الزخم أم الطاقة الحركية؟ دليل لمسائل التصادم
تعلّم كيفية اختيار المعادلات المناسبة لمسائل التصادم من خلال تحديد النظام، والتحقق من الدفع الخارجي، والتمييز بين التصادمات المرنة وغير المرنة. يتضمن المقال أمثلة محلولة وخمسة أسئلة تدريبية مع حلول مفصلة.
تصطدم عربة كتلتها 2.0 kg وتتحرك بسرعة \(+4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) بعربة أخرى ساكنة كتلتها 1.0 kg. يبدأ الجسمان بزخم كلي مقداره \(+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\). هل يمكنك حساب السرعتين النهائيتين كلتيهما اعتمادًا على هذه المعلومات وحدها؟
قبل اختيار معادلة، فكّر في ثلاثة احتمالات: حفظ الزخم، أو حفظ الطاقة الحركية، أو حفظ كليهما. يعتمد الاختيار الصحيح على النظام الذي تدرسه، والقوى الخارجية المؤثرة أثناء التصادم، وما تعرفه عن طبيعة التصادم نفسه.
البداية نفسها، ونتائج تصادم مختلفة
| الحالة الابتدائية | m₁ = 2.0 kg, u₁ = +4.0 m/s; m₂ = 1.0 kg, u₂ = 0 الزخم الكلي = +8.0 kg·m/s |
|---|---|
| يلتصقان معًا | v₁ = v₂ = +2.67 m/s يحدد حفظ الزخم السرعة النهائية المشتركة. |
| ينفصلان بعد التصادم | 2.0v₁ + 1.0v₂ = 8.0 السرعات بوحدة m/s؛ الزخم وحده يسمح بنتائج متعددة. إذا كان التصادم مرنًا: v₁ = +1.33 m/s, v₂ = +5.33 m/s. |
المفتاح هو البدء بالزخم، بشرط أن تكون محصلة الدفع الخارجي مهملة. أما الطاقة الحركية فهي شرط إضافي، وليست كمية تُحفظ تلقائيًا كلما تصادمت الأجسام.
01اختر نظامك قبل اختيار معادلتك
النظام هو مجموعة الأجسام التي تحلل حركتها. عند دراسة تصادم، يؤثر تحديد الأجسام التي تنتمي إلى النظام في تحديد القوى التي تُعد خارجية.
تخيّل عربتين تتصادمان على مسار.
إذا كان نظامك يضم العربتين كلتيهما، فإن القوى التي تؤثر بها كل عربة في الأخرى تُعد قوى داخلية. ووفقًا لقانون نيوتن الثالث، تكون هذه القوى متساوية في المقدار ومتعاكسة في الاتجاه. لذلك، يتلاشى الدفع الناتج عن كل منهما مع الدفع الناتج عن الأخرى عند حساب الزخم الكلي للعربتين.
أما إذا كان نظامك يضم العربة الأولى فقط، فإن القوة التي تؤثر بها العربة الثانية تُعد قوة خارجية بالنسبة إلى نظامك. ونتيجة لذلك، يتغير زخم العربة الأولى أثناء التصادم.
يحدد النظام أيّ القوى تُعد خارجية
| النظام: A وB | F(B on A) = −F(A on B) كلتا القوتين داخليتان بالنسبة إلى النظام. محصلتهما صفر؛ ويبقى الزخم الكلي دون تغيير إذا كانت محصلة الدفع الخارجي مهملة. |
|---|---|
| النظام: A فقط | Δp(A) = J(B on A) القوة المؤثرة من B خارجية بالنسبة إلى هذا النظام. تغيّر زخم A أثناء التصادم. |
هل تعني القوة الخارجية تلقائيًا أن الزخم غير محفوظ؟
ليس بالضرورة. عليك أن تأخذ في الحسبان الدفع الخارجي أثناء التصادم.
يقيس الدفع أثر قوة تؤثر خلال فترة زمنية. وبالنسبة إلى أي نظام، فإن محصلة الدفع الخارجي تساوي التغير في الزخم الكلي للنظام:
\[ J_{\text{الخارجي}}=\Delta p_{\text{النظام}} =p_f-p_i \]
حيث:
- \(J_{\text{الخارجي}}\) هو محصلة الدفع الخارجي، ويُقاس بوحدة نيوتن-ثانية (\(\mathrm{N\,s}\)).
- \(p_i\) هو الزخم الكلي للنظام قبل التصادم.
- \(p_f\) هو الزخم الكلي للنظام بعد التصادم.
إذا كانت محصلة الدفع الخارجي تساوي صفرًا، أو كانت مهملة مقارنة بتغيرات الزخم التي تدرسها، فإن الزخم الكلي محفوظ:
\[ p_i\approx p_f \]
أما إذا كان الدفع الخارجي مؤثرًا بدرجة كبيرة، فاستخدم العلاقة الأكثر عمومية:
\[ p_f=p_i+J_{\text{الخارجي}} \]
هذا التمييز مفيد في أسئلة HSC. فقد تؤثر قوة تصادم كبيرة بين جسمين مع بقاء الزخم الكلي للجسمين محفوظًا، لأن هذه القوة داخلية بالنسبة إلى النظام الذي يضم الجسمين. وفي المقابل، يُعد الاحتكاك الناتج عن المسار قوة خارجية، وقد يغير الزخم الكلي للجسمين.
السؤال المهم ليس مجرد ما إذا كانت هناك قوى خارجية، بل ما إذا كان من الممكن إهمال محصلة الدفع الناتج عن هذه القوى أثناء التصادم.
02الزخم هو نقطة البداية في مسائل التصادم
يصف الزخم كتلة الجسم وسرعته المتجهة معًا:
\[ p=mv \]
حيث إن \(p\) هو الزخم، و\(m\) هي الكتلة بالكيلوغرام، و\(v\) هي السرعة المتجهة بالمتر لكل ثانية. والزخم كمية متجهة، لذا فإن الاتجاه مهم.
في تصادم أحادي البعد بين جسمين، يُعطى حفظ الزخم بالعلاقة:
\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]
حيث:
- \(m_1\) و\(m_2\) هما كتلتا الجسمين.
- \(u_1\) و\(u_2\) هما السرعتان المتجهتان الابتدائيتان.
- \(v_1\) و\(v_2\) هما السرعتان المتجهتان النهائيتان.
حدّد اتجاهًا موجبًا قبل التعويض بالقيم. فإذا اعتبرت الاتجاه إلى اليمين موجبًا، فإن سرعة الجسم المتحرك إلى اليسار تكون سالبة.
تنطبق هذه المعادلة على التصادمات المرنة وغير المرنة على حد سواء، بشرط أن تكون محصلة الدفع الخارجي على النظام المختار مهملة.
وهذا تمييز مهم. فحفظ الزخم لا يتطلب أن ترتد الأجسام ارتدادًا مثاليًا، أو أن تحتفظ بسرعاتها الأصلية، أو أن تحتفظ بكامل طاقتها الحركية. بل يتطلب أن يبقى الزخم الكلي للنظام دون تغيير.
لكن الزخم وحده قد لا يكفي لتحديد جميع المجاهيل. فإذا كانت السرعتان النهائيتان لجسمين مجهولتين، فإن معادلة الزخم تعطي علاقة واحدة فقط بينهما. وستحتاج إلى شرط إضافي لتحديد السرعتين كلتيهما.
وهنا تصبح كيفية تغير الطاقة أثناء التصادم مهمة.
03الطاقة الحركية شرط إضافي
تصف الطاقة الحركية الطاقة التي يمتلكها الجسم بسبب حركته:
\[ E_k=\frac12mv^2 \]
على خلاف الزخم، فإن الطاقة الحركية كمية قياسية. وبما أن السرعة المتجهة تُربَّع، فإن الاتجاه لا يؤثر في قيمتها.
بالنسبة إلى نظام مكوّن من جسمين، تكون الطاقة الحركية الكلية قبل التصادم:
\[ E_{k,i}=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2 \]
أما التعبير المقابل بعد التصادم فهو:
\[ E_{k,f}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2 \]
يعتمد تساوي هاتين الكميتين على طبيعة التصادم.
التصادمات المرنة
في التصادم المرن، تُحفظ الطاقة الحركية الكلية للأجسام المتصادمة:
\[ E_{k,i}=E_{k,f} \]
إذا كانت محصلة الدفع الخارجي مهملة أيضًا، فيمكنك استخدام معادلتي حفظ الزخم وحفظ الطاقة الحركية معًا.
توفر هاتان المعادلتان علاقتين مستقلتين، وقد يكون ذلك كافيًا لتحديد سرعتين نهائيتين مجهولتين.
التصادمات غير المرنة
في التصادم غير المرن، لا تُحفظ الطاقة الحركية الكلية. إذ تنتقل بعض الطاقة الحركية إلى أشكال أخرى، مثل التشوّه والصوت والطاقة الحرارية أو الطاقة الداخلية.
ومع ذلك، يمكن أن يبقى الزخم محفوظًا في الوقت نفسه.
إذا التصق جسمان بعد التصادم، فيُسمّى التصادم تصادمًا غير مرن تمامًا. وتكون لهما السرعة النهائية نفسها:
\[ v_1=v_2=v_f \]
توفر هذه السرعة المشتركة شرطًا إضافيًا. ويمكنك حسابها باستخدام حفظ الزخم دون افتراض أن الطاقة الحركية محفوظة.
تكون الطاقة الحركية للجسمين عمومًا أقل بعد التصاقهما، رغم أن الطاقة الكلية للنظام الكامل محفوظة.
ما الكميات المحفوظة في التصادم؟
| تصادم مرن | pᵢ = pᶠ; Eₖ,ᵢ = Eₖ,ᶠ يبقى الزخم الكلي والطاقة الحركية الكلية دون تغيير. |
|---|---|
| تصادم غير مرن | pᵢ = pᶠ; Eₖ,ᶠ < Eₖ,ᵢ تنخفض الطاقة الحركية؛ وينتقل الفرق إلى أشكال أخرى، مثل الصوت أو الطاقة الحرارية أو التشوّه. |
هناك ملاحظة مهمة ينبغي تذكرها عند التعامل مع الأسئلة الأكثر تقدمًا: إذا أطلق نابض أو مخزن آخر للطاقة الداخلية طاقة أثناء التصادم، فقد تزداد الطاقة الحركية الكلية للأجسام بالفعل. ومع ذلك، لا يجعل هذا التصادم مرنًا. إذ يتحدد كون التصادم مرنًا بما إذا كانت الطاقة الحركية الكلية لم تتغير.
04تسلسل عملي لاتخاذ القرار
استخدم التسلسل الآتي كلما طلبت منك مسألة تصادم حساب السرعات النهائية، أو تغيرات الطاقة، أو كليهما.
اختر المعادلات المناسبة للتصادم
- حدّد النظام
حدّد الأجسام التي يتضمنها النظام.
- تحقّق من الدفع الخارجي
pᶠ = pᵢ + Jₑₓₜ
إذا كان الدفع مهملًا: احفظ الزخم. وإلا، فأدرج محصلة الدفع الخارجي.
- تحقّق من مرونة التصادم
إذا نُصّ صراحةً على أن التصادم مرن، فاحفظ الطاقة الحركية الكلية أيضًا. وإلا، فلا تفترض ذلك.
- تحقّق مما إذا كانت الأجسام تلتصق معًا
v₁ = v₂ = vᶠ
استخدم سرعة نهائية مشتركة ومعادلة الزخم والدفع المناسبة.
- تحقّق من المعلومات الناقصة
أحصِ المعادلات المستقلة والمجاهيل. وإذا لزم الأمر، فحدّد شرطًا إضافيًا صالحًا.
جدول اختيار الطريقة
| المعلومات المعطاة | المعادلات المستخدمة | الخطأ الشائع |
|---|---|---|
| الدفع الخارجي مهمل، لكن نوع التصادم غير معروف | حفظ الزخم | افتراض أن الطاقة الحركية محفوظة |
| التصادم موصوف صراحةً بأنه مرن | حفظ الزخم والطاقة الحركية | إغفال إشارات السرعات في معادلة الزخم |
| الجسمان يلتصقان معًا | حفظ الزخم وافتراض سرعة نهائية مشتركة | افتراض حفظ الطاقة الحركية أيضًا |
| توجد قيمة معطاة لدفع خارجي مؤثر | \(p_f=p_i+J_{\text{الخارجي}}\) | مساواة الزخم الابتدائي بالزخم النهائي |
| السرعتان النهائيتان مجهولتان، لكن المعلومات المتاحة تتعلق بالزخم فقط | تعطي معادلة الزخم علاقة واحدة | افتراض أن معادلة واحدة تكفي لتحديد مجهولين مستقلين |
أربعة أسئلة تطرحها على نفسك قبل الحساب
- ما الأجسام التي تنتمي إلى النظام الذي أدرسه؟
- هل محصلة الدفع الخارجي أثناء التصادم مهملة؟
- هل ينص السؤال على أن التصادم مرن، أو أن الجسمين يلتصقان معًا، أو يقدّم شرطًا آخر؟
- بعد كتابة المعادلات التي يمكنني استخدامها على نحو صحيح، هل لدي عدد كافٍ من العلاقات المستقلة لحساب جميع المجاهيل؟
إذا لم تستطع تبرير حفظ الطاقة الحركية، فلا تستخدمه. وإذا كان عدد المجاهيل أكبر من عدد المعادلات المستقلة، فأنت بحاجة إلى معلومات فيزيائية إضافية. لن تتمكن أي إعادة لترتيب المعادلات من توفير شرط مفقود.
05مثال محلول: التصاق عربتين بعد التصادم
تتحرك عربة كتلتها 2.0 kg إلى اليمين بسرعة \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وتصطدم بعربة ساكنة كتلتها 1.0 kg. تلتصق العربتان معًا. ومحصلة الدفع الأفقي الخارجي على العربتين مهملة.
احسب سرعتهما النهائية المشتركة، ومقدار الانخفاض في طاقتهما الحركية الكلية.
الخطوة 1
اعتبر العربتين نظامًا واحدًا. وبما أن محصلة الدفع الأفقي الخارجي مهملة، فإن الزخم الكلي محفوظ.
ولأن العربتين تلتصقان معًا، فإن لهما سرعة نهائية واحدة، \(v_f\). ولا نفترض أن الطاقة الحركية محفوظة.
الخطوة 2
\[ m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v_f \]
عوّض بالقيم المعروفة، مع اعتبار الاتجاه إلى اليمين موجبًا:
\[ (2.0)(+4.0)+(1.0)(0)=(3.0)v_f \]
إذن،
\[ v_f=\frac{8.0}{3.0} =+2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
تتحرك العربتان معًا إلى اليمين بسرعة \(2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
الخطوة 3
قبل التصادم، تكون العربة الأولى وحدها متحركة:
\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]
بعد التصادم، تصبح الكتلة المجمعة \(3.0\ \mathrm{kg}\):
\[ E_{k,f}=\frac12(3.0) \left(\frac83\right)^2 =10.67\ \mathrm J \]
يكون الانخفاض في الطاقة الحركية:
\[ \begin{aligned} E_{k,\text{الانخفاض}} &=E_{k,i}-E_{k,f}\\ &=16.0-10.67\\ &=5.33\ \mathrm J \end{aligned} \]
الخطوة 4
الزخم الكلي للعربتين محفوظ، لكن طاقتهما الحركية الكلية تنخفض بمقدار \(5.33\ \mathrm J\).
لم تختفِ هذه الطاقة، بل انتقلت إلى أشكال أخرى، مثل التشوّه أو الصوت أو الطاقة الداخلية. وحقيقة أن العربتين تلتصقان معًا تعني أنه لا ينبغي استخدام حفظ الطاقة الحركية معادلةً لتحديد حركتهما النهائية.
06مثال محلول: تصادم مرن بين العربتين نفسيهما
تصطدم العربة نفسها، التي كتلتها 2.0 kg وتتحرك بسرعة \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، بعربة ساكنة كتلتها 1.0 kg. لكن هذه المرة، يُذكر صراحةً أن التصادم مرن، وأن العربتين تنفصلان بعد التصادم. ومحصلة الدفع الأفقي الخارجي مهملة.
أوجد السرعة النهائية لكل عربة.
الخطوة 1
تشكّل العربتان النظام، والدفع الخارجي مهمل. لذلك، يمكننا تطبيق قانون حفظ الزخم الكلي.
التصادم مرن صراحةً، لذا يمكننا أيضًا تطبيق قانون حفظ الطاقة الحركية. وستحدد هاتان المعادلتان السرعتين النهائيتين.
الخطوة 2
لتكن \(v_1\) و\(v_2\) السرعتين النهائيتين للعربتين اللتين كتلتهما 2.0 kg و1.0 kg على الترتيب.
\[ (2.0)(4.0)+(1.0)(0) =2.0v_1+1.0v_2 \]
وباستخدام السرعات بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)، تُبسَّط المعادلة إلى:
\[ 2v_1+v_2=8 \]
أعد ترتيب المعادلة للتعبير عن أحد المجهولين بدلالة الآخر:
\[ v_2=8-2v_1 \]
الخطوة 3
الطاقة الحركية الكلية الابتدائية تساوي \(16.0\ \mathrm J\). وبما أن التصادم مرن، فلا بد أن تكون الطاقة الحركية الكلية النهائية مساوية أيضًا لـ \(16.0\ \mathrm J\).
\[ \frac12(2.0)v_1^2+ \frac12(1.0)v_2^2=16 \]
وبتبسيط المعاملات العددية، مع قياس السرعات بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-1}}\):
\[ v_1^2+\frac12v_2^2=16 \]
الخطوة 4
عوّض عن \(v_2\) بالتعبير \(8-2v_1\) في معادلة الطاقة الحركية:
\[ v_1^2+\frac12(8-2v_1)^2=16 \]
وبفك الأقواس والتبسيط، نحصل على:
\[ 3v_1^2-16v_1+16=0 \]
وبالتحليل إلى عوامل:
\[ (3v_1-4)(v_1-4)=0 \]
إذن،
\[ v_1=\frac43 \quad\text{أو}\quad v_1=4 \]
الجذر \(v_1=4\) يعطي \(v_2=0\). وهذه هي الحالة الابتدائية دون تغيير، وليست التصادم المذكور الذي تتفاعل فيه العربتان ثم تنفصلان بعد التصادم. لذلك، نرفض هذا الحل.
الحل الفيزيائي هو:
\[ v_1=\frac43=+1.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
ثم،
\[ v_2=8-2\left(\frac43\right) =\frac{16}{3} =+5.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
الخطوة 5
الزخم النهائي هو:
\[ \begin{aligned} p_f &=(2.0)\left(\frac43\right) +(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)\\ &=8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
الطاقة الحركية النهائية هي:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)\left(\frac43\right)^2\\ &\quad+\frac12(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)^2\\ &=16.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
تتطابق الكميتان مع قيمتيهما الابتدائيتين، كما يجب في هذا التصادم المرن المعزول.
لاحظ أن البيانات الابتدائية كانت متطابقة في المثالين المحلولين. أنتج التصادم الأول سرعة نهائية مشتركة وانخفاضًا في الطاقة الحركية. أما التصادم الثاني فأنتج سرعتين نهائيتين مختلفتين، مع حفظ الزخم والطاقة الحركية معًا.
لقد حددت شروط التصادم المعادلات التي يمكن استخدامها على نحو صحيح.
- الطاقة الحركية الكلية
07الأسئلة والحلول
السؤال 1
تتحرك عربة كتلتها 1.5 kg إلى اليمين بسرعة \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وتصطدم بعربة ساكنة كتلتها 2.5 kg. تلتصق العربتان معًا، ومحصلة الدفع الأفقي الخارجي مهملة.
احسب سرعتهما النهائية المشتركة، ومقدار الانخفاض في الطاقة الحركية الكلية.
الحل 1
تتحرك العربتان معًا بسرعة \(+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وتنخفض طاقتهما الحركية الكلية بمقدار \(16.9\ \mathrm J\) تقريبًا.
بما أن العربتين تلتصقان معًا، فلهما سرعة نهائية واحدة. يعطي حفظ الزخم:
\[ \begin{aligned} (1.5)(6.0)+(2.5)(0)&=(1.5+2.5)v_f\\ 9.0&=4.0v_f\\ v_f&=+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
لنحسب الآن الطاقة الحركية الابتدائية:
\[ E_{k,i}=\frac12(1.5)(6.0)^2 =27.0\ \mathrm J \]
الطاقة الحركية النهائية هي:
\[ E_{k,f}=\frac12(4.0)(2.25)^2 =10.125\ \mathrm J \]
إذن،
\[ \begin{aligned} E_{k,\text{الانخفاض}} &=27.0-10.125\\ &=16.875\ \mathrm J\\ &\approx16.9\ \mathrm J \end{aligned} \]
يحدث هذا الانخفاض لأن التصادم غير مرن تمامًا. حساب الزخم صحيح، لكن افتراض حفظ الطاقة الحركية سيؤدي إلى نتيجة خاطئة.
السؤال 2
تتحرك كرة كتلتها \(0.40\ \mathrm{kg}\) إلى اليمين بسرعة \(12\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وتصطدم بكرة كتلتها \(0.60\ \mathrm{kg}\) تتحرك إلى اليسار بسرعة \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). بعد التصادم، تتحرك الكرة الأولى إلى اليسار بسرعة \(3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). افترض أن محصلة الدفع الخارجي على نظام الكرتين مهملة.
احسب السرعة النهائية للكرة الثانية. وحدّد ما إذا كان التصادم مرنًا.
الحل 2
تتحرك الكرة الثانية إلى اليمين بسرعة \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، والتصادم غير مرن لأن الطاقة الحركية الكلية تنخفض بمقدار \(9.0\ \mathrm J\).
اعتبر الاتجاه إلى اليمين موجبًا. يعطي حفظ الزخم:
\[ \begin{aligned} p_i&=(0.40)(+12)+(0.60)(-2.0)\\ &=3.6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
لتكن \(v_2\) السرعة النهائية للكرة الثانية. إذن،
\[ \begin{aligned} 3.6&=(0.40)(-3.0)+(0.60)v_2\\ 3.6&=-1.2+0.60v_2\\ v_2&=\frac{4.8}{0.60}\\ &=+8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
لنقارن الآن الطاقتين الحركيتين الكليتين.
قبل التصادم:
\[ \begin{aligned} E_{k,i} &=\frac12(0.40)(12)^2 +\frac12(0.60)(2.0)^2\\ &=28.8+1.2\\ &=30.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
بعد التصادم:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(0.40)(3.0)^2 +\frac12(0.60)(8.0)^2\\ &=1.8+19.2\\ &=21.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
مقدار الانخفاض هو:
\[ 30.0-21.0=9.0\ \mathrm J \]
التصادم غير مرن لأن الطاقة الحركية الكلية قد تغيرت. ومع ذلك، يظل الزخم محفوظًا لأن محصلة الدفع الخارجي مهملة. هذان شرطان منفصلان، وتحقيق أحدهما لا يعني تلقائيًا تحقيق الآخر.
السؤال 3
يتحرك قرص كتلته \(1.0\ \mathrm{kg}\) إلى اليمين بسرعة \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، ويصطدم بقرص ساكن كتلته \(2.0\ \mathrm{kg}\). يلتصق القرصان معًا.
أثناء التصادم الذي يستمر \(0.20\ \mathrm s\)، تكون القوة الأفقية الخارجية المحصلة المتوسطة المؤثرة على نظام القرصين \(5.0\ \mathrm N\) نحو اليسار.
احسب السرعة النهائية للقرصين بعد اتحادهما. واشرح الخطأ في حساب يفترض أن الزخم الكلي محفوظ.
الحل 3
يتحرك القرصان بعد اتحادهما إلى اليمين بسرعة \(1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). وسيؤدي افتراض حفظ الزخم إلى نتيجة خاطئة مقدارها \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، لأن الدفع الخارجي ليس مهملًا.
الزخم الكلي الابتدائي هو:
\[ p_i=(1.0)(6.0)+(2.0)(0) =6.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]
الدفع الخارجي هو:
\[ \begin{aligned} J_{\text{الخارجي}} &=F_{\text{avg}}\Delta t\\ &=(-5.0)(0.20)\\ &=-1.0\ \mathrm{N\,s} \end{aligned} \]
استخدم علاقة الدفع والزخم:
\[ \begin{aligned} p_f&=p_i+J_{\text{الخارجي}}\\ &=6.0-1.0\\ &=5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
الكتلة المجمعة هي \(3.0\ \mathrm{kg}\)، لذا:
\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m_1+m_2}\\ &=\frac{5.0}{3.0}\\ &=+1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
إذا ساويتَ \(p_f=p_i\) على نحو خاطئ، فستحصل على:
\[ v_f=\frac{6.0}{3.0} =2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
تتجاهل هذه النتيجة الدفع البالغ \(-1.0\ \mathrm{N\,s}\) الذي أثرت به البيئة المحيطة. تلغي قوى التصادم الداخلية بعضها بعضًا في حساب الزخم الكلي، لكن القوة الخارجية الناتجة عن البيئة المحيطة تغير زخم النظام.
السؤال 4
أظهرت القياسات أثناء تصادم الزخمين التاليين:
- يتغير زخم الجسم A من \(+10\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) إلى \(+2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).
- يتغير زخم الجسم B من \(-4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) إلى \(+4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).
يجادل أحد الطلاب بأن الزخم لم يكن محفوظًا لأن الجسم A فقد جزءًا من زخمه. بينما يجادل طالب آخر بأن الزخم كان محفوظًا لأن الزخم الكلي للجسمين بقي ثابتًا.
حدّد أي الطالبين على صواب بالنسبة إلى نظام الجسمين، وبالنسبة إلى الجسم A وحده. احسب محصلة الدفع الخارجي على الجسمين، واشرح ما إذا كانت البيانات تثبت أن التصادم كان مرنًا.
الحل 4
الطالب الثاني على صواب بالنسبة إلى نظام الجسمين، لكن الزخم غير محفوظ بالنسبة إلى الجسم A وحده. محصلة الدفع الخارجي على الجسمين تساوي صفرًا، ولا تثبت القياسات ما إذا كان التصادم مرنًا.
بالنسبة إلى نظام الجسمين، يكون الزخم الكلي الابتدائي:
\[ \begin{aligned} p_i&=+10+(-4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
الزخم الكلي النهائي هو:
\[ \begin{aligned} p_f&=+2+(+4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
إذن،
\[ J_{\text{الخارجي}}=p_f-p_i=0\ \mathrm{N\,s} \]
لم يتغير الزخم الكلي للجسمين. فقد انخفض زخم الجسم A بمقدار \(8\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)، بينما ازداد زخم الجسم B بالمقدار نفسه. لذلك، يتلاشى التغيران عند حساب الزخم الكلي.
أما بالنسبة إلى الجسم A وحده، فإن القوة التي يؤثر بها الجسم B فيه تُعد قوة خارجية. ولذلك، لا يكون زخم الجسم A محفوظًا أثناء التصادم.
وأخيرًا، لا تكفي قياسات الزخم وحدها لإثبات ما إذا كان التصادم مرنًا. ستحتاج إلى معلومات كافية عن كتل الأجسام وسرعاتها لمقارنة طاقاتها الحركية الكلية قبل التصادم وبعده. فتساوي الزخم الكلي لا يعني تساوي الطاقة الحركية الكلية.
السؤال 5
تتحرك عربة A كتلتها \(2.0\ \mathrm{kg}\) إلى اليمين بسرعة \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وتصطدم بعربة B ساكنة كتلتها \(1.0\ \mathrm{kg}\). محصلة الدفع الأفقي الخارجي على نظام العربتين مهملة.
بعد التصادم مباشرةً، تعطي القياسات النتائج التالية:
- العربة A: \(+1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
- العربة B: \(+6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
تحتوي العربتان على آلية نابض محمّلة مسبقًا تطلق الطاقة المخزنة أثناء التلامس. افترض أن الآلية جزء من النظام، وأن جميع مخازن الطاقة الأخرى تبقى دون تغيير.
يدّعي أحد الطلاب أن القياسات مستحيلة، قائلًا: «إذا كان النظام معزولًا، فلا بد أن يُحفظ كل من الزخم والطاقة الحركية».
قيّم هذا الادعاء. احسب الزخم الكلي والطاقة الحركية الكلية قبل التصادم وبعده، ثم حدّد مقدار التغير في الطاقة المخزنة في النابض.
الحل 5
تتفق القياسات مع حفظ الزخم، لكن الطاقة الحركية الكلية تزداد بمقدار \(3.0\ \mathrm J\). التصادم غير مرن؛ إذ يطلق النابض \(3.0\ \mathrm J\) من الطاقة المخزنة، فتتحول إلى طاقة حركية إضافية.
أولًا، تحقّق من حفظ الزخم.
قبل التصادم:
\[ \begin{aligned} p_i&=(2.0)(+4.0)+(1.0)(0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
بعد التصادم:
\[ \begin{aligned} p_f&=(2.0)(+1.0)+(1.0)(+6.0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
لم يتغير الزخم الكلي. ويمكن للقوى الداخلية بين العربتين، بما فيها القوى المرتبطة بآلية النابض، أن تعيد توزيع الزخم بين الجسمين دون تغيير الزخم الكلي للنظام.
لنقارن الآن الطاقتين الحركيتين.
في البداية:
\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]
في النهاية:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)(1.0)^2 +\frac12(1.0)(6.0)^2\\ &=1.0+18.0\\ &=19.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
الزيادة في الطاقة الحركية هي:
\[ \Delta E_k=19.0-16.0=+3.0\ \mathrm J \]
بما أن النابض هو مخزن الطاقة الآخر الوحيد الذي تغيرت طاقته، فلا بد أن تنخفض الطاقة المخزنة فيه بمقدار \(3.0\ \mathrm J\). وتأتي الطاقة الحركية الإضافية من مخزن الطاقة الداخلية هذا.
خطأ الطالب هو الخلط بين حفظ الطاقة الكلية وحفظ الطاقة الحركية. فالنظام المعزول يحفظ طاقته الكلية، لكن الطاقة يمكن أن تنتقل بين الطاقة الحركية وطاقة الوضع المرونية والطاقة الحرارية وأشكال أخرى.
التصادم غير مرن لأن طاقته الحركية الكلية قد تغيرت. وحفظ الزخم لا يفرض حفظ الطاقة الحركية.
هذه هي القاعدة الأعمق: يتعلق حفظ الزخم بمحصلة الدفع الخارجي المؤثر على النظام، بينما يعتمد حفظ الطاقة الحركية على طبيعة التفاعل وانتقالات الطاقة داخل ذلك النظام.
المفهوم المفيد التالي هو علاقة الدفع والزخم. فعندما يتضمن سؤال عن التصادم رسمًا بيانيًا للقوة بدلالة الزمن، تعطي المساحة تحت المنحنى قيمة الدفع، التي تحدد مقدار التغير في الزخم الكلي للنظام. وهذه هي الطريقة التي ينبغي استخدامها عندما لا يعود افتراض إهمال الدفع الخارجي صالحًا.