Aplicaciones del movimiento circular: examen de práctica de Física HSC

Este examen de práctica original de tutorgum evalúa los contenidos indicados del programa de Física de 2017 relativos a las aplicaciones del movimiento circular. Descompondrás las fuerzas que actúan sobre una masa que se mueve en un círculo horizontal sujeta a una cuerda, analizarás las componentes de la fuerza normal en pistas peraltadas y calcularás la fricción necesaria para los coches que recorren curvas planas. El examen se centra en identificar las fuerzas reales que actúan sobre un sistema y determinar su resultante dirigida hacia el centro.

Este es un examen de repaso específico, no un examen de todo el curso. Es un examen de práctica original de tutorgum; no es un examen oficial de NESA, ni está avalado por esta organización, ni es una prueba de años anteriores ni una predicción de un examen de NESA.

01Instrucciones del examen

• Tiempo de trabajo sugerido: 50 minutos.
• Tiempo de lectura sugerido: 5 minutos.
• Puntuación total: 40 puntos.
• Material permitido: Calculadora científica, regla y material de escritura. No se permiten apuntes.
• Intensidad del campo gravitatorio: Utiliza \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) durante todo el examen.
• Procedimiento y precisión: Muestra el procedimiento, incluye las unidades y expresa las respuestas numéricas con un número adecuado de cifras significativas.

Contenidos evaluados

Este examen abarca:

• La descomposición de la tensión y el peso para una masa que se mueve en un círculo horizontal sujeta a una cuerda.
• La descomposición de la fuerza normal en una pista peraltada y el cálculo de la rapidez de diseño.
• El análisis de la fricción estática como origen de la fuerza centrípeta en una curva circular plana.
• La interpretación de la relación entre la fuerza resultante dirigida hacia el centro y la rapidez.

Se excluyen el movimiento circular vertical, los cálculos de pistas peraltadas en los que interviene la fricción y otros temas relacionados con el movimiento circular.

En las pistas peraltadas, mide el ángulo de peralte desde la horizontal. Para una masa unida a una cuerda, mide el ángulo de la cuerda desde la vertical. Supón que la resistencia del aire es despreciable. Cuando se indique que una pista carece de fricción, desprecia por completo la fricción.

02Preguntas

Pregunta 1 (7 puntos)

Una masa de \(0.500\,\text{kg}\) está unida a una cuerda ligera y se mueve a una rapidez constante de \(4.00\,\text{m s}^{-1}\) en un círculo horizontal de radio \(0.600\,\text{m}\). La cuerda forma un ángulo \(\theta\) con la vertical.

(a) Identifica las fuerzas que actúan sobre la masa e indica la dirección de su aceleración. (2 puntos)

(b) Calcula la fuerza resultante dirigida hacia el centro que actúa sobre la masa. (2 puntos)

(c) Descompón la tensión en sus componentes vertical y horizontal. Calcula la tensión de la cuerda y el ángulo \(\theta\). (3 puntos)

Pregunta 2 (7 puntos)

Un coche recorre una pista circular peraltada sin fricción de radio \(85.0\,\text{m}\). La pista tiene un ángulo de peralte de \(12.0^\circ\) respecto a la horizontal.

En esta pregunta, la rapidez de diseño es la rapidez a la que el coche puede seguir la trayectoria circular sin depender de la fricción.

(a) Identifica las fuerzas que actúan sobre el coche y describe cómo se relacionan las componentes de la fuerza normal con el movimiento vertical y hacia el centro del coche. (2 puntos)

(b) Mediante la descomposición de las fuerzas, deduce una expresión para la rapidez de diseño \(v\) en función del radio \(r\), el ángulo de peralte \(\theta\) y la intensidad del campo gravitatorio \(g\). (3 puntos)

(c) Calcula la rapidez de diseño de esta pista. (2 puntos)

Pregunta 3 (8 puntos)

Un coche de masa \(1.20\times10^3\,\text{kg}\) circula a \(14.0\,\text{m s}^{-1}\) por una curva plana y horizontal de radio \(55.0\,\text{m}\). La fricción estática es la única fuerza horizontal que actúa sobre el coche.

(a) Calcula la fuerza resultante dirigida hacia el centro necesaria para que el coche siga la curva. (2 puntos)

(b) Identifica la dirección de la fuerza de fricción y calcula el coeficiente mínimo de fricción estática necesario para evitar que el coche derrape a esta rapidez. (3 puntos)

(c) A continuación, el coche toma la misma curva a \(16.8\,\text{m s}^{-1}\). El coeficiente de fricción estática disponible es \(0.450\). Determina si el coche puede mantener la trayectoria circular. Justifica tu respuesta mediante un cálculo. (3 puntos)

Pregunta 4 (5 puntos)

Una masa de \(0.750\,\text{kg}\) está unida a una cuerda. En un instante determinado, la tensión de la cuerda es de \(12.0\,\text{N}\) y la cuerda forma un ángulo de \(25.0^\circ\) con la vertical. La tensión y el peso son las únicas fuerzas que actúan sobre la masa.

(a) Calcula la componente vertical de la tensión. (2 puntos)

(b) Un estudiante afirma que, con estos valores de las fuerzas, la masa se mueve en un círculo horizontal a una altura constante. Evalúa esta afirmación. Si los valores indicados se mantienen, calcula la aceleración vertical inicial de la masa e indica su dirección. (3 puntos)

Pregunta 5 (6 puntos)

Un objeto se mueve en un círculo horizontal de radio fijo. Se varía su rapidez y se mide la fuerza resultante dirigida hacia el centro \(F_{\text{in}}\). Los resultados se registran a continuación.

El siguiente gráfico representa las mediciones proporcionadas.

• Datos medidos
• Recta de mejor ajuste

(a) Describe la relación entre la fuerza resultante dirigida hacia el centro y el cuadrado de la rapidez. (2 puntos)

(b) Calcula la pendiente del gráfico e indica qué representa esta pendiente en función de la masa \(m\) y el radio \(r\) de la trayectoria circular. (2 puntos)

(c) Si el radio de la trayectoria circular es de \(1.50\,\text{m}\), calcula la masa del objeto. (2 puntos)

Pregunta 6 (7 puntos)

Una pista de pruebas peraltada sin fricción está diseñada para una rapidez de \(20.0\,\text{m s}^{-1}\) en un tramo circular de radio \(120.0\,\text{m}\). Un coche de masa \(900.0\,\text{kg}\) circula a esta rapidez de diseño.

(a) Calcula el ángulo de peralte necesario. (3 puntos)

(b) Calcula el módulo de la fuerza normal que actúa sobre el coche. (2 puntos)

(c) Calcula la componente de la fuerza normal dirigida hacia el centro. Verifica el resultado comparándolo con la fuerza resultante dirigida hacia el centro necesaria para el movimiento circular del coche. (2 puntos)

03Soluciones desarrolladas y guía de corrección

Solución 1

(a) Identificar las fuerzas y la aceleración. (2 puntos)

Las dos fuerzas que actúan sobre la masa son:

• La tensión, \(T\), dirigida a lo largo de la cuerda hacia el punto de sujeción.
• El peso, \(mg\), dirigido verticalmente hacia abajo.

La masa acelera horizontalmente hacia el centro del círculo. Como permanece a una altura constante, su aceleración vertical es cero, por lo que las componentes verticales de las fuerzas se equilibran.

Guía de corrección:

• 1 punto por identificar tanto la tensión como el peso.
• 1 punto por identificar la dirección de la aceleración hacia el centro.

(b) Calcular la fuerza resultante dirigida hacia el centro. (2 puntos)

En el movimiento circular uniforme, la fuerza resultante dirigida hacia el centro es

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

donde \(m\) es la masa en kilogramos, \(v\) es la rapidez en metros por segundo y \(r\) es el radio en metros.

Sustituyendo los valores:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

La fuerza resultante dirigida hacia el centro es de \(13.3\,\text{N}\).

Guía de corrección:

• 1 punto por la ecuación y la sustitución correctas.
• 1 punto por la respuesta correcta con unidades.

(c) Calcular la tensión y el ángulo. (3 puntos)

Sea \(\theta\) el ángulo entre la cuerda y la vertical.

La componente vertical de la tensión equilibra el peso:

\[ T\cos\theta=mg \]

La componente horizontal proporciona la fuerza resultante dirigida hacia el centro:

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

Primero, calcula la tensión utilizando las dos componentes perpendiculares:

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

A continuación, divide la ecuación de la componente horizontal entre la ecuación de la componente vertical:

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

Por tanto,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

La tensión es de \(14.2\,\text{N}\) y la cuerda está inclinada \(69.8^\circ\) respecto a la vertical.

Guía de corrección:

• 1 punto por descomponer correctamente la tensión en sus componentes vertical y horizontal.
• 1 punto por calcular la tensión.
• 1 punto por calcular el ángulo.

Concede los puntos correspondientes por continuidad del procedimiento para la tensión y el ángulo si se arrastra de forma coherente un error numérico anterior.

Solución 2

(a) Identificar las fuerzas y sus componentes. (2 puntos)

Las fuerzas que actúan sobre el coche son su peso, \(mg\), dirigido verticalmente hacia abajo, y la fuerza normal, \(F_N\), ejercida por la pista perpendicularmente a su superficie.

La fuerza normal tiene dos componentes relevantes:

• Una componente vertical, \(F_N\cos\theta\), que equilibra el peso.
• Una componente horizontal, \(F_N\sin\theta\), que actúa hacia el centro de la trayectoria circular.

No hay fuerza de fricción porque se especifica que la pista carece de fricción.

Guía de corrección:

• 1 punto por identificar el peso y la fuerza normal.
• 1 punto por describir correctamente las componentes vertical y dirigida hacia el centro.

(b) Deducir la ecuación de la rapidez de diseño. (3 puntos)

Como el coche mantiene una altura constante, las fuerzas verticales se equilibran:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

La componente de la fuerza normal dirigida hacia el centro proporciona la fuerza centrípeta:

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

Divide la ecuación de la fuerza dirigida hacia el centro entre la ecuación vertical:

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

Cancela los factores comunes y utiliza \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\):

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

Despejando la rapidez, se obtiene

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

La ecuación muestra que la rapidez de diseño depende del radio de la pista, del ángulo de peralte y de la intensidad del campo gravitatorio.

Guía de corrección:

• 1 punto por la ecuación correcta de las fuerzas verticales.
• 1 punto por la ecuación correcta de la fuerza dirigida hacia el centro.
• 1 punto por dividir las ecuaciones y deducir la expresión de la rapidez de diseño.

(c) Calcular la rapidez de diseño. (2 puntos)

Utilizando \(r=85.0\,\text{m}\), \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) y \(\theta=12.0^\circ\):

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

La rapidez de diseño es de \(13.3\,\text{m s}^{-1}\).

Guía de corrección:

• 1 punto por sustituir correctamente los valores en la ecuación de la rapidez de diseño.
• 1 punto por la respuesta numérica correcta con unidades.

Solución 3

(a) Calcular la fuerza resultante dirigida hacia el centro. (2 puntos)

La fuerza resultante dirigida hacia el centro necesaria es

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

Sustituye la masa del coche, su rapidez y el radio de la curva:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

El coche necesita una fuerza resultante dirigida hacia el centro de \(4.28\times10^3\,\text{N}\).

Guía de corrección:

• 1 punto por la ecuación y la sustitución correctas.
• 1 punto por la respuesta correcta con unidades.

(b) Calcular el coeficiente mínimo de fricción estática. (3 puntos)

En una carretera plana y horizontal, la fricción estática actúa hacia el centro de la curva. Esta proporciona la fuerza resultante dirigida hacia el centro.

Las fuerzas verticales se equilibran, por lo que

\[ F_N=mg \]

La fricción estática máxima disponible es

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

donde \(f_{s,\max}\) es la fricción estática máxima en newtons y \(\mu_s\) es el coeficiente de fricción estática.

Para el coeficiente mínimo necesario para evitar el derrape, la fricción máxima es igual a la fuerza dirigida hacia el centro requerida:

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

Cancela la masa y despeja:

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

Sustituyendo los valores:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

El coeficiente mínimo de fricción estática es \(0.364\).

Guía de corrección:

• 1 punto por identificar la fricción estática como la fuerza dirigida hacia el centro.
• 1 punto por relacionar la fricción máxima con la fuerza normal y el peso.
• 1 punto por calcular correctamente el coeficiente mínimo.

(c) Determinar si el coche puede mantener la curva a la mayor rapidez. (3 puntos)

A \(16.8\,\text{m s}^{-1}\), el coeficiente requerido es

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

Sustituyendo:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

El coeficiente requerido, \(0.524\), es mayor que el coeficiente disponible, \(0.450\).

Por tanto, la fricción estática disponible no es suficiente para proporcionar la fuerza dirigida hacia el centro necesaria. El coche no puede mantener la trayectoria circular y derrapará hacia el exterior de la curva.

Guía de corrección:

• 1 punto por la ecuación y la sustitución correctas.
• 1 punto por obtener un coeficiente requerido de aproximadamente \(0.524\).
• 1 punto por comparar los coeficientes requerido y disponible y llegar a la conclusión correcta.

Solución 4

(a) Calcular la componente vertical de la tensión. (2 puntos)

La cuerda forma un ángulo de \(25.0^\circ\) con la vertical. Por tanto, la componente vertical de la tensión es

\[ T_y=T\cos\theta \]

Sustituyendo:

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

La componente vertical de la tensión es de \(10.9\,\text{N}\) y está dirigida hacia arriba.

Guía de corrección:

• 1 punto por utilizar la ecuación correcta de la componente.
• 1 punto por la respuesta numérica correcta con unidades.

(b) Evaluar la afirmación y calcular la aceleración vertical. (3 puntos)

El peso de la masa es

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

Para que la masa se mueva en un círculo horizontal a una altura constante, la componente vertical de la tensión debe ser igual al peso.

Sin embargo,

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

Las fuerzas no se equilibran verticalmente. La afirmación del estudiante es incompatible con los valores de las fuerzas indicados.

La fuerza vertical neta está dirigida hacia arriba:

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

Según la segunda ley de Newton,

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

La aceleración vertical inicial es de \(4.70\,\text{m s}^{-2}\) hacia arriba. En estas condiciones, la masa no puede mantener una altura constante.

Guía de corrección:

• 1 punto por comparar la componente vertical de la tensión con el peso e identificar el desequilibrio.
• 1 punto por calcular la fuerza vertical neta.
• 1 punto por calcular la aceleración e indicar su dirección.

Solución 5

(a) Describir la relación. (2 puntos)

El gráfico muestra que la fuerza resultante dirigida hacia el centro aumenta linealmente con el cuadrado de la rapidez. Los datos son compatibles con una línea recta que pasa por el origen, por lo que

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

En otras palabras, si la rapidez se duplica, la fuerza resultante dirigida hacia el centro necesaria se cuadruplica, siempre que la masa y el radio permanezcan constantes.

Guía de corrección:

• 1 punto por identificar la relación lineal con el cuadrado de la rapidez.
• 1 punto por indicar que la fuerza es directamente proporcional a \(v^2\).

(b) Calcular e interpretar la pendiente. (2 puntos)

La pendiente es el cambio de la fuerza resultante dirigida hacia el centro dividido entre el cambio del cuadrado de la rapidez:

\[ \begin{aligned} \text{pendiente} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

Las unidades se simplifican a kilogramos por metro.

La ecuación del movimiento circular es

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

Reordénala para expresarla en la forma de una ecuación de línea recta:

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

Al comparar esta expresión con \(y=mx\), la pendiente del gráfico representa la relación entre la masa y el radio:

\[ \boxed{\text{pendiente}=\frac{m}{r}} \]

Guía de corrección:

• 1 punto por la pendiente correcta con unidades.
• 1 punto por identificar la pendiente como \(m/r\).

(c) Calcular la masa. (2 puntos)

A partir del apartado (b),

\[ \text{pendiente}=\frac{m}{r} \]

Despeja la masa:

\[ m=(\text{pendiente})r \]

Sustituye la pendiente y el radio:

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

La masa del objeto es de \(0.600\,\text{kg}\).

Guía de corrección:

• 1 punto por despejar correctamente la relación de la pendiente y sustituir el radio.
• 1 punto por la masa correcta con unidades.

Concede los puntos correspondientes por continuidad del procedimiento si se utiliza una pendiente obtenida de forma coherente en el apartado (b).

Solución 6

(a) Calcular el ángulo de peralte. (3 puntos)

Para una pista peraltada sin fricción, la relación de la rapidez de diseño es

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

Sustituye la rapidez, el radio y la intensidad del campo gravitatorio indicados:

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

Aplicando la función arcotangente, se obtiene

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

El ángulo de peralte necesario es de \(18.8^\circ\) respecto a la horizontal.

Guía de corrección:

• 1 punto por utilizar la relación correcta de la rapidez de diseño.
• 1 punto por la sustitución correcta.
• 1 punto por el ángulo correcto.

(b) Calcular la fuerza normal. (2 puntos)

El coche no tiene aceleración vertical, por lo que la componente vertical de la fuerza normal equilibra su peso:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

Despejando:

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

Sustituyendo los valores:

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

La fuerza normal tiene un módulo de \(9.31\times10^3\,\text{N}\).

Guía de corrección:

• 1 punto por descomponer la fuerza normal en la dirección vertical y utilizar la ecuación correcta.
• 1 punto por la fuerza normal correcta con unidades.

(c) Calcular y verificar la componente dirigida hacia el centro. (2 puntos)

La componente de la fuerza normal dirigida hacia el centro es

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

Utilizando \(F_N\cos\theta=mg\), también puede escribirse como

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

Sustituyendo los valores:

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

Ahora calcula la fuerza resultante dirigida hacia el centro necesaria para el movimiento circular:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

La componente de la fuerza normal dirigida hacia el centro coincide con la fuerza resultante dirigida hacia el centro necesaria, dentro del margen de redondeo. Esto confirma que la fuerza normal puede proporcionar la fuerza centrípeta necesaria a la rapidez de diseño.

Guía de corrección:

• 1 punto por calcular la componente de la fuerza normal dirigida hacia el centro.
• 1 punto por calcular la fuerza resultante dirigida hacia el centro necesaria y confirmar que ambos valores coinciden.

Concede los puntos correspondientes por continuidad del procedimiento en los apartados (b) y (c) si se utiliza de forma coherente un ángulo obtenido en el apartado (a), siempre que el método sea correcto.