Applications du mouvement circulaire : examen d’entraînement de physique HSC

Cet examen d’entraînement original de tutorgum évalue le champ du programme de physique 2017 fourni concernant les applications du mouvement circulaire. Vous devrez décomposer les forces exercées sur une masse se déplaçant en cercle horizontal au bout d’un fil, analyser les composantes de la force normale sur des pistes inclinées et calculer la force de frottement nécessaire aux voitures circulant dans des virages horizontaux. L’épreuve met l’accent sur l’identification des forces réelles qui agissent sur un système et sur la détermination de leur résultante dirigée vers le centre.

Il s’agit d’une épreuve de révision ciblée, et non d’un examen portant sur l’ensemble du cours. C’est une épreuve d’entraînement originale de tutorgum, et non une épreuve officielle, approuvée, passée ou prédictive de la NESA.

01Consignes de l’examen

• Durée de travail conseillée : 50 minutes.
• Temps de lecture conseillé : 5 minutes.
• Total des points : 40.
• Matériel autorisé : Calculatrice scientifique, règle et matériel d’écriture. Aucun document de cours.
• Intensité du champ gravitationnel : Utilisez \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) dans toute l’épreuve.
• Démarche et précision : Présentez vos calculs, indiquez les unités et donnez les réponses numériques avec un nombre approprié de chiffres significatifs.

Contenu évalué

Cette épreuve porte sur :

• La décomposition de la tension et du poids pour une masse se déplaçant en cercle horizontal au bout d’un fil.
• La décomposition de la force normale sur une piste inclinée et le calcul de la vitesse de conception.
• L’analyse du frottement statique comme source de la force centripète dans un virage circulaire horizontal.
• L’interprétation de la relation entre la résultante des forces dirigée vers le centre et la vitesse.

Le mouvement circulaire vertical, les calculs sur les pistes inclinées avec l’aide du frottement et les autres sujets liés au mouvement circulaire sont exclus.

Pour les pistes inclinées, mesurez l’angle d’inclinaison par rapport à l’horizontale. Pour une masse attachée à un fil, mesurez l’angle du fil par rapport à la verticale. Supposons que la résistance de l’air soit négligeable. Lorsqu’une piste est décrite comme étant sans frottement, négligez entièrement le frottement.

02Questions

Question 1 (7 points)

Une masse de \(0.500\,\text{kg}\) est attachée à un fil léger et se déplace à une vitesse constante de \(4.00\,\text{m s}^{-1}\) sur un cercle horizontal de rayon \(0.600\,\text{m}\). Le fil forme un angle \(\theta\) avec la verticale.

(a) Identifiez les forces qui agissent sur la masse et indiquez la direction de son accélération. (2 points)

(b) Calculez la résultante des forces dirigée vers le centre qui agit sur la masse. (2 points)

(c) Décomposez la tension en composantes verticale et horizontale. Calculez la tension du fil et l’angle \(\theta\). (3 points)

Question 2 (7 points)

Une voiture circule sur une piste circulaire inclinée sans frottement, de rayon \(85.0\,\text{m}\). La piste est inclinée à un angle de \(12.0^\circ\) par rapport à l’horizontale.

Dans cette question, la vitesse de conception est la vitesse à laquelle la voiture peut suivre la trajectoire circulaire sans dépendre du frottement.

(a) Identifiez les forces qui agissent sur la voiture et décrivez le rôle des composantes de la force normale dans le mouvement vertical et le mouvement vers le centre de la voiture. (2 points)

(b) En décomposant les forces, établissez une expression de la vitesse de conception \(v\) en fonction du rayon \(r\), de l’angle d’inclinaison \(\theta\) et de l’intensité du champ gravitationnel \(g\). (3 points)

(c) Calculez la vitesse de conception pour cette piste. (2 points)

Question 3 (8 points)

Une voiture de masse \(1.20\times10^3\,\text{kg}\) roule à \(14.0\,\text{m s}^{-1}\) dans un virage horizontal plat de rayon \(55.0\,\text{m}\). Le frottement statique est la seule force horizontale qui agit sur la voiture.

(a) Calculez la résultante des forces dirigée vers le centre nécessaire pour que la voiture suive le virage. (2 points)

(b) Indiquez la direction de la force de frottement et calculez le coefficient minimal de frottement statique nécessaire pour empêcher la voiture de déraper à cette vitesse. (3 points)

(c) La voiture prend ensuite le même virage à \(16.8\,\text{m s}^{-1}\). Le coefficient de frottement statique disponible est de \(0.450\). Déterminez si la voiture peut maintenir sa trajectoire circulaire. Justifiez votre réponse par un calcul. (3 points)

Question 4 (5 points)

Une masse de \(0.750\,\text{kg}\) est attachée à un fil. À un instant donné, la tension du fil est de \(12.0\,\text{N}\), et le fil forme un angle de \(25.0^\circ\) avec la verticale. La tension et le poids sont les seules forces qui agissent sur la masse.

(a) Calculez la composante verticale de la tension. (2 points)

(b) Un élève affirme qu’avec ces valeurs de force, la masse se déplace en cercle horizontal à hauteur constante. Évaluez cette affirmation. Si les valeurs indiquées sont exactes, calculez l’accélération verticale initiale de la masse, en précisant sa direction. (3 points)

Question 5 (6 points)

Un objet se déplace en cercle horizontal de rayon fixe. Sa vitesse varie et la résultante des forces dirigée vers le centre \(F_{\text{in}}\) est mesurée. Les résultats sont consignés ci-dessous.

Le graphique suivant représente les mesures fournies.

• Données mesurées
• Droite d’ajustement

(a) Décrivez la relation entre la résultante des forces dirigée vers le centre et le carré de la vitesse. (2 points)

(b) Calculez la pente du graphique et indiquez ce que cette pente représente en fonction de la masse \(m\) et du rayon \(r\) de la trajectoire circulaire. (2 points)

(c) Si le rayon de la trajectoire circulaire est de \(1.50\,\text{m}\), calculez la masse de l’objet. (2 points)

Question 6 (7 points)

Une piste d’essai inclinée sans frottement est conçue pour une vitesse de \(20.0\,\text{m s}^{-1}\) sur une section circulaire de rayon \(120.0\,\text{m}\). Une voiture de masse \(900.0\,\text{kg}\) circule à cette vitesse de conception.

(a) Calculez l’angle d’inclinaison nécessaire. (3 points)

(b) Calculez l’intensité de la force normale qui agit sur la voiture. (2 points)

(c) Calculez la composante de la force normale dirigée vers le centre. Vérifiez votre résultat en le comparant à la résultante des forces dirigée vers le centre nécessaire au mouvement circulaire de la voiture. (2 points)

03Solutions détaillées et guide de correction

Solution 1

(a) Identifier les forces et l’accélération. (2 points)

Les deux forces qui agissent sur la masse sont :

• La tension \(T\), dirigée le long du fil vers le point de suspension.
• Le poids \(mg\), dirigé verticalement vers le bas.

La masse accélère horizontalement vers le centre du cercle. Comme elle reste à hauteur constante, son accélération verticale est nulle : les composantes verticales des forces s’équilibrent donc.

Guide de correction :

• 1 point pour l’identification de la tension et du poids.
• 1 point pour l’identification de la direction de l’accélération vers le centre.

(b) Calculer la résultante des forces dirigée vers le centre. (2 points)

Pour un mouvement circulaire uniforme, la résultante des forces dirigée vers le centre est

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

où \(m\) est la masse en kilogrammes, \(v\) la vitesse en mètres par seconde et \(r\) le rayon en mètres.

En remplaçant par les valeurs données :

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

La résultante des forces dirigée vers le centre est de \(13.3\,\text{N}\).

Guide de correction :

• 1 point pour l’équation correcte et la substitution des valeurs.
• 1 point pour la réponse correcte avec les unités.

(c) Calculer la tension et l’angle. (3 points)

Soit \(\theta\) l’angle entre le fil et la verticale.

La composante verticale de la tension équilibre le poids :

\[ T\cos\theta=mg \]

La composante horizontale fournit la résultante des forces dirigée vers le centre :

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

Tout d’abord, calculons la tension à partir des deux composantes perpendiculaires :

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

Ensuite, divisons l’équation de la composante horizontale par celle de la composante verticale :

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

Par conséquent,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

La tension est de \(14.2\,\text{N}\), et le fil est incliné à \(69.8^\circ\) par rapport à la verticale.

Guide de correction :

• 1 point pour la décomposition correcte de la tension en composantes verticale et horizontale.
• 1 point pour le calcul de la tension.
• 1 point pour le calcul de l’angle.

Accordez les points de suivi pour la tension et l’angle si une erreur numérique antérieure est réutilisée de manière cohérente dans les calculs suivants.

Solution 2

(a) Identifier les forces et leurs composantes. (2 points)

Les forces qui agissent sur la voiture sont son poids \(mg\), dirigé verticalement vers le bas, et la force normale \(F_N\), exercée par la piste perpendiculairement à sa surface.

La force normale possède deux composantes pertinentes :

• Une composante verticale, \(F_N\cos\theta\), qui équilibre le poids.
• Une composante horizontale, \(F_N\sin\theta\), qui est dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire.

Il n’y a pas de force de frottement, car la piste est spécifiée comme étant sans frottement.

Guide de correction :

• 1 point pour l’identification du poids et de la force normale.
• 1 point pour la description correcte des composantes verticale et dirigée vers le centre.

(b) Établir l’équation de la vitesse de conception. (3 points)

Comme la voiture conserve une hauteur constante, les forces verticales s’équilibrent :

\[ F_N\cos\theta=mg \]

La composante de la force normale dirigée vers le centre fournit la force centripète :

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

Divisons l’équation de la force dirigée vers le centre par l’équation verticale :

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

Simplifions les facteurs communs et utilisons \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\) :

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

En isolant la vitesse, on obtient

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

Cette équation montre que la vitesse de conception dépend du rayon de la piste, de son angle d’inclinaison et de l’intensité du champ gravitationnel.

Guide de correction :

• 1 point pour l’équation correcte des forces verticales.
• 1 point pour l’équation correcte des forces dirigées vers le centre.
• 1 point pour la division des équations et l’établissement de l’expression de la vitesse de conception.

(c) Calculer la vitesse de conception. (2 points)

En utilisant \(r=85.0\,\text{m}\), \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) et \(\theta=12.0^\circ\) :

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

La vitesse de conception est de \(13.3\,\text{m s}^{-1}\).

Guide de correction :

• 1 point pour la substitution correcte dans l’équation de la vitesse de conception.
• 1 point pour la réponse numérique correcte avec les unités.

Solution 3

(a) Calculer la résultante des forces dirigée vers le centre. (2 points)

La résultante des forces nécessaire, dirigée vers le centre, est

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

Remplaçons par la masse, la vitesse et le rayon du virage de la voiture :

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

La voiture nécessite une résultante des forces de \(4.28\times10^3\,\text{N}\), dirigée vers le centre.

Guide de correction :

• 1 point pour l’équation correcte et la substitution des valeurs.
• 1 point pour la réponse correcte avec les unités.

(b) Calculer le coefficient minimal de frottement statique. (3 points)

Sur une route horizontale et plate, le frottement statique agit vers le centre du virage. Il fournit la résultante des forces dirigée vers le centre.

Les forces verticales s’équilibrent, donc

\[ F_N=mg \]

Le frottement statique maximal disponible est

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

où \(f_{s,\max}\) est le frottement statique maximal, en newtons, et \(\mu_s\) le coefficient de frottement statique.

Pour le coefficient minimal permettant d’éviter le dérapage, le frottement maximal est égal à la force nécessaire dirigée vers le centre :

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

Simplifions par la masse et isolons le coefficient :

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

Remplaçons par les valeurs données :

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

Le coefficient minimal de frottement statique est de \(0.364\).

Guide de correction :

• 1 point pour l’identification du frottement statique comme force dirigée vers le centre.
• 1 point pour la relation entre le frottement maximal, la force normale et le poids.
• 1 point pour le calcul correct du coefficient minimal.

(c) Déterminer si la voiture peut prendre le virage à la vitesse supérieure. (3 points)

À \(16.8\,\text{m s}^{-1}\), le coefficient nécessaire est

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

En remplaçant par les valeurs :

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

Le coefficient nécessaire, \(0.524\), est supérieur au coefficient disponible, \(0.450\).

Par conséquent, le frottement statique disponible est insuffisant pour fournir la force nécessaire dirigée vers le centre. La voiture ne peut pas maintenir sa trajectoire circulaire et dérapera vers l’extérieur du virage.

Guide de correction :

• 1 point pour l’équation correcte et la substitution des valeurs.
• 1 point pour le coefficient nécessaire, d’environ \(0.524\).
• 1 point pour la comparaison des coefficients nécessaire et disponible et la conclusion correcte.

Solution 4

(a) Calculer la composante verticale de la tension. (2 points)

Le fil forme un angle de \(25.0^\circ\) avec la verticale. La composante verticale de la tension est donc

\[ T_y=T\cos\theta \]

En remplaçant par les valeurs :

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

La composante verticale de la tension est de \(10.9\,\text{N}\), dirigée vers le haut.

Guide de correction :

• 1 point pour l’utilisation de l’équation correcte de la composante.
• 1 point pour la réponse numérique correcte avec les unités.

(b) Évaluer l’affirmation et calculer l’accélération verticale. (3 points)

Le poids de la masse est

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

Pour que la masse se déplace en cercle horizontal à hauteur constante, la composante verticale de la tension doit être égale au poids.

Or,

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

Les forces ne s’équilibrent pas verticalement. L’affirmation de l’élève est incompatible avec les valeurs de force indiquées.

La force verticale nette est dirigée vers le haut :

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

D’après la deuxième loi de Newton,

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

L’accélération verticale initiale est de \(4.70\,\text{m s}^{-2}\), vers le haut. Dans ces conditions, la masse ne peut pas conserver une hauteur constante.

Guide de correction :

• 1 point pour la comparaison de la composante verticale de la tension avec le poids et l’identification du déséquilibre.
• 1 point pour le calcul de la force verticale nette.
• 1 point pour le calcul de l’accélération et l’indication de sa direction.

Solution 5

(a) Décrire la relation. (2 points)

Le graphique montre que la résultante des forces dirigée vers le centre augmente linéairement avec le carré de la vitesse. Les données sont compatibles avec une droite passant par l’origine, donc

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

Autrement dit, si la vitesse double, la résultante des forces nécessaire dirigée vers le centre est multipliée par quatre, à condition que la masse et le rayon restent constants.

Guide de correction :

• 1 point pour l’identification de la relation linéaire avec le carré de la vitesse.
• 1 point pour l’indication que la force est directement proportionnelle à \(v^2\).

(b) Calculer et interpréter la pente. (2 points)

La pente correspond à la variation de la résultante des forces dirigée vers le centre divisée par la variation du carré de la vitesse :

\[ \begin{aligned} \text{pente} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

Les unités se simplifient en kilogrammes par mètre.

L’équation du mouvement circulaire est

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

Réécrivons-la sous la forme d’une équation de droite :

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

En comparant cette expression à \(y=mx\), on constate que la pente du graphique représente le rapport entre la masse et le rayon :

\[ \boxed{\text{pente}=\frac{m}{r}} \]

Guide de correction :

• 1 point pour la pente correcte avec les unités.
• 1 point pour l’identification de la pente comme étant \(m/r\).

(c) Calculer la masse. (2 points)

D’après la partie (b),

\[ \text{pente}=\frac{m}{r} \]

Réorganisons l’expression pour isoler la masse :

\[ m=(\text{pente})r \]

Remplaçons par la pente et le rayon :

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

La masse de l’objet est de \(0.600\,\text{kg}\).

Guide de correction :

• 1 point pour la réorganisation correcte de la relation de la pente et la substitution du rayon.
• 1 point pour la masse correcte avec les unités.

Accordez les points de suivi si la pente calculée dans la partie (b) est réutilisée de manière cohérente.

Solution 6

(a) Calculer l’angle d’inclinaison. (3 points)

Pour une piste inclinée sans frottement, la relation entre l’angle d’inclinaison et la vitesse de conception est

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

Remplaçons par la vitesse, le rayon et l’intensité du champ gravitationnel donnés :

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

En prenant la tangente inverse, on obtient

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

L’angle d’inclinaison nécessaire est de \(18.8^\circ\) par rapport à l’horizontale.

Guide de correction :

• 1 point pour l’utilisation de la relation correcte entre la vitesse de conception et l’angle.
• 1 point pour la substitution correcte.
• 1 point pour l’angle correct.

(b) Calculer la force normale. (2 points)

La voiture n’a pas d’accélération verticale, donc la composante verticale de la force normale équilibre son poids :

\[ F_N\cos\theta=mg \]

Isolons la force normale :

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

Remplaçons par les valeurs :

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

L’intensité de la force normale est de \(9.31\times10^3\,\text{N}\).

Guide de correction :

• 1 point pour la décomposition verticale de la force normale et l’utilisation de l’équation correcte.
• 1 point pour la force normale correcte avec les unités.

(c) Calculer et vérifier la composante dirigée vers le centre. (2 points)

La composante de la force normale dirigée vers le centre est

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

En utilisant \(F_N\cos\theta=mg\), cette expression peut également s’écrire

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

Remplaçons par les valeurs :

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

Calculons maintenant la résultante des forces dirigée vers le centre nécessaire au mouvement circulaire :

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

La composante de la force normale dirigée vers le centre correspond, aux arrondis près, à la résultante des forces nécessaire dirigée vers le centre. Cela confirme que la force normale peut fournir la force centripète nécessaire à la vitesse de conception.

Guide de correction :

• 1 point pour le calcul de la composante de la force normale dirigée vers le centre.
• 1 point pour le calcul de la résultante des forces nécessaire dirigée vers le centre et la confirmation que les deux valeurs concordent.

Accordez les points de suivi dans les parties (b) et (c) si l’angle calculé dans la partie (a) est utilisé de manière cohérente, à condition que la méthode soit correcte.