)، فلا ينبغي أن يهم أيّهما هو المتحرك.

تبدو هذه الفكرة منطقية. لكنها ليست صحيحة تمامًا بالنسبة إلى الصوت.

افترض أن \(v=340\ \text{m s}^{-1}\).

إذا اقترب الراصد من مصدر ساكن بسرعة \(20\ \text{m s}^{-1}\)، فإن معامل التردد هو

\[
\frac{340+20}{340} = 1.0588
\]

أما إذا اقترب المصدر من راصد ساكن بسرعة \(20\ \text{m s}^{-1}\)، فإن المعامل هو

\[
\frac{340}{340-20} = 1.0625
\]

القيمتان متقاربتان، لكنهما غير متطابقتين.

لماذا؟

لأن الصوت ينتقل خلال وسط.

حركة الراصد تغيّر مدى سرعة التقائه بنمط موجود بالفعل من جبهات الموجة.

أما حركة المصدر فتغيّر المسافات بين جبهات الموجة نفسها.

هذا الفرق من أهم الأفكار في مسائل تأثير دوبلر.

06ما الذي يتغير فعليًا عندما يمر بك مصدر؟

لنعد إلى سيارة الإسعاف.

أثناء اقترابها:

• يتحرك المصدر إلى الأمام بين عمليات إصدار الموجات،
• تنضغط جبهات الموجة أمامه،
• يصبح طولها الموجي أقصر،
• تستقبلها بمعدل أكبر،
• يصبح التردد المرصود أعلى.

بعد أن تمر بك:

• يتحرك المصدر مبتعدًا،
• تصبح جبهات الموجة المتتالية التي تصل إليك أكثر تباعدًا،
• يصبح طولها الموجي أطول،
• تستقبلها بمعدل أقل،
• يصبح التردد المرصود أقل.

لم تنخفض فجأة سرعة كل موجة صوتية خلال الهواء الساكن.

ولهذا فإن القول إن «الصوت المقترب ينتقل بسرعة أكبر» يعطي تصورًا ذهنيًا خاطئًا.

07فحص سريع للإشارات قبل الحساب

قبل استخدام المعادلة، توقّع ما إذا كانت الإجابة يجب أن تكون أعلى أم أقل من التردد الصادر.

إذا كان المصدر والراصد يقتربان من بعضهما، فمن المتوقع عادةً أن يكون التردد المرصود أعلى.

أما إذا كانا يتباعدان، فمن المتوقع عادةً أن يكون التردد المرصود أقل.

ثم افحص المعادلة:

\[
f_{\text{obs}}
=
f_s
\frac{v+v_o}{v-v_s}
\]

في حالة الاقتراب:

• تجعل \(v_o>0\) البسط أكبر،
• تجعل \(v_s>0\) المقام أصغر.

وكلاهما يرفع \(f_{\text{obs}}\).

في حالة التباعد:

• تجعل \(v_o<0\) البسط أصغر،
• تجعل \(v_s<0\) المقام أكبر.

وكلاهما يخفض \(f_{\text{obs}}\).

إذا خالفت إجابتك المحسوبة توقعك الفيزيائي، فتحقق من الإشارات قبل فعل أي شيء آخر.

08للصيغة حدود

انظر إلى حد المصدر:

\[
f_{\text{obs}}=f_s\frac{v}{v-v_s}
\]

كلما اقتربت سرعة مصدر مقترب من سرعة الصوت، أصبحت \(v-v_s\) صغيرة جدًا. وتتنبأ الصيغة بأطوال موجية شديدة القِصر أمام المصدر وبترددات مرصودة شديدة الارتفاع.

ماذا لو كان \(v_s=v\)؟

يصبح المقام صفرًا.

هذا لا يعني أن الراصد يسمع حرفيًا صوتًا ذا تردد لا نهائي. بل يعني أن تصورنا البسيط لجبهات موجية منفصلة تصل بصورة منتظمة قد بلغ حد صلاحيته.

عند سرعة الصوت، تتراكم الاضطرابات المتتالية. وفي الحركة فوق الصوتية، يسبق المصدر بعض جبهات موجاته السابقة، فينشأ نمط من موجات الصدمة بدلًا من النمط العادي دون الصوتي الذي تفترضه معادلة دوبلر البسيطة.

لذلك فإن اقتراب المقام من الصفر هو تحذير بضرورة التفكير في الفيزياء، وليس دعوة لكتابة «تردد لا نهائي Hz».

09الأسئلة والحلول

السؤال 1

يصدر منبّه ساكن ترددًا قدره \(520\ \text{Hz}\). يركض راصد مباشرةً نحوه بسرعة \(12\ \text{m s}^{-1}\). سرعة الصوت هي \(340\ \text{m s}^{-1}\).

احسب التردد المرصود.

الحل 1

التردد المرصود يساوي تقريبًا \(\boxed{538\ \text{Hz}}\).

المصدر ساكن، بينما يتحرك الراصد نحوه، لذلك \(v_o=+12\ \text{m s}^{-1}\) و\(v_s=0\).

باستخدام

\[
f_{\text{obs}}
=
f_s\frac{v+v_o}{v-v_s},
\]

نحصل على

\[
\begin{aligned}
f_{\text{obs}}
&=520\left(\frac{340+12}{340}\right)\\
&=520\left(\frac{352}{340}\right)\\
&=538.35\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

إذن،

\[
\boxed{f_{\text{obs}}\approx538\ \text{Hz}}
\]

النتيجة أعلى من \(520\ \text{Hz}\)، كما هو متوقع، لأن الراصد يتحرك نحو جبهات الموجة القادمة.

السؤال 2

تحمل عربة جرسًا كهربائيًا يصدر ترددًا قدره \(900\ \text{Hz}\). تتحرك العربة نحو طالب بسرعة \(18\ \text{m s}^{-1}\). ويمشي الطالب مبتعدًا عن العربة بسرعة \(4.0\ \text{m s}^{-1}\).

اعتبر سرعة الصوت \(340\ \text{m s}^{-1}\).

احسب التردد الذي يسمعه الطالب.

الحل 2

يسمع الطالب ترددًا يقارب \(\boxed{939\ \text{Hz}}\).

يتحرك المصدر نحو الراصد، لذلك

\[
v_s=+18\ \text{m s}^{-1}
\]

يتحرك الراصد مبتعدًا عن المصدر، لذلك

\[
v_o=-4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

باستخدام معادلة دوبلر،

\[
\begin{aligned}
f_{\text{obs}}
&=f_s\frac{v+v_o}{v-v_s}\\
&=900\left(\frac{340-4.0}{340-18}\right)\\
&=900\left(\frac{336}{322}\right)\\
&=939.13\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

ومن ثم،

\[
\boxed{f_{\text{obs}}\approx939\ \text{Hz}}
\]

تميل حركة الراصد مبتعدًا إلى خفض التردد، بينما يميل اقتراب المصدر إلى رفعه. وفي هذه الحالة يكون تأثير المصدر أقوى، لذلك يكون صافي التردد المرصود أعلى من \(900\ \text{Hz}\).

السؤال 3

يُستخدم صوت بتردد \(700\ \text{Hz}\) في تجربتين. اعتبر سرعة الصوت \(340\ \text{m s}^{-1}\).

في التجربة A، يكون المصدر ساكنًا ويتحرك الراصد نحوه بسرعة \(30\ \text{m s}^{-1}\).

في التجربة B، يكون الراصد ساكنًا ويتحرك المصدر نحوه بسرعة \(30\ \text{m s}^{-1}\).

احسب التردد المرصود في كل تجربة، وحدد ما إذا كان الترددان متساويين.

الحل 3

الترددان غير متساويين. تعطي التجربة A تقريبًا \(\boxed{762\ \text{Hz}}\)، بينما تعطي التجربة B تقريبًا \(\boxed{768\ \text{Hz}}\).

في التجربة A، يتحرك الراصد فقط:

\[
\begin{aligned}
f_A
&=700\left(\frac{340+30}{340}\right)\\
&=761.76\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

إذن

\[
\boxed{f_A\approx762\ \text{Hz}}
\]

وفي التجربة B، يتحرك المصدر فقط:

\[
\begin{aligned}
f_B
&=700\left(\frac{340}{340-30}\right)\\
&=767.74\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

إذن

\[
\boxed{f_B\approx768\ \text{Hz}}
\]

الخطأ المغري هو القول إن كلتا التجربتين لهما سرعة اقتراب نسبية مقدارها \(30\ \text{m s}^{-1}\)، ولذلك يجب أن تُحدثا إزاحة دوبلر نفسها.

لكن هذا غير صحيح. حركة الراصد تغيّر معدل التقائه بجبهات الموجة الموجودة بالفعل. أما حركة المصدر فتغيّر الطول الموجي المتكوّن في الوسط. وهذان تغيران مختلفان فيزيائيًا، ولهذا تظهر \(v_o\) و\(v_s\) في موضعين مختلفين من المعادلة.

السؤال 4

يتحرك مصدر مباشرةً نحو راصد بسرعة \(20\ \text{m s}^{-1}\). ويُسمح للراصد أيضًا بالحركة.

بأي سرعة واتجاه يجب أن يتحرك الراصد حتى يكون التردد المرصود مساويًا تمامًا للتردد الذي يصدره المصدر؟ افترض أن كليهما يتحرك خلال هواء ساكن وعلى الخط المستقيم نفسه.

الحل 4

يجب أن يتحرك الراصد مبتعدًا عن المصدر بسرعة \(\boxed{20\ \text{m s}^{-1}}\).

لكي يكون الترددان المرصود والصادر متساويين،

\[
f_{\text{obs}}=f_s
\]

يجب أن يساوي المعامل في معادلة دوبلر \(1\):

\[
\frac{v+v_o}{v-v_s}=1
\]

إذن،

\[
v+v_o=v-v_s
\]

وبحذف \(v\) من الطرفين نحصل على

\[
v_o=-v_s
\]

سرعة المصدر هي

\[
v_s=+20\ \text{m s}^{-1}
\]

ولذلك

\[
v_o=-20\ \text{m s}^{-1}
\]

إذن يجب أن يتحرك الراصد مبتعدًا عن المصدر بسرعة

\[
\boxed{20\ \text{m s}^{-1}}
\]

وهذا منطقي أيضًا من الناحية الفيزيائية. إذا تحرك المصدر والراصد في الاتجاه نفسه وبالسرعة نفسها، تظل المسافة بينهما ثابتة. يضغط المصدر جبهات الموجة أمامه، لكن الراصد يتحرك مبتعدًا خلال هذا النمط بالمعدل المطلوب تمامًا لإلغاء زيادة التردد.

السؤال 5

يصدر مصدر نغمة بتردد \(500\ \text{Hz}\) أثناء اقترابه من راصد ساكن.

سرعة الصوت هي \(340\ \text{m s}^{-1}\).

احسب أولًا التردد الذي تتنبأ به معادلة دوبلر العادية عندما يتحرك المصدر بسرعة \(330\ \text{m s}^{-1}\). ثم اشرح ما يحدث للمعادلة عندما تقترب سرعة المصدر من \(340\ \text{m s}^{-1}\)، وما إذا كان هذا يعني أن التردد الفيزيائي يصبح لا نهائيًا.

الحل 5

عند \(330\ \text{m s}^{-1}\)، تتنبأ المعادلة بتردد قدره \(\boxed{17\,000\ \text{Hz}}\). ومع اقتراب سرعة المصدر من سرعة الصوت، تتوقف الصيغة العادية عن أن تكون صالحة. وهذا لا يعني أن راصدًا حقيقيًا يستقبل صوتًا ذا تردد لا نهائي.

عندما يكون الراصد ساكنًا،

\[
f_{\text{obs}}
=
f_s\frac{v}{v-v_s}
\]

وبالتعويض عن \(f_s=500\ \text{Hz}\)، و\(v=340\ \text{m s}^{-1}\)، و\(v_s=330\ \text{m s}^{-1}\)،

\[
\begin{aligned}
f_{\text{obs}}
&=500\left(\frac{340}{340-330}\right)\\
&=500\left(\frac{340}{10}\right)\\
&=17\,000\ \text{Hz}
\end{aligned}
\]

تظهر النتيجة الكبيرة جدًا لأن الطول الموجي المتوقع أمام المصدر صغير للغاية.

إذا زادت \(v_s\) حتى تساوي بالضبط \(340\ \text{m s}^{-1}\)، يصبح المقام

\[
340-340=0
\]

وبذلك تصبح المعادلة غير معرّفة.

الفخ هنا هو التعامل مع هذه النتيجة غير المعرّفة على أنها تردد لا نهائي حرفيًا. تفترض المعادلة وجود قطار عادي من جبهات موجية منفصلة صادرة عن مصدر دون صوتي. وعند سرعة الصوت، تتراكم جبهات الموجة. وبمجرد أن يصبح المصدر فوق صوتي، يجب بدلًا من ذلك أخذ سلوك موجات الصدمة في الاعتبار. إن فشل المعادلة رياضيًا يخبرنا بأن الافتراضات التي يقوم عليها النموذج البسيط لم تعد صالحة.

10ما الذي تتيحه لك هذه الفكرة لاحقًا؟

العادة المفيدة في مسائل تأثير دوبلر ليست حفظ مواضع إشارات الجمع والطرح. بل هي أن تسأل عمّا تغيّره الحركة من الناحية الفيزيائية.

تغيّر حركة الراصد مدى سرعة التقائه بجبهات الموجة. وتغيّر حركة المصدر المسافات بين جبهات الموجة.

بمجرد ترسيخ هذا الفرق، يصبح التحقق من حسابات دوبلر أسهل بكثير، ويمكن توسيع الفكرة الأساسية نفسها، أي إزاحة التردد، إلى مواقف يستخدم فيها العلماء الموجات لاستنتاج الحركة. تختلف التفاصيل بالنسبة إلى الموجات الكهرومغناطيسية، لأن الضوء لا يتصرف مثل الصوت الذي ينتقل خلال الهواء، لكن القياس الأساسي يظل قويًا: يمكن للتغير في التردد المرصود أن يكشف حركة لا تستطيع قياسها مباشرةً.