Uso de s = ut + 1/2 at² en Física del HSC

Un automóvil se desplaza hacia el este a \(12\text{ m s}^{-1}\). El conductor frena de manera uniforme durante \(3.0\text{ s}\). Conoces la velocidad inicial, la aceleración y el tiempo, pero no sabes qué distancia se desplaza el automóvil.

Podrías sentirte tentado a calcular \(12 \times 3 = 36\text{ m}\). Pero eso supone que el automóvil sigue desplazándose a \(12\text{ m s}^{-1}\) durante los tres segundos completos. No es así. Está reduciendo su velocidad.

La ecuación

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

resuelve exactamente este problema, siempre que la aceleración sea constante.

La parte más difícil en las preguntas del HSC normalmente no es sustituir valores en la ecuación. Es decidir si la ecuación se puede aplicar y elegir correctamente los signos de \(u\), \(a\) y \(s\).

01¿Qué problema resuelve la ecuación?

Supongamos que un objeto comienza con una velocidad \(u\) y luego acelera a una tasa constante \(a\).

Podemos imaginar su movimiento dividido en dos partes.

Primero, imagina que el objeto siguiera desplazándose a su velocidad inicial durante un tiempo \(t\). Recorrería un desplazamiento de

\[
ut.
\]

Pero la aceleración cambia su velocidad mientras se mueve. Ese cambio aporta un desplazamiento adicional, o reduce el desplazamiento si la aceleración apunta en sentido opuesto al movimiento inicial.

La contribución de la aceleración es

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

Por tanto, el desplazamiento total es

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

Aquí:

• \(s\) es el desplazamiento, medido en metros (\(\text{m}\))
• \(u\) es la velocidad inicial, medida en metros por segundo (\(\text{m s}^{-1}\))
• \(a\) es la aceleración constante, medida en metros por segundo al cuadrado (\(\text{m s}^{-2}\))
• \(t\) es el tiempo transcurrido, medido en segundos (\(\text{s}\))

Observa que \(s\) es desplazamiento, no distancia. Esa diferencia se vuelve importante cuando un objeto cambia de dirección. Si todavía no tienes clara esta distinción, repasa distancia y desplazamiento en Física del HSC antes de continuar.

02¿Por qué aparece un \(\frac{1}{2}\)?

El factor \(\frac{1}{2}\) puede parecer algo que simplemente hay que memorizar. No es arbitrario.

Imagina que un objeto parte del reposo y acelera de manera constante a \(2\text{ m s}^{-2}\) durante \(4\text{ s}\).

Su velocidad aumenta así:

• a los \(0\text{ s}\): \(0\text{ m s}^{-1}\)
• a los \(1\text{ s}\): \(2\text{ m s}^{-1}\)
• a los \(2\text{ s}\): \(4\text{ m s}^{-1}\)
• a los \(3\text{ s}\): \(6\text{ m s}^{-1}\)
• a los \(4\text{ s}\): \(8\text{ m s}^{-1}\)

Predice el desplazamiento. ¿Sería \(8 \times 4 = 32\text{ m}\)?

No. El objeto solo alcanza \(8\text{ m s}^{-1}\) al final. Durante la mayor parte de los cuatro segundos se desplaza más lentamente.

Como la velocidad aumenta uniformemente desde \(0\) hasta \(8\text{ m s}^{-1}\), su velocidad media es

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

Por tanto, su desplazamiento es

\[
s = v_{\text{av}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

Usando \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) obtenemos el mismo resultado:

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

El \(\frac{1}{2}\) aparece porque, con aceleración constante, la velocidad cambia de manera continua en lugar de saltar instantáneamente a su valor final.

Otra forma de verlo es mediante una gráfica velocidad-tiempo. El término \(ut\) es el área rectangular producida por la velocidad inicial. El término \(\frac{1}{2}at^2\) es el área triangular creada por el cambio de velocidad.

Esta representación es útil, pero tiene un límite: el triángulo bien definido solo aparece cuando la aceleración es constante. Si la aceleración cambia con el tiempo, la gráfica velocidad-tiempo generalmente no es una línea recta y esta ecuación no puede aplicarse sin más a todo el intervalo.

03La condición que los estudiantes olvidan: la aceleración debe ser constante

La ecuación pertenece al conjunto de ecuaciones para aceleración constante.

Eso significa que \(a\) debe mantenerse igual durante todo el intervalo de tiempo que estás analizando.

Por ejemplo, estas situaciones pueden modelarse razonablemente con aceleración constante si la pregunta te indica que lo hagas:

• un objeto en caída libre cerca de la superficie de la Tierra, despreciando la resistencia del aire
• un automóvil que acelera uniformemente en una carretera recta
• un tren que frena a una tasa constante
• un carrito que experimenta una aceleración constante a lo largo de una pista

Pero supongamos que un automóvil acelera a \(2\text{ m s}^{-2}\) durante dos segundos y después a \(5\text{ m s}^{-2}\) durante otros dos segundos.

¿Puedes sustituir \(t = 4\text{ s}\) en

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

usando algún valor único y conveniente de \(a\)?

No, a menos que ese valor represente realmente una aceleración constante durante todo el intervalo. En este ejemplo, no es así.

En su lugar, divide el movimiento en intervalos. Calcula el desplazamiento durante el primer intervalo de aceleración constante, determina la nueva velocidad y luego analiza el segundo intervalo.

Una gráfica aceleración-tiempo puede ayudarte a reconocer cuándo la aceleración es constante y cuándo el movimiento debe dividirse en secciones.

04Elegir los signos: primero elige una dirección positiva

Aquí es donde muchas soluciones que por lo demás son correctas empiezan a fallar.

La velocidad y la aceleración son vectores. En un movimiento unidimensional, sus signos indican hacia qué dirección apuntan.

Antes de sustituir cualquier valor, elige una dirección positiva.

Para el movimiento horizontal, podrías elegir:

\[
\text{este} = +
\]

lo que automáticamente significa

\[
\text{oeste} = -.
\]

Para el movimiento vertical, podrías elegir:

\[
\text{arriba} = +
\]

lo que significa

\[
\text{abajo} = -.
\]

Podrías elegir la convención opuesta y aun así obtener la física correcta. Lo importante es mantener la coherencia.

Piensa en elegir la dirección positiva como decidir qué extremo de un pasillo tendrá los números positivos de las habitaciones. A la física no le importa qué extremo elijas. Le importa que no cambies de criterio a mitad del pasillo.

Los signos no significan «bueno», «malo», «acelerando» o «frenando»

Una aceleración negativa no significa automáticamente que un objeto esté reduciendo su rapidez.

Significa que la aceleración apunta en la dirección negativa.

Supongamos que el este es positivo.

Si un automóvil se desplaza hacia el este, entonces \(u > 0\).

Si su aceleración apunta hacia el oeste, entonces \(a < 0\). La aceleración se opone a la velocidad, por lo que el automóvil reduce su rapidez.

Pero supongamos que el automóvil se desplaza hacia el oeste. Entonces \(u < 0\). Si su aceleración también apunta hacia el oeste, entonces \(a < 0\), y el automóvil aumenta su rapidez.

Así que la regla útil es:

Los signos indican primero la dirección. Para saber si la rapidez aumenta o disminuye, hay que comparar las direcciones de la velocidad y la aceleración.

05Un método fiable para asignar los signos

Antes de utilizar la ecuación, escribe cuál será tu dirección positiva.

Después, expresa cada magnitud vectorial según esa convención.

Supongamos que se lanza una pelota hacia arriba a \(15\text{ m s}^{-1}\) y eliges hacia arriba como dirección positiva.

Entonces:

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

y la aceleración gravitatoria apunta hacia abajo, por lo que

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Si el desplazamiento calculado es \(s = +6.0\text{ m}\), la pelota termina \(6.0\text{ m}\) por encima de su posición inicial.

Si \(s = -6.0\text{ m}\), termina \(6.0\text{ m}\) por debajo de su posición inicial.

No asignes un signo negativo a la aceleración simplemente porque el objeto está «desacelerando». Asigna el signo según la dirección.

08Por qué importa \(t^2\)

A veces los estudiantes recuerdan la estructura como «movimiento inicial más movimiento debido a la aceleración», pero olvidan elevar el tiempo al cuadrado.

Comprueba las unidades.

El primer término tiene unidades

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

El segundo término tiene unidades

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

Por tanto, ambos términos representan desplazamientos.

Si por error usaras \(\frac{1}{2}at\), sus unidades serían

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

que corresponden a una velocidad, no a un desplazamiento.

Comprobar las unidades no detectará todos los errores de física, pero permite detectar fácilmente muchos errores algebraicos.

09Por qué el desplazamiento crece con \(t^2\)

Supongamos que un objeto parte del reposo con aceleración constante.

Entonces \(u = 0\), por lo que

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

Si duplicas el tiempo, ¿qué ocurre con el desplazamiento?

Una predicción tentadora es que el desplazamiento se duplique. Pero

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

por lo que el desplazamiento se hace cuatro veces mayor.

Por ejemplo, un objeto que parte del reposo con aceleración \(3.0\text{ m s}^{-2}\) recorre

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}
\]

en \(2.0\text{ s}\).

Después de \(4.0\text{ s}\),

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

El doble de tiempo produce cuatro veces el desplazamiento.

¿Por qué? Porque el objeto tiene más tiempo para moverse y se desplaza más rápido durante la parte final de ese intervalo más largo.

10La idea equivocada más tentadora: desplazamiento negativo significa moverse hacia atrás

No necesariamente.

Supongamos que el este es positivo. Si un objeto tiene

\[
s = -5\text{ m},
\]

eso solo te indica que su posición final está \(5\text{ m}\) al oeste de donde comenzó.

Podría estar desplazándose hacia el oeste en ese momento.

También podría haberse desplazado hacia el oeste, haber cambiado de dirección y ahora estar moviéndose hacia el este mientras todavía permanece \(5\text{ m}\) al oeste de su punto de partida.

El desplazamiento describe un cambio de posición. La velocidad describe la rapidez y la dirección con las que cambia la posición en ese instante.

Son conceptos relacionados, pero no son intercambiables.

11Una regla de decisión compacta para las preguntas del HSC

Antes de utilizar

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

comprueba cuatro cosas.

1. ¿El movimiento es unidimensional durante el intervalo que estás analizando?
   Elige un eje y define su dirección positiva.

2. ¿La aceleración es constante?
   Si no lo es, esta ecuación no puede aplicarse a todo el intervalo en el que cambia la aceleración.

3. ¿Conoces \(u\), \(a\) y \(t\), o puedes hallarlos?
   Esta ecuación es especialmente útil porque no aparece la velocidad final.

4. ¿Has asignado los signos según la dirección?
   Hazlo antes de sustituir, no después.

Un hábito útil es escribir una línea como

\[
\text{hacia arriba positivo}
\]

antes de cualquier cálculo de movimiento vertical. Solo lleva unos segundos y evita una gran proporción de errores de signo.

12Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Un patinador se desplaza hacia el norte a \(3.0\text{ m s}^{-1}\) y acelera uniformemente hacia el norte a \(0.80\text{ m s}^{-2}\) durante \(5.0\text{ s}\). Calcula el desplazamiento del patinador durante este intervalo.

Solución 1

El patinador se desplaza \(\boxed{25\text{ m al norte}}\).

Toma el norte como positivo. Entonces

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

Usando

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

obtenemos

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

El resultado positivo significa que el desplazamiento es hacia el norte. Tanto \(u\) como \(a\) son positivos porque apuntan en la dirección positiva elegida.

Pregunta 2

Un ascensor se mueve hacia arriba a \(2.4\text{ m s}^{-1}\). Acelera uniformemente hacia abajo a \(0.60\text{ m s}^{-2}\) durante \(3.0\text{ s}\).

Calcula su desplazamiento durante el intervalo de \(3.0\text{ s}\).

Solución 2

El desplazamiento del ascensor es \(\boxed{+4.5\text{ m}}\), por lo que termina \(4.5\text{ m}\) por encima de su posición inicial.

Elige hacia arriba como positivo. Entonces

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

Por tanto,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

La aceleración es negativa porque apunta hacia abajo, no simplemente porque el ascensor esté reduciendo su rapidez.

Durante estos tres segundos, la velocidad hacia arriba y la aceleración hacia abajo apuntan en direcciones opuestas, por lo que la rapidez del ascensor disminuye.

Pregunta 3

Se proyecta una pequeña pelota verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo a \(14.0\text{ m s}^{-1}\). Desprecia la resistencia del aire y usa \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\).

Un estudiante calcula su desplazamiento después de \(3.00\text{ s}\) como

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

y obtiene \(86.1\text{ m}\).

Identifica el error, calcula el desplazamiento correcto e indica qué significa el signo de tu resultado.

Solución 3

El error del estudiante consiste en utilizar el signo incorrecto para la aceleración gravitatoria. El desplazamiento correcto es \(\boxed{-2.1\text{ m}}\), lo que significa que la pelota estaría \(2.1\text{ m}\) por debajo de su nivel de lanzamiento después de \(3.00\text{ s}\) si se permitiera que su movimiento continuara sin obstáculos.

Si hacia arriba es positivo, entonces

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

pero la gravedad apunta hacia abajo, por lo que

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Por tanto,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

También hay una suposición física importante oculta en el cálculo. La pregunta dice que la pelota se lanzó desde el nivel del suelo. Una pelota real golpearía el suelo antes de alcanzar una posición \(2.1\text{ m}\) por debajo de él, a menos que hubiera un agujero o una caída por debajo del punto de lanzamiento.

Por tanto, la ecuación describe correctamente la trayectoria matemática con aceleración constante, pero la situación física puede terminar cuando la pelota entra en contacto con el suelo. Las ecuaciones no tienen en cuenta automáticamente las barreras.

Pregunta 4

Un vehículo de prueba comienza a \(+6.0\text{ m s}^{-1}\), donde el este es positivo.

Durante los primeros \(2.0\text{ s}\), tiene una aceleración constante de \(-2.0\text{ m s}^{-2}\). Durante los siguientes \(3.0\text{ s}\), su aceleración es constante e igual a \(+1.0\text{ m s}^{-2}\).

Un estudiante propone utilizar

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

una sola vez durante los \(5.0\text{ s}\) completos, con \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\) y una aceleración obtenida promediando \(-2.0\) y \(+1.0\).

Explica por qué este método no es válido y calcula después el desplazamiento total del vehículo.

Solución 4

El método de una sola ecuación no es válido porque la aceleración no es constante durante los \(5.0\text{ s}\) completos. El desplazamiento total correcto es \(\boxed{19.5\text{ m al este}}\).

El movimiento debe dividirse en los dos intervalos en los que la aceleración es constante.

Para el primer intervalo,

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

El desplazamiento es

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

También necesitamos la velocidad al final de este intervalo porque pasa a ser la velocidad inicial del segundo intervalo.

Usando

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

Para el segundo intervalo,

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

Así,

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

El desplazamiento total es

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Por tanto,

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m al este}}.
\]

La idea importante es que promediar los dos valores de aceleración no reproduce el movimiento real. El momento en el que actúa cada aceleración importa porque el primer intervalo modifica la velocidad con la que se inicia el segundo intervalo.

13Para qué te prepara esta ecuación

La ecuación

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

es más que una fórmula en la que sustituir valores. Relaciona tres ideas: el movimiento inicial de un objeto, la manera en que una aceleración constante modifica ese movimiento y el desplazamiento acumulado con el paso del tiempo.

Una vez que los signos tienen sentido, resulta más fácil organizar las demás ecuaciones de aceleración constante. Se mantiene la misma convención: elige una dirección positiva, trata la velocidad y la aceleración como magnitudes con signo y pregúntate qué significa físicamente el resultado.

El siguiente paso útil es aprender a pasar de estas ecuaciones a las gráficas de movimiento y viceversa. Una gráfica puede mostrar de inmediato cuándo la aceleración es constante, cuándo un objeto cambia de dirección y cuándo una sola ecuación de aceleración constante deja de ser válida.