العوامل التي تؤثر في القوة الكهروستاتيكية في فيزياء HSC
تعرّف على كيفية تأثير مقدار الشحنة والمسافة الفاصلة والوسط المحيط في القوة الكهروستاتيكية، مع شرح واضح وأمثلة محلولة وتدريبات بأسلوب HSC.
تتنافر كرتان صغيرتان مشحونتان بقوة مقدارها \(0.40\ \text{N}\). تضاعف شحنة إحدى الكرتين، وتزيد المسافة بينهما إلى الضعف، ثم تضعهما في سائل عازل.
هل ستصبح القوة أكبر أم أصغر؟
قد يكون من المغري أن نلجأ مباشرة إلى قانون كولوم. لكن المهارة الأسرع في فيزياء HSC هي أن تفكر أولًا في المتغيرات. أحد التغييرات يزيد القوة، وآخر يضعفها، ويمكن للوسط أن يضعفها مرة أخرى. إذا استطعت التنبؤ باتجاه هذه التغييرات وحجمها التقريبي قبل استخدام الآلة الحاسبة، فسيصبح الوقوع في الخطأ في مسائل الكهروستاتيكا أصعب بكثير.
01ابدأ بالصورة الفيزيائية
تخيّل كرتين موجبتَي الشحنة موضوعتين بالقرب من بعضهما.
تتعرض كل كرة لقوة تنافر بسبب الكرة الأخرى. إذا زدت مقدار أي من الشحنتين، أصبح التفاعل الكهربائي أقوى. وإذا أبعدت الكرتين عن بعضهما، أصبح التفاعل أضعف.
قبل أن نعبّر عن ذلك بدقة، توقّع الآتي:
إذا تضاعفت المسافة بين الشحنتين، فهل تتوقع أن تنخفض القوة إلى النصف؟
قد يبدو ذلك منطقيًا. ضعف المسافة، ونصف القوة. لكن القوة الكهروستاتيكية تتناقص أسرع من ذلك. فعند مضاعفة المسافة، تنخفض القوة إلى الربع.
هذا السلوك المتناسب عكسيًا مع مربع المسافة هو أحد أهم الأفكار في هذا الموضوع.
02الأشياء الثلاثة التي يجب فحصها قبل الحساب
بالنسبة إلى شحنتين نقطيتين، يعتمد مقدار القوة الكهروستاتيكية أساسًا على:
| التغيير | تأثيره في مقدار القوة |
|---|---|
| زيادة مقدار أي من الشحنتين | تزداد القوة |
| زيادة مقداري الشحنتين معًا | تزداد القوة وفقًا لحاصل ضربهما |
| زيادة المسافة الفاصلة | تنخفض القوة مع مربع المسافة الفاصلة |
| استخدام وسط ذي سماحية كهربائية أكبر | تنخفض القوة |
وهناك سؤال آخر منفصل عن مقدار القوة:
- الشحنات المتشابهة تتنافر
- الشحنات المختلفة تتجاذب
إذن، تحدد إشارات الشحنات اتجاه القوة، بينما تسهم مقادير الشحنات في تحديد مقدار هذه القوة.
03مقدار الشحنة: شحنة أكبر تعني تفاعلًا أقوى
افترض أن جسمين لهما مقدارا شحنة \(q_1\) و\(q_2\).
تتناسب القوة الكهروستاتيكية طرديًا مع حاصل ضربهما:
\[ F \propto |q_1q_2| \]
حيث:
- \(F\) هو مقدار القوة الكهروستاتيكية، ويُقاس بالنيوتن (\(\text{N}\))
- \(q_1\) و\(q_2\) هما الشحنتان، وتقاسان بالكولوم (\(\text{C}\))
تذكّرنا علامتا القيمة المطلقة بأننا نتحدث عن مقدار القوة، الذي لا يمكن أن يكون سالبًا.
إذا تضاعفت إحدى الشحنتين مع بقاء كل شيء آخر ثابتًا،
\[ F_{\text{new}} = 2F_{\text{old}} \]
وإذا تضاعفت الشحنتان معًا،
\[ F_{\text{new}} = 2 \times 2F_{\text{old}} = 4F_{\text{old}} \]
هذه نقطة تستحق الانتباه. أحيانًا يسمع الطلاب عبارة «ضاعف الشحنتين» فيجيبون تلقائيًا «تتضاعف القوة». لكن في قانون كولوم يوجد عاملان للشحنة. فإذا تغير كلاهما، كان لكليهما تأثير.
مثال محلول: ماذا يحدث عندما تصبح كلتا الشحنتين ثلاثة أضعاف؟
تؤثر شحنتان نقطيتان إحداهما في الأخرى بقوة كهروستاتيكية مقدارها \(0.60\ \text{N}\). تبقى المسافة بينهما والوسط المحيط بهما دون تغيير. ويصبح مقدار كل شحنة ثلاثة أضعاف قيمته الأصلية. أوجد القوة الجديدة.
الخطوة 1
كل من \(q_1\) و\(q_2\) ضُرب في 3. أما المسافة والوسط فلا يتغيران.
الخطوة 2
بما أن \(F \propto |q_1q_2|\)،
\[ F_{\text{new}} = 3 \times 3 \times F_{\text{old}} = 9(0.60\ \text{N}) = 5.4\ \text{N} \]
الخطوة 3
تصبح القوة \(5.4\ \text{N}\)، أي تسعة أضعاف القوة الأصلية. جعل كلتا الشحنتين ثلاثة أضعاف لا يجعل القوة ثلاثة أضعاف لأن تأثيريهما يتضاعفان معًا.
04المسافة الفاصلة: لماذا تؤثر المسافة بهذه القوة؟
بالنسبة إلى الشحنات النقطية، تتناسب القوة الكهروستاتيكية عكسيًا مع مربع المسافة الفاصلة بينهما:
\[ F \propto \frac{1}{r^2} \]
حيث \(r\) هي المسافة بين الشحنتين، وتقاس من المركز إلى المركز.
وهذا يعني:
- \(r \rightarrow 2r\) يعطي \(F \rightarrow \frac{1}{4}F\)
- \(r \rightarrow 3r\) يعطي \(F \rightarrow \frac{1}{9}F\)
- \(r \rightarrow \frac{1}{2}r\) يعطي \(F \rightarrow 4F\)
ومن الطرق المفيدة لتصوّر ذلك أن تتخيل تأثير شحنة نقطية ينتشر في الفضاء ثلاثي الأبعاد. عند مسافة أكبر، يتوزع هذا التأثير على مساحة كروية أكبر بكثير. وبما أن مساحة سطح الكرة تزداد وفق \(r^2\)، فإن المجال الكهربائي لشحنة نقطية معزولة يتناقص وفق \(1/r^2\).
هذه الصورة مفيدة، لكنها ليست في حد ذاتها البرهان الرياضي على قانون كولوم. وإنما هي طريقة لفهم سبب كون السلوك المتناسب عكسيًا مع مربع المسافة منطقيًا من الناحية الفيزيائية.
الخطأ الشائع المتعلق بالمسافة
افترض أن المسافة الفاصلة تزداد بنسبة 50%.
قد يحسب طالب:
\[ F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{1.5} \]
لأن الجسمين أصبحا أبعد بمقدار 1.5 مرة.
لكن المربع مهم:
\[ F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{(1.5)^2} = \frac{F_{\text{old}}}{2.25} \]
إذن تصبح القوة نحو \(44\%\) من قيمتها الأصلية، وليس \(67\%\).
كلما تغيرت المسافة، فمن العادات المفيدة أن تقول لنفسك: ربّع عامل المسافة.
05الوسط: لماذا تؤثر المادة الموجودة بين الشحنات؟
حتى الآن، كنا نتصور الشحنات في الفراغ أو، على نحو تقريبي، في الهواء.
عندما تضع الشحنات داخل مادة أخرى، يحدث شيء إضافي. يمكن لجزيئات المادة أن تستجيب للمجال الكهربائي. وفي كثير من المواد العازلة، تنزاح الشحنات الموجبة والسالبة داخل الجزيئات قليلًا في اتجاهين متعاكسين. ويُسمى ذلك الاستقطاب.
ينتج عن هذا الاستقطاب تأثير كهربائي يعاكس جزئيًا المجال الذي تولده الشحنات الأصلية. لذلك تقل القوة بين الشحنات مقارنة بالقوة في الفراغ.
يمكنك أن تتخيل المادة العازلة كصديق يقف بين شخصين يحدّق كل منهما في الآخر بشدة، فيجعل التفاعل بينهما أقل حدة قليلًا. لا يزيل الصديق وجود أي منهما، كما أن الشحنات الأصلية لم تتغير. وإنما تغيّر المادة ببساطة المجال الكهربائي داخل المنطقة.
لهذا التشبيه حدود. فالسلوك الحقيقي للمواد العازلة ناتج عن الاستجابة الكهربائية للذرات والجزيئات، وليس عن الإحراج الاجتماعي.
06قانون كولوم يجمع المتغيرات معًا
بالنسبة إلى شحنتين نقطيتين في الفراغ، يكون مقدار القوة الكهروستاتيكية:
\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
حيث:
- \(F\) هو مقدار القوة بالنيوتن (\(\text{N}\))
- \(q_1\) و\(q_2\) هما الشحنتان بالكولوم (\(\text{C}\))
- \(r\) هي المسافة بين الشحنتين بالمتر (\(\text{m}\))
- \(k\) هو ثابت كولوم، وتبلغ قيمته تقريبًا \(8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)
بالنسبة إلى الهواء، يكون استخدام قيمة \(k\) الخاصة بالفراغ عادةً تقريبًا ممتازًا على مستوى HSC.
وصيغة أكثر عمومية هي:
\[ F = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
حيث \(\varepsilon\) هي سماحية الوسط الكهربائية.
بالنسبة إلى كثير من المواد،
\[ \varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0 \]
حيث:
- \(\varepsilon_0\) هي سماحية الفراغ
- \(\varepsilon_r\) هي السماحية النسبية للمادة
وبما أن
\[ k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \]
فيمكن أيضًا كتابة القوة في نموذج عازل بسيط على الصورة:
\[ F = \frac{k}{\varepsilon_r}\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
لذلك، إذا كانت \(\varepsilon_r = 4\)، فإن القوة الكهروستاتيكية تساوي ربع قيمتها في الفراغ، بشرط بقاء المتغيرات الأخرى دون تغيير.
يفترض هذا النموذج أن الشحنات يمكن التعامل معها فعليًا كشحنات نقطية داخل مادة منتظمة يمكن وصف استجابتها الكهربائية بسماحية واحدة. وقد تكون المواد الحقيقية وتوزيعات الشحنة أكثر تعقيدًا.
07توقّع أولًا، واحسب ثانيًا
افترض أن سؤالًا في HSC يغيّر عدة متغيرات في الوقت نفسه.
لا تبدأ مباشرة بالتعويض بالأرقام. اكتب القوة على هيئة مجموعة من عوامل التناسب:
\[ F \propto \frac{|q_1q_2|}{\varepsilon_r r^2} \]
ثم قارن الحالة الجديدة بالحالة القديمة.
إذا كان
\[ q_1 \rightarrow aq_1,\qquad q_2 \rightarrow bq_2,\qquad r \rightarrow cr,\qquad \varepsilon_r \rightarrow d\varepsilon_r, \]
فإن
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{ab}{dc^2} \]
غالبًا ما تكون طريقة النسبة هذه أسرع من إجراء حسابين كاملين باستخدام قانون كولوم.
كما أنها تكشف الأخطاء. فإذا كان استدلالك يتنبأ بقوة أضعف، لكن الآلة الحاسبة أعطتك قيمة أكبر، فمن المحتمل أن يكون هناك خطأ ما.
مثال محلول: تتغير الشحنات والمسافة والوسط معًا
يؤثر جسمان صغيران مشحونان في الهواء أحدهما في الآخر بقوة مقدارها \(0.80\ \text{N}\). تُضاعف الشحنة الأولى، وتصبح الشحنة الثانية ثلاثة أضعاف، وتتضاعف المسافة بينهما، ثم يوضعان في وسط سماحيته النسبية \(\varepsilon_r = 3\). أوجد القوة الجديدة.
الخطوة 1
مضاعفة إحدى الشحنتين وجعل الأخرى ثلاثة أضعاف يزيدان القوة.
مضاعفة المسافة تضعفها بعامل \(2^2 = 4\).
والمادة العازلة تضعفها بعامل إضافي مقداره 3.
لذلك لا ينبغي أن نفترض أن القوة تزداد لمجرد أن كلتا الشحنتين زادتا.
الخطوة 2
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{2\times3}{3\times2^2} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
الخطوة 3
\[ F_{\text{new}} = \frac{1}{2}(0.80\ \text{N}) = 0.40\ \text{N} \]
الخطوة 4
القوة الجديدة هي \(0.40\ \text{N}\)، أي نصف القوة الأصلية. فالزيادة بمقدار ستة أضعاف الناتجة عن الشحنات تتغلب عليها عملية خفض بمقدار اثني عشر ضعفًا ناتجة عن المسافة والوسط معًا.
08الاتجاه ليس هو نفسه المقدار
انظر إلى هذين الزوجين:
- \(+2\ \mu\text{C}\) و\(+5\ \mu\text{C}\)
- \(+2\ \mu\text{C}\) و\(-5\ \mu\text{C}\)
عند المسافة نفسها وفي الوسط نفسه، يكون لكلا الزوجين مقدار القوة نفسه لأن
\[ |(+2)(+5)| = |(+2)(-5)| \]
لكن الاتجاهين مختلفان.
الزوج الأول يتنافر لأن الشحنتين لهما الإشارة نفسها. أما الزوج الثاني فيتجاذب لأن الشحنتين لهما إشارتان متعاكستان.
القيمة السالبة لـ \(q_1q_2\) لا تعني وجود «مقدار سالب من القوة». وإنما تخبرك بشيء عن اتجاه التفاعل عندما تستخدم معالجة تعتمد على الإشارة أو المتجهات.
09تساوي القوى لا يتطلب تساوي الشحنات
هناك خطأ مغرٍ آخر.
افترض أن شحنة مقدارها \(+1\ \mu\text{C}\) تتفاعل مع شحنة مقدارها \(+6\ \mu\text{C}\). هل تؤثر الشحنة الأكبر في الشحنة الأصغر بقوة أكبر بستة أضعاف؟
لا.
يعطي قانون كولوم مقدارًا واحدًا للتفاعل:
\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]
تتعرض كل شحنة لقوة مساوية في المقدار ومعاكسة في الاتجاه.
وهذا يتفق مع قانون نيوتن الثالث.
تولّد شحنة \(+6\ \mu\text{C}\) مجالًا كهربائيًا أقوى من المجال الذي تولده شحنة \(+1\ \mu\text{C}\) عند المسافة نفسها، لكن الشحنة الأصغر التي تستجيب لذلك المجال الأقوى لها أيضًا مقدار شحنة أصغر. وينتج عن حسابي القوة مقدار متساوٍ.
10قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار
عندما يسأل سؤال عن كيفية تغير القوة الكهروستاتيكية، افحص المتغيرات بهذا الترتيب:
- الشحنة: ماذا يحدث لـ \(|q_1q_2|\)؟
- المسافة: ماذا يحدث لـ \(r^2\)؟
- الوسط: هل تغيرت السماحية الكهربائية؟
- الاتجاه: هل الشحنتان متشابهتان أم مختلفتان؟
- النموذج: هل يمكن التعامل مع الجسمين بصورة معقولة كشحنتين نقطيتين، أو كشحنتين كرويتين تُرصدان من الخارج؟
بعد ذلك فقط قرر ما إذا كان من الضروري إجراء حساب كامل باستخدام قانون كولوم.
11الأسئلة والحلول
السؤال 1
تبقى شحنتان نقطيتان موجبتان في الهواء. يتضاعف مقدار إحدى الشحنتين، بينما تبقى الشحنة الأخرى والمسافة بينهما دون تغيير.
بأي عامل تتغير القوة الكهروستاتيكية، وهل يظل التفاعل تجاذبيًا أم تنافريًا؟
الحل 1
تتضاعف القوة، ويظل التفاعل تنافريًا.
يعطي قانون كولوم:
\[ F \propto |q_1q_2| \]
لذلك تؤدي مضاعفة إحدى الشحنتين إلى:
\[ F_{\text{new}} = 2F_{\text{old}}. \]
لا تزال كلتا الشحنتين موجبتين، لذا لم تتغير إشارتاهما. والشحنات المتشابهة تتنافر.
والتمييز المهم هو أن مقدار الشحنة يؤثر في مقدار القوة، بينما تحدد إشارة الشحنة ما إذا كان التفاعل تجاذبيًا أم تنافريًا.
السؤال 2
تؤثر شحنتان نقطيتان إحداهما في الأخرى بقوة مقدارها \(1.8\ \text{N}\) في الهواء. تُزاد المسافة بينهما إلى ثلاثة أضعاف قيمتها الأصلية، بينما تبقى الشحنتان دون تغيير.
احسب القوة الجديدة.
الحل 2
القوة الجديدة هي \(0.20\ \text{N}\).
تتناسب القوة الكهروستاتيكية عكسيًا مع مربع المسافة الفاصلة:
\[ F \propto \frac{1}{r^2}. \]
لذلك فإن جعل المسافة ثلاثة أضعاف يقلل القوة بعامل \(3^2 = 9\):
\[ F_{\text{new}} = \frac{1.8\ \text{N}}{9} = 0.20\ \text{N}. \]
تصبح القوة تسع قيمتها الأصلية. ومن الأخطاء الشائعة القسمة على 3 بدلًا من القسمة على \(3^2\).
السؤال 3
لكرتين صغيرتين مشحونتين في الهواء شحنتان مقدارهما \(+3.0\ \mu\text{C}\) و\(-8.0\ \mu\text{C}\). وتبعد مراكزهما عن بعضها مسافة \(0.40\ \text{m}\).
احسب مقدار القوة الكهروستاتيكية وحدد ما إذا كانت القوة تجاذبية أم تنافرية.
الحل 3
مقدار القوة يساوي تقريبًا \(1.35\ \text{N}\)، والتفاعل تجاذبي.
أولًا حوّل قيم الميكروكولوم إلى كولوم:
\[ q_1 = 3.0\times10^{-6}\ \text{C}, \qquad q_2 = 8.0\times10^{-6}\ \text{C}. \]
باستخدام قانون كولوم،
\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2}\\ &=(8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(8.0\times10^{-6})} {(0.40)^2}\\ &\approx 1.35\ \text{N}. \end{aligned} \]
للشحنتين إشارتان متعاكستان، لذلك تتجاذبان.
لاحظ أن الإشارة السالبة للشحنة الثانية لم تُستخدم للحصول على مقدار قوة سالب. استخدمنا مقادير الشحنات لحساب \(F\)، ثم استخدمنا الإشارات لتحديد الاتجاه.
السؤال 4
تؤثر شحنتان نقطيتان في البداية إحداهما في الأخرى بقوة \(F\) في الهواء. ثم تتضاعف كلتا الشحنتين.
يقول أحد الطلاب إن المسافة بين الشحنتين يجب أن تتضاعف أيضًا إذا أردنا أن تبقى القوة دون تغيير.
هل الطالب محق؟ برر إجابتك كميًا.
الحل 4
نعم. إن مضاعفة كلتا الشحنتين ومضاعفة المسافة تترك القوة دون تغيير.
تغير مضاعفة كلتا الشحنتين بسط قانون كولوم بعامل:
\[ 2\times2 = 4. \]
وتغير مضاعفة المسافة المقام بعامل:
\[ 2^2 = 4. \]
لذلك،
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{4}{4} = 1. \]
إذن \(F_{\text{new}} = F_{\text{old}}\).
والخطأ المغري هو الاعتقاد بأن مضاعفة كلتا الشحنتين تعطي «ضعف التأثير الكهروستاتيكي». في الواقع، تعطي قوة تساوي أربعة أضعاف قبل أخذ تغير المسافة في الاعتبار.
السؤال 5
تفصل في البداية بين شحنتين نقطيتين مسافة \(r\) في الهواء. يصبح مقدار الشحنة الأولى ثلاثة أضعاف، بينما ينخفض مقدار الشحنة الثانية إلى النصف. ثم توضع الشحنتان على مسافة أكبر بنسبة \(25\%\).
بافتراض أن الوسط يظل دون تغير فعلي، أوجد القوة الجديدة على هيئة كسر من القوة الأصلية.
الحل 5
القوة الجديدة تساوي \(0.96\) من القوة الأصلية، ولذلك فهي أصغر قليلًا.
يتغير حاصل ضرب الشحنتين بعامل:
\[ 3\times\frac{1}{2} = \frac{3}{2}. \]
وتعني زيادة المسافة بنسبة \(25\%\) أن:
\[ r_{\text{new}} = 1.25r. \]
وبما أن المسافة مربعة،
\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{3/2}{(1.25)^2}. \]
لذلك،
\[ \begin{aligned} \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} &= \frac{1.5}{1.5625}\\ &=0.96. \end{aligned} \]
ومن ثم،
\[ F_{\text{new}} = 0.96F_{\text{old}}. \]
هذا مثال مفيد على السبب الذي يجعل الاعتماد على الحدس وحده غير موثوق عندما تتغير عدة متغيرات. فالزيادة في حاصل ضرب الشحنتين تكاد تلغي تأثير زيادة المسافة، لكنها لا تلغيه تمامًا.
السؤال 6
تؤثر شحنتان نقطيتان إحداهما في الأخرى بقوة \(F\) في الهواء. ثم توضعان في وسط عازل منتظم سماحيته النسبية \(\varepsilon_r = 5\).
وفي الوقت نفسه، تُخفض المسافة بينهما إلى نصف قيمتها الأصلية.
من دون الحساب باستخدام قيم الشحنات الفردية، أوجد القوة الجديدة بدلالة \(F\).
يجادل أحد الطلاب بأن القوة لا بد أن تنخفض لأن «المواد العازلة تضعف القوى الكهروستاتيكية». اشرح الخلل في هذا الاستدلال.
الحل 6
القوة الجديدة هي \(\frac{4}{5}F\)، لذلك تنخفض قليلًا.
تقلل المادة العازلة القوة بعامل 5:
\[ F \rightarrow \frac{F}{5}. \]
ويؤدي خفض المسافة إلى النصف إلى زيادة القوة بعامل:
\[ \frac{1}{(1/2)^2}=4. \]
وبدمج التأثيرين،
\[ F_{\text{new}} = \frac{4}{5}F. \]
عبارة الطالب عن المادة العازلة صحيحة عندما تبقى جميع المتغيرات الأخرى ثابتة، لكن هذا الشرط غير متحقق هنا. فالمسافة تتغير أيضًا، وتقليلها يقوي التفاعل بدرجة كبيرة.
وهذا هو الدرس الأوسع: العبارات مثل «زيادة المسافة تقلل القوة» أو «المادة العازلة تقلل القوة» تصف تأثير متغير واحد مع تثبيت المتغيرات الأخرى. وعندما تتغير عدة متغيرات معًا، يجب دمج تأثيراتها.
12ما الذي يهيئك له هذا؟
بمجرد أن تتمكن من التفكير بثقة في \(q_1\) و\(q_2\) و\(r\) والوسط، يتوقف قانون كولوم عن كونه مجرد صيغة للتعويض.
ويمتد الأسلوب نفسه في التفكير مباشرة إلى المجالات الكهربائية. فبدلًا من السؤال عن القوة بين شحنتين محددتين، يمكنك أن تسأل عن التأثير الكهربائي الموجود عند نقطة في الفضاء قبل أن توضع فيها شحنة ثانية أصلًا. وهذا الانتقال من القوة بين الشحنات إلى المجال المحيط بشحنة هو الخطوة المفيدة التالية.