La ecuación v = u + at: aceleración constante en Física HSC

Un coche se mueve a \(12\ \text{m s}^{-1}\). Tres segundos después, se mueve a \(21\ \text{m s}^{-1}\). Podrías tratar estas como dos mediciones de velocidad no relacionadas. Pero, si la aceleración se mantuvo constante entre ambas, puedes predecir todas las velocidades intermedias con una sola ecuación breve:

\[
v = u + at
\]

Antes de preocuparte por las letras, haz una predicción. Si el coche gana \(3\ \text{m s}^{-1}\) de velocidad cada segundo, ¿qué debería ocurrir después de 3 segundos?

Debería ganar \(9\ \text{m s}^{-1}\). Si comienza a \(12\ \text{m s}^{-1}\), eso da \(21\ \text{m s}^{-1}\).

Eso es todo lo que hace \(v = u + at\). La ecuación parte de una velocidad inicial y luego suma el cambio de velocidad producido por una aceleración constante.

01Empieza con el cambio de velocidad

La aceleración indica con qué rapidez cambia la velocidad.

Si un objeto tiene una aceleración de \(2\ \text{m s}^{-2}\), su velocidad cambia en \(2\ \text{m s}^{-1}\) cada segundo.

Así que, si comienza a \(5\ \text{m s}^{-1}\):

El patrón es:

\[
\text{velocidad nueva} = \text{velocidad inicial} + \text{cambio de velocidad}
\]

Para una aceleración constante, el cambio de velocidad es:

\[
\Delta v = at
\]

donde:

• \(\Delta v\) es el cambio de velocidad, medido en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) es la aceleración constante, medida en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) es el tiempo transcurrido, medido en segundos

Si la velocidad inicial es \(u\) y la velocidad final es \(v\), entonces:

\[
v = u + at
\]

Aquí:

• \(u\) es la velocidad inicial, en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) es la velocidad final, en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) es la aceleración constante, en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) es el tiempo transcurrido, en segundos

Las letras importan menos que la estructura:

\[
\boxed{\text{velocidad final} = \text{velocidad inicial} + \text{cambio de velocidad}}
\]

02¿Por qué \(at\) da un cambio de velocidad?

Las unidades te lo indican.

La aceleración tiene unidades de \(\text{m s}^{-2}\). Al multiplicarla por el tiempo se obtiene:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Así que \(at\) tiene unidades de velocidad.

Por ejemplo, una aceleración de \(4\ \text{m s}^{-2}\) que actúa durante \(2.5\ \text{s}\) produce:

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

Eso no significa que la velocidad final sea automáticamente \(10\ \text{m s}^{-1}\). Significa que la velocidad ha cambiado en \(10\ \text{m s}^{-1}\).

Si el objeto comenzó a \(6\ \text{m s}^{-1}\), termina a \(16\ \text{m s}^{-1}\).

Si comenzó a \(-8\ \text{m s}^{-1}\), termina a \(2\ \text{m s}^{-1}\).

Esta diferencia entre la velocidad y el cambio de velocidad es uno de los principales puntos en los que los estudiantes pierden de vista lo que realmente dice la ecuación.

03De dónde proviene la ecuación

La aceleración media durante un intervalo de tiempo se define como:

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

Si la aceleración es constante, ese mismo valor de \(a\) se aplica durante todo el intervalo.

Multiplica ambos lados por \(t\):

\[
at = v-u
\]

Luego suma \(u\) a ambos lados:

\[
v = u+at
\]

Por tanto, \(v=u+at\) no es una regla independiente que haya que memorizar sin entenderla. Es la definición de aceleración constante, reordenada.

Esto también muestra su limitación: solo puedes usarla directamente cuando la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo que estás considerando.

Si la aceleración cambia con el tiempo, el producto simple \(at\) ya no representa necesariamente el cambio de velocidad. En esa situación, debes considerar el área bajo una gráfica de aceleración frente al tiempo. Esto se desarrolla con más detalle en la guía de tutorgum sobre gráficas de aceleración-tiempo.

04La decisión de planteamiento más importante: elige una dirección positiva

Supón que un ciclista se mueve hacia el este y está reduciendo su velocidad.

Un error común es decir:

“Está reduciendo su velocidad, así que su velocidad debe ser negativa.”

No necesariamente.

El signo de la velocidad te indica la dirección. No te dice si el objeto está aumentando o reduciendo su rapidez.

Tú eliges qué dirección será positiva antes de hacer el cálculo.

Por ejemplo, elige el este como positivo. Entonces, un ciclista que se mueve hacia el este tiene velocidad positiva. Si el ciclista está reduciendo su rapidez mientras sigue moviéndose hacia el este, la aceleración apunta hacia el oeste, por lo que la aceleración es negativa.

Podrías tener:

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Después de \(3.0\ \text{s}\):

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

La velocidad final positiva te indica que el ciclista todavía se mueve hacia el este. La menor magnitud te indica que el ciclista ha reducido su rapidez.

Si todavía no te sientes cómodo con las velocidades con signo, conviene aclarar primero la diferencia entre rapidez y velocidad. Consulta Rapidez y velocidad: Física HSC explicada con claridad.

05Un procedimiento de planteamiento fiable

Cuando veas una pregunta de aceleración constante que incluya velocidad inicial, velocidad final, aceleración y tiempo, sigue esta secuencia.

1. Elige una dirección positiva.
2. Escribe las magnitudes conocidas con sus signos y unidades.
3. Identifica la incógnita.
4. Usa \(v=u+at\), o reordénala si es necesario.
5. Sustituye los valores solo después de haber reordenado la ecuación.
6. Interpreta físicamente el signo de la respuesta.

El último paso no es decorativo. En preguntas sobre velocidad, el signo puede indicarte si el objeto ha invertido su dirección.

06Una aceleración negativa no siempre significa reducir la rapidez

Imagina a dos personas caminando una hacia la otra en un pasillo. Decides que la derecha es positiva.

Una persona se mueve hacia la derecha, por lo que su velocidad es positiva. La otra se mueve hacia la izquierda, por lo que su velocidad es negativa. Ninguno de esos signos te indica quién está aumentando su rapidez.

La aceleración funciona de la misma manera.

Un objeto aumenta su rapidez cuando su aceleración apunta en la misma dirección que su velocidad.

Reduce su rapidez cuando la aceleración apunta en la dirección opuesta a su velocidad.

Por tanto, son posibles las cuatro combinaciones:

La tercera fila suele resultar extraña. Si tanto la velocidad como la aceleración son negativas, el objeto se mueve en la dirección negativa y acelera aún más en esa misma dirección. Su velocidad podría cambiar de \(-3\ \text{m s}^{-1}\) a \(-7\ \text{m s}^{-1}\). El número se volvió “más negativo”, pero la rapidez aumentó de \(3\ \text{m s}^{-1}\) a \(7\ \text{m s}^{-1}\).

El signo menos indica dirección, no algo malo.

07Reordenar \(v=u+at\)

No siempre te pedirán hallar \(v\).

La misma ecuación permite hallar cualquiera de sus cuatro magnitudes si se conocen las otras tres.

Partiendo de:

\[
v=u+at
\]

puedes obtener:

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

y:

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

No intentes memorizar cuatro ecuaciones distintas. Empieza con \(v=u+at\) y reordénala.

También hay una comprobación física útil escondida en la última forma:

\[
t=\frac{\text{cambio de velocidad}}{\text{cambio de velocidad por segundo}}
\]

Eso es exactamente lo que esperarías que significara el tiempo.

08La trampa escondida en “se detiene”

Supón que una pregunta dice que un objeto “se detiene”.

Eso te da:

\[
v=0
\]

No significa automáticamente:

\[
a=0
\]

Un objeto puede tener velocidad cero en un instante y seguir acelerando.

Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba es el ejemplo habitual. En el punto más alto de su trayectoria, su velocidad vertical es momentáneamente cero, pero su aceleración debida a la gravedad sigue dirigida hacia abajo.

Del mismo modo, el carrito del ejemplo anterior tenía \(v=0\) después de \(2.5\ \text{s}\), pero su aceleración seguía siendo \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\).

La velocidad describe el movimiento en un instante. La aceleración describe cómo está cambiando la velocidad en ese instante. Son magnitudes distintas.

09Cuándo no debes usar \(v=u+at\)

La ecuación supone una aceleración constante.

Considera un coche cuya aceleración es:

• \(1\ \text{m s}^{-2}\) durante el primer segundo,
• \(4\ \text{m s}^{-2}\) durante el segundo segundo,
• \(0\ \text{m s}^{-2}\) durante el tercer segundo.

No existe un único valor constante de \(a\) que describa todo el intervalo de tres segundos.

Por tanto, sería incorrecto elegir una de esas aceleraciones y escribir:

\[
v=u+at
\]

para todo el intervalo.

¿Podrías usar la ecuación por separado durante cada intervalo en el que la aceleración sea constante? Sí. Podrías calcular el cambio de velocidad tramo por tramo.

Otra posibilidad es obtener el cambio total de velocidad a partir del área bajo la gráfica de aceleración-tiempo.

Esto muestra algo más profundo sobre \(v=u+at\). En una gráfica de aceleración-tiempo con aceleración constante, la gráfica es una línea horizontal. El área que queda debajo es un rectángulo:

\[
\text{área}=a\times t
\]

y esa área es:

\[
\Delta v=at
\]

Así que la ecuación es en realidad un caso particular de una idea más general sobre acumulación.

10Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Una patinadora viaja hacia el este a \(4.0\ \text{m s}^{-1}\). Acelera uniformemente hacia el este a \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) durante \(6.0\ \text{s}\). Halla su velocidad final.

Solución 1

La velocidad final de la patinadora es \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ hacia el este}}\).

Elige el este como positivo:

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

Usando:

\[
v=u+at
\]

se obtiene:

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

El signo positivo significa que la patinadora se mueve hacia el este. Su velocidad aumentó en \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) durante los seis segundos.

Pregunta 2

Un robot se mueve por una pista recta a \(11\ \text{m s}^{-1}\) hacia la derecha. Experimenta una aceleración constante de \(2.5\ \text{m s}^{-2}\) hacia la izquierda.

¿Cuánto tarda el robot en detenerse momentáneamente?

Solución 2

El robot se detiene después de \(\boxed{4.4\ \text{s}}\).

Elige la derecha como positiva. Entonces:

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

“Se detiene” significa que la velocidad final en ese instante es:

\[
v=0
\]

Usando:

\[
v=u+at
\]

obtenemos:

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

El punto importante es que la aceleración del robot no es cero cuando se detiene. Su velocidad es cero durante un instante, pero la aceleración hacia la izquierda permanece, por lo que, si la aceleración continuara, empezaría entonces a moverse hacia la izquierda.

Pregunta 3

Un objeto tiene una velocidad inicial de \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) y una aceleración constante de \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Un estudiante dice: “La aceleración negativa significa que el objeto debe estar reduciendo su rapidez.”

Determina la velocidad del objeto después de \(2.0\ \text{s}\) y evalúa la afirmación del estudiante.

Solución 3

La velocidad final es \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\), y el estudiante está equivocado porque el objeto está aumentando su rapidez.

Usando:

\[
v=u+at
\]

se obtiene:

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

La rapidez inicial era de \(7.0\ \text{m s}^{-1}\). La rapidez final es de \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Tanto la velocidad como la aceleración son negativas, por lo que apuntan en la misma dirección. Por tanto, la aceleración aumenta la magnitud de la velocidad.

El error tentador consiste en interpretar una aceleración negativa como “desaceleración”. Un signo negativo solo especifica la dirección con respecto al sistema de coordenadas elegido.

Pregunta 4

Un carrito se mueve hacia la derecha a \(8.0\ \text{m s}^{-1}\). Una aceleración constante actúa hacia la izquierda. Después de \(3.0\ \text{s}\), el carrito se mueve hacia la izquierda a \(1.0\ \text{m s}^{-1}\).

Halla la aceleración del carrito. Luego determina en qué momento, durante el intervalo de \(3.0\ \text{s}\), cambió de dirección.

Solución 4

La aceleración del carrito es \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\), y cambia de dirección después de aproximadamente \(\boxed{2.7\ \text{s}}\).

Elige la derecha como positiva:

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

Primero halla la aceleración:

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

El signo negativo significa que la aceleración apunta hacia la izquierda.

Para hallar cuándo cambia de dirección el carrito, observa que primero debe pasar por una velocidad igual a cero. Haz \(v=0\):

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

Por tanto, el carrito se detiene momentáneamente aproximadamente a los:

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

Después pasa los \(0.33\ \text{s}\) restantes moviéndose hacia la izquierda.

El punto oculto es que una velocidad final negativa te dice algo más que “el objeto redujo su rapidez”. Demuestra que el objeto pasó por \(v=0\) e invirtió su dirección, siempre que la velocidad haya cambiado de forma continua.

Pregunta 5

Dos carritos idénticos comienzan con la misma velocidad de \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) hacia la derecha.

El carrito A tiene una aceleración constante de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) durante \(4.0\ \text{s}\).

El carrito B tiene una aceleración de \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) durante los primeros \(2.0\ \text{s}\), seguida de \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) durante los siguientes \(2.0\ \text{s}\).

Un estudiante aplica \(v=u+at\) a ambos carritos usando \(t=4.0\ \text{s}\). Explica por qué ese procedimiento funciona directamente para el carrito A, pero no para el carrito B. Luego calcula la velocidad final de cada carrito.

Solución 5

El carrito A termina a \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\), mientras que el carrito B termina a \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\). Usar una sola vez \(v=u+at\) funciona directamente para el carrito A porque su aceleración es constante durante los \(4.0\ \text{s}\) completos, pero la aceleración del carrito B cambia.

Para el carrito A:

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

por tanto:

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Para el carrito B, calcula por separado cada intervalo de aceleración constante.

Durante los primeros \(2.0\ \text{s}\):

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Ese valor se convierte en la velocidad inicial para el segundo intervalo.

Durante los siguientes \(2.0\ \text{s}\):

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

Por tanto:

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

La trampa consiste en tratar la aceleración como si fuera un único número fijo siempre que una ecuación contiene el símbolo \(a\). La ecuación \(v=u+at\) supone que el valor de \(a\) elegido permanece constante durante todo el intervalo.

Para el carrito B, las dos etapas de aceleración producen cambios de velocidad de:

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

y:

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

lo que da un cambio total de velocidad de:

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Ese mismo razonamiento conduce de forma natural a las gráficas de aceleración-tiempo, donde el cambio de velocidad se obtiene a partir del área total con signo bajo la gráfica, en lugar de a partir de un único rectángulo \(at\).