حيود الموجات: كيف يتحكم الطول الموجي وحجم الفتحة في الانتشار

تخيّل موجات مائية مستقيمة تقترب من فتحة في حاجز. على الجانب الآخر، هل ستواصل الموجات حركتها إلى الأمام في خط شبه مستقيم، أم ستنتشر في اتجاهات عديدة؟

قبل أن تواصل القراءة، توقّع ما سيحدث عند إجراء هذين التغييرين:

• أبقِ الفتحة كما هي، لكن اجعل الطول الموجي أكبر.
• أبقِ الطول الموجي كما هو، لكن اجعل الفتحة أضيق.

في كلتا الحالتين، تنتشر الموجات بدرجة أكبر. ويُسمّى هذا الانتشار الحيود.

الفكرة المهمة ليست ببساطة أن “الموجات تحيد عند الفتحات”. فمقدار الحيود يعتمد على مقارنة:

\[
\text{يعتمد الحيود على النسبة } \frac{\lambda}{a}
\]

حيث إن \(\lambda\) هو الطول الموجي، مقاسًا بالمتر (m)، و\(a\) هو عرض الفتحة، ويُقاس أيضًا بالمتر.

تعني القيمة الكبيرة لـ \(\lambda/a\) انتشارًا قويًا. وتعني القيمة الصغيرة انتشارًا ضعيفًا.

01لماذا تنتشر الموجة بعد مرورها عبر فتحة؟

تخيّل مجموعة من قمم الموجات المائية المستقيمة تتحرك نحو حاجز.

إذا كانت الفتحة عريضة جدًا مقارنة بالطول الموجي، فإن معظم الموجة يواصل الحركة إلى الأمام في خط شبه مستقيم. يحدث بعض الانتشار قرب الحواف، لكن الجزء الأوسط من الموجة لا يغيّر اتجاهه إلا قليلًا.

الآن اجعل الفتحة أضيق. تصبح الموجة الخارجة من الفتحة أكثر انحناءً تدريجيًا.

من النماذج الأولية المفيدة أن نتخيّل أن كل نقطة عبر الفتحة تصبح مصدرًا لموجات ثانوية صغيرة. وتتراكب هذه الموجات الثانوية لتكوّن الموجة الخارجة.

عندما تكون الفتحة عريضة، توجد نقاط كثيرة مساهمة موزعة على مسافة كبيرة. وتتداخل موجاتها تداخلًا بنّاءً بقوة في الاتجاه الأمامي، وتميل إلى إلغاء بعضها بعضًا عند الزوايا الأكبر.

وعندما تكون الفتحة ضيقة، تتركز المصادر في منطقة أصغر. ويمكن للموجة الخارجة أن تظل مدعَّمة بالتداخل البنّاء عبر نطاق أوسع بكثير من الاتجاهات.

ولهذا يؤدي تضييق الفتحة إلى زيادة الحيود.

يعتمد هذا التفسير على مبدأ هويغنز-فرينل. والصورة المبسطة التي تفترض أن كل نقطة تنتج موجات دائرية صغيرة مفيدة، لكنها ليست الوصف الرياضي الكامل. فنمط الحيود النهائي ينتج من التداخل بين جميع هذه الموجات الثانوية.

02المقارنة المهمة: الطول الموجي مقابل حجم الفتحة

يحاول الطلاب كثيرًا تذكّر الحيود باستخدام قواعد منفصلة مثل “الفتحات الصغيرة تسبب الحيود” و”الأطوال الموجية الكبيرة تسبب الحيود”.

لكن القاعدة الأفضل هي:

قارن الطول الموجي بعرض الفتحة.

لنفترض أن عرض فتحة ما يساوي 1 متر.

الطول الموجي \(1\ \text{mm}\) صغير جدًا مقارنة بهذه الفتحة. وسيحدث انتشار ضئيل جدًا.

أما الطول الموجي \(0.5\ \text{m}\) فهو قابل للمقارنة مع الفتحة. وسيحدث انتشار ملحوظ.

والطول الموجي \(1\ \text{m}\) يساوي حجم الفتحة. وسيكون الانتشار قويًا جدًا.

إذن لا يوجد حجم مطلق للفتحة يمكن اعتباره “صغيرًا”. ففتحة عرضها 1 cm ضخمة بالنسبة إلى الضوء المرئي، لكنها صغيرة جدًا مقارنة ببعض الأطوال الموجية لموجات الراديو.

وهذه من أكثر العادات فائدة في فيزياء الموجات: قارن الأطوال بدلًا من الحكم على طول واحد بمفرده.

ماذا يحدث عندما تكون الفتحة أكبر بكثير من الطول الموجي؟

إذا كان

\[
a \gg \lambda
\]

فإن عرض الفتحة \(a\) أكبر بكثير من الطول الموجي \(\lambda\).

تواصل الموجة الخارجة حركتها إلى الأمام في معظمها. ويكون الحيود ضعيفًا.

فعلى سبيل المثال، تتراوح الأطوال الموجية للضوء المرئي تقريبًا من \(4 \times 10^{-7}\ \text{m}\) إلى \(7 \times 10^{-7}\ \text{m}\). ولذلك فإن مدخل باب عرضه نحو \(1\ \text{m}\) يمتد عبر ملايين الأطوال الموجية.

ولهذا لا ينتشر الضوء بصورة مرئية حول مدخل باب عادي بدرجة تكفي لإضاءة كل ما يقع خلف الجدار.

ماذا يحدث عندما يكون حجم الفتحة قابلًا للمقارنة مع الطول الموجي؟

إذا كان

\[
a \approx \lambda
\]

فإن الفتحة والطول الموجي متشابهان في الحجم.

تنتشر الموجة بقوة بعد مرورها عبر الفتحة.

وهذه هي الحالة التي يصبح فيها الحيود واضحًا بصورة خاصة.

ماذا يحدث عندما تكون الفتحة أصغر من الطول الموجي؟

إذا كان

\[
a < \lambda
\]

فإن الفكرة البسيطة القائلة إن الموجة somehow “لا تتسع” داخل الفتحة فكرة مضللة. فالموجات ليست أجسامًا صلبة تحاول الانضغاط للمرور عبر مدخل.

يمكن للموجة أن تمر عبر فتحة أصغر من طولها الموجي، رغم أن انتقالها قد يصبح أكثر تعقيدًا بحسب النظام الفيزيائي. وما يهم في نموذج الحيود لدينا هو أن الموجة المنتقلة تكون شديدة الانتشار.

ولذلك فإن تصور “هل تتسع؟” نموذج غير جيد. فالطول الموجي هو المسافة بين نقاط متكررة في الموجة، وليس العرض الفيزيائي لجسم ما.

03تغيير الطول الموجي مع إبقاء الفتحة ثابتة

أبقِ الفتحة نفسها الآن وقارن بين موجتين.

للموجة A طول موجي مقداره \(2\ \text{cm}\).

وللموجة B طول موجي مقداره \(8\ \text{cm}\).

أيهما ينتشر أكثر؟

الموجة B. فطولها الموجي أكبر بالنسبة إلى الفتحة.

لنفترض أن عرض الفتحة هو \(20\ \text{cm}\). عندئذٍ

\[
\frac{\lambda_A}{a}=\frac{2}{20}=0.10
\]

بينما

\[
\frac{\lambda_B}{a}=\frac{8}{20}=0.40
\]

للموجة B النسبة الأكبر، ولذلك ينتج عنها حيود أكبر.

ولهذا تحيد الموجات ذات التردد الأقل غالبًا بدرجة أكبر من الموجات ذات التردد الأعلى عندما تتحرك بالسرعة نفسها. فمن العلاقة

\[
v=f\lambda
\]

حيث \(v\) سرعة الموجة بالأمتار في الثانية، و\(f\) التردد بالهرتز (Hz)، و\(\lambda\) الطول الموجي بالأمتار، نحصل على

\[
\lambda=\frac{v}{f}
\]

إذا ظلت سرعة الموجة ثابتة، فإن خفض التردد يزيد الطول الموجي. ويؤدي الطول الموجي الأكبر بعد ذلك إلى حيود أقوى عبر الفتحة نفسها.

04تحديد مقدار الانتشار باستخدام زاوية

بالنسبة إلى شق ضيق منفرد، لا تنتشر الموجة الخارجة بالشدة نفسها في جميع الاتجاهات. بل تكوّن منطقة مركزية ساطعة، مع مناطق أضعف على جانبيها.

وبالنسبة إلى الضوء، يمكن مشاهدة النمط على شاشة.

يحدث الحد الأدنى المظلم الأول عندما

\[
a\sin\theta=\lambda
\]

بالنسبة إلى الحد الأدنى الأول، حيث:

• \(a\) هو عرض الشق بالمتر،
• \(\lambda\) هو الطول الموجي بالمتر،
• \(\theta\) هي الزاوية من المحور المركزي إلى الحد الأدنى المظلم الأول.

وبإعادة الترتيب،

\[
\sin\theta=\frac{\lambda}{a}
\]

أصبحت القاعدة الوصفية الآن علاقة رياضية.

إذا زادت \(\lambda\) بينما ظل \(a\) ثابتًا، فإن \(\sin\theta\) تزداد، وبالتالي تزداد \(\theta\). فينتشر نمط الحيود بدرجة أكبر.

وإذا انخفض \(a\) بينما ظلت \(\lambda\) ثابتة، فإن \(\lambda/a\) تزداد، ولذلك تزداد \(\theta\) مرة أخرى.

تخبرنا المعادلة تمامًا بما تنبأ به نموذجنا الفيزيائي.

05تغيير الفتحة مع إبقاء الطول الموجي ثابتًا

لنفترض الآن أن الطول الموجي يظل ثابتًا، لكن الشق يصبح أضيق.

تخيّل أنك في موعد جماعي، ويحاول عشرة أشخاص الخروج عبر مدخل مطعم ضخم. يستطيع كل شخص في الغالب مواصلة الحركة في الاتجاه الذي كان يسير فيه بالفعل.

والآن تخيّل الحشد نفسه يخرج عبر مدخل واحد صغير جدًا. بعد خروج الجميع، تنتشر اتجاهاتهم الممكنة انطلاقًا من موقع ابتدائي واحد تقريبًا.

هذه تقريبًا هي الفكرة الهندسية وراء زيادة الانتشار من فتحة أصغر. يمثل الأشخاص أجزاء مختلفة من جبهة الموجة، وتمثل اتجاهاتهم بعد الخروج نطاق الاتجاهات في نمط الحيود.

لكن التشبيه لا يكون دقيقًا تمامًا لأن الأشخاص لا يتداخلون بعضهم مع بعض كما تفعل الموجات. فنمط الحيود الفعلي يعتمد على التداخل البنّاء والهدّام، لا على اختيار المشاة لاتجاهاتهم.

06أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: الفتحة الضيقة تصنع حزمة ضيقة

لنفترض أنك تريد أن يخرج الضوء من فتحة صغيرة جدًا. قد يبدو من المعقول توقع أن الفتحة سوف “تقص” الضوء إلى حزمة ضيقة جدًا.

يكون هذا التوقع صحيحًا إلى حد معقول عندما تكون الفتحة ضخمة مقارنة بالطول الموجي. ففي هذه الحالة، تكون مخططات الأشعة مفيدة ويكون الحيود ضئيلًا جدًا.

لكن إذا واصلت تقليص الفتحة حتى يصبح حجمها قريبًا من الطول الموجي للضوء، يفشل هذا التوقع.

فالشق الأضيق يعني قيمة أكبر لـ

\[
\frac{\lambda}{a}
\]

ومن ثم زاوية حيود أكبر.

إذن:

لا تحفظ هذه الصفوف الأربعة كلًّا على حدة إن استطعت تجنب ذلك. تذكّر النسبة.

07النسب المتشابهة تعطي حيودًا متشابهًا

هناك نتيجة مفيدة أخرى.

قارن بين هاتين الحالتين:

• طول موجي \(1.0\ \text{mm}\)، وعرض فتحة \(5.0\ \text{mm}\)
• طول موجي \(2.0\ \text{m}\)، وعرض فتحة \(10.0\ \text{m}\)

الأحجام الفيزيائية مختلفة تمامًا، لكن في كلتا الحالتين

\[
\frac{\lambda}{a}=0.20
\]

وبالنسبة إلى الحد الأدنى الأول،

\[
\sin\theta=0.20
\]

ولذلك تنتج الحالتان زاوية الحيود نفسها:

\[
\theta=11.5^\circ
\]

ولهذا يُفهم الحيود على أفضل نحو من خلال الحجم النسبي.

فالموجة لا يهمها ما إذا كان الجهاز مجهريًا أم عرضه عدة أمتار. والسؤال المهم هو: ما حجم الفتحة مقارنة بالطول الموجي؟

08أحد حدود معادلة الحد الأدنى الأول البسيطة

هناك فخ مفيد مخفي داخل

\[
\sin\theta=\frac{\lambda}{a}
\]

لنفترض أن \(\lambda=2.0\ \text{cm}\) وأن \(a=1.0\ \text{cm}\).

بالتعويض نحصل على

\[
\sin\theta=2
\]

لكن جيب أي زاوية حقيقية لا يمكن أن يكون أكبر من 1.

لذلك يجب ألا تدخل \(\sin^{-1}(2)\) في الآلة الحاسبة وتفترض أن الفيزياء قد فشلت.

بل تخبرك النتيجة بأنه لا يوجد حد أدنى أول للحيود يحقق هذه المعادلة. فالطول الموجي كبير جدًا بالنسبة إلى الشق بحيث لا يمكن أن يحدث هذا الحد الأدنى عند أي زاوية فيزيائية بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\).

وهذا مثال جيد على سبب ضرورة تفسير المعادلة، لا مجرد إجراء الحسابات بها.

09الأسئلة والحلول

السؤال 1

تمر موجات مائية طولها الموجي \(0.40\ \text{m}\) عبر فتحة عرضها \(2.0\ \text{m}\). ثم يُزاد الطول الموجي إلى \(0.80\ \text{m}\)، بينما تظل الفتحة دون تغيير.

أي مجموعة من الموجات تحيد بدرجة أكبر؟ فسّر باستخدام النسبة ذات الصلة.

الحل 1

الموجات ذات الطول الموجي \(0.80\ \text{m}\) تحيد بدرجة أكبر لأن طولها الموجي أكبر بالنسبة إلى عرض الفتحة.

في البداية،

\[
\frac{\lambda}{a}
=
\frac{0.40}{2.0}
=
0.20
\]

بعد زيادة الطول الموجي،

\[
\frac{\lambda}{a}
=
\frac{0.80}{2.0}
=
0.40
\]

تضاعفت النسبة من \(0.20\) إلى \(0.40\). وتعني النسبة الأكبر لـ \(\lambda/a\) انتشارًا زاويًا أكبر.

النقطة المهمة ليست ببساطة أن الطول الموجي أصبح “كبيرًا”. بل أصبح أكبر بالنسبة إلى الفتحة التي لم تتغير.

السؤال 2

يمر ضوء طوله الموجي \(450\ \text{nm}\) عبر شق عرضه \(3.00\ \mu\text{m}\).

احسب الزاوية من المحور المركزي إلى الحد الأدنى الأول.

الحل 2

يحدث الحد الأدنى الأول عند زاوية تقارب \(8.63^\circ\) من المحور المركزي.

حوّل القيمتين إلى الأمتار:

\[
\lambda=450\times10^{-9}\ \text{m}
\]

و

\[
a=3.00\times10^{-6}\ \text{m}
\]

بالنسبة إلى الحد الأدنى الأول،

\[
a\sin\theta=\lambda
\]

إذن

\[
\sin\theta=\frac{\lambda}{a}
\]

عوّض:

\[
\sin\theta
=
\frac{450\times10^{-9}}{3.00\times10^{-6}}
=
0.150
\]

إذن،

\[
\theta
=
\sin^{-1}(0.150)
=
8.63^\circ
\]

لذلك يحتوي نمط الحيود على أول منطقة مظلمة عند \(8.63^\circ\) على كل جانب من المركز.

السؤال 3

تنتج تجربتان باستخدام شق منفرد الزاوية نفسها تمامًا إلى الحد الأدنى الأول للحيود.

تستخدم التجربة A طولًا موجيًا مقداره \(600\ \text{nm}\) وعرض شق \(4.0\ \mu\text{m}\).

وتستخدم التجربة B طولًا موجيًا مقداره \(450\ \text{nm}\).

حدّد عرض الشق المطلوب في التجربة B، واشرح لماذا يمكن أن يؤدي تغيير الكميتين معًا إلى بقاء الحيود دون تغيير.

الحل 3

تتطلب التجربة B شقًا عرضه \(3.0\ \mu\text{m}\)، لأن النسبة \(\lambda/a\) يجب أن تظل كما هي.

بالنسبة إلى الحد الأدنى الأول،

\[
\sin\theta=\frac{\lambda}{a}
\]

للتجربتين القيمة نفسها لـ \(\theta\)، ولذلك يجب أن تكون لهما القيمة نفسها لـ \(\lambda/a\):

\[
\frac{\lambda_A}{a_A}
=
\frac{\lambda_B}{a_B}
\]

عوّض بالقيم المعروفة:

\[
\frac{600\times10^{-9}}{4.0\times10^{-6}}
=
\frac{450\times10^{-9}}{a_B}
\]

النسبة على الطرف الأيسر هي

\[
\frac{600\times10^{-9}}{4.0\times10^{-6}}
=
0.150
\]

إذن،

\[
a_B
=
\frac{450\times10^{-9}}{0.150}
=
3.0\times10^{-6}\ \text{m}
=
3.0\ \mu\text{m}
\]

أصبح كل من الطول الموجي وعرض الشق أصغر، لكن بالعامل نفسه. ولم تتغير نسبتهما، ولذلك لم تتغير زاوية الحيود.

ولهذا فإن القول إن “الشق الأصغر يعني دائمًا حيودًا أكبر” غير مكتمل. فهذا صحيح فقط عندما يظل الطول الموجي ثابتًا.

السؤال 4

يدرس طالب الحيود باستخدام ضوء طوله الموجي \(700\ \text{nm}\). ويقلل عرض الشق حتى يصل إلى \(500\ \text{nm}\).

يعوض بالقيم في

\[
\sin\theta=\frac{\lambda}{a}
\]

ويحصل على

\[
\sin\theta=1.4
\]

ويستنتج الطالب أن الحد الأدنى الأول يجب أن يحدث عند زاوية أكبر من \(90^\circ\).

اشرح الخطأ في هذا الاستنتاج وما الذي تخبرنا به العملية الحسابية فعليًا.

الحل 4

الاستنتاج غير صحيح لأن جيب أي زاوية حقيقية لا يساوي \(1.4\)؛ وتبيّن العملية الحسابية أنه لا يوجد حد أدنى أول تصفه العلاقة \(a\sin\theta=\lambda\) لهذه القيم.

باستخدام

\[
\sin\theta=\frac{\lambda}{a}
\]

نحصل على

\[
\sin\theta
=
\frac{700\times10^{-9}}{500\times10^{-9}}
=
1.4
\]

بالنسبة إلى أي زاوية فيزيائية،

\[
-1\leq\sin\theta\leq1
\]

لذلك لا يوجد حل حقيقي للمعادلة \(\sin\theta=1.4\).

الفخ هنا هو التعامل مع كل رقم ناتج من التعويض كما لو كان يجب أن تتمكن الآلة الحاسبة من إعطاء زاوية له. فالمعادلات الفيزيائية تتضمن أيضًا شروطًا تحدد الحلول الممكنة فيزيائيًا.

هنا، الطول الموجي أكبر من عرض الشق. والموجة في حالة انتشار شديد للغاية، لكن لا يوجد حد أدنى مظلم أول يحقق شرط الحد الأدنى الأول المعتاد.

السؤال 5

تمر موجة راديوية طولها الموجي \(3.0\ \text{m}\) عبر فتحة عرضها \(12\ \text{m}\). وتمر موجة ثانية عبر فتحة عرضها \(2.0\ \text{m}\) فقط.

يدّعي طالب أن الموجة الثانية لا بد أن تحيد بدرجة أكبر لأن فتحتها أضيق.

أعطِ قيمة ممكنة واحدة للطول الموجي للموجة الثانية تجعل ادعاء الطالب خاطئًا، وبرّر اختيارك كميًا.

الحل 5

أحد الاختيارات الصحيحة هو طول موجي أصغر من \(0.50\ \text{m}\)، مثل \(0.20\ \text{m}\). عند هذا الطول الموجي، تحيد الموجة الثانية بدرجة أقل رغم مرورها عبر الفتحة الأضيق.

بالنسبة إلى الموجة الأولى،

\[
\frac{\lambda_1}{a_1}
=
\frac{3.0}{12}
=
0.25
\]

لكي تحيد الموجة الثانية بدرجة أقل، يجب أن يكون

\[
\frac{\lambda_2}{a_2}<0.25
\]

وبما أن

\[
a_2=2.0\ \text{m}
\]

فنحتاج إلى

\[
\frac{\lambda_2}{2.0}<0.25
\]

ومنها

\[
\lambda_2<0.50\ \text{m}
\]

وباختيار \(\lambda_2=0.20\ \text{m}\)،

\[
\frac{\lambda_2}{a_2}
=
\frac{0.20}{2.0}
=
0.10
\]

وهذا أصغر من \(0.25\)، ولذلك تنتشر الموجة الثانية بدرجة أقل.

خطأ الطالب هو مقارنة عرضي الفتحتين فقط. فالحيود يعتمد على عرض الفتحة بالنسبة إلى الطول الموجي، وليس على عرض الفتحة وحده.

10ما الذي يساعدك الحيود على فهمه بعد ذلك؟

أصبحت الكمية الأساسية الآن واضحة:

\[
\frac{\lambda}{a}
\]

زِد الطول الموجي أو قلّل عرض الفتحة، فيصبح الحيود أقوى. وقلّل الطول الموجي أو زِد عرض الفتحة، فيصبح الحيود أضعف.

تقود هذه العلاقة مباشرة إلى فكرة أعمق: يتكوّن نمط حيود الشق المنفرد بفعل التداخل بين أجزاء مختلفة من جبهة الموجة نفسها. وفهم كيفية إلغاء هذه الأجزاء بعضها لبعض لتكوين الحدود الدنيا المظلمة هو الخطوة التالية نحو تحليل أنماط التداخل، ومحزوزات الحيود، وحدود الأجهزة البصرية.