تحليل القوى إلى مركبات في فيزياء HSC

يسحب حبلٌ صندوقًا بقوة مقدارها \(100\text{ N}\) بزاوية \(30^\circ\) فوق الأفقي. لا تؤثر القوة في الصندوق بقوة أفقية مقدارها \(100\text{ N}\) وأخرى رأسية مقدارها \(100\text{ N}\). فهذا سيؤدي إلى قوة أكبر من القوة الأصلية. إذن، ما مقدار القوة \(100\text{ N}\) التي تؤثر في كل اتجاه؟

قبل إجراء الحسابات، توقّع ما يلي: هل ستكون المركبة الأفقية أكبر أم أصغر من المركبة الرأسية؟

عند زاوية \(30^\circ\) فوق الأفقي، يتجه معظم تأثير القوة جانبيًا، بينما يتجه جزء منها فقط إلى الأعلى. لذلك، لا بد أن تكون المركبة الأفقية أكبر. إن تحليل القوة إلى مركبات هو الأسلوب الرياضي لتحويل هذا التصور إلى أرقام.

01يمكن لقوة واحدة أن تصف الحركة في اتجاهين

افترض أن قوة \(F\) تؤثر بصورة مائلة.

يمكنك تمثيل القوة نفسها باستخدام:

• مركبة أفقية، \(F_x\)
• مركبة رأسية، \(F_y\)

هاتان المركبتان ليستا قوتين جديدتين تظهران فجأة، بل هما جزآن متعامدان من القوة الأصلية.

تخيّل أنك تحمل أريكة يصعب حملها قليلًا صعودًا على درج. يمكن وصف حركتك بأنها مسافة إلى الأمام ومسافة إلى الأعلى. لم تقطع المسافة مرتين دون أن تدري، بل وصفت إزاحة واحدة باستخدام اتجاهين.

تعمل مركبات القوة بالطريقة نفسها.

يمثّل متجه القوة وتر المثلث القائم الزاوية، بينما تمثّل المركبتان الضلعين الأقصر.

هذا المثلث هو مفتاح الطريقة بأكملها.

02لماذا يعطي جيب التمام المركبة الأفقية؟

افترض أن الزاوية \(\theta\) مقاسة من المحور الأفقي الموجب.

من حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية:

\[ \cos\theta = \frac{\text{الضلع المجاور}}{\text{الوتر}} \]

في مثلث القوة لدينا:

• الضلع المجاور هو \(F_x\)
• الوتر هو \(F\)

إذن:

\[ \cos\theta = \frac{F_x}{F} \]

وبالتالي:

\[ F_x = F\cos\theta \]

وبالمثل:

\[ \sin\theta = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الوتر}} \]

لذلك:

\[ F_y = F\sin\theta \]

حيث:

• \(F\) هو مقدار القوة الأصلية، بوحدة النيوتن (N)
• \(F_x\) هي المركبة الأفقية، بوحدة النيوتن
• \(F_y\) هي المركبة الرأسية، بوحدة النيوتن
• \(\theta\) هي الزاوية المقاسة من المحور \(x\) الموجب في هذا الترتيب تحديدًا

هذه النقطة الأخيرة أهم بكثير من حفظ المعادلة التي تحتوي على الجيب أو جيب التمام.

03لا تحفظ قاعدة «الأفقي يعني جيب التمام»

من القواعد المختصرة الشائعة:

نستخدم جيب التمام للمركبة الأفقية، والجيب للمركبة الرأسية.

لكن هذه القاعدة لا تصح إلا عندما تكون الزاوية مقاسة من المحور الأفقي.

القاعدة الحقيقية هي:

• المركبة المجاورة للزاوية تُحسب باستخدام جيب التمام.
• المركبة المقابلة للزاوية تُحسب باستخدام الجيب.

افترض بدلًا من ذلك أن قوة مقدارها \(50\text{ N}\) تصنع زاوية \(20^\circ\) مع الاتجاه الرأسي.

أي المركبتين مجاورة للزاوية \(20^\circ\)؟

المركبة الرأسية.

إذن، هذه المرة:

\[ F_y = F\cos20^\circ \]

و

\[ F_x = F\sin20^\circ \]

لم يحدث أي شيء غامض. بقي المثلث كما هو، لكن موضع الزاوية المعلَّمة هو الذي تغيّر.

لهذا السبب، فإن رسم مثلث القوة أكثر أمانًا من محاولة تذكّر عبارة محفوظة.

05تتحدد الإشارات وفقًا للمحاور التي تختارها

حتى الآن، كانت كلتا المركبتين موجبتين. لكن أسئلة HSC الحقيقية لن تكون دائمًا بهذه السهولة.

افترض أنك اخترت:

• اليمين اتجاهًا موجبًا للمحور \(x\)
• الأعلى اتجاهًا موجبًا للمحور \(y\)

إذن:

يعطيك حساب المثلثات مقدار كل مركبة، بينما يحدّد نظام الإحداثيات الذي اخترته إشارتها.

وهنا تتسبب المحاور غير المتسقة في المشكلات.

فعلى سبيل المثال، لا يمكنك اعتبار اليمين موجبًا في سطر، ثم التعامل ضمنيًا مع اليسار على أنه موجب بعد ثلاثة أسطر لأن ذلك يجعل العمليات الحسابية أسهل. يجب أن تلتزم باتفاقية المحاور نفسها طوال عملية الحساب.

07طريقة موثوقة لحل أي سؤال عن مركبات القوة

عند تحليل قوة إلى مركبات، اتبع الخطوات التالية:

1. ارسم اتجاه القوة.
2. اختر الاتجاهين الموجبين للمحورين \(x\) و\(y\).
3. حدّد الزاوية في موضعها الدقيق كما ورد في السؤال.
4. حدّد المركبة المجاورة للزاوية.
5. استخدم جيب التمام للمركبة المجاورة.
6. استخدم الجيب للمركبة المقابلة.
7. طبّق الإشارات وفقًا للمحاور التي اخترتها.
8. تحقّق مما إذا كانت المقادير منطقية مقارنة بالرسم.

هذه الطريقة أكثر موثوقية من البدء تلقائيًا بالمعادلة \(F_x = F\cos\theta\).

فهذه المعادلة تفترض أن تعريف الزاوية \(\theta\) متوافق مع استخدامها.

08اختبار سريع للتحقق من اتساق النتيجة

بما أن القوة ومركبتيها المتعامدتين تكوّن مثلثًا قائم الزاوية، فإن:

\[ F^2 = F_x^2 + F_y^2 \]

في المثال السابق:

\[ \begin{aligned} F &= \sqrt{(-108.8)^2 + (-50.7)^2} \\ &\approx 120\text{ N} \end{aligned} \]

تختفي الإشارات السالبة عند التربيع، وهذا منطقي. يتحقق هذا الحساب من المقدار، وليس من الاتجاه.

وهذه طريقة مفيدة لاكتشاف الأخطاء. إذا كانت المركبتان اللتان حسبتهما تعيدان تكوين قوة أكبر بكثير من القوة الأصلية أو أصغر منها بكثير، فأعد التحقق من حسابات المثلثات.

09الخطأ الأكثر إغراءً: استخدام الزاوية دون التحقق من المحور المرجعي

تأمل قوة مقدارها \(200\text{ N}\) تتجه بزاوية \(15^\circ\) إلى يمين الاتجاه الرأسي.

يكتب أحد الطلاب:

\[ F_x = 200\cos15^\circ \]

هل يبدو ذلك منطقيًا؟

قبل استخدام الآلة الحاسبة، تصوّر اتجاه القوة. فهي لا تبعد عن الاتجاه الرأسي إلا \(15^\circ\)، لذا يُفترض أن تكون مركبتها الرأسية كبيرة جدًا، وأن تكون مركبتها الأفقية أصغر بكثير.

لكن \(200\cos15^\circ\) يساوي نحو \(193\text{ N}\). وهذا يعني أن المركبة الأفقية تساوي تقريبًا القوة بأكملها.

الحساب نفسه صحيح من ناحية حساب المثلثات، لكن اختيار المركبة خاطئ.

بما أن الزاوية مقاسة من الاتجاه الرأسي:

\[ F_y = 200\cos15^\circ \]

و

\[ F_x = 200\sin15^\circ \]

فنحصل على:

\[ F_y \approx 193\text{ N} \]

و

\[ F_x \approx 51.8\text{ N} \]

وهذا يتفق مع التصور الفيزيائي للقوة.

الرسم التخطيطي ليس مجرد زينة، بل هو إحدى أقوى الوسائل التي تساعدك على اكتشاف استخدام معادلة خاطئة.

10لا تغيّر المركبات القوة الأصلية

هناك اعتقاد خاطئ آخر قد يبدو مغريًا، وهو جمع مقداري المركبتين مباشرة:

\[ F_x + F_y = F \]

وهذا غير صحيح عمومًا.

فعلى سبيل المثال، قد تكون مركبتا قوة ما \(30\text{ N}\) و\(40\text{ N}\). مجموعهما الحسابي العادي هو \(70\text{ N}\)، لكن مقدار القوة هو:

\[ F = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ N} \]

لماذا؟

لأن المركبتين تؤثران في اتجاهين متعامدين. ولا يمكن عادةً جمع الكميات المتجهة بالطريقة الحسابية العادية المستخدمة للكميات القياسية.

فقوة مقدارها \(30\text{ N}\) نحو الشرق وقوة مقدارها \(40\text{ N}\) نحو الشمال لا تعادلان قوة مقدارها \(70\text{ N}\) في اتجاه واحد.

11الأسئلة والحلول

السؤال 1

تؤثر قوة مقدارها \(60\text{ N}\) بزاوية \(40^\circ\) فوق الأفقي باتجاه اليمين. اعتبر الاتجاه الموجب للمحور \(x\) نحو اليمين، والاتجاه الموجب للمحور \(y\) نحو الأعلى. أوجد \(F_x\) و\(F_y\).

الحل 1

المركبتان هما \(F_x \approx 46.0\text{ N}\) و\(F_y \approx 38.6\text{ N}\).

بما أن الزاوية مقاسة من الاتجاه الأفقي، فإن المركبة الأفقية مجاورة للزاوية:

\[ \begin{aligned} F_x &= F\cos\theta \\ &= 60\cos40^\circ \\ &= 46.0\text{ N} \end{aligned} \]

أما المركبة الرأسية فهي مقابلة للزاوية:

\[ \begin{aligned} F_y &= F\sin\theta \\ &= 60\sin40^\circ \\ &= 38.6\text{ N} \end{aligned} \]

كلتا المركبتين موجبتان لأن القوة تتجه إلى اليمين والأعلى.

المركبة الأفقية أكبر قليلًا، وهذا منطقي لأن الزاوية \(40^\circ\) أقرب إلى الاتجاه الأفقي منها إلى الاتجاه الرأسي.

السؤال 2

يؤثر كابل بقوة مقدارها \(95\text{ N}\) بزاوية \(30^\circ\) مع الاتجاه الرأسي، ويسحب جسمًا إلى الأعلى واليسار. اعتبر الاتجاه الموجب للمحور \(x\) نحو اليمين، والاتجاه الموجب للمحور \(y\) نحو الأعلى. أوجد المركبتين الأفقية والرأسية للقوة.

الحل 2

المركبتان هما \(F_x = -47.5\text{ N}\) و\(F_y \approx 82.3\text{ N}\).

التفصيل المهم هنا هو أن الزاوية \(30^\circ\) مقاسة من الاتجاه الرأسي، وليس من الاتجاه الأفقي.

لذلك تكون المركبة الرأسية مجاورة للزاوية:

\[ \begin{aligned} F_y &= F\cos30^\circ \\ &= 95\cos30^\circ \\ &= 82.3\text{ N} \end{aligned} \]

أما المركبة الأفقية فهي مقابلة للزاوية:

\[ \begin{aligned} |F_x| &= F\sin30^\circ \\ &= 95\sin30^\circ \\ &= 47.5\text{ N} \end{aligned} \]

وبما أن القوة تتجه إلى اليسار، بينما عُرّف الاتجاه الموجب للمحور \(x\) بأنه نحو اليمين، فإن:

\[ F_x = -47.5\text{ N} \]

الخطأ الشائع هنا هو افتراض أن \(F_x\) تُحسب دائمًا باستخدام جيب التمام. وهذا غير صحيح؛ إذ يُستخدم جيب التمام للمركبة المجاورة للزاوية المحددة.

السؤال 3

تؤثر قوة مقدارها \(140\text{ N}\) بزاوية \(20^\circ\) أسفل الأفقي باتجاه اليمين. يكتب أحد الطلاب:

\[ F_x = 140\cos20^\circ \]

و

\[ F_y = 140\sin20^\circ \]

ويذكر أن كلتا المركبتين موجبتان.

مقدارا المركبتين اللذان حسبهما صحيحان. اشرح الخطأ، ثم أوجد المركبتين الصحيحتين إذا كان الاتجاه الموجب للمحور \(x\) نحو اليمين، والاتجاه الموجب للمحور \(y\) نحو الأعلى.

الحل 3

المركبتان الصحيحتان هما \(F_x \approx 131.6\text{ N}\) و\(F_y \approx -47.9\text{ N}\). خطأ الطالب هو إشارة المركبة الرأسية.

المركبة الأفقية هي:

\[ \begin{aligned} F_x &= 140\cos20^\circ \\ &= 131.6\text{ N} \end{aligned} \]

وهي موجبة لأن القوة تتجه إلى اليمين.

أما مقدار المركبة الرأسية فهو:

\[ \begin{aligned} |F_y| &= 140\sin20^\circ \\ &= 47.9\text{ N} \end{aligned} \]

لكن القوة تتجه إلى الأسفل. وبما أن الاتجاه الموجب للمحور \(y\) هو نحو الأعلى، فإن:

\[ F_y = -47.9\text{ N} \]

يمكن للدوال المثلثية أن تعطي المقادير الصحيحة للمركبات، ومع ذلك تظل الإجابة المتجهة خاطئة. يجب التعامل مع الاتجاهات بما يتوافق مع المحاور المختارة.

السؤال 4

حلّل أحد الطلاب قوة إلى مركبات، فحصل على:

\[ F_x = -72\text{ N}, \qquad F_y = 96\text{ N} \]

حيث الاتجاه الموجب للمحور \(x\) نحو اليمين، والاتجاه الموجب للمحور \(y\) نحو الأعلى.

أوجد مقدار القوة الأصلية، ثم حدّد الزاوية الحادة التي تصنعها القوة مع الاتجاه الأفقي، واذكر بوضوح الاتجاه الذي تشير إليه.

الحل 4

مقدار القوة الأصلية هو \(120\text{ N}\)، وتتجه القوة إلى الأعلى واليسار بزاوية تقارب \(53.1^\circ\) فوق الاتجاه الأفقي السالب.

أولًا، أوجد المقدار باستخدام نظرية فيثاغورس:

\[ \begin{aligned} F &= \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \\ &= \sqrt{(-72)^2 + 96^2} \\ &= \sqrt{5184 + 9216} \\ &= 120\text{ N} \end{aligned} \]

لإيجاد الزاوية الحادة مع الاتجاه الأفقي:

\[ \tan\theta = \frac{|F_y|}{|F_x|} \]

إذن:

\[ \begin{aligned} \theta &= \tan^{-1}\left(\frac{96}{72}\right) \\ &= 53.1^\circ \end{aligned} \]

تحدّد الإشارات الآن اتجاه القوة. فالمركبة \(F_x\) سالبة، لذا تتجه القوة إلى اليسار. والمركبة \(F_y\) موجبة، لذا تتجه إلى الأعلى.

الخطأ الشائع هو الاكتفاء بذكر \(53.1^\circ\). فالزاوية دون تحديد اتجاهها المرجعي قد تصف عدة متجهات مختلفة. وفي هذه الحالة، تشير الإشارات إلى أن القوة تقع في المنطقة العلوية اليسرى.

السؤال 5

يحلّل طالبان القوة نفسها، ومقدارها \(100\text{ N}\)، وتتجه بزاوية \(60^\circ\) فوق الأفقي نحو اليمين.

يختار الطالب A محورين أفقيًا ورأسيًا، ويحصل على:

\[ F_x = 100\cos60^\circ,\qquad F_y = 100\sin60^\circ \]

أما الطالب B، فيختار محور \(x\) جديدًا يتجه تمامًا بمحاذاة القوة، ومحور \(y\) عموديًا عليه.

من دون إجراء حسابات غير ضرورية، حدّد المركبتين اللتين ينبغي أن يحصل عليهما الطالب B. واشرح لماذا يمكن للطالبين A وB الحصول على قيم مختلفة للمركبتين دون أن يكون هناك خلاف بشأن القوة الفعلية.

الحل 5

يحصل الطالب B على \(F_x = 100\text{ N}\) و\(F_y = 0\text{ N}\).

لقد اختار الطالب B عمدًا أن يكون المحور \(x\) الموجب بمحاذاة القوة. ولذلك تؤثر القوة بأكملها في اتجاه المحور \(x\)، من دون أي مركبة عمودية عليه.

أما الطالب A، فيستخدم المحورين الأفقي والرأسي المعتادين:

\[ \begin{aligned} F_x &= 100\cos60^\circ = 50.0\text{ N} \\ F_y &= 100\sin60^\circ = 86.6\text{ N} \end{aligned} \]

يبدو هذان التمثيلان مختلفين، لكنهما يصفان متجه القوة نفسه، ومقداره \(100\text{ N}\).

تعتمد المركبات على محاور الإحداثيات التي تختارها، أما القوة الفيزيائية نفسها فلا تتغير.

وتصبح هذه الفكرة مهمة بشكل خاص عند تحليل القوى المؤثرة في الأجسام الموجودة على أسطح مائلة. فبدلًا من استخدام المحورين الأفقي والرأسي تلقائيًا، غالبًا ما يكون من الأنسب اختيار محور موازٍ للسطح المائل ومحور آخر عمودي عليه. لذلك، فإن تحليل القوى إلى مركبات بطريقة صحيحة ليس مجرد مهارة في حساب المثلثات، بل هو الخطوة التي تتيح لك تحويل مخطط القوى إلى معادلات قانون نيوتن الثاني في كل اتجاه.