Física de Year 12: examen de práctica sobre la naturaleza de la luz y soluciones

Este es un examen de práctica original de tutorgum para Física de Year 12: Naturaleza de la luz, que abarca el área de contenidos del programa de estudios de 2025 proporcionado. Combina cálculos, análisis de datos, evidencias experimentales y explicaciones sobre el comportamiento ondulatorio, la física cuántica, las ondas electromagnéticas y la relatividad especial. Es un recurso original de repaso, no un examen oficial de NESA, ni respaldado ni destinado a predecir un examen de dicha entidad.

01Instrucciones del examen

• Puntuación total: 90 puntos
• Tiempo de trabajo recomendado: 110 minutos
• Tiempo de lectura: 5 minutos
• Material permitido: Calculadora científica, regla y papel milimetrado. No se permiten apuntes.
• Procedimiento: Muestra los cálculos, las sustituciones, las unidades y las cifras significativas adecuadas. Explica tu razonamiento en las respuestas escritas.

Los tiempos y las condiciones de este examen son condiciones de práctica recomendadas, no afirmaciones sobre las normas de los exámenes oficiales.

Alcance evaluado

El examen evalúa los contenidos proporcionados de Year 12 sobre la naturaleza de la luz para la edición de 2025 del programa de Física, incluidos los modelos ondulatorio y cuántico de la luz, la producción y medición de ondas electromagnéticas y la relatividad especial. No evalúa contenidos de otros módulos ni combina materiales de distintas ediciones del programa de estudios.

Constantes y conversiones

Utiliza los siguientes datos cuando sea necesario.

Salvo que una pregunta indique lo contrario, supón que la luz se propaga por el aire aproximadamente a la misma velocidad que en el vacío, que se utilizan filtros polarizadores ideales y que las respuestas numéricas deben redondearse de manera razonable.

02Preguntas

Pregunta 1 (8 puntos)

(a) Enuncia los dos postulados de Einstein sobre la relatividad especial. Para esta pregunta, un sistema de referencia inercial es un sistema que no está acelerando. (2 puntos)

(b) Las ecuaciones de Maxwell predicen la velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío mediante la expresión

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

donde \(c\) es la velocidad de la onda, \(\mu_0\) es la permeabilidad del vacío y \(\epsilon_0\) es la permitividad del vacío.

Calcula la velocidad de onda predicha. (2 puntos)

(c) Describe cómo una carga eléctrica acelerada puede producir una onda electromagnética. Incluye la orientación del campo eléctrico, el campo magnético y la dirección de propagación de la energía. (2 puntos)

(d) Un experimento similar al de Michelson-Morley no detecta ninguna diferencia medible en el tiempo de recorrido de la luz en direcciones perpendiculares mientras la Tierra se mueve. Explica qué conclusión respaldó este resultado y da una razón por la que constituyó una evidencia relevante para la relatividad especial, en lugar de una prueba de toda la teoría. (2 puntos)

Pregunta 2 (6 puntos)

Heinrich Hertz utilizó un transmisor con un espacio entre electrodos donde se producía una chispa y un circuito receptor independiente que contenía una pequeña abertura. Cuando el transmisor producía una chispa, también podía observarse una chispa en el receptor, a pesar de que no había ningún cable conductor que los conectara.

(a) Explica por qué esta observación respaldó la existencia de ondas electromagnéticas. (2 puntos)

(b) Una onda electromagnética reflejada produce un patrón de onda estacionaria. Los nodos consecutivos están separados por \(0.30\ \mathrm{m}\). Calcula la longitud de onda. (1 punto)

(c) La frecuencia de oscilación del transmisor es \(5.0 \times 10^8\ \mathrm{Hz}\). Calcula la velocidad de la onda utilizando tu respuesta al apartado (b). (2 puntos)

(d) Indica una suposición o limitación que deba tenerse en cuenta al utilizar esta técnica para estimar la velocidad de las ondas electromagnéticas. (1 punto)

Pregunta 3 (6 puntos)

(a) Se dirige un láser pulsado hacia un reflector situado a \(1.50\ \mathrm{km}\) de distancia. El tiempo medido entre el envío de un pulso y la detección de su retorno es de \(10.0\ \mathrm{\mu s}\).

Calcula la velocidad de la luz utilizando estas mediciones. (2 puntos)

(b) Describe brevemente cómo el método de la rueda dentada de Fizeau utilizaba un haz de luz de retorno y la rotación de una rueda para estimar la velocidad de la luz. (2 puntos)

(c) Compara el método moderno del láser pulsado con el método histórico de Fizeau. Indica una ventaja del método moderno y una limitación que todavía deba controlarse. (2 puntos)

Pregunta 4 (10 puntos)

(a) Un cuerpo negro ideal emite un espectro continuo de radiación electromagnética. Describe en qué se diferencia su espectro observado de la predicción de la física clásica a longitudes de onda muy cortas y explica cómo la cuantización de la energía propuesta por Planck abordó este problema. (3 puntos)

(b) La longitud de onda del máximo del espectro de un cuerpo negro es \(580\ \mathrm{nm}\). Utiliza la ley de desplazamiento de Wien,

\[ \lambda_{\max}T=b \]

donde \(\lambda_{\max}\) es la longitud de onda del máximo, \(T\) es la temperatura absoluta en kelvin y \(b\) es la constante de desplazamiento de Wien.

Calcula la temperatura del cuerpo negro. (2 puntos)

(c) Un fotón tiene una longitud de onda de \(400\ \mathrm{nm}\). Utiliza

\[ E=\frac{hc}{\lambda} \]

donde \(E\) es la energía del fotón, \(h=6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) es la constante de Planck, \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) es la velocidad de la luz y \(\lambda\) es la longitud de onda.

Calcula la energía del fotón en julios y electronvoltios. (3 puntos)

(d) Explica cómo una célula fotovoltaica convierte la luz en energía eléctrica. Identifica otra aplicación que dependa de la energía cuantizada de los fotones y describe brevemente su funcionamiento. (2 puntos)

Pregunta 5 (10 puntos)

El efecto fotoeléctrico se produce cuando la luz que incide sobre un metal provoca la emisión de electrones. La función de trabajo, \(\phi\), es la energía mínima necesaria para liberar un electrón del metal. La energía cinética máxima de un electrón emitido es \(K_{\max}\).

Un estudiante mide la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos por un metal a distintas frecuencias de la luz incidente.

(a) Explica cómo la existencia de una frecuencia umbral y la emisión inmediata de fotoelectrones cuestionan el modelo ondulatorio clásico de la luz. (2 puntos)

(b) Representa gráficamente \(K_{\max}\) frente a la frecuencia utilizando papel milimetrado. Etiqueta el eje horizontal como \(f/(10^{14}\ \mathrm{Hz})\), representa los datos y traza una recta de mejor ajuste adecuada.

Utiliza tu gráfica para estimar la frecuencia umbral y explica qué representa físicamente. (3 puntos)

(c) Utiliza la pendiente de tu gráfica para estimar la constante de Planck en \(\mathrm{J\,s}\). Convierte correctamente las unidades de energía. (2 puntos)

(d) Utiliza la ecuación fotoeléctrica

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

para calcular:

• la función de trabajo del metal en electronvoltios;
• la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos cuando la frecuencia incidente es \(8.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\).

Utiliza el valor de la constante de Planck obtenido a partir de tu gráfica. (3 puntos)

Pregunta 6 (9 puntos)

(a) Explica cómo se produce la emisión termoiónica, por qué el material emisor suele colocarse en el vacío y una diferencia entre la emisión termoiónica y la emisión fotoeléctrica. (3 puntos)

(b) Una luz no polarizada de intensidad \(I_0\) atraviesa un polarizador ideal y, después, un analizador ideal. El ángulo entre los ejes de transmisión de los dos filtros es de \(30^\circ\).

Para la luz linealmente polarizada que incide sobre el analizador, la ley de Malus es

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

donde \(I\) es la intensidad transmitida, \(I_{\max}\) es la intensidad que incide sobre el analizador cuando su eje está alineado con la dirección de polarización de la luz y \(\theta\) es el ángulo entre la dirección de polarización y el eje de transmisión del analizador.

Calcula la intensidad final transmitida en función de \(I_0\). (3 puntos)

(c) Explica por qué la polarización respalda el modelo de la luz como onda transversal. ¿Por qué un polarizador ideal no puede seleccionar una dirección concreta de oscilación lateral para una onda longitudinal? (2 puntos)

(d) Indica una condición necesaria para aplicar correctamente la ley de Malus. (1 punto)

Pregunta 7 (8 puntos)

(a) Una luz monocromática atraviesa una única rendija estrecha. La anchura de la rendija se reduce de \(5\lambda\) a \(\lambda\), donde \(\lambda\) es la longitud de onda de la luz.

Describe cómo cambia el patrón de difracción y explica por qué. (2 puntos)

(b) En un experimento de doble rendija, la separación entre las dos rendijas es \(d=0.25\ \mathrm{mm}\). Las rendijas se iluminan con luz de longitud de onda \(\lambda=500\ \mathrm{nm}\).

La condición para obtener una franja brillante es

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

donde \(\theta\) es el ángulo respecto al eje central y \(m\) es el orden entero de la franja brillante.

Calcula el ángulo de la franja brillante de segundo orden, \(m=2\). (3 puntos)

(c) Se coloca una pantalla a \(2.0\ \mathrm{m}\) de las rendijas. Utiliza la aproximación de ángulo pequeño para calcular el desplazamiento de la franja brillante de segundo orden respecto al máximo central. (2 puntos)

(d) Explica qué demuestra sobre el comportamiento de la luz la alternancia de franjas brillantes y oscuras. (1 punto)

Pregunta 8 (6 puntos)

Una rejilla de difracción tiene 600 líneas por milímetro. Se ilumina perpendicularmente con luz monocromática de longitud de onda \(500\ \mathrm{nm}\).

(a) Calcula la separación \(d\) entre líneas adyacentes de la rejilla y el ángulo del máximo de segundo orden. Utiliza

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

donde \(m\) es el orden del máximo y \(\theta\) es su ángulo respecto a la normal. (3 puntos)

(b) Determina el orden de difracción más alto posible para esta longitud de onda. (1 punto)

(c) Explica por qué una rejilla con muchas rendijas puede distinguir dos longitudes de onda muy próximas con mayor eficacia que una disposición de dos rendijas. (2 puntos)

Pregunta 9 (10 puntos)

(a) Define un sistema de referencia inercial y explica qué significa la relatividad de la simultaneidad. (2 puntos)

(b) Dos sucesos, A y B, ocurren en las posiciones \(x_A=0\) y \(x_B=+600\ \mathrm{m}\) en el sistema de referencia del andén. Son simultáneos en ese sistema, por lo que \(\Delta t=t_B-t_A=0\).

El sistema de referencia del tren se mueve en la dirección \(+x\) a una velocidad de \(0.60c\) respecto al andén, donde \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Utiliza la transformación de Lorentz

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right) \]

donde \(\Delta t'=t'_B-t'_A\), \(\Delta x=x_B-x_A\), \(v\) es la velocidad relativa y

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

es el factor de Lorentz.

Calcula \(\Delta t'\) en el sistema de referencia del tren e indica qué suceso ocurre primero en ese sistema. (3 puntos)

(c) Un reloj en reposo en una nave espacial registra \(2.00\ \mathrm{\mu s}\) entre dos sucesos que ocurren en el mismo punto de la nave. Un observador en la Tierra mide la velocidad de la nave como \(0.80c\).

Calcula el intervalo de tiempo medido por el observador terrestre. (3 puntos)

(d) La longitud propia de una nave espacial, medida en su propio sistema de referencia en reposo, es de \(120\ \mathrm{m}\). Calcula la longitud medida por un observador terrestre cuando la nave se mueve a \(0.80c\). (2 puntos)

Pregunta 10 (5 puntos)

(a) Una partícula tiene una masa en reposo de \(1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}\) y se mueve a \(0.90c\), donde \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Utiliza la ecuación relativista del momento lineal

\[ p=\gamma mv \]

donde \(p\) es el momento lineal, \(m\) es la masa en reposo, \(v\) es la velocidad y \(\gamma\) es el factor de Lorentz.

Calcula el momento lineal relativista de la partícula. (3 puntos)

(b) Explica por qué no es posible acelerar una partícula con masa hasta la velocidad de la luz suministrándole una cantidad finita de energía. (2 puntos)

Pregunta 11 (8 puntos)

(a) Los muones cósmicos se producen en las capas superiores de la atmósfera terrestre. La vida media de un muón en su propio sistema de referencia en reposo es de \(2.20\ \mathrm{\mu s}\), y se desplaza hacia la superficie terrestre a \(0.998c\).

Supón que el muón se desplaza verticalmente a velocidad constante y desprecia la pérdida de energía y otras interacciones. La altitud a la que se produce es de \(10.0\ \mathrm{km}\).

Calcula:

• el factor de Lorentz;
• la vida media medida en el sistema de referencia terrestre;
• la distancia media recorrida antes de desintegrarse.

Utiliza tus resultados para explicar por qué muchos muones pueden llegar a la superficie terrestre. (5 puntos)

(b) En un experimento similar al de Hafele-Keating, se transportan relojes atómicos en vuelos hacia el este y hacia el oeste alrededor de la Tierra. Después de los vuelos, sus lecturas se comparan con las de un reloj de referencia que permanece en tierra.

Explica qué se está poniendo a prueba, por qué las diferencias previstas entre las lecturas de los relojes pueden depender de la dirección y las condiciones del vuelo, y qué respaldaría la concordancia entre las diferencias medidas y las predichas. Considera tanto los efectos dependientes de la velocidad como los relacionados con la altitud. (3 puntos)

Pregunta 12 (4 puntos)

Un estudiante hace la siguiente afirmación:

«La difracción y la interferencia demuestran que la luz es una onda, por lo que el efecto fotoeléctrico no puede explicarse mediante el mismo modelo físico de la luz».

(a) Indica qué demuestra la difracción o la interferencia sobre el comportamiento de la luz y por qué un modelo puramente clásico de partículas no es suficiente para explicarlo. (1 punto)

(b) Indica qué demuestran la frecuencia umbral y la emisión inmediata observadas en el efecto fotoeléctrico sobre la forma en que la luz transfiere energía. (1 punto)

(c) Evalúa la afirmación del estudiante utilizando ambos conjuntos de evidencias. Explica cómo un modelo moderno de la luz puede explicar las observaciones. (2 puntos)

03Soluciones desarrolladas y guía de corrección

Los métodos equivalentes y las respuestas numéricas correctamente redondeadas deben recibir la misma puntuación. En las preguntas de cálculo, deben concederse puntos por continuar correctamente el procedimiento cuando un estudiante utiliza de manera coherente un resultado numérico anterior, aunque dicho resultado contenga un error menor.

Solución 1

(a) Postulados de Einstein

1. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. No existe un sistema de referencia inercial privilegiado en el que las leyes de la física adopten una forma diferente.
2. La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales, independientemente del movimiento de la fuente o del observador.

Corrección:

• 1 punto por cada postulado enunciado correctamente.

(b) Predicción de Maxwell

Sustituye las constantes electromagnéticas proporcionadas en la expresión de la velocidad de onda.

\[ \begin{aligned} c&=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.85\times10^{-12})}}\\[4pt] &\approx 3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

La velocidad predicha de las ondas electromagnéticas coincide con la velocidad aceptada de la luz en el vacío.

Corrección:

• 1 punto por la sustitución correcta.
• 1 punto por la velocidad y las unidades correctas.

(c) Producción y propagación de ondas electromagnéticas

Una carga eléctrica acelerada produce campos eléctricos y magnéticos variables. Estos campos se propagan alejándose de la carga en forma de onda electromagnética.

El campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre sí, y ambos son perpendiculares a la dirección de propagación. La onda transporta energía a través del espacio.

Corrección:

• 1 punto por relacionar las cargas aceleradas con los campos electromagnéticos variables.
• 1 punto por indicar correctamente la disposición transversal de los campos y la propagación de la energía.

(d) Evidencias de un experimento similar al de Michelson-Morley

El resultado nulo respaldó la conclusión de que no se detectaba ningún cambio en el tiempo de recorrido de la luz causado por el movimiento de la Tierra a través de un éter estacionario hipotético. Esto contribuyó a debilitar el modelo del éter y respaldó la idea de que la velocidad de la luz no depende de la dirección de medición en la configuración experimental utilizada.

Sin embargo, un resultado nulo está limitado por la sensibilidad y la configuración del experimento. Por sí solo, no demuestra todas las consecuencias de la relatividad especial ni pone a prueba directamente todos los sistemas de referencia inerciales.

Corrección:

• 1 punto por explicar correctamente qué conclusión respaldó el resultado nulo.
• 1 punto por indicar una limitación válida o una razón por la que no constituye una prueba completa de la teoría.

Solución 2

(a) Evidencias de Hertz

El receptor produjo una chispa a pesar de no estar conectado al transmisor mediante un cable conductor. Esto demostró que la energía podía desplazarse por el espacio desde el transmisor hasta el receptor, lo que es coherente con la propagación de ondas electromagnéticas.

La observación respaldó el modelo de las ondas electromagnéticas, aunque la configuración experimental también debía permitir distinguir la radiación propagada del acoplamiento electromagnético directo no deseado.

Corrección:

• 1 punto por identificar la transferencia de energía sin una conexión conductora.
• 1 punto por relacionar la observación con las ondas electromagnéticas.

(b) Longitud de onda a partir de la separación entre nodos

Los nodos adyacentes de una onda estacionaria están separados por media longitud de onda.

\[ \begin{aligned} \frac{\lambda}{2}&=0.30\ \mathrm{m}\\ \lambda&=2(0.30)\\ &=0.60\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

Corrección:

• 1 punto por la longitud de onda correcta.

(c) Velocidad de onda

La velocidad de onda \(v\) es el producto de la frecuencia \(f\) por la longitud de onda \(\lambda\).

\[ \begin{aligned} v&=f\lambda\\ &=(5.0\times10^8)(0.60)\\ &=3.0\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Corrección:

• 1 punto por la relación y la sustitución correctas.
• 1 punto por el resultado correcto con unidades.

(d) Suposición o limitación

Una respuesta válida es que la frecuencia del transmisor debe conocerse con precisión. Otra es que las posiciones de los nodos de la onda estacionaria deben medirse con precisión. El acoplamiento de campo cercano entre el transmisor y el receptor también puede complicar la interpretación de la observación.

Corrección:

• 1 punto por una suposición o limitación pertinente.

Solución 3

(a) Medición moderna del tiempo de vuelo mediante láser

La luz viaja hasta el reflector y regresa, por lo que la distancia total es el doble de la distancia de ida.

\[ \begin{aligned} s&=2(1.50\times10^3)\\ &=3.00\times10^3\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

El tiempo de ida y vuelta es

\[ \Delta t=10.0\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

Por tanto,

\[ \begin{aligned} c&=\frac{s}{\Delta t}\\ &=\frac{3.00\times10^3}{10.0\times10^{-6}}\\ &=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Corrección:

• 1 punto por utilizar correctamente la distancia de ida y vuelta.
• 1 punto por la velocidad y las unidades correctas.

(b) Método de la rueda dentada de Fizeau

La luz atravesaba una abertura de una rueda dentada giratoria, viajaba hasta un espejo distante y regresaba. A una velocidad de rotación adecuada de la rueda, uno de los dientes bloqueaba el haz de retorno.

La velocidad de rotación de la rueda y la distancia conocida hasta el espejo permitían estimar el tiempo de recorrido de la luz. Al dividir la distancia total de ida y vuelta por ese tiempo, se obtenía la velocidad de la luz.

Corrección:

• 1 punto por describir la rueda y los haces de ida y de retorno.
• 1 punto por relacionar la rotación de la rueda y la distancia de ida y vuelta con una estimación del tiempo de recorrido y, por tanto, de la velocidad.

(c) Comparación

Una ventaja del método moderno del láser pulsado es que la medición electrónica del tiempo permite medir intervalos de recorrido muy cortos con gran precisión, sin necesidad de una rueda dentada giratoria.

Una limitación es que el tiempo de recorrido puede ser extremadamente corto, por lo que se necesitan sistemas electrónicos de temporización precisos y una calibración adecuada de los detectores. La incertidumbre en la distancia, los efectos atmosféricos y la alineación del reflector también pueden afectar a la medición.

Corrección:

• 1 punto por una ventaja válida.
• 1 punto por una limitación válida.

Solución 4

(a) Radiación de cuerpo negro y cuantización de Planck

El espectro observado de un cuerpo negro aumenta hasta alcanzar un máximo y después disminuye a longitudes de onda más cortas. La física clásica predecía un aumento ilimitado de la intensidad emitida a longitudes de onda muy cortas, lo que conducía a la catástrofe ultravioleta.

Planck resolvió el problema al proponer que la energía podía intercambiarse en paquetes discretos, o cuantos, en lugar de hacerlo en cantidades arbitrariamente continuas. La energía de un cuanto es proporcional a la frecuencia:

\[ E=hf \]

donde \(E\) es la energía del cuanto, \(h\) es la constante de Planck y \(f\) es la frecuencia. Esta cuantización permitió explicar el espectro observado.

Corrección:

• 1 punto por describir el espectro observado.
• 1 punto por identificar la catástrofe ultravioleta clásica.
• 1 punto por explicar el papel de la energía cuantizada.

• Más frío
• Más caliente

(b) Ley de desplazamiento de Wien

Convierte la longitud de onda del máximo a metros:

\[ \lambda_{\max}=580\times10^{-9}\ \mathrm{m} \]

Despeja la temperatura en la ley de Wien.

\[ \begin{aligned} T&=\frac{b}{\lambda_{\max}}\\[4pt] &=\frac{2.90\times10^{-3}}{580\times10^{-9}}\\[4pt] &=5.00\times10^3\ \mathrm{K} \end{aligned} \]

La temperatura del cuerpo negro es aproximadamente \(5000\ \mathrm{K}\).

Corrección:

• 1 punto por la conversión y la sustitución correctas.
• 1 punto por la temperatura y las unidades correctas.

(c) Energía del fotón

Primero, calcula la energía en julios.

\[ \begin{aligned} E&=\frac{hc}{\lambda}\\[4pt] &=\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {400\times10^{-9}}\\[4pt] &=4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned} \]

Convierte el resultado a electronvoltios dividiéndolo por la energía equivalente a un electronvoltio.

\[ \begin{aligned} E&=\frac{4.97\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\\[4pt] &=3.11\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

La energía del fotón es \(4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J}\), o aproximadamente \(3.11\ \mathrm{eV}\).

Corrección:

• 1 punto por la ecuación y la sustitución correctas.
• 1 punto por la energía en julios.
• 1 punto por la energía en electronvoltios.

(d) Células fotovoltaicas y otra aplicación cuántica

En una célula fotovoltaica, un fotón con suficiente energía puede promover un electrón a un estado de mayor energía en un semiconductor, dejando un hueco. El campo eléctrico interno de la célula separa estas cargas, lo que permite que circule una corriente eléctrica por un circuito externo.

Otro ejemplo es un LED. Cuando un electrón se recombina con un hueco, puede liberarse energía en forma de fotón. La energía del fotón está relacionada con la diferencia de energía entre los estados.

Corrección:

• 1 punto por explicar correctamente la absorción de fotones y la separación de cargas en una célula fotovoltaica.
• 1 punto por identificar otra aplicación cuántica y explicar su principio de funcionamiento.

Solución 5

(a) Frecuencia umbral y emisión inmediata

La frecuencia umbral \(f_0\) es la frecuencia mínima de la luz incidente que permite emitir fotoelectrones. Por debajo de esta frecuencia, aumentar la intensidad no provoca emisión, porque los fotones individuales no tienen suficiente energía para superar la función de trabajo del metal.

Por encima del umbral, la emisión se produce sin un retraso medible. Esto contradice la predicción clásica de las ondas, según la cual los electrones deberían acumular gradualmente energía de la onda incidente antes de escapar.

Corrección:

• 1 punto por explicar la frecuencia umbral en términos de la energía de los fotones.
• 1 punto por explicar la emisión inmediata y su incompatibilidad con la predicción clásica.

(b) Gráfica y frecuencia umbral

La gráfica debe mostrar los cinco puntos de datos próximos a una línea recta.

La intersección con el eje horizontal es aproximadamente

\[ f_0=5.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz} \]

A esta frecuencia, la energía cinética máxima es cero. La energía de un fotón incidente es justo la necesaria para superar la función de trabajo, por lo que

\[ hf_0=\phi \]

Por tanto, la frecuencia umbral identifica la frecuencia mínima necesaria para liberar electrones de este metal en particular.

Corrección:

• 1 punto por representar y etiquetar correctamente los datos y trazar una recta de mejor ajuste adecuada.
• 1 punto por estimar la intersección con el eje horizontal.
• 1 punto por explicar el significado físico de la frecuencia umbral.

• Datos medidos
• Recta de mejor ajuste
• Frecuencia umbral: 5.0 × 10^14 Hz

(c) Constante de Planck a partir de la pendiente

Utilizando los extremos de los datos, la pendiente es aproximadamente

\[ \begin{aligned} \text{pendiente} &=\frac{\Delta K_{\max}}{\Delta f}\\[4pt] &=\frac{1.66-0.00}{(9.0-5.0)\times10^{14}}\\[4pt] &=4.15\times10^{-15}\ \mathrm{eV\,s} \end{aligned} \]

Cuando la energía cinética se mide en electronvoltios, esta pendiente representa la constante de Planck expresada en \(\mathrm{eV\,s}\). Convierte el resultado a \(\mathrm{J\,s}\):

\[ \begin{aligned} h&=(4.15\times10^{-15})(1.60\times10^{-19})\\ &=6.64\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s} \end{aligned} \]

Corrección:

• 1 punto por una estimación correcta de la pendiente con las unidades adecuadas.
• 1 punto por la conversión a julios y la estimación correcta de la constante de Planck.

(d) Función de trabajo y energía cinética máxima

En la frecuencia umbral, la energía cinética máxima es cero. Por tanto,

\[ \phi=hf_0 \]

Utilizando el valor de \(h\) obtenido a partir de la gráfica,

\[ \begin{aligned} \phi&=(6.64\times10^{-34})(5.0\times10^{14})\\ &=3.32\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &=\frac{3.32\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\ \mathrm{eV}\\ &=2.08\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

Para una frecuencia incidente \(f=8.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\),

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

\[ \begin{aligned} K_{\max} &=(6.64\times10^{-34})(8.0\times10^{14}) -3.32\times10^{-19}\\[4pt] &=1.99\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &\approx1.24\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

El fotón proporciona una energía \(hf\). Parte de esa energía se utiliza para superar la función de trabajo y el resto se convierte en la energía cinética del electrón emitido. Esto es una aplicación del principio de conservación de la energía al efecto fotoeléctrico.

Corrección:

• 1 punto por calcular la función de trabajo.
• 1 punto por sustituir correctamente en la ecuación fotoeléctrica para la frecuencia especificada.
• 1 punto por la energía cinética máxima con las unidades adecuadas.

Se aceptarán, aplicando el seguimiento del procedimiento, cálculos basados en una pendiente de la gráfica ligeramente diferente, siempre que se haya obtenido correctamente.

Solución 6

(a) Emisión termoiónica

La emisión termoiónica se produce cuando el calentamiento proporciona a los electrones de un material suficiente energía para escapar de su superficie. El material emisor suele colocarse en el vacío para que los electrones emitidos puedan desplazarse con menos colisiones con las moléculas de gas.

En la emisión fotoeléctrica, los fotones proporcionan energía a los electrones, y la frecuencia de los fotones determina si pueden superar la función de trabajo. En la emisión termoiónica, la energía procede del calentamiento.

Corrección:

• 1 punto por explicar cómo el calentamiento permite que los electrones escapen.
• 1 punto por explicar la finalidad del vacío.
• 1 punto por distinguir la emisión termoiónica de la emisión fotoeléctrica.

(b) Ley de Malus

Un polarizador ideal transmite la mitad de la intensidad de una luz inicialmente no polarizada.

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

Esta es la intensidad que incide sobre el analizador. Aplica la ley de Malus con \(\theta=30^\circ\):

\[ \begin{aligned} I&=I_1\cos^2 30^\circ\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\times\frac{3}{4}\\[4pt] &=\frac{3I_0}{8} \end{aligned} \]

La intensidad final transmitida es \(3I_0/8\).

Corrección:

• 1 punto por determinar correctamente la intensidad después del primer polarizador.
• 1 punto por aplicar correctamente la ley de Malus.
• 1 punto por la expresión final.

(c) Polarización y ondas transversales

Una onda transversal oscila perpendicularmente a su dirección de propagación. Un polarizador selecciona una orientación concreta del campo eléctrico, lo que demuestra que la luz tiene una dirección de oscilación transversal.

Una onda longitudinal oscila paralelamente a su dirección de propagación. No tiene una dirección de oscilación lateral equivalente que un polarizador pueda seleccionar.

Corrección:

• 1 punto por relacionar la polarización con las oscilaciones transversales.
• 1 punto por explicar por qué una onda longitudinal no puede polarizarse de esta manera.

(d) Condición para la ley de Malus

La luz que incide sobre el analizador debe estar polarizada linealmente. La ley de Malus relaciona entonces la intensidad transmitida con el ángulo entre la dirección de polarización de la luz y el eje de transmisión del analizador.

Corrección:

• 1 punto por indicar una condición válida.

Solución 7

(a) Difracción a través de una rendija estrecha

La difracción es la propagación y dispersión de una onda al atravesar una abertura. Para una longitud de onda fija, la dispersión angular aumenta cuando la anchura de la rendija disminuye en relación con la longitud de onda.

Por tanto, al reducir la anchura de la rendija de \(5\lambda\) a \(\lambda\), se produce una mayor dispersión.

Corrección:

• 1 punto por describir la difracción.
• 1 punto por relacionar el aumento de la dispersión con la menor anchura de la rendija respecto a la longitud de onda.

(b) Franja brillante de segundo orden

Convierte la separación entre rendijas y la longitud de onda a metros:

\[ d=0.25\times10^{-3}=2.5\times10^{-4}\ \mathrm{m} \]

\[ \lambda=500\times10^{-9}=5.0\times10^{-7}\ \mathrm{m} \]

Utilizando la condición de las franjas brillantes,

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{m\lambda}{d}\\[4pt] &=\frac{2(5.0\times10^{-7})}{2.5\times10^{-4}}\\[4pt] &=0.0040 \end{aligned} \]

Por tanto,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.0040)\approx0.229^\circ \]

Corrección:

• 1 punto por la relación correcta.
• 1 punto por la sustitución correcta.
• 1 punto por el ángulo con las unidades adecuadas.

(c) Desplazamiento de la franja

Para ángulos pequeños medidos en radianes,

\[ \tan\theta\approx\sin\theta \]

El desplazamiento \(y\) respecto al máximo central es aproximadamente

\[ y=L\tan\theta\approx L\sin\theta \]

Sustituyendo la distancia a la pantalla \(L=2.0\ \mathrm{m}\),

\[ \begin{aligned} y&\approx2.0(0.0040)\\ &=0.0080\ \mathrm{m}\\ &=8.0\ \mathrm{mm} \end{aligned} \]

La franja de segundo orden está aproximadamente a \(8.0\ \mathrm{mm}\) del máximo central.

Corrección:

• 1 punto por el método correcto de ángulo pequeño.
• 1 punto por el desplazamiento con unidades.

(d) Evidencia del comportamiento ondulatorio

Las franjas brillantes y oscuras se deben, respectivamente, a la interferencia constructiva y destructiva. Su patrón regular constituye una evidencia del comportamiento ondulatorio de la luz.

Corrección:

• 1 punto por relacionar el patrón de franjas con la interferencia y el comportamiento ondulatorio.

Solución 8

(a) Separación de la rejilla y ángulo de segundo orden

La rejilla tiene 600 líneas por milímetro. Convierte este valor a líneas por metro:

\[ 600\ \mathrm{líneas\,mm^{-1}} =6.00\times10^5\ \mathrm{líneas\,m^{-1}} \]

La separación \(d\) es el inverso de la densidad de líneas:

\[ \begin{aligned} d&=\frac{1}{6.00\times10^5}\\ &=1.67\times10^{-6}\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

Para el máximo de segundo orden, \(m=2\):

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{2(500\times10^{-9})}{1.67\times10^{-6}}\\[4pt] &\approx0.600 \end{aligned} \]

Por tanto,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.600)\approx36.9^\circ \]

Corrección:

• 1 punto por la separación correcta entre las líneas de la rejilla.
• 1 punto por la sustitución correcta en la ecuación de la rejilla.
• 1 punto por el ángulo con unidades.

(b) Orden máximo posible

Un máximo solo puede producirse si

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}\leq1 \]

Por tanto,

\[ m\leq\frac{d}{\lambda} =\frac{1.67\times10^{-6}}{5.00\times10^{-7}} \approx3.33 \]

El orden debe ser un número entero, por lo que el orden máximo posible es

\[ m_{\max}=3 \]

Corrección:

• 1 punto por el orden máximo correcto.

(c) Poder de resolución

Una rejilla de difracción tiene muchas rendijas. La interferencia entre ellas produce máximos principales más estrechos que los de una disposición de dos rendijas.

Cuando dos longitudes de onda son muy próximas, los máximos más estrechos permiten distinguir con mayor facilidad sus posiciones angulares respectivas. Esto mejora la resolución espectral de la rejilla.

Corrección:

• 1 punto por explicar que muchas rendijas producen máximos más estrechos.
• 1 punto por relacionar los máximos más estrechos con la capacidad de distinguir longitudes de onda muy próximas.

Solución 9

(a) Sistemas de referencia inerciales y simultaneidad

Un sistema de referencia inercial es un sistema que no está acelerando. Está en reposo o se mueve con velocidad constante respecto a otro sistema de referencia inercial.

La relatividad de la simultaneidad significa que dos sucesos separados espacialmente y simultáneos en un sistema de referencia inercial no tienen por qué ser simultáneos en otro sistema que se mueva respecto al primero.

Corrección:

• 1 punto por definir un sistema de referencia inercial.
• 1 punto por explicar la relatividad de la simultaneidad.

(b) Diferencia temporal entre los sucesos

Los sucesos son simultáneos en el sistema de referencia del andén, por lo que \(\Delta t=0\). Su separación espacial es

\[ \Delta x=x_B-x_A=600\ \mathrm{m} \]

Para \(v=0.60c\), el factor de Lorentz es

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\[4pt] &=1.25 \end{aligned} \]

Aplica la transformación de Lorentz proporcionada:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\[4pt] &=1.25\left(0-\frac{(0.60c)(600)}{c^2}\right)\\[4pt] &=-1.50\times10^{-6}\ \mathrm{s} \end{aligned} \]

El signo negativo significa que \(t'_B-t'_A\) es negativo. En el sistema de referencia del tren, el suceso B ocurre \(1.50\ \mathrm{\mu s}\) antes que el suceso A.

Corrección:

• 1 punto por el factor de Lorentz correcto.
• 1 punto por la sustitución y el cálculo correctos.
• 1 punto por interpretar correctamente el signo negativo.

(c) Dilatación temporal

El reloj mide el tiempo propio porque los dos sucesos ocurren en el mismo punto de la nave espacial, en su sistema de referencia en reposo.

Para un reloj en movimiento, el intervalo medido en el sistema de referencia terrestre es

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

donde \(\Delta\tau=2.00\ \mathrm{\mu s}\) es el tiempo propio.

Para \(v=0.80c\),

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.36}}\\ &=1.667 \end{aligned} \]

Por tanto,

\[ \begin{aligned} \Delta t&=1.667(2.00\ \mathrm{\mu s})\\ &=3.33\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

El observador terrestre mide un intervalo de aproximadamente \(3.33\ \mathrm{\mu s}\).

Corrección:

• 1 punto por el factor de Lorentz correcto.
• 1 punto por la relación de dilatación temporal y la sustitución correctas.
• 1 punto por el intervalo final con unidades.

(d) Contracción de la longitud

La longitud propia \(L_0=120\ \mathrm{m}\) se mide en el sistema de referencia de la nave espacial en reposo. El observador terrestre mide una longitud menor en la dirección del movimiento.

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} \]

Utilizando \(\gamma=1.667\),

\[ \begin{aligned} L&=\frac{120}{1.667}\\ &\approx72.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

La longitud contraída es aproximadamente \(72.0\ \mathrm{m}\).

Corrección:

• 1 punto por la relación correcta de contracción de la longitud.
• 1 punto por la respuesta correcta con unidades.

Solución 10

(a) Momento lineal relativista

Primero, calcula el factor de Lorentz para \(v=0.90c\).

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.90^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.19}}\\ &\approx2.294 \end{aligned} \]

La velocidad de la partícula es

\[ v=0.90(3.00\times10^8) =2.70\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

Utilizando \(p=\gamma mv\),

\[ \begin{aligned} p&=(2.294)(1.67\times10^{-27})(2.70\times10^8)\\[4pt] &\approx1.03\times10^{-18}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Corrección:

• 1 punto por el factor de Lorentz correcto.
• 1 punto por la sustitución correcta en la ecuación del momento lineal.
• 1 punto por el momento lineal correcto con unidades.

(b) Por qué una partícula con masa no puede alcanzar la velocidad de la luz

Cuando la velocidad de una partícula con masa se aproxima a \(c\), el denominador de

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

se aproxima a cero. En consecuencia, el factor de Lorentz aumenta sin límite y la energía necesaria para seguir acelerando la partícula se vuelve cada vez mayor.

Alcanzar la velocidad de la luz requeriría una cantidad infinita de energía en el límite. Por tanto, una partícula con masa no puede alcanzar \(c\) recibiendo una cantidad finita de energía.

Corrección:

• 1 punto por explicar el aumento del factor de Lorentz o de la energía relativista.
• 1 punto por relacionar este aumento con la imposibilidad de alcanzar \(c\) con una cantidad finita de energía.

Solución 11

(a) Muones cósmicos y dilatación temporal

La vida media propia del muón es

\[ \tau_0=2.20\ \mathrm{\mu s} \]

Su velocidad es \(v=0.998c\).

Primero, calcula el factor de Lorentz:

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.003996}}\\ &\approx15.8 \end{aligned} \]

La vida media medida en el sistema de referencia terrestre es mayor debido a la dilatación temporal:

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\tau_0\\ &=(15.8)(2.20\ \mathrm{\mu s})\\ &\approx34.8\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

Calcula la distancia media recorrida:

\[ \begin{aligned} s&=v\Delta t\\ &=(0.998)(3.00\times10^8)(34.8\times10^{-6})\\ &\approx1.04\times10^4\ \mathrm{m}\\ &\approx10.4\ \mathrm{km} \end{aligned} \]

La distancia media recorrida es aproximadamente \(10.4\ \mathrm{km}\), comparable y ligeramente superior a la altitud de producción indicada de \(10.0\ \mathrm{km}\). Por tanto, la dilatación temporal explica por qué muchos muones pueden llegar a la superficie terrestre antes de desintegrarse.

Este cálculo utiliza la vida media y no garantiza que todos los muones sobrevivan al trayecto. Los tiempos de desintegración individuales varían.

Corrección:

• 1 punto por el factor de Lorentz correcto.
• 1 punto por la vida media en el sistema de referencia terrestre.
• 1 punto por el método correcto de cálculo de la distancia.
• 1 punto por la distancia con unidades.
• 1 punto por relacionar el resultado con la observación de muones en la superficie terrestre.

(b) Pruebas de la relatividad mediante relojes atómicos

Los relojes se comparan después de los vuelos para medir las diferencias en el tiempo transcurrido. Esto permite comprobar si los relojes que siguen trayectorias distintas a través del espacio y del tiempo acumulan los intervalos temporales predichos por la relatividad.

La contribución de la relatividad especial depende de las velocidades de los relojes respecto a la Tierra, por lo que los vuelos hacia el este y hacia el oeste pueden producir resultados diferentes. La altitud también afecta a la velocidad de los relojes y contribuye con otro efecto relativista que debe incluirse al calcular la diferencia neta prevista.

La concordancia entre las diferencias medidas y las predicciones respalda las descripciones relativistas del tiempo transcurrido. Esta comparación resulta especialmente útil porque las predicciones pueden calcularse antes de que los relojes vuelvan a reunirse.

Corrección:

• 1 punto por identificar la comparación de las lecturas de los relojes como la magnitud medida.
• 1 punto por explicar los efectos de la velocidad y la altitud sobre las diferencias previstas.
• 1 punto por explicar cómo la concordancia con las predicciones respalda la relatividad.

Solución 12

(a) Evidencias ondulatorias

La difracción y la interferencia demuestran un comportamiento ondulatorio. Un modelo puramente clásico de partículas no explica el patrón regular de interferencia producido por la superposición de ondas luminosas.

Corrección:

• 1 punto por relacionar correctamente las evidencias con el comportamiento ondulatorio y con las limitaciones de un modelo clásico de partículas.

(b) Evidencias del efecto fotoeléctrico

La frecuencia umbral demuestra que un fotón debe proporcionar al menos la energía de la función de trabajo para liberar un electrón. La emisión inmediata respalda la transferencia de energía en cantidades cuantizadas individuales, en lugar de una acumulación gradual de energía procedente de una onda clásica continua.

Corrección:

• 1 punto por relacionar las observaciones con la energía cuantizada de los fotones.

(c) Evaluación de la afirmación

La conclusión del estudiante es demasiado tajante. La difracción y la interferencia demuestran un comportamiento ondulatorio, mientras que el efecto fotoeléctrico proporciona evidencias de que la luz transfiere energía en cuantos discretos.

Una descripción cuántica moderna permite explicar ambos conjuntos de observaciones. La luz puede mostrar un comportamiento ondulatorio durante su propagación y en los fenómenos de interferencia, mientras que sus interacciones con la materia implican una transferencia cuantizada de energía. Las evidencias no pueden explicarse completamente mediante un modelo puramente clásico de ondas ni mediante un modelo puramente clásico de partículas.

Corrección:

• 1 punto por explicar cómo un modelo moderno permite integrar ambos tipos de evidencias.
• 1 punto por concluir que los modelos clásicos de ondas y partículas, considerados por separado, son insuficientes.