Gráficas velocidad-tiempo: pendiente, área y movimiento explicados

Una gráfica velocidad-tiempo puede parecer engañosamente sencilla: una línea sube, baja o permanece horizontal. Pero una sola gráfica puede indicarte si un objeto está aumentando su rapidez, disminuyéndola, cambiando de dirección, acelerando y cuánto ha cambiado su posición.

Aquí está la clave. Debes interpretar la gráfica de dos maneras diferentes. La pendiente te informa sobre la aceleración. El área con signo entre la gráfica y el eje del tiempo te informa sobre el desplazamiento. Confundir estas dos ideas es una de las formas más fáciles de perder de vista lo que realmente está diciendo la gráfica.

Supón que la velocidad de un automóvil aumenta de forma constante de \(2\ \text{m s}^{-1}\) a \(8\ \text{m s}^{-1}\). Antes de hacer ningún cálculo, predice lo siguiente: para hallar la aceleración del automóvil, ¿mirarías la altura de la gráfica, su pendiente o el área debajo de ella?

La respuesta es la pendiente. La altura de la gráfica da la velocidad en sí. Su pendiente indica con qué rapidez está cambiando esa velocidad.

01Qué muestra realmente una gráfica velocidad-tiempo

Una gráfica velocidad-tiempo tiene:

• el tiempo \(t\) en el eje horizontal, normalmente medido en segundos
• la velocidad \(v\) en el eje vertical, normalmente medida en metros por segundo, \(\text{m s}^{-1}\)

Cada punto indica la velocidad del objeto en un instante determinado.

Si la gráfica pasa por \((3,5)\), entonces en \(t=3\ \text{s}\), la velocidad es \(5\ \text{m s}^{-1}\).

El signo importa. Una velocidad de \(+5\ \text{m s}^{-1}\) significa movimiento en la dirección que se haya definido como positiva. Una velocidad de \(-5\ \text{m s}^{-1}\) significa movimiento en la dirección opuesta.

Si las magnitudes con signo todavía te resultan algo difíciles de manejar, vale la pena repasar rapidez y velocidad antes de continuar.

Primer modelo mental: imagina que observas el velocímetro

Imagina un automóvil con un velocímetro que también puede mostrar la dirección.

Una línea horizontal en \(+6\ \text{m s}^{-1}\) significa que la lectura permanece en \(+6\ \text{m s}^{-1}\). El automóvil se mueve con velocidad constante.

Una línea con pendiente ascendente significa que la lectura de la velocidad está aumentando.

Una línea con pendiente descendente significa que la lectura de la velocidad está disminuyendo.

Ese modelo es útil, pero incompleto. Que la «velocidad disminuya» no siempre significa que la «rapidez disminuya». Si la velocidad se vuelve más negativa, su valor numérico disminuye mientras que la rapidez del objeto puede aumentar.

Volveremos a esta trampa.

02La pendiente te indica la aceleración

La aceleración mide con qué rapidez cambia la velocidad con el tiempo.

Para un tramo recto de una gráfica velocidad-tiempo,

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

donde:

• \(a\) es la aceleración en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) es el cambio de velocidad en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) es el intervalo de tiempo en segundos

Esta es exactamente la fórmula de la pendiente que se utiliza en matemáticas:

\[
\text{pendiente}=\frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}
\]

En una gráfica velocidad-tiempo, el «cambio vertical» es un cambio de velocidad y el «cambio horizontal» es un cambio de tiempo. Por tanto, la pendiente tiene unidades

\[
\frac{\text{m s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m s}^{-2}
\]

que son las unidades de aceleración.

Qué significan las distintas pendientes

Ten cuidado con las expresiones aceleración positiva y aumentar la rapidez. No son sinónimos.

Si un objeto tiene una velocidad negativa y una aceleración positiva, puede estar disminuyendo su rapidez.

La aceleración te indica cómo cambia la velocidad, no necesariamente cómo cambia la rapidez.

03Por qué el área da el desplazamiento

Ahora supón que un objeto se mueve con una velocidad constante de \(5\ \text{m s}^{-1}\) durante \(4\ \text{s}\).

Ya sabes cómo hallar su desplazamiento:

\[
\Delta x=v\Delta t=(5)(4)=20\ \text{m}
\]

Observa qué forman esos mismos números en una gráfica velocidad-tiempo. La gráfica forma un rectángulo con:

• altura \(5\ \text{m s}^{-1}\)
• anchura \(4\ \text{s}\)

Su área es

\[
A=(5)(4)=20
\]

Las unidades son

\[
(\text{m s}^{-1})(\text{s})=\text{m}
\]

Por tanto, el área tiene unidades de desplazamiento.

Esto no es una coincidencia. En cualquier gráfica velocidad-tiempo, el área con signo entre la gráfica y el eje del tiempo da el desplazamiento.

Si la velocidad es constante,

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

Si la velocidad cambia, la misma idea sigue siendo válida. Puedes dividir la región en figuras útiles o, más adelante en matemáticas y física, pensar en el área como la acumulación de muchas pequeñas contribuciones \(v\Delta t\).

04La palabra «con signo» importa

Imagina que un objeto se mueve a \(+3\ \text{m s}^{-1}\) durante \(2\ \text{s}\), y después a \(-3\ \text{m s}^{-1}\) durante \(2\ \text{s}\).

El primer tramo da

\[
\Delta x_1=(3)(2)=+6\ \text{m}
\]

El segundo da

\[
\Delta x_2=(-3)(2)=-6\ \text{m}
\]

Por tanto,

\[
\Delta x_{\text{total}}=+6+(-6)=0\ \text{m}
\]

El objeto ha recorrido una distancia, pero termina donde empezó.

En la gráfica, el área por encima del eje del tiempo es \(+6\ \text{m}\), mientras que el área por debajo del eje del tiempo es \(-6\ \text{m}\). Se cancelan entre sí.

Por eso no puedes limitarte a sumar todas las áreas geométricas como números positivos cuando estás calculando el desplazamiento.

Esto se relaciona directamente con la diferencia entre distancia y desplazamiento.

Una analogía un poco absurda

Piensa en el desplazamiento como si llevaras la cuenta del dinero que tú y un amigo os debéis.

Estar en \(+\$20\) significa que tu amigo te debe dinero. Estar en \(-\$20\) significa que tú le debes dinero a tu amigo. Si ignoras los signos porque «veinte son veinte», tus cuentas dejan de tener sentido bastante rápido.

Las áreas de una gráfica velocidad-tiempo funcionan de la misma manera. Las áreas por encima y por debajo del eje representan desplazamientos en direcciones opuestas.

La analogía deja de ser válida porque el dinero puede transferirse entre personas de muchas maneras, mientras que la gráfica describe movimiento a lo largo de un eje elegido. Pero el tratamiento de los signos es similar.

05Cruzar el eje del tiempo significa cambiar de dirección

¿Qué ocurre cuando la gráfica velocidad-tiempo cruza \(v=0\)?

En ese instante, la velocidad es cero.

Si la gráfica continúa desde una velocidad positiva hasta una velocidad negativa, el objeto invierte su dirección.

Por ejemplo:

• antes del cruce, \(v>0\), por lo que el objeto se mueve en la dirección positiva
• en el cruce, \(v=0\), por lo que está instantáneamente en reposo
• después del cruce, \(v<0\), por lo que se mueve en la dirección negativa

Un error frecuente es suponer que \(v=0\) significa \(a=0\).

No es así.

La altura de la gráfica te indica la velocidad. La pendiente te indica la aceleración. Una gráfica puede cruzar \(v=0\) con una pendiente pronunciada, por lo que un objeto puede tener velocidad cero y aceleración distinta de cero en el mismo instante.

Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba es un ejemplo conocido. En el punto más alto de su trayectoria, su velocidad instantánea es cero, pero su aceleración debida a la gravedad sigue dirigida hacia abajo.

06Aumentar o disminuir la rapidez: compara los signos

Aquí tienes una prueba útil.

Un objeto está aumentando su rapidez cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo.

Un objeto está disminuyendo su rapidez cuando la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos.

¿Por qué?

La rapidez es la magnitud de la velocidad. Si un objeto tiene \(v=+5\ \text{m s}^{-1}\) y \(a=+2\ \text{m s}^{-2}\), su velocidad se vuelve más positiva, por lo que su rapidez aumenta.

Pero si

\[
v=-5\ \text{m s}^{-1}
\]

y

\[
a=-2\ \text{m s}^{-2},
\]

entonces su velocidad se vuelve más negativa, quizá \(-5,-7,-9,\ldots\). La magnitud está aumentando, por lo que también está aumentando su rapidez.

Este segundo caso suele confundir a los estudiantes porque la gráfica tiene pendiente descendente.

Una tabla rápida de decisión

Esta regla funciona mientras ninguno de los signos cambie durante el intervalo que estás considerando.

08¿Qué ocurre si la gráfica es curva?

Un tramo recto de una gráfica velocidad-tiempo tiene pendiente constante, por lo que representa una aceleración constante.

Un tramo curvo significa que la pendiente cambia. Por tanto, la aceleración también cambia.

En un instante concreto, la aceleración viene dada por la pendiente de la tangente a la curva velocidad-tiempo en ese punto.

Es la misma idea que la velocidad instantánea en una gráfica desplazamiento-tiempo. Allí, la pendiente de la tangente da la velocidad. Aquí, una derivada después, la pendiente de la tangente da la aceleración.

Para HSC Physics, la idea física importante es:

\[
\text{pendiente de la gráfica velocidad-tiempo}=\text{aceleración}
\]

Una tangente más pronunciada significa una mayor magnitud de aceleración.

¿Qué ocurre con el desplazamiento bajo una gráfica curva?

La regla del área sigue siendo válida.

Para tramos sencillos formados por líneas rectas, puedes utilizar rectángulos, triángulos y trapecios. Para una curva experimental irregular, puede ser necesario estimar numéricamente el área a partir de la gráfica o de los datos.

La física no ha cambiado. Sigues acumulando muchas cantidades pequeñas de la forma

\[
v\Delta t
\]

a lo largo del intervalo de tiempo.

09Los trapecios no son más que la velocidad media disfrazada

Supón que la velocidad cambia uniformemente de \(v_i\) a \(v_f\) durante un tiempo \(\Delta t\).

El área bajo la línea recta de la gráfica velocidad-tiempo es un trapecio:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

La cantidad

\[
\frac{v_i+v_f}{2}
\]

es la velocidad media para una aceleración constante. Por tanto, también puede escribirse como

\[
\Delta x=v_{\text{av}}\Delta t
\]

Esto es útil porque conecta la gráfica con las ecuaciones de aceleración constante, en lugar de hacer que las preguntas sobre gráficas parezcan un tema completamente independiente.

Para obtener más información sobre esa conexión, consulta velocidad media e instantánea.

10Los errores más tentadores al interpretar gráficas

Error 1: tratar la altura de la gráfica como aceleración

En una gráfica velocidad-tiempo, la coordenada vertical es la velocidad.

Un punto muy por encima del eje significa una velocidad positiva alta, no una aceleración alta.

Una línea horizontal en \(20\ \text{m s}^{-1}\) representa aceleración cero porque su pendiente es cero.

Error 2: decir que una pendiente descendente siempre significa disminuir la rapidez

Imagina una gráfica situada por debajo del eje del tiempo que baja de \(-2\ \text{m s}^{-1}\) a \(-8\ \text{m s}^{-1}\).

Tiene pendiente descendente, por lo que la aceleración es negativa.

Pero la rapidez ha aumentado de \(2\ \text{m s}^{-1}\) a \(8\ \text{m s}^{-1}\).

El objeto está aumentando su rapidez en la dirección negativa.

Error 3: usar un área sin signo para el desplazamiento

Las áreas situadas por debajo del eje aportan desplazamiento negativo.

Si haces que todas las áreas sean positivas, en realidad estás hallando la distancia total recorrida.

Error 4: pensar que volver a \(v=0\) significa volver a la posición inicial

La velocidad \(v=0\) te indica que el objeto está instantáneamente en reposo.

Por sí sola, no dice nada sobre su posición.

Para saber si el objeto ha vuelto a su punto de partida, examina el área neta con signo desde el instante inicial. Solo vuelve a su posición original cuando el desplazamiento total es cero.

Error 5: confundir una gráfica velocidad-tiempo con una gráfica desplazamiento-tiempo

Vale la pena dejar clara la diferencia:

Si estás confundiendo ambos tipos de gráfica, repasar gráficas desplazamiento-tiempo te ayudará.

11Una forma fiable de interpretar cualquier gráfica velocidad-tiempo

Cuando te den una gráfica que no conozcas, analízala en este orden:

1. Lee los valores verticales. Son velocidades.
2. Comprueba los signos. Las velocidades positiva y negativa representan direcciones opuestas.
3. Observa la pendiente. Esto da el signo y la magnitud de la aceleración.
4. Fíjate en cualquier cruce de \(v=0\). Un cambio de signo de la velocidad significa un cambio de dirección.
5. Utiliza el área con signo para el desplazamiento. El área por encima del eje es positiva y el área por debajo es negativa.
6. Utiliza las áreas absolutas para la distancia recorrida.
7. Compara los signos de \(v\) y \(a\) si necesitas decidir si el objeto está aumentando o disminuyendo su rapidez.

Esta secuencia evita la mayoría de los errores habituales de interpretación.

12Preguntas y soluciones

Pregunta 1

Un carrito se mueve a una velocidad constante de \(3.5\ \text{m s}^{-1}\) durante \(8.0\ \text{s}\).

¿Cuál es su aceleración y cuál es su desplazamiento durante este intervalo?

Solución 1

La aceleración es \(0\ \text{m s}^{-2}\), y el desplazamiento es \(28\ \text{m}\) en la dirección positiva.

Como la velocidad es constante, la gráfica velocidad-tiempo es horizontal. Por tanto, su pendiente es cero:

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{0}{8.0}
=0\ \text{m s}^{-2}
\]

El desplazamiento es el área rectangular bajo la gráfica:

\[
\Delta x=v\Delta t
=(3.5)(8.0)
=28\ \text{m}
\]

Por tanto, el carrito sigue moviéndose aunque su aceleración sea cero. Aceleración cero no significa velocidad cero.

Pregunta 2

Una persona en monopatín se mueve en la dirección positiva. Su velocidad disminuye uniformemente de \(12\ \text{m s}^{-1}\) a \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) durante \(4.0\ \text{s}\).

Calcula la aceleración y el desplazamiento durante el intervalo. Indica si la persona está aumentando o disminuyendo su rapidez.

Solución 2

La aceleración es \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), el desplazamiento es \(32\ \text{m}\), y la persona está disminuyendo su rapidez.

Primero calcula la aceleración:

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{4.0-12}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

La velocidad permanece positiva mientras que la aceleración es negativa. Como la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos, la rapidez disminuye.

El desplazamiento es el área del trapecio:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{12+4.0}{2}(4.0)
=(8.0)(4.0)
=32\ \text{m}
\]

El desplazamiento positivo significa que la posición final de la persona está \(32\ \text{m}\) más adelante en la dirección positiva que su posición inicial.

Pregunta 3

Un robot se mueve a lo largo de una pista recta. En \(t=0\), su velocidad es \(-3.0\ \text{m s}^{-1}\). Su velocidad cambia uniformemente hasta \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\) en \(t=2.0\ \text{s}\).

Un estudiante dice: «El robot está disminuyendo su rapidez porque su velocidad se está haciendo más pequeña».

Determina la aceleración, el desplazamiento y el cambio de rapidez del robot. Explica el error en el razonamiento del estudiante.

Solución 3

El robot tiene una aceleración de \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\), un desplazamiento de \(-12\ \text{m}\), y su rapidez aumenta en \(6.0\ \text{m s}^{-1}\). El robot está aumentando su rapidez, no disminuyéndola.

La aceleración es

\[
a=\frac{-9.0-(-3.0)}{2.0}
=\frac{-6.0}{2.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

El desplazamiento es el área con signo del trapecio:

\[
\Delta x
=\frac{-3.0+(-9.0)}{2}(2.0)
=(-6.0)(2.0)
=-12\ \text{m}
\]

La rapidez inicial es

\[
|v_i|=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

y la rapidez final es

\[
|v_f|=9.0\ \text{m s}^{-1}
\]

por tanto,

\[
\Delta(\text{rapidez})=9.0-3.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

El error del estudiante consiste en interpretar «más negativo» como «más lento». La velocidad ha disminuido numéricamente de \(-3.0\) a \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\), pero la rapidez depende de la magnitud de la velocidad. Esa magnitud ha aumentado.

La velocidad y la aceleración son ambas negativas, por lo que tienen el mismo signo. El robot está aumentando su rapidez en la dirección negativa.

Pregunta 4

La velocidad de un objeto cambia linealmente de \(+8.0\ \text{m s}^{-1}\) en \(t=0\) a \(-4.0\ \text{m s}^{-1}\) en \(t=6.0\ \text{s}\).

Halla:

1. la aceleración
2. el instante en que el objeto cambia de dirección
3. el desplazamiento total
4. la distancia total recorrida

Solución 4

La aceleración es \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), el objeto cambia de dirección en \(4.0\ \text{s}\), su desplazamiento es \(12\ \text{m}\) y la distancia total recorrida es \(20\ \text{m}\).

Primero, calcula la aceleración:

\[
a=\frac{-4.0-8.0}{6.0}
=\frac{-12.0}{6.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

El objeto cambia de dirección cuando \(v=0\). Utilizando

\[
v=v_i+at,
\]

obtenemos

\[
0=8.0+(-2.0)t
\]

por tanto,

\[
t=4.0\ \text{s}
\]

Desde \(0\) hasta \(4.0\ \text{s}\), la gráfica forma un triángulo por encima del eje:

\[
A_1=\frac12(4.0)(8.0)=16\ \text{m}
\]

Desde \(4.0\) hasta \(6.0\ \text{s}\), forma un triángulo por debajo del eje:

\[
A_2=-\frac12(2.0)(4.0)=-4.0\ \text{m}
\]

Por tanto, el desplazamiento es

\[
\Delta x=16+(-4.0)=12\ \text{m}
\]

Para la distancia, ambas contribuciones se consideran positivas:

\[
d=16+4.0=20\ \text{m}
\]

La diferencia entre \(12\ \text{m}\) y \(20\ \text{m}\) aparece porque el objeto recorre \(4.0\ \text{m}\) de vuelta en la dirección negativa después de invertir su movimiento.

Pregunta 5

Dos objetos, A y B, parten de la misma posición en \(t=0\).

El objeto A tiene una velocidad constante de \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) durante \(6.0\ \text{s}\).

El objeto B tiene una velocidad que aumenta linealmente de \(-2.0\ \text{m s}^{-1}\) en \(t=0\) a \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) en \(t=6.0\ \text{s}\).

Un estudiante sostiene que B debe terminar por delante de A porque la velocidad final de B es mucho mayor.

Determina si los objetos terminan en la misma posición o si uno termina por delante. Explica por qué comparar solo las velocidades finales no permite responder a la pregunta.

Solución 5

Los objetos terminan en la misma posición, a \(24\ \text{m}\) de donde empezaron.

Para el objeto A, la velocidad es constante:

\[
\Delta x_A=v\Delta t
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

Para el objeto B, la velocidad cambia uniformemente, por lo que su desplazamiento es el área del trapecio:

\[
\Delta x_B
=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{-2.0+10.0}{2}(6.0)
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

Por tanto,

\[
\Delta x_A=\Delta x_B=24\ \text{m}
\]

así que terminan en la misma posición.

El razonamiento del estudiante falla porque la velocidad final describe el movimiento en un solo instante. El cambio de posición depende de la velocidad acumulada a lo largo de todo el intervalo de tiempo, que está representada por el área bajo la gráfica velocidad-tiempo.

El objeto B se mueve brevemente en la dirección negativa, después acelera pasando por cero y alcanza una velocidad positiva mucho mayor. Esas distintas etapas producen, aun así, la misma área neta que la velocidad constante de \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) de A.

Pregunta 6

La gráfica velocidad-tiempo de un vehículo consta de dos tramos rectos.

Desde \(t=0\) hasta \(t=5.0\ \text{s}\), la velocidad aumenta uniformemente de \(0\) a \(10.0\ \text{m s}^{-1}\).

Desde \(t=5.0\) hasta \(t=9.0\ \text{s}\), la velocidad disminuye uniformemente de \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) a \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Un segundo vehículo se desplaza a velocidad constante durante los \(9.0\ \text{s}\) completos y tiene exactamente el mismo desplazamiento que el primer vehículo.

Halla la velocidad constante del segundo vehículo. Después explica por qué ese valor no te indica que los dos vehículos hayan tenido alguna vez la misma aceleración.

Solución 6

La velocidad constante del segundo vehículo es aproximadamente \(5.89\ \text{m s}^{-1}\), y tener el mismo desplazamiento no implica tener la misma aceleración.

Durante los primeros \(5.0\ \text{s}\), el desplazamiento del primer vehículo es el área triangular:

\[
\Delta x_1
=\frac12(5.0)(10.0)
=25\ \text{m}
\]

Durante los siguientes \(4.0\ \text{s}\), su desplazamiento es el área del trapecio:

\[
\Delta x_2
=\frac{10.0+2.0}{2}(4.0)
=(6.0)(4.0)
=24\ \text{m}
\]

Por tanto, su desplazamiento total es

\[
\Delta x=25+24=49\ \text{m}
\]

Si el segundo vehículo tiene una velocidad constante \(v\),

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

por tanto,

\[
v=\frac{49}{9.0}
\approx5.44\ \text{m s}^{-1}
\]

Por tanto, la velocidad constante del segundo vehículo es aproximadamente

\[
\boxed{5.44\ \text{m s}^{-1}}
\]

Como su velocidad es constante, su aceleración es

\[
a=0\ \text{m s}^{-2}
\]

El primer vehículo tiene una aceleración distinta de cero durante ambos tramos. Desde \(0\) hasta \(5.0\ \text{s}\),

\[
a_1=\frac{10.0-0}{5.0}
=2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

y desde \(5.0\) hasta \(9.0\ \text{s}\),

\[
a_2=\frac{2.0-10.0}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Los vehículos tienen el mismo desplazamiento porque sus gráficas velocidad-tiempo tienen la misma área con signo, no porque sus pendientes sean iguales.

Esa distinción es la principal ventaja de una gráfica velocidad-tiempo: la pendiente y el área responden a preguntas físicas diferentes. La pendiente te indica cómo está cambiando la velocidad. El área con signo te indica cómo ha cambiado la posición. Una vez que estas dos interpretaciones están claras, las ecuaciones de aceleración constante resultan mucho más fáciles de comprender porque puedes ver de dónde procede el álgebra en lugar de tratar cada ecuación como una fórmula que hay que memorizar.