قوانين كبلر الثلاثة لحركة الكواكب لفيزياء HSC
تعرّف على كيفية ترابط المدارات الإهليلجية والمساحات المتساوية في الأزمنة المتساوية والعلاقة بين الفترة المدارية وحجم المدار. يتضمن الشرح الصيغة النيوتونية لقانون كبلر الثالث وأمثلة محلولة على الحركة المدارية.
تخيّل كوكبًا يدور حول الشمس. لو كان مداره دائرة مثالية وكان الكوكب يتحرك بسرعة ثابتة، لكان وصف حركته سهلًا. لكن حركة الكواكب الحقيقية لا تتبع أيًّا من هذين الشرطين.
فمسار الكوكب ممدود قليلًا، وتتغير سرعته أثناء دورانه، وتستغرق الكواكب الأبعد عن الشمس وقتًا أطول بكثير لإكمال دورة واحدة.
تنظّم قوانين كبلر الثلاثة هذه الملاحظات ضمن صورة متكاملة.
قبل متابعة القراءة، توقّع ما سيحدث. يتحرك كوكب من الجزء البعيد من مداره باتجاه الشمس. ماذا ينبغي أن يحدث لسرعته؟
تزداد سرعته.
ينص قانون كبلر الثاني على أن هذا ما يجب أن يحدث. وتفسّر ميكانيكا نيوتن لاحقًا السبب.
01القوانين الثلاثة في لمحة
تصف قوانين كبلر ثلاثة جوانب مختلفة من الحركة المدارية.
| القانون | ما الذي يخبرك به |
|---|---|
| القانون الأول | شكل المدار |
| القانون الثاني | كيف تتغير سرعة الكوكب أثناء دورانه في المدار |
| القانون الثالث | كيف تعتمد الفترة المدارية على حجم المدار |
المهم ليس حفظ ثلاث عبارات منفصلة عن بعضها، بل فهم كيفية ترابطها.
يتبع الكوكب مدارًا إهليلجيًا، لذا تتغير المسافة بينه وبين الشمس. وبسبب تغير هذه المسافة، تتغير سرعته أيضًا. أما الحجم الكلي للمدار فيحدد المدة اللازمة لإكمال الرحلة بأكملها.
02قانون كبلر الأول: تتحرك الكواكب في مدارات إهليلجية
من الشائع أن يكون التخمين الأول هو أن الكواكب تتحرك في دوائر، وأن الشمس تقع تمامًا في المركز.
هذا التقريب مناسب لبعض الحسابات الأولية، لكنه ليس دقيقًا تمامًا.
ينص قانون كبلر الأول على ما يلي:
يتحرك الكوكب في مدار إهليلجي، وتكون الشمس عند إحدى بؤرتي القطع الناقص.
القطع الناقص هو في الأساس دائرة ممدودة.
والجزء غير المألوف هنا هو كلمة بؤرة.
ما البؤرة؟
للقطع الناقص نقطتان مميزتان تُسمّيان البؤرتين. وتقع الشمس عند إحداهما.
ولا تقع الشمس عادةً في المركز الهندسي للقطع الناقص.
تخيّل ربط حلقة من خيط غير مشدود حول دَبّوسين للرسم. ضع قلمًا داخل الحلقة، وشدّ الخيط، ثم حرّك القلم حولهما. سيكون الشكل الذي يرسمه القلم قطعًا ناقصًا.
يمثّل دبّوسا الرسم البؤرتين.
في المدار الكوكبي، تحتوي إحدى البؤرتين فقط على الشمس. أما البؤرة الأخرى فهي مجرد نقطة هندسية.
يفيد هذا النموذج القائم على الخيط في فهم شكل المدار، لكنه لا يفسّر القوة التي تجعل الكوكب يتحرك بهذه الطريقة. وتوفّر الجاذبية هذا التفسير لاحقًا.
03الحضيض الشمسي والأوج الشمسي
بما أن الشمس لا تقع في مركز المدار الإهليلجي، فإن المسافة بين الكوكب والشمس تتغير.
وهناك موضعان مهمان على وجه الخصوص:
- الحضيض الشمسي: النقطة التي يكون فيها الكوكب أقرب ما يكون إلى الشمس.
- الأوج الشمسي: النقطة التي يكون فيها الكوكب أبعد ما يكون عن الشمس.
تعني السابقة “peri-” القرب، بينما تعني “apo-” البعد.
عند الحديث عن الكواكب التي تدور حول نجوم أخرى، يمكن استخدام المصطلحين الأكثر عمومية الحضيض المداري والأوج المداري، لكن أسئلة HSC المتعلقة بالنظام الشمسي تستخدم عادةً مصطلحي الحضيض الشمسي والأوج الشمسي.
نصف المحور الأكبر
يُسمّى أطول قطر يمر عبر القطع الناقص المحور الأكبر.
أما نصف هذه المسافة فيُسمّى نصف المحور الأكبر، ويرمز إليه بـ \(a\).
هذه الكمية مهمة للغاية لأن قانون كبلر الثالث يستخدم نصف المحور الأكبر لتمثيل الحجم الكلي للمدار الإهليلجي.
في المدار الدائري، يكون نصف المحور الأكبر مساويًا لنصف القطر ببساطة.
تحقّق من فهمك
لكوكب مدار إهليلجي حول الشمس. عند أي نقطة يكون أقرب ما يكون إلى الشمس؟
الإجابة: عند الحضيض الشمسي.
وعند أي نقطة تكون المسافة بينه وبين الشمس أكبر ما يمكن؟
الإجابة: عند الأوج الشمسي.
هل تقع الشمس في مركز القطع الناقص؟
الإجابة: لا. تقع الشمس عند إحدى البؤرتين.
04قانون كبلر الثاني: مساحات متساوية في أزمنة متساوية
لنفترض الآن أن الكوكب يتحرك من الأوج الشمسي باتجاه الحضيض الشمسي.
هل تتوقع أن:
- يحافظ على السرعة نفسها،
- تتناقص سرعته، أم
- تزداد سرعته؟
تزداد سرعته.
يصف قانون كبلر الثاني هذه الظاهرة بدقة:
يمسح الخط الواصل بين الكوكب والشمس مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية.
قد تبدو هذه العبارة أكثر تعقيدًا مما هي عليه في الواقع.
تخيّل رسم خط من الشمس إلى الكوكب. أثناء حركة الكوكب، يمسح هذا الخط جزءًا من المستوى المداري، على نحو يشبه حركة عقرب الساعة وهو يمسح وجه الساعة.
لنأخذ فترتين زمنيتين متساويتين، مدة كل منهما 30 يومًا مثلًا.
خلال إحدى الفترتين، ومدتها 30 يومًا، يكون الكوكب قريبًا من الحضيض الشمسي.
وخلال فترة أخرى مدتها 30 يومًا، يكون قريبًا من الأوج الشمسي.
ينص قانون كبلر الثاني على ضرورة تساوي المساحتين الممسوحتين.
05لماذا تعني المساحات المتساوية أن السرعة تتغير؟
عند الحضيض الشمسي، يكون الكوكب قريبًا من الشمس، ويكون الخط الواصل بين الشمس والكوكب قصيرًا نسبيًا.
ولكي يمسح هذا الخط القصير مساحة معينة، يجب أن يقطع الكوكب مسافة كبيرة نسبيًا على طول مداره.
لذلك يتحرك بسرعة كبيرة.
أما عند الأوج الشمسي، فيكون الخط أطول.
ويمكن مسح المساحة نفسها بينما يقطع الكوكب مسافة أصغر على طول مداره.
لذلك يتحرك ببطء أكبر.
إذن:
- أعلى سرعة عند الحضيض الشمسي.
- أدنى سرعة عند الأوج الشمسي.
وهذه إحدى أهم النتائج المترتبة على قانون كبلر الثاني.
صورة ذهنية مفيدة
تخيّل أنك ترقص مع صديق بينما تمسكان بأيدي بعضكما. يمثّل صديقك الشمس، وتمثّل أنت الكوكب.
إذا كنتما قريبين من بعضكما، فقد تحتاج إلى التحرك جانبيًا بسرعة كبيرة نسبيًا لمسح الجزء نفسه من أرضية الرقص.
ولو أصبحت ذراعاك طويلتين للغاية بطريقة ما، لأمكنك مسح المساحة نفسها من الأرضية بحركة جانبية أقل.
يساعد هذا التشبيه على فهم هندسة المساحة الممسوحة. لكنه لا ينطبق تمامًا لأن الكواكب ليست متصلة بالشمس ماديًا، ولأن الحركة المدارية الناتجة عن الجاذبية يجب تفسيرها باستخدام القوى والزخم الزاوي.
06المفهوم الخاطئ المغري: الجاذبية أقوى، لذا فإن الكوكب «يُسحب إلى الأمام» ببساطة
صحيح أن قوة الجاذبية تزداد عندما يقترب الكوكب من الشمس.
لكن القول إن «الجاذبية تزداد قوة، لذلك تزداد سرعة الكوكب» تفسير غير مكتمل.
يتجه تأثير الجاذبية تقريبًا نحو الشمس، وليس ببساطة على امتداد اتجاه الحركة. وعندما يقترب الكوكب من الشمس، تغيّر الجاذبية كلًا من اتجاه سرعته ومقدارها.
وفقًا لميكانيكا نيوتن، ينتج قانون كبلر الثاني عن حفظ الزخم الزاوي.
يمكن كتابة الزخم الزاوي المداري لكوكب كتلته \(m\) على النحو الآتي:
\[ L = mrv_{\perp} \]
حيث:
- \(L\) هو الزخم الزاوي بوحدة \(\text{kg m}^2\text{s}^{-1}\).
- \(m\) هي كتلة الكوكب بالكيلوغرام.
- \(r\) هي المسافة بين الكوكب والشمس بالمتر.
- \(v_{\perp}\) هو مركّب السرعة العمودي على الخط الشعاعي، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\).
تؤثر قوة الجاذبية الشمسية على امتداد الخط الشعاعي، لذا لا تولّد عزمًا حول الشمس. ولذلك يُحفَظ الزخم الزاوي للكوكب.
عندما تصبح \(r\) أصغر، يجب أن تزداد \(v_{\perp}\).
وهذا يؤدي إلى السلوك نفسه الذي يصفه قانون كبلر الثاني.
سؤال: مقارنة السرعات
يُرصد كوكب عند الحضيض الشمسي وعند الأوج الشمسي. تبلغ المسافة بينه وبين الشمس عند الحضيض \(1.2 \times 10^{11}\) m، بينما تبلغ عند الأوج \(1.8 \times 10^{11}\) m.
عند هاتين النقطتين الطرفيتين، تكون السرعة عمودية على الخط الشعاعي.
إذا كانت سرعته عند الأوج الشمسي \(24\text{ km s}^{-1}\)، فاحسب سرعته عند الحضيض الشمسي.
الخطوة 1: استخدم مبدأ حفظ الزخم الزاوي
بما أن \(mrv\) ثابت،
\[ mr_{\text{p}}v_{\text{p}} = mr_{\text{a}}v_{\text{a}} \]
تظهر كتلة الكوكب في طرفي المعادلة، لذا يمكن اختصارها:
\[ r_{\text{p}}v_{\text{p}} = r_{\text{a}}v_{\text{a}} \]
الخطوة 2: أعد ترتيب المعادلة لإيجاد سرعة الحضيض الشمسي
\[ v_{\text{p}} = \frac{r_{\text{a}}v_{\text{a}}}{r_{\text{p}}} \]
الخطوة 3: عوّض بالقيم
\[ v_{\text{p}} = \frac{(1.8 \times 10^{11})(24)} {1.2 \times 10^{11}} = 36\text{ km s}^{-1} \]
الإجابة:
\[ \boxed{v_{\text{p}} = 36\text{ km s}^{-1}} \]
يتحرك الكوكب بسرعة أكبر عندما يكون أقرب إلى الشمس، تمامًا كما يتنبأ قانون كبلر الثاني.
07قانون كبلر الثالث: تستغرق المدارات الأكبر وقتًا أطول
قارن الآن بين كوكبين.
يدور الكوكب A بالقرب من الشمس.
أما الكوكب B فله مدار أكبر بكثير.
أيّهما يستغرق وقتًا أطول لإكمال دورة واحدة؟
الكوكب B.
هذا ليس أمرًا مفاجئًا، إذ يتعين عليه قطع مسافة أكبر. لكن هناك تأثيرًا آخر: تميل الكواكب الأبعد عن الشمس أيضًا إلى التحرك ببطء أكبر.
لذلك تزداد الفترة المدارية بسرعة ملحوظة كلما ازداد حجم المدار.
اكتشف كبلر العلاقة التالية:
\[ T^2 \propto a^3 \]
حيث:
- \(T\) هي الفترة المدارية.
- \(a\) هو نصف المحور الأكبر.
وهذا يعني أن:
\[ \frac{T^2}{a^3} = \text{ثابت} \]
وذلك للأجسام التي تدور حول الجسم المركزي نفسه.
لاحظ أن العلاقة ليست \(T \propto a\).
فمضاعفة حجم المدار لا تؤدي ببساطة إلى مضاعفة الفترة المدارية.
وبأخذ الجذر التربيعي لعلاقة التناسب، نحصل على:
\[ T \propto a^{3/2} \]
لذلك، إذا تضاعف نصف المحور الأكبر،
\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2} = 2^{3/2} \approx 2.83 \]
تصبح الفترة المدارية أطول بنحو 2.83 مرة.
مثال محلول: إيجاد فترة مدارية انطلاقًا من مدار الأرض
يدور كوكب حول الشمس بنصف محور أكبر مقداره \(4.00\text{ AU}\). يبلغ نصف المحور الأكبر للأرض \(1.00\text{ AU}\)، وفترتها المدارية \(1.00\) سنة. أوجد الفترة المدارية للكوكب.
بالنسبة إلى جسمين يدوران حول الجسم المركزي نفسه،
\[ \frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} \]
الخطوة 1عوّض بقيم الأرض وحجم المدار الجديد
\[ \frac{(1.00)^2}{(1.00)^3} = \frac{T_2^2}{(4.00)^3} \]
الخطوة 2بسّط
\[ 1 = \frac{T_2^2}{64.0} \]
إذن
\[ T_2^2 = 64.0 \]
الخطوة 3خذ الجذر التربيعي
\[ T_2 = 8.00\text{ years} \]
الإجابة:
\[ \boxed{T = 8.00\text{ years}} \]
تؤدي زيادة حجم المدار إلى أربعة أمثال حجمه الأصلي إلى زيادة الفترة المدارية إلى ثمانية أمثالها.
08لماذا يحتاج قانون كبلر الثالث إلى صيغة نيوتونية مطوّرة؟
اكتشف كبلر قوانينه اعتمادًا على الملاحظات الفلكية قبل أن يطوّر نيوتن نظريته في الجاذبية.
تعمل صيغة كبلر جيدًا عند مقارنة الكواكب التي تدور حول الجسم المركزي نفسه، لكنها لا تتضمن الكتل المعنية بصورة صريحة.
أوضح نيوتن سبب وجود هذه العلاقة.
بالنسبة إلى جسمين يدوران حول بعضهما، تكون الصيغة الأكثر اكتمالًا:
\[ T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)} \]
حيث:
- \(T\) هي الفترة المدارية بالثواني.
- \(a\) هو نصف المحور الأكبر للمدار النسبي بالمتر.
- \(G\) هو ثابت الجذب العام، وقيمته \(6.67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}\).
- \(M\) هي كتلة أحد الجسمين بالكيلوغرام.
- \(m\) هي كتلة الجسم الآخر بالكيلوغرام.
تُسمّى هذه الصيغة النيوتونية لقانون كبلر الثالث.
وتكشف هذه الصيغة أمرًا لا توضحه علاقة كبلر الأصلية:
لا تعتمد الفترة المدارية على حجم المدار فحسب، بل تعتمد أيضًا على الكتلة الكلية لنظام الجسمين.
09لماذا تستخدم أسئلة HSC غالبًا كتلة الجسم المركزي وحدها؟
بالنسبة إلى كوكب يدور حول نجم،
\[ M \gg m \]
تكون كتلة النجم عادةً أكبر بكثير من كتلة الكوكب.
ولذلك،
\[ M + m \approx M \]
وتصبح المعادلة:
\[ T^2 = \frac{4\pi^2r^3}{GM} \]
وذلك لمدار دائري نصف قطره \(r\).
وبصورة مكافئة،
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]
تُعد هذه الصيغة مفيدة للغاية عند دراسة الكواكب والأقمار والأقمار الاصطناعية، عندما تكون كتلة الجسم المداري ضئيلة مقارنة بكتلة الجسم المركزي.
10كيف تُشتق المعادلة النيوتونية؟
في المدار الدائري، توفر الجاذبية القوة المركزية.
تُعطى قوة الجاذبية بالعلاقة:
\[ F_g = \frac{GMm}{r^2} \]
أما القوة المركزية المطلوبة فتُعطى بالعلاقة:
\[ F_c = \frac{mv^2}{r} \]
في المدار الدائري المستقر،
\[ F_g = F_c \]
لذا،
\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \]
يمكن اختصار كتلة الجسم المداري \(m\):
\[ \frac{GM}{r} = v^2 \]
وبالتالي،
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
في دورة دائرية كاملة، تكون المسافة المقطوعة \(2\pi r\). وبما أن السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن،
\[ v = \frac{2\pi r}{T} \]
بالتعويض عن هذه القيمة في معادلة السرعة المدارية، نحصل على:
\[ \frac{2\pi r}{T} = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
وبتربيع الطرفين وإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على:
\[ T^2 = \frac{4\pi^2r^3}{GM} \]
وهكذا تنتج علاقة كبلر المستنتجة من الملاحظات \(T^2 \propto r^3\) مباشرةً من قوانين نيوتن للحركة والجذب العام.
وهذا الترابط مهم. فقد وصف كبلر ما تفعله الكواكب، بينما فسّر نيوتن سبب فعلها ذلك.
مثال محلول: الفترة المدارية لقمر اصطناعي
يتحرك قمر اصطناعي في مدار دائري يبعد \(7.00 \times 10^6\) m عن مركز الأرض. اعتبر كتلة الأرض \(5.97 \times 10^{24}\) kg.
احسب الفترة المدارية للقمر الاصطناعي.
الخطوة 1اختر معادلة الفترة المدارية
للمدار الدائري،
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]
الخطوة 2عوّض بالقيم
\[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{(7.00 \times 10^6)^3} {(6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24})} } \]
احسب أولًا الكميات داخل الجذر التربيعي:
\[ r^3 = 3.43 \times 10^{20}\text{ m}^3 \]
و
\[ GM = (6.67 \times 10^{-11})(5.97 \times 10^{24}) = 3.98 \times 10^{14}\text{ m}^3\text{s}^{-2} \]
وبالتالي،
\[ T = 2\pi \sqrt{ \frac{3.43 \times 10^{20}} {3.98 \times 10^{14}} } \]
\[ T = 2\pi\sqrt{8.62 \times 10^5\text{ s}^2} \]
\[ T \approx 5.84 \times 10^3\text{ s} \]
الخطوة 3حوّل إلى دقائق
\[ T = \frac{5.84 \times 10^3}{60} \approx 97.3\text{ min} \]
الإجابة:
\[ \boxed{T \approx 5.84 \times 10^3\text{ s} \approx 97.3\text{ min}} \]
يكمل القمر الاصطناعي دورة واحدة في مدة تزيد قليلًا على ساعة ونصف.
11مقارنة أصعب: تغيير نصف قطر المدار
يُنقل قمر اصطناعي من مدار دائري نصف قطره \(r\) إلى مدار دائري آخر نصف قطره \(3r\) حول الكوكب نفسه.
كم مرة تصبح فترته المدارية الجديدة أطول من الفترة الأصلية؟
يمكنك التعويض عن جميع القيم في المعادلة النيوتونية الكاملة، لكن هناك طريقة أسرع.
بما أن كتلة الجسم المركزي لم تتغير،
\[ T^2 \propto r^3 \]
إذن،
\[ \frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{r_2^3}{r_1^3} \]
الخطوة 1: عوّض بنسبة نصفي القطرين
بما أن \(r_2 = 3r_1\)،
\[ \frac{T_2^2}{T_1^2} = 3^3 = 27 \]
الخطوة 2: خذ الجذر التربيعي
\[ \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{27} \approx 5.20 \]
الإجابة:
\[ \boxed{T_2 \approx 5.20T_1} \]
تؤدي زيادة نصف قطر المدار إلى ثلاثة أمثال قيمته الأصلية إلى جعل الفترة المدارية أطول بنحو 5.2 مرة، وليس ثلاث مرات.
وتُعد هذه العلاقة غير الخطية مصدرًا شائعًا للأخطاء.
12هل تدور الكواكب الأثقل بسرعة أكبر؟
لنفترض أن كوكبين تختلف كتلتهما كثيرًا يدوران حول النجم نفسه وعلى نصف قطر المدار نفسه.
قد يكون التوقع المغري هو أن الكوكب الأثقل يتعرض لقوة جاذبية أكبر، ولذلك ربما ينبغي أن يدور بسرعة أكبر.
الجزء الأول صحيح؛ فالكوكب الأثقل يتعرض بالفعل لقوة جاذبية أكبر.
لكنه يمتلك أيضًا قصورًا ذاتيًا أكبر بالمقدار النسبي نفسه تمامًا.
للمدار الدائري،
\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \]
يمكن اختصار كتلة الكوكب \(m\).
إذن،
\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
لا تعتمد السرعة المدارية على كتلة الجسم الذي يدور، بشرط أن تكون كتلة الجسم المركزي أكبر بكثير.
ولهذا تحتوي معادلة الفترة المدارية المبسطة،
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \]
على كتلة الجسم المركزي \(M\)، لكنها لا تحتوي على كتلة القمر الاصطناعي أو الكوكب.
أما معادلة الجسمين الأكثر دقة فتتضمن \(M+m\)، لذا فإن هذه العبارة ليست دقيقة رياضيًا تمامًا عندما تكون كتلتا الجسمين متقاربتين.
13ربط القوانين الثلاثة بعضها ببعض
تأمل كوكبًا واحدًا يكمل مدارًا إهليلجيًا.
عند الأوج الشمسي، يكون أبعد ما يكون عن الشمس ويتحرك بأبطأ سرعة.
وأثناء سقوطه باتجاه الشمس، تُكسبه الجاذبية تسارعًا، فتزداد سرعته.
وعند الحضيض الشمسي، يكون أقرب ما يكون إلى الشمس ويتحرك بأعلى سرعة.
وعندما يتحرك مبتعدًا عنها مرة أخرى، تستمر الجاذبية في سحبه باتجاه الشمس، مما يؤدي الآن إلى خفض سرعته.
طوال المدار، يمسح الخط الواصل بين الشمس والكوكب مساحات متساوية خلال أزمنة متساوية.
هذا هو قانون كبلر الثاني وهو يعمل ضمن المسار الإهليلجي الذي يصفه القانون الأول.
وفي الوقت نفسه، يحدد نصف المحور الأكبر \(a\) المقياس الزمني للمدار بأكمله من خلال القانون الثالث:
\[ T^2 \propto a^3 \]
ثم يربط نيوتن هذه السلوكيات الثلاثة بتفاعل أساسي واحد: الجاذبية.
14انتبه إلى الفرق بين نصف القطر ونصف المحور الأكبر
في المدار الدائري، تكون المسافة من الجسم المركزي ثابتة، لذا فإن استخدام نصف قطر المدار \(r\) أمر مباشر.
أما في المدار الإهليلجي، فليس للكوكب نصف قطر مداري واحد ثابت.
بل تتغير المسافة بينه وبين الشمس باستمرار.
ولهذا تستخدم الصيغة العامة لقانون كبلر الثالث نصف المحور الأكبر \(a\):
\[ T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)} \]
لا تُعوّض تلقائيًا عن المسافة عند الحضيض الشمسي أو عند الأوج الشمسي في هذه المعادلة.
استخدم نصف المحور الأكبر.
إذا كانت مسافة الحضيض الشمسي \(r_{\text{p}}\) ومسافة الأوج الشمسي \(r_{\text{a}}\) معلومتين، فإن:
\[ a = \frac{r_{\text{p}} + r_{\text{a}}}{2} \]
سؤال: إيجاد نصف المحور الأكبر
يبلغ بُعد مذنب عن الشمس عند الحضيض الشمسي \(0.50\text{ AU}\)، ويبلغ بُعده عنها عند الأوج الشمسي \(9.50\text{ AU}\).
أوجد نصف محوره الأكبر.
الخطوة 1: استخدم العلاقة
\[ a = \frac{r_{\text{p}} + r_{\text{a}}}{2} \]
الخطوة 2: عوّض بالقيم
\[ a = \frac{0.50 + 9.50}{2} = 5.00\text{ AU} \]
الإجابة:
\[ \boxed{a = 5.00\text{ AU}} \]
إذا أردت استخدام قانون كبلر الثالث لهذا المذنب، فإن \(5.00\text{ AU}\) هو مقدار حجم المدار الذي ينبغي استخدامه، وليس \(0.50\text{ AU}\) أو \(9.50\text{ AU}\).
15قاعدة مختصرة لاتخاذ القرار في أسئلة الامتحان
عندما تواجه سؤالًا عن الحركة المدارية، اسأل نفسك أولًا عمّا يختبره السؤال فعلًا.
| إذا كان السؤال يتناول… | فكّر في… |
|---|---|
| شكل المدار | قانون كبلر الأول |
| أقرب نقطة أو أبعد نقطة | الحضيض الشمسي والأوج الشمسي |
| سرعة أكبر قرب الشمس وسرعة أقل بعيدًا عنها | قانون كبلر الثاني |
| تساوي المساحات الممسوحة | قانون كبلر الثاني |
| مقارنة الفترات المدارية بأحجام المدارات | \(T^2 \propto a^3\) |
| حساب فترة باستخدام الكتلة ونصف القطر | \(T^2 = \frac{4\pi^2r^3}{GM}\) للمدار الدائري |
| مدار إهليلجي | استخدام نصف المحور الأكبر \(a\) |
| جسمين كتلتهما متقاربة | استخدام \(T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}\) |
الخطوة المفيدة التالية هي ربط قوانين كبلر بـ الطاقة المدارية. يخبرك قانون كبلر الثاني بأن السرعة المدارية تتغير، لكن الطاقة تفسّر مصدر هذا التغير في السرعة: فعندما يقترب الكوكب من الشمس، تنخفض طاقة وضعه الثقالية بينما تزداد طاقته الحركية. وهذا يوفّر طريقة ثانية قوية للغاية لتحليل المدار نفسه.