تراكب الموجات والتداخل في فيزياء HSC

تتحرك نبضتان باتجاه بعضهما على طول وتر. تدفع إحداهما الوتر مسافة 4 mm فوق موضع اتزانه. وتدفعه الأخرى مسافة 3 mm إلى أسفل. عندما تلتقيان، أين يكون الوتر؟

قد يبدو من المغري تصور أن النبضتين تتصادمان، أو ترتدان عن بعضهما، أو تتنافسان بطريقة ما لمعرفة أيهما ستغلب الأخرى. لكن أياً من هذه التصورات ليس دقيقاً تماماً. ففي اللحظة التي تتداخلان فيها، يكون الوتر ببساطة على ارتفاع \(1\text{ mm}\) فوق موضع الاتزان لأن الإزاحتين تُجمعان:

\[
+4\text{ mm}+(-3\text{ mm})=+1\text{ mm}
\]

قاعدة الجمع البسيطة هذه هي تراكب الموجات. وهي تفسر التداخل البنّاء، والتداخل الهدّام، ومع خطوة إضافية واحدة، تفسر أيضاً لماذا تحتوي الموجات الواقفة على عُقَد وبطون.

01ابدأ بجمع الإزاحات

تخيّل نقطة واحدة على وتر مشدود. سنسمّي موضع اتزانها \(y=0\).

تمر نبضة وتحرك تلك النقطة \(5\text{ mm}\) إلى أعلى. إذن إزاحتها هي \(+5\text{ mm}\).

تخيّل الآن أن نبضة ثانية تصل إلى النقطة نفسها في الوقت نفسه، وكانت ستزيحها بمفردها \(2\text{ mm}\) إلى أعلى.

توقّع الإزاحة الفعلية أثناء تداخل النبضتين.

النقطة لا تختار إحدى النبضتين. كما أنها لا تتحرك \(5\text{ mm}\)، ثم \(2\text{ mm}\) إضافية على شكل حركتين منفصلتين. التأثيران موجودان في الوقت نفسه، ولذلك نجمعهما:

\[
y_{\text{resultant}}=+5\text{ mm}+3\text{ mm}=+8\text{ mm}
\]

وبصورة أعم، ينص مبدأ التراكب على أنه عندما تتداخل الموجات، فإن الإزاحة المحصلة عند نقطة ما تساوي المجموع الجبري للإزاحات التي كانت كل موجة ستنتجها بمفردها:

\[
y_{\text{resultant}}=y_1+y_2+y_3+\cdots
\]

حيث:

• \(y_{\text{resultant}}\) هي الإزاحة الفعلية للوسط عن موضع الاتزان
• \(y_1,y_2,y_3,\ldots\) هي إزاحات الموجات المنفردة عند الموضع والزمن نفسيهما

كلمة جبري مهمة هنا. فالاتجاه يُمثَّل بالإشارة.

إذا اعتبرنا الاتجاه إلى أعلى موجباً:

\[
+4\text{ mm}+(+3\text{ mm})=+7\text{ mm}
\]

لكن:

\[
+4\text{ mm}+(-3\text{ mm})=+1\text{ mm}
\]

لم تتحول الموجة الثانية بطريقة ما إلى «موجة سالبة». إنما تكون إزاحتها ببساطة في الاتجاه المعاكس عند تلك النقطة.

ومن النماذج الذهنية المفيدة أن تتخيل شخصين يعطيان تعليمات حركة في الوقت نفسه: «4 mm إلى أعلى» و«3 mm إلى أسفل». يأتي الموضع النهائي من جمع التعليمات مع مراعاة إشاراتها.

لكن هذا التشبيه يصبح غير دقيق لأن الموجات لا تندمج بشكل دائم في تعليمة واحدة. ففي وسط خطي مثالي، تواصل كل موجة انتشارها بعد انتهاء التداخل.

02التداخل البنّاء يعني أن الإزاحات تعزز بعضها بعضاً

لنفترض أن نبضتين متداخلتين تزيحان نقطة إلى أعلى:

\[
y_1=+4\text{ mm},\qquad y_2=+3\text{ mm}
\]

إذن:

\[
y_{\text{resultant}}=+7\text{ mm}
\]

يعزز تأثير كل منهما تأثير الأخرى. وهذا هو التداخل البنّاء.

ويحدث الأمر نفسه إذا كانت كلتا الإزاحتين إلى أسفل:

\[
y_1=-4\text{ mm},\qquad y_2=-3\text{ mm}
\]

ومن ثم:

\[
y_{\text{resultant}}=-7\text{ mm}
\]

لا تشير الإشارة السالبة إلا إلى الاتجاه. أما مقدار الإزاحة فقد ازداد مقارنة بما كانت ستنتجه أي من الموجتين بمفردها.

وبالنسبة إلى النبضات، يمكن استخدام القاعدة الأولية الآتية:

إذا كانت الإزاحات المتداخلة تشير في الاتجاه نفسه، فإنها تتداخل تداخلاً بنّاءً عند ذلك الموضع وفي ذلك الزمن.

03التداخل الهدّام يعني أن الإزاحات تتعاكس

لنفترض الآن أن إحدى النبضتين تدفع إلى أعلى بينما تدفع الأخرى إلى أسفل:

\[
y_1=+5\text{ mm},\qquad y_2=-3\text{ mm}
\]

ما زال مبدأ التراكب يعطينا:

\[
y_{\text{resultant}}
=+5\text{ mm}+(-3\text{ mm})
=+2\text{ mm}
\]

وهذا تداخل هدّام لأن الإزاحتين تتعاكسان.

لاحظ أمراً مهماً: التداخل الهدّام لا يعني تلقائياً أن الإزاحة تساوي صفراً.

لا يحدث الإلغاء الكامل إلا عندما تكون للإزاحتين مقادير متساوية واتجاهات متعاكسة:

\[
+5\text{ mm}+(-5\text{ mm})=0
\]

إذا اختلف المقداران، يكون الإلغاء جزئياً فقط.

وهذا يعطينا قاعدة أفضل:

04الموجات لا تدمر بعضها بعضاً

تخيّل نبضتين متماثلتين تتحركان باتجاه بعضهما. إحداهما إلى أعلى والأخرى إلى أسفل.

في لحظة التداخل التام:

\[
y_1=+A,\qquad y_2=-A
\]

ومن ثم:

\[
y_{\text{resultant}}=0
\]

قد يبدو الوتر مستوياً للحظة.

ماذا تتوقع أن يحدث بعد ذلك؟ هل تختفي النبضتان؟

لا. بعد التداخل، تواصل النبضتان انتشارهما.

قد تبدو هذه النتيجة غريبة لأننا كثيراً ما نتعامل مع الشكل المرئي للوتر كما لو أنه الموجة نفسها. لكن الشكل لا يمثل إلا الإزاحة المحصلة في تلك اللحظة.

أثناء التداخل، تظل كل موجة منفردة جزءاً من عملية التراكب. وعندما تنفصل مواضعهما، لا تعود إزاحاتهما المنفردة تلغي بعضها بعضاً عند النقاط نفسها، فتظهر النبضتان من جديد.

بالنسبة إلى الموجات المثالية المستخدمة في مسائل HSC، لا يؤدي التراكب إلى تغيير الموجات بصورة دائمة.

05التداخل الهدّام لا يعني أن الطاقة قد اختفت

من الاستنتاجات المغرية الأخرى:

«إذا كانت الإزاحة المحصلة صفراً، فلا بد أن تكون طاقة الموجة صفراً.»

هذا الاستنتاج لا يلزم.

كون الإزاحة صفراً في لحظة معينة لا يعني أن الطاقة تساوي صفراً. فقد تمر نقطة على وتر عبر موضع الاتزان وهي تتحرك بسرعة كبيرة. وعندها تكون لها طاقة حركية رغم أن إزاحتها تساوي صفراً.

وبشكل أعم، يغيّر التداخل كيفية توزيع طاقة الموجة. فالتداخل البنّاء ينتج مناطق ذات اهتزاز أكبر، بينما يمكن أن ينتج التداخل الهدّام مناطق ذات اهتزاز أصغر أو، في حالات خاصة، إزاحة تساوي صفراً.

وتصبح هذه الفكرة مهمة بصورة خاصة عند دراسة الموجات الواقفة. فعند العقدة تكون الإزاحة دائماً صفراً، لكن هذا لا يعني أن الموجتين المنتشرتين المسؤولتين عن نمط الموجة الواقفة قد توقفتا عن الوجود.

06بالنسبة إلى الموجات المستمرة، يحدد الطور كيفية تداخلها

مع النبضات المنفردة، يكفي غالباً النظر إلى اتجاه كل إزاحة.

أما الموجات الجيبية المستمرة فتحتاج إلى مفهوم أكثر دقة لأن إزاحاتها تتغير باستمرار.

تأمل موجتين لهما التردد نفسه.

إذا وصلت قمماهما معاً، فإن قيعانهما تصل أيضاً معاً. وتكونان متفقتين في الطور.

بالنسبة إلى موجتين متساويتين في السعة:

\[
+A+(+A)=+2A
\]

عند القمة، بينما:

\[
-A+(-A)=-2A
\]

عند القاع.

إذن تكون سعة الموجة المحصلة \(2A\). وهذا تداخل بنّاء كامل.

والآن أزح إحدى الموجتين بمقدار نصف دورة. فكلما كانت إزاحة إحداهما \(+A\)، كانت إزاحة الأخرى \(-A\). ويكون فرق الطور بينهما \(180^\circ\)، أو \(\pi\) راديان.

بالنسبة إلى سعتين متساويتين:

\[
+A+(-A)=0
\]

وهذا يعطي تداخلاً هدّاماً كاملاً.

أما الحالات الواقعة بين هذين الحدين فتعطي تداخلاً جزئياً. تظل الإزاحات تُجمع، لكن الموجتين لا تكونان متفقتين تماماً في الطور ولا متعاكستين تماماً في الطور.

07يمكن لفرق المسار أن يسبب فرقاً في الطور

لنفترض أن موجتين مترابطتين تنطلقان من مصدرين وهما متفقتان في الطور، لكنهما تقطعان مسافتين مختلفتين قبل الوصول إلى نقطة ما.

إذا قطعت إحداهما طولاً إضافياً يساوي طولاً موجياً واحداً بالضبط، فإنها تصل متأخرة دورة كاملة. والدورة الكاملة تعيدها إلى حالة الاتفاق في الطور مع الموجة الأخرى.

إذا كان فرق المسار هو \(\Delta L\)، فإن فرق الطور الموافق له يساوي:

\[
\Delta\phi=\frac{2\pi\Delta L}{\lambda}
\]

حيث:

• \(\Delta\phi\) هو فرق الطور بوحدة الراديان
• \(\Delta L\) هو فرق المسار بوحدة المتر
• \(\lambda\) هو الطول الموجي بوحدة المتر

بالنسبة إلى مصدرين يبدآن متفقين في الطور، يحدث التداخل البنّاء عندما يكون فرق المسار عدداً صحيحاً من الأطوال الموجية:

\[
\Delta L=m\lambda
\]

حيث \(m=0,1,2,3,\ldots\)

ويحدث التداخل الهدّام عندما يكون فرق المسار عدداً فردياً من أنصاف الأطوال الموجية:

\[
\Delta L=\left(m+\frac12\right)\lambda
\]

تأتي هذه القواعد مباشرة من مبدأ التراكب. فرق المسار الذي يساوي طولاً موجياً كاملاً يجعل القمم والقيعان المتناظرة تصل معاً. أما الإزاحة بمقدار نصف طول موجي فتجعل قمة من إحدى الموجتين تصل مع قاع من الأخرى.

وهناك افتراض مهم ضمني هنا: يجب أن يبدأ المصدران متفقين في الطور. إذا كان بين المصدرين فرق طور منذ لحظة إنتاج الموجتين، فإن فرق المسار وحده لا يحدد العلاقة النهائية بين الطورين.

08طريقة موثوقة لحل مسائل التراكب

عندما تصبح مسألة تراكب معقدة، اتبع هذا الترتيب:

1. اختر اتجاهاً موجباً. على سبيل المثال، يمكن اعتبار الاتجاه إلى أعلى موجباً.
2. أوجد كل إزاحة منفردة عند الموضع والزمن نفسيهما.
3. أعطِ كل إزاحة الإشارة الصحيحة.
4. اجمع الإزاحات جبرياً.
5. فسّر النتيجة. تحدد الإشارة الموجبة أو السالبة الاتجاه، ولا تشير إلى نوع مختلف من الموجات.
6. صنّف التداخل. الإزاحات في الاتجاه نفسه تعزز بعضها بعضاً. والإزاحات في اتجاهات متعاكسة تلغي بعضها جزئياً أو كلياً.
7. بالنسبة إلى الموجات المستمرة، تحقق من الطور. إذا كان فرق المسار جزءاً من المسألة، فحوّله إلى كسر من الطول الموجي أو إلى فرق طور.
8. تحقق من الافتراضات. وبخاصة أن قواعد فرق المسار المعتادة تفترض أن المصدرين يبدآن متفقين في الطور.

ومن الأمور التي لا ينبغي فعلها جمع السعات تلقائياً.

فعلى سبيل المثال، لا تنتج موجتان سعتاهما \(5\text{ mm}\) و\(3\text{ mm}\) دائماً موجة سعتها \(8\text{ mm}\). يحدث ذلك فقط عندما تكونان متفقتين في الطور. أما إذا كان فرق الطور بينهما \(180^\circ\)، فتكون السعة المحصلة \(2\text{ mm}\).

يدور مبدأ التراكب في أساسه حول جمع الإزاحات اللحظية.

09الأسئلة والحلول

السؤال 1

في لحظة معينة، تتداخل نبضتان عند نقطة على وتر. إزاحتاهما المنفردتان هما \(+3.2\text{ cm}\) و\(+1.5\text{ cm}\).

أوجد الإزاحة المحصلة وحدد نوع التداخل.

الحل 1

الإزاحة المحصلة هي \(+4.7\text{ cm}\)، والتداخل بنّاء.

يتطلب مبدأ التراكب جمع الإزاحتين المنفردتين:

\[
y_{\text{resultant}}
=+3.2\text{ cm}+(+1.5\text{ cm})
=+4.7\text{ cm}
\]

الإزاحتان في الاتجاه نفسه، ولذلك تعزز إحداهما الأخرى. ومن ثم تقع النقطة على الوتر على ارتفاع \(4.7\text{ cm}\) فوق موضع الاتزان.

السؤال 2

تتداخل نبضتان عند نقطة. تنتج النبضة A إزاحة مقدارها \(+6.0\text{ mm}\)، بينما تنتج النبضة B إزاحة مقدارها \(-8.5\text{ mm}\).

احسب الإزاحة المحصلة واشرح لماذا لا يعني وصف التداخل بأنه «هدّام» أن الإزاحة يجب أن تساوي صفراً.

الحل 2

الإزاحة المحصلة هي \(-2.5\text{ mm}\)، والتداخل هدّام لكنه ليس هدّاماً بالكامل.

باستخدام مبدأ التراكب:

\[
y_{\text{resultant}}
=+6.0\text{ mm}+(-8.5\text{ mm})
=-2.5\text{ mm}
\]

تعني الإشارة السالبة أن النقطة تقع \(2.5\text{ mm}\) أسفل موضع الاتزان.

تتعاكس الإزاحتان، ولذلك يكون التداخل هدّاماً. ولكي يحدث إلغاء كامل، يجب أن يكون المقداران متساويين والإشارتان متعاكستين. هنا، \(6.0\text{ mm}\neq8.5\text{ mm}\)، ولذلك تبقى إزاحة غير صفرية.

الفخ هنا هو التعامل مع كلمة «هدّام» على أنها تعني «صفر». التداخل الهدّام يعني التعارض، وليس بالضرورة الإلغاء الكامل.

السؤال 3

تقترب نبضتان متماثلتان من بعضهما على وتر. تبلغ الإزاحة العظمى لإحدى النبضتين \(+4.0\text{ cm}\)، بينما تكون الأخرى بالشكل نفسه ولكن مقلوبة، وتبلغ إزاحتها العظمى \(-4.0\text{ cm}\).

في لحظة معينة تتداخلان تداخلاً تاماً ويبدو الوتر مستوياً. يقول طالب: «لقد ألغت الموجتان بعضهما، ولذلك لم تعد توجد أي موجات.»

اشرح الخطأ في هذه العبارة، واذكر ما يحدث بعد ذلك.

الحل 3

تكون الإزاحة المحصلة صفراً مؤقتاً، لكن كلتا النبضتين تظلان موجودتين وتواصلان الانتشار بعد التداخل.

عند التداخل التام، تُجمع الإزاحات المتناظرة فتعطي صفراً:

\[
y_{\text{resultant}}
=+y+(-y)
=0
\]

عند كل نقطة متداخلة.

هذا تداخل هدّام كامل. وهو يخبرنا عن الإزاحة المحصلة أثناء التداخل، ولا يعني أن الموجات المنفردة قد دُمّرت.

بالنسبة إلى الموجات المثالية في وسط خطي، تمر النبضتان عبر بعضهما. وبعد أن تنفصلا، تظهر كل نبضة من جديد بشكلها الأصلي وتواصل الحركة في اتجاهها الأصلي.

خطأ الطالب هو الخلط بين شكل الموجة المحصلة والموجات المنفردة التي تنتج هذا الشكل.

السؤال 4

يُصدر مصدران مترابطان موجات متساوية السعة ومتفقّة في الطور. الطول الموجي هو \(0.60\text{ m}\).

عند النقطة Q، طولا المسارين هما \(5.10\text{ m}\) و\(6.00\text{ m}\).

حدد ما إذا كان التداخل عند Q بنّاءً أم هدّاماً. واذكر ما إذا كان الإلغاء الكامل ممكناً.

الحل 4

تتداخل الموجتان تداخلاً هدّاماً عند Q، والإلغاء الكامل ممكن لأن سعتيهما متساويتان.

أوجد أولاً فرق المسار:

\[
\Delta L
=6.00\text{ m}-5.10\text{ m}
=0.90\text{ m}
\]

قارنه بالطول الموجي:

\[
\frac{\Delta L}{\lambda}
=\frac{0.90}{0.60}
=1.5
\]

إذن:

\[
\Delta L=\frac32\lambda
\]

فرق المسار البالغ \(1.5\lambda\) يساوي عدداً فردياً من أنصاف الأطوال الموجية. وبالنسبة إلى مصدرين يبدآن متفقين في الطور، تصل الموجتان إذن وبينهما فرق طور مقداره \(180^\circ\).

تتعاكس إزاحتاهما. ولأن سعتيهما متساويتان أيضاً، تكون إحدى الإزاحتين السالب الدقيق للأخرى:

\[
y_1+y_2=0
\]

ولذلك يمكن أن يحدث تداخل هدّام كامل.

والتمييز المهم هو أن فرق المسار يحدد العلاقة بين الطورين، بينما يجعل تساوي السعتين الإلغاء الكامل ممكناً.

السؤال 5

يُنتج مصدران مترابطان ومتفقان في الطور موجات بتردد \(50\text{ Hz}\). عند نقطة معينة، يبلغ فرق المسار \(0.40\text{ m}\). وتكون سرعة الموجة في البداية \(40\text{ m s}^{-1}\).

تتداخل الموجتان في البداية تداخلاً هدّاماً.

ثم تزداد سرعة الموجة إلى \(48\text{ m s}^{-1}\)، بينما يظل تردد المصدر وطولا المسارين دون تغيير.

هل سيظل التداخل هدّاماً بالكامل؟ احسب فرق الطور الجديد.

الحل 5

لا. لن يبقى التداخل هدّاماً بالكامل. فرق الطور الجديد هو \(\frac{5\pi}{6}\text{ rad}\)، أو \(150^\circ\).

في البداية، يكون الطول الموجي:

\[
\lambda=\frac{v}{f}
=\frac{40\text{ m s}^{-1}}{50\text{ Hz}}
=0.80\text{ m}
\]

ومن ثم يكون فرق المسار:

\[
\Delta L
=0.40\text{ m}
=\frac12\lambda
\]

وهذا يفسر التداخل الهدّام في البداية.

عندما تزداد السرعة، يظل التردد عند \(50\text{ Hz}\) لأنه تحدده المصادر. ويصبح الطول الموجي الجديد:

\[
\lambda’
=\frac{v’}{f}
=\frac{48\text{ m s}^{-1}}{50\text{ Hz}}
=0.96\text{ m}
\]

لم يتغير فرق المسار الفيزيائي، ولذلك أصبح الآن:

\[
\frac{\Delta L}{\lambda’}
=\frac{0.40}{0.96}
=\frac{5}{12}
\]

من طول موجي.

فرق الطور الجديد هو:

\[
\Delta\phi
=\frac{2\pi\Delta L}{\lambda’}
=2\pi\left(\frac{5}{12}\right)
=\frac{5\pi}{6}\text{ rad}
\]

وهو \(150^\circ\)، وليس \(180^\circ\).

ولذلك لم تعد الموجتان متعاكستين تماماً في الطور، فلا يحدث تداخل هدّام كامل.

الخطأ المغري هنا هو تذكر أن فرق المسار كان \(0.40\text{ m}\) وافتراض أن شرط التداخل يجب أن يبقى كما هو. يعتمد التداخل على فرق المسار بالنسبة إلى الطول الموجي. وتغيير سرعة الموجة يغيّر الطول الموجي عندما يظل التردد ثابتاً.

10من التراكب إلى الموجات الواقفة

الفكرة الأساسية أبسط مما تبدو في البداية: كلما تداخلت موجات، اجمع إزاحاتها عند الموضع والزمن نفسيهما.

التداخل البنّاء والتداخل الهدّام نتيجتان لهذه القاعدة، وليسا قاعدتين منفصلتين تحتاج إلى حفظهما. ويخبرك الطور وفرق المسار ببساطة بما إذا كانت تلك الإزاحات تميل إلى تعزيز بعضها بعضاً أم إلى معاكسة بعضها بعضاً.

والخطوة المفيدة التالية هي الموجات الواقفة. فعندما تنتقل موجتان لهما التردد والسعة نفسيهما في اتجاهين متعاكسين، يُنشئ التراكب المتكرر عُقَداً ثابتة، يحدث عندها تداخل هدّام، وبطوناً يصل عندها الاهتزاز إلى أكبر سعة له. يصبح فهم هذه الأنماط أسهل بكثير عندما تتمكن من النظر إلى الموجات المتداخلة وطرح السؤال الأول الصحيح: ما الإزاحات الموقعة هنا، في هذه اللحظة؟