Gráficas de aceleración-tiempo: área y cambio de velocidad

Un coche acelera a \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) durante 4 segundos y, después, su aceleración disminuye hasta cero. ¿Qué ha cambiado con certeza después de esos 4 segundos: su posición, su velocidad o ambas?

Su posición ha cambiado, pero la gráfica aceleración-tiempo no te indica directamente ese cambio. Lo que sí te da directamente es el cambio de velocidad. En este caso,

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Fíjate en lo que acabamos de calcular: aceleración multiplicada por tiempo. En una gráfica aceleración-tiempo, esa multiplicación aparece como un área.

Esa es la idea central de esta guía:

El área con signo entre una gráfica aceleración-tiempo y el eje del tiempo da el cambio de velocidad.

La expresión con signo es importante. El área situada por encima del eje del tiempo es positiva. El área situada por debajo es negativa.

01Qué muestra realmente una gráfica aceleración-tiempo

Una gráfica aceleración-tiempo tiene:

• el tiempo \(t\), medido en segundos (s), en el eje horizontal
• la aceleración \(a\), medida en metros por segundo al cuadrado (\(\text{m s}^{-2}\)), en el eje vertical

Supongamos que una gráfica es una línea horizontal en \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\).

Antes de seguir, haz una predicción. ¿Significa eso que el objeto se mueve con velocidad constante?

No. Significa que su velocidad está cambiando a un ritmo constante.

Una aceleración de \(2.0\ \text{m s}^{-2}\) significa que, cada segundo, la velocidad cambia en \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Por tanto, si la velocidad empieza en \(5.0\ \text{m s}^{-1}\):

• después de 1 s, es \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• después de 2 s, es \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• después de 3 s, es \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

Por eso las gráficas aceleración-tiempo están tan estrechamente relacionadas con las gráficas velocidad-tiempo. La aceleración te indica cómo está cambiando la gráfica de velocidad.

02Por qué el área da el cambio de velocidad

Empieza con la ecuación conocida para una aceleración constante:

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

Aquí:

• \(a\) es la aceleración en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) es el cambio de velocidad en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) es el tiempo transcurrido en segundos

Reordenando,

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

Ahora imagina una aceleración constante en una gráfica aceleración-tiempo. La región situada debajo de ella es un rectángulo.

El rectángulo tiene:

• altura \(a\)
• anchura \(\Delta t\)

Por tanto, su área es

\[
\text{área} = a\Delta t
\]

Pero \(a\Delta t = \Delta v\).

Así que el área no es simplemente un truco práctico para trabajar con gráficas. Se obtiene directamente de la definición de aceleración.

Las unidades lo confirman:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Esas son unidades de velocidad.

03La gráfica da un cambio, no automáticamente la velocidad final

Este es un punto en el que es fácil perder puntos.

Supongamos que el área bajo una gráfica aceleración-tiempo es \(+8\ \text{m s}^{-1}\). Un estudiante escribe:

Velocidad final \(= 8\ \text{m s}^{-1}\).

Eso solo es cierto si el objeto partió del reposo.

La gráfica nos ha indicado que

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

no necesariamente que \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\).

En general,

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

Si \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\), por ejemplo,

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

La evolución de la aceleración cambió la velocidad en \(+8\ \text{m s}^{-1}\), suficiente en este caso para invertir la dirección del objeto.

04Las áreas por debajo del eje del tiempo son negativas

Imagina que la gráfica de aceleración se encuentra en

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

durante 2.0 s.

Su área con signo es

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Por tanto, la velocidad disminuye en \(8.0\ \text{m s}^{-1}\).

Ten cuidado con la expresión «la velocidad disminuye». No siempre significa que el objeto vaya más despacio.

Supongamos que un objeto empieza con

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

y experimenta un cambio de velocidad de

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Entonces,

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

Su velocidad se ha hecho más negativa, pero su rapidez ha aumentado de \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) a \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Una aceleración negativa no significa que el objeto esté disminuyendo su rapidez.

Que un objeto aumente o disminuya su rapidez depende de los signos de la velocidad y la aceleración. Si necesitas repasar esa diferencia, consulta Rapidez y velocidad: HSC Physics explicado con claridad.

05Una regla útil para determinar si la rapidez aumenta o disminuye

Compara los signos de la velocidad y la aceleración.

¿Por qué?

La velocidad te indica en qué dirección se mueve el objeto. La aceleración te indica hacia qué dirección está siendo impulsada su velocidad.

Piensa en la velocidad y la aceleración como dos personas que discuten sobre hacia dónde ir. Si coinciden en la dirección, el módulo de la velocidad aumenta. Si no coinciden, el módulo disminuye inicialmente.

La analogía deja de funcionar cuando la velocidad llega a cero. El objeto puede invertir entonces su dirección, tras lo cual la misma aceleración puede hacer que vuelva a aumentar su rapidez.

06Una aceleración cambiante produce formas de área diferentes

La aceleración no tiene que ser constante.

Supongamos que la aceleración aumenta de forma uniforme desde \(0\) hasta \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) a lo largo de 4.0 s.

La región situada bajo la gráfica es un triángulo, por lo que

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

donde \(b\) es el intervalo de tiempo y \(h\) es la aceleración máxima.

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Aunque la aceleración estuviera cambiando continuamente, el área sigue dando el cambio total de velocidad.

De forma más general,

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

El símbolo de integral significa «sumar todas las pequeñas contribuciones \(a\,dt\) a lo largo del intervalo de tiempo». En los problemas de gráficas de HSC con tramos rectilíneos, normalmente puedes calcular esa área utilizando rectángulos, triángulos y trapecios en lugar de realizar cálculos de integración.

07Las áreas positivas y negativas pueden cancelarse

Considera ahora un objeto con esta evolución de la aceleración:

• de \(0\) a \(4.0\ \text{s}\), la aceleración aumenta uniformemente de \(0\) a \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• de \(4.0\) a \(6.0\ \text{s}\), la aceleración es \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

Predice qué ocurre con la velocidad durante los 6.0 s completos. ¿Aumenta, disminuye o vuelve a su valor inicial?

Trabaja con las áreas con signo.

De \(0\) a \(4.0\ \text{s}\), el área triangular positiva es

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

De \(4.0\) a \(6.0\ \text{s}\), el área rectangular negativa es

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Por tanto,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

La velocidad termina siendo \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) mayor que al principio.

El tramo negativo no «borró el movimiento». Eliminó parte del aumento anterior de la velocidad.

08Aceleración cero no significa velocidad cero

Un tramo horizontal de una gráfica aceleración-tiempo en \(a = 0\) puede dar la impresión de que «no está ocurriendo nada».

Sí está ocurriendo algo. El objeto puede seguir moviéndose.

Si

\[
a = 0
\]

entonces la velocidad no está cambiando.

Por tanto, un objeto que se desplaza a \(18\ \text{m s}^{-1}\) con aceleración cero continúa a \(18\ \text{m s}^{-1}\), suponiendo que se aplique el modelo unidimensional.

Un objeto que ya está en reposo también permanece en reposo.

La gráfica de aceleración por sí sola no puede decirte en cuál de esas situaciones te encuentras, a menos que también conozcas la velocidad del objeto en algún instante.

09Una gráfica aceleración-tiempo no da directamente el desplazamiento

Hay dos «reglas del área» diferentes que los estudiantes suelen confundir:

¿Por qué el área bajo una gráfica aceleración-tiempo no puede dar el desplazamiento?

Comprueba las unidades:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Eso corresponde a velocidad, no a desplazamiento.

Para obtener el desplazamiento a partir de una evolución de la aceleración, primero necesitas información suficiente para determinar la velocidad en función del tiempo. Después, calculas el área bajo la gráfica velocidad-tiempo correspondiente.

Esta es también la razón por la que la velocidad inicial importa. Dos objetos pueden tener gráficas aceleración-tiempo idénticas pero desplazamientos completamente distintos porque comenzaron con velocidades diferentes.

10Cómo pasar entre gráficas aceleración-tiempo y velocidad-tiempo

Una gráfica aceleración-tiempo te indica el comportamiento de la pendiente de una gráfica velocidad-tiempo.

Recuerda que

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

por lo que la aceleración es el gradiente de una gráfica velocidad-tiempo.

Esto da las siguientes relaciones:

Aquí hay un punto sutil. La altura de una gráfica aceleración-tiempo te indica la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo. El área de la gráfica aceleración-tiempo te indica cuánto ha cambiado la propia velocidad.

Son funciones diferentes.

11Un método fiable para preguntas de gráficas de HSC

Cuando te den una gráfica aceleración-tiempo, trabaja en este orden:

1. Elige una dirección positiva. Normalmente la gráfica ya lo ha hecho mediante sus signos.
2. Anota la velocidad inicial. Si no se proporciona, ten cuidado con lo que realmente se puede determinar.
3. Divide la gráfica en regiones sencillas. Utiliza rectángulos, triángulos o trapecios cuando corresponda.
4. Asigna un signo a cada área. Por encima del eje del tiempo es positiva. Por debajo es negativa.
5. Suma las áreas con signo. Esto da \(\Delta v\).
6. Utiliza \(v_f = v_i + \Delta v\).
7. Si te preguntan por la rapidez o la dirección, analiza la velocidad y no solo la aceleración.
8. Comprueba las unidades. El área bajo una gráfica aceleración-tiempo debe tener unidades de \(\text{m s}^{-1}\).

Esa última comprobación de unidades permite detectar una cantidad sorprendente de errores.

12Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Un ciclista tiene una aceleración de \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) durante 4.0 s. La velocidad del ciclista al comienzo del intervalo es \(6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Calcula la velocidad del ciclista después de 4.0 s.

Solución 1

La velocidad final del ciclista es \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\).

El área bajo la gráfica aceleración-tiempo da el cambio de velocidad:

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Ahora suma ese cambio a la velocidad inicial:

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

El error habitual es dar \(6.0\ \text{m s}^{-1}\), el área, como velocidad final. Solo representa el cambio de velocidad.

Pregunta 2

Un objeto se mueve inicialmente a \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\). Después experimenta una aceleración constante de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) durante 5.0 s.

Calcula su velocidad final e indica si ha cambiado su dirección de movimiento.

Solución 2

La velocidad final es \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\), por lo que el objeto ha cambiado de dirección.

El cambio de velocidad es

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

Por tanto,

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Como la velocidad cambió de negativa a positiva, tuvo que pasar por cero durante el intervalo. En ese instante, el objeto estuvo momentáneamente en reposo y después invirtió su dirección.

El error tentador es afirmar que una aceleración positiva significa que el objeto se movió en la dirección positiva durante los 5.0 s completos. La aceleración describe cómo cambia la velocidad, no necesariamente la dirección de movimiento en ese momento.

Pregunta 3

La aceleración de un objeto cambia uniformemente desde \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) en \(t=0\) hasta \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\) en \(t=4.0\ \text{s}\).

Su velocidad inicial es \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Calcula su velocidad en \(t=4.0\ \text{s}\).

Solución 3

La velocidad del objeto en \(4.0\ \text{s}\) es \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\).

Como la aceleración cambia linealmente, el área bajo la gráfica es un trapecio. Su área es

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

donde \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\), \(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\) y \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\).

Sustituyendo,

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

Entonces,

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

La aceleración no es constantemente \(6.0\ \text{m s}^{-2}\), por lo que multiplicar \(6.0\) por los 4.0 s completos sobreestimaría el cambio de velocidad.

Pregunta 4

Un robot se mueve a lo largo de un raíl recto. Desde \(t=0\) hasta \(t=3.0\ \text{s}\), su aceleración es \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\). Desde \(t=3.0\) hasta \(t=7.0\ \text{s}\), su aceleración es \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Un estudiante afirma:

«Las partes positiva y negativa tienen efectos iguales porque \(4\times3 = 3\times4\), así que el robot debe terminar donde empezó».

La velocidad inicial del robot es \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Determina la velocidad final del robot y evalúa la conclusión del estudiante sobre su posición final.

Solución 4

La velocidad final del robot es \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\), pero la afirmación de que necesariamente termina donde empezó es incorrecta.

Para el primer intervalo,

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

Para el segundo intervalo,

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

Por tanto,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

y

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Así que el estudiante tiene razón en que la velocidad vuelve a su valor inicial.

Sin embargo, un cambio neto de velocidad igual a cero no significa un desplazamiento igual a cero. El robot se ha estado moviendo durante el intervalo y, durante gran parte del movimiento, su velocidad es mayor que \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

El área bajo una gráfica aceleración-tiempo da el cambio de velocidad, no el desplazamiento. Para determinar el cambio de posición del robot, tendríamos que construir su comportamiento velocidad-tiempo o calcularlo a partir de él.

Pregunta 5

Dos carritos, A y B, se desplazan por vías rectas y paralelas.

Ambos carritos tienen exactamente la misma gráfica aceleración-tiempo desde \(t=0\) hasta \(t=8.0\ \text{s}\). El área total con signo bajo esa gráfica es \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\).

El carrito A empieza con una velocidad de \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\), mientras que el carrito B empieza con una velocidad de \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\).

Un estudiante afirma que, como ambos carritos tienen la misma gráfica de aceleración, deben tener la misma velocidad final y recorrer el mismo desplazamiento.

Evalúa ambas partes de la afirmación.

Solución 5

Ninguna de las dos partes de la afirmación es correcta. El carrito A termina a \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\), el carrito B termina a \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\) y sus desplazamientos durante los 8.0 s no son iguales.

La misma evolución de la aceleración produce en ambos carritos el mismo cambio de velocidad:

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Para el carrito A,

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Para el carrito B,

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Así que evoluciones de aceleración idénticas no producen velocidades finales idénticas a menos que las velocidades iniciales también sean idénticas.

Sus desplazamientos también son diferentes. En cada instante, la velocidad del carrito B es \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) mayor que la del carrito A porque comienzan con una diferencia de \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) en velocidad y después experimentan exactamente la misma aceleración.

Durante 8.0 s, esa diferencia constante de velocidad produce una diferencia de desplazamiento de

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

Por tanto, el carrito B recorre \(64\ \text{m}\) más en la dirección positiva que el carrito A durante el intervalo.

La idea más profunda es que una gráfica aceleración-tiempo te indica cómo cambia la velocidad. Para conocer la velocidad real, también necesitas una velocidad inicial. Una vez que conoces la evolución de la velocidad, su área puede indicarte el desplazamiento. Esa cadena que va de aceleración a velocidad y de velocidad a posición es la siguiente conexión útil que conviene dominar al interpretar gráficas de movimiento.