Réflexion et formation des images dans les miroirs pour la physique HSC

Un miroir plat de salle de bains, un miroir de maquillage courbe et le rétroviseur latéral d’une voiture obéissent tous à la même loi de la réflexion, et pourtant ils peuvent produire des images de même taille, plus grandes, plus petites, droites ou renversées. Alors, qu’est-ce que le miroir fait réellement de différent ?

Avant de poursuivre, faites cette prédiction : si les rayons lumineux réfléchis s’écartent les uns des autres après avoir quitté un miroir, peuvent-ils quand même former une image ? On pourrait penser que la réponse est non, puisque les rayons ne se rencontrent jamais. Mais vos yeux peuvent prolonger mentalement ces rayons vers l’arrière et leur donner l’apparence de provenir d’un même point. C’est la clé pour comprendre les images virtuelles.

01Ce qu’un diagramme de rayons cherche réellement à déterminer

Supposons que la lumière quitte le sommet d’un objet et frappe un miroir. Un seul rayon ne suffit pas pour déterminer où se trouve l’image. Il faut suivre au moins deux rayons provenant du même point de l’objet et observer ce qui se passe après la réflexion.

Il existe deux possibilités :

• Les rayons réfléchis se rencontrent réellement. Leur point de rencontre correspond à une image réelle.
• Les rayons réfléchis s’écartent, mais leurs prolongements vers l’arrière se rencontrent. Ce point de rencontre apparent correspond à une image virtuelle.

On peut imaginer que votre œil mène une petite enquête. Il reçoit un rayon réfléchi et suppose que la lumière s’est déplacée vers lui en ligne droite. Il prolonge mentalement ce rayon vers l’arrière. Si plusieurs rayons réfléchis semblent provenir du même endroit, c’est là que vous voyez l’image.

Cette analogie a ses limites. Votre cerveau ne trace pas littéralement des lignes de construction en pointillés. Le diagramme de rayons est un modèle qui prédit l’origine apparente de la lumière.

Images réelles et images virtuelles

Cette distinction est importante, car seule une image réelle peut être projetée directement sur un écran.

Si les rayons réfléchis atteignent physiquement une feuille de papier placée à la position de l’image, la lumière peut y former une figure visible. Si l’image est virtuelle, aucune lumière ne traverse réellement la position apparente de l’image ; placer un écran à cet endroit ne permettra donc pas de la recueillir.

Cela fournit un test utile :

02Commencer par la loi de la réflexion

Tout diagramme de rayons pour un miroir repose sur une seule règle :

\[
\theta_i = \theta_r
\]

où \(\theta_i\) est l’angle d’incidence et \(\theta_r\) l’angle de réflexion.

Les deux angles sont mesurés par rapport à la normale, et non par rapport à la surface du miroir.

La normale est une ligne imaginaire tracée perpendiculairement au miroir au point où le rayon le frappe.

Une erreur fréquente consiste à mesurer les angles à partir du miroir lui-même. Par exemple, si un rayon forme un angle de \(20^\circ\) avec la surface du miroir, il forme un angle de \(70^\circ\) avec la normale. Son angle d’incidence est donc de \(70^\circ\), et non de \(20^\circ\).

03Miroirs plans : pourquoi l’image semble se trouver derrière le verre

Placez-vous devant un miroir plat et observez votre reflet. La lumière provenant de votre visage se dirige vers le miroir, s’y réfléchit puis entre dans vos yeux.

La lumière réfléchie se déplace en s’éloignant du miroir. Il n’existe pas réellement une autre version de vous assise derrière le verre.

Pourtant, votre œil prolonge ces rayons réfléchis vers l’arrière. Leurs prolongements se coupent derrière le miroir, et c’est donc là que l’image semble se trouver.

Pour un miroir plan, l’image est :

• de la même taille que l’objet
• droite
• virtuelle
• à la même distance perpendiculaire derrière le miroir que l’objet se trouve devant celui-ci

Elle présente également une inversion latérale. Si vous levez la main droite, l’image semble lever la main située du côté opposé de l’image.

Plus précisément, le miroir inverse la direction perpendiculaire à sa surface. La description courante d’une « inversion gauche-droite » vient de la manière dont nous nous comparons à une image qui semble nous faire face.

04Les miroirs courbes modifient la direction des rayons réfléchis

Un miroir plan possède la même orientation en tout point. Ce n’est pas le cas d’un miroir courbe.

Cela signifie que deux rayons parallèles peuvent frapper des parties différentes du miroir, où les normales pointent dans des directions différentes. Les rayons obéissent toujours à \(\theta_i=\theta_r\), mais repartent dans des directions différentes.

C’est ainsi qu’un miroir courbe peut faire converger ou diverger des rayons.

Il existe deux types importants.

Un miroir concave se courbe vers l’intérieur du côté réfléchissant, comme l’intérieur d’une cuillère.

Un miroir convexe bombe vers l’extérieur en direction de l’objet, comme le dos d’une cuillère.

Pour les miroirs sphériques, on utilise plusieurs points de référence :

• l’axe principal est la ligne droite passant par le centre du miroir
• le sommet est le point où l’axe principal rencontre le miroir
• le centre de courbure, \(C\), est le centre de la sphère dont la surface du miroir pourrait avoir été découpée
• le foyer, \(F\), est le point associé aux rayons se déplaçant parallèlement à l’axe principal
• la distance focale, \(f\), est la distance entre le sommet et \(F\)

Pour un miroir sphérique utilisant des rayons proches de l’axe principal,

\[
f \approx \frac{R}{2}
\]

où \(R\) est le rayon de courbure.

L’expression « rayons proches de l’axe principal » est importante. Un miroir parfaitement sphérique ne fait pas converger exactement au même point tous les rayons parallèles fortement éloignés les uns des autres. Le modèle standard de rayons du HSC utilise des rayons paraxiaux, c’est-à-dire des rayons raisonnablement proches de l’axe principal.

05Les rayons principaux d’un miroir concave

On pourrait appliquer séparément la loi de la réflexion en chaque point d’un miroir courbe. Cela fonctionnerait, mais ce serait extrêmement lent.

À la place, les diagrammes de rayons utilisent quelques rayons dont la trajectoire est facile à prévoir.

Pour un miroir concave :

Le rayon passant par \(C\) revient sur lui-même parce qu’il frappe la surface sphérique suivant un rayon de la sphère. Ce rayon est normal à la surface, donc l’angle d’incidence vaut \(0^\circ\).

Il suffit normalement de deux de ces rayons pour localiser une image. Un troisième rayon peut servir de vérification.

06Comment tracer un diagramme de rayons pour un miroir concave

Faites partir vos rayons du même point, généralement du sommet de l’objet.

Tracez un rayon parallèle à l’axe principal. Après réflexion, faites-le passer par \(F\).

Tracez ensuite un autre rayon principal pratique, par exemple un rayon se dirigeant vers \(F\). Après réflexion, il se déplace parallèlement à l’axe principal.

Le point où les rayons réfléchis se rencontrent correspond au sommet de l’image.

S’ils ne se rencontrent pas physiquement, prolongez les rayons réfléchis vers l’arrière avec des lignes en pointillés. Le point où ces prolongements se rencontrent correspond à l’image virtuelle.

Ne prolongez pas les rayons incidents derrière le miroir. C’est le trajet de la lumière après réflexion que votre œil reçoit et prolonge mentalement vers l’arrière.

07Les miroirs concaves peuvent produire plusieurs types d’images

Voici le comportement qu’il vaut mieux comprendre plutôt que mémoriser mécaniquement.

Un schéma général se cache dans ce tableau.

Lorsque l’objet se trouve au-delà du foyer, les rayons réfléchis peuvent réellement converger devant le miroir. L’image est réelle et renversée.

Lorsque l’objet passe à l’intérieur de la distance focale, les rayons réfléchis quittent le miroir en divergeant. Leurs prolongements vers l’arrière se rencontrent derrière le miroir. L’image devient virtuelle et droite.

C’est pourquoi un miroir concave de maquillage ou de rasage peut agrandir votre visage lorsque vous vous en approchez suffisamment.

08Le foyer est une frontière, pas une barrière magique

Prévoyez maintenant ce qui se passe lorsqu’un objet s’approche de \(F\) en restant à l’extérieur de la distance focale.

On pourrait s’attendre à ce que l’image se rapproche elle aussi du miroir. En réalité, c’est l’inverse qui se produit.

Les rayons réfléchis convergent de moins en moins fortement, de sorte qu’ils se rencontrent de plus en plus loin. Exactement en \(F\), les rayons provenant d’un point situé sur l’axe émergent parallèlement dans le modèle idéalisé. Des rayons parallèles ne se rencontrent à aucune distance finie.

On décrit alors l’image comme étant à l’infini.

Déplacez ensuite l’objet juste à l’intérieur de \(F\). Les rayons réfléchis divergent désormais. Leurs prolongements vers l’arrière se rencontrent derrière le miroir, produisant une image virtuelle droite.

Ce changement explique pourquoi le foyer constitue une frontière si importante dans les diagrammes de rayons.

09Les miroirs convexes produisent toujours des rayons réfléchis divergents

Un miroir convexe se comporte différemment.

Un rayon se déplaçant parallèlement à l’axe principal se réfléchit en s’éloignant de l’axe. Si vous prolongez ce rayon réfléchi vers l’arrière, il semble provenir du foyer situé derrière le miroir.

Pour un miroir convexe :

• un rayon parallèle à l’axe principal se réfléchit comme s’il provenait de \(F\)
• un rayon dirigé vers \(F\), derrière le miroir, se réfléchit parallèlement à l’axe
• un rayon dirigé vers \(C\), derrière le miroir, repart le long de sa trajectoire initiale

Les points \(F\) et \(C\) se trouvent tous deux derrière le miroir.

Quelle que soit la position d’un objet réel ordinaire devant un miroir convexe, son image est :

• virtuelle
• droite
• plus petite que l’objet
• derrière le miroir
• entre le miroir et \(F\)

Cela explique pourquoi les miroirs convexes sont utiles lorsqu’un grand champ de vision est important. Le fait de réduire la taille de chaque image permet à la lumière provenant d’un plus grand éventail de directions d’être représentée dans le miroir.

Il existe toutefois un compromis important : les objets paraissent plus petits, de sorte qu’estimer leur distance à partir de leur taille apparente peut être trompeur.

10Une méthode fiable pour décrire n’importe quelle image dans un miroir

Une fois les rayons tracés, décrivez l’image à l’aide de quatre caractéristiques :

1. Taille : agrandie, réduite ou de même taille.
2. Orientation : droite ou renversée.
3. Position : où elle se forme par rapport à \(F\), \(C\) et au miroir.
4. Type : réelle ou virtuelle.

Certains élèves retiennent cela avec l’acronyme SALT : size, attitude, location, type. L’acronyme est utile, mais le diagramme de rayons doit tout de même justifier la réponse.

Ne concluez pas qu’une image est réelle simplement parce que vous avez tracé des lignes qui se croisent. Demandez-vous quel type de lignes se croisent.

Si les rayons réfléchis tracés en continu se croisent, l’image est réelle.

Si seuls les prolongements vers l’arrière se croisent, l’image est virtuelle.

11Les erreurs les plus tentantes dans les diagrammes de rayons

Erreur 1 : forcer toutes les images à apparaître devant le miroir

Cela se produit souvent parce que les élèves s’attendent à ce qu’une image se trouve là où la lumière passe physiquement.

Les images virtuelles contredisent cette intuition. La position de l’image peut se trouver derrière le miroir même si aucune lumière réfléchie ne s’y déplace.

Erreur 2 : prolonger les mauvais rayons

Pour une image virtuelle, prolongez les rayons réfléchis vers l’arrière.

Ne continuez pas simplement les rayons incidents en ligne droite à travers le miroir. L’image apparente doit correspondre à la direction d’où semble provenir la lumière réfléchie.

Erreur 3 : tracer un seul rayon et deviner le reste

Un rayon donne une direction, pas un point d’image unique.

Deux rayons correctement tracés à partir du même point de l’objet suffisent pour localiser leur intersection.

Erreur 4 : considérer le foyer comme un point par lequel tous les rayons doivent passer

Seuls certains rayons principaux se comportent ainsi.

Pour un miroir concave, un rayon parallèle à l’axe principal se réfléchit en passant par \(F\). Un rayon incident quelconque ne se réfléchit pas automatiquement en passant par le foyer.

Erreur 5 : faire confiance à une équation après avoir tracé un diagramme impossible

L’équation du miroir est utile, mais le diagramme de rayons permet de comprendre la signification physique des signes et du résultat.

Si votre calcul donne \(d_i<0\), mais que vous avez tracé des rayons réfléchis continus se rencontrant devant le miroir, il y a une incohérence. Vérifiez le diagramme et la convention de signes.

12Questions et solutions

Question 1

Une petite voiture jouet est placée à \(45\ \text{cm}\) devant un miroir plan.

Indiquez la position, la taille, l’orientation et le type de son image. Déterminez également la distance entre la voiture et son image.

Solution 1

L’image se trouve à \(45\ \text{cm}\) derrière le miroir, elle a la même taille que la voiture, elle est droite et virtuelle, et la séparation entre la voiture et son image est de \(90\ \text{cm}\).

Un miroir plan place l’image à la même distance perpendiculaire derrière le miroir que l’objet se trouve devant.

Par conséquent,

\[
\text{séparation}=45\ \text{cm}+45\ \text{cm}=90\ \text{cm}
\]

L’image est virtuelle parce que les rayons réfléchis ne traversent pas réellement le point situé derrière le miroir. Ce sont leurs prolongements vers l’arrière qui s’y rencontrent.

Question 2

Un élève trace un diagramme de rayons pour un miroir convexe. Les rayons réfléchis s’écartent, donc l’élève conclut : « Aucune image ne se forme parce que les rayons ne se rencontrent jamais. »

Expliquez l’erreur et décrivez l’image qui se forme réellement.

Solution 2

Une image se forme bien : elle est virtuelle, droite, réduite et située derrière le miroir, entre le miroir et \(F\).

L’erreur de l’élève consiste à supposer que les rayons doivent se rencontrer physiquement pour qu’une image puisse exister.

Après réflexion sur un miroir convexe, les rayons divergent. Cependant, un observateur prolonge mentalement ces rayons vers l’arrière en ligne droite. Les prolongements se coupent derrière le miroir, ce qui donne une source apparente de la lumière.

Comme seuls les prolongements des rayons réfléchis se rencontrent à cet endroit, l’image est virtuelle et non réelle.

Question 3

Un miroir concave possède \(f=8.0\ \text{cm}\). Un objet est placé à \(24\ \text{cm}\) devant le miroir.

Calculez la position et le grandissement de l’image, puis décrivez-la.

Solution 3

L’image se forme à \(12\ \text{cm}\) devant le miroir et elle est réelle, renversée et deux fois moins haute que l’objet.

Utilisez

\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
\]

avec \(f=8.0\ \text{cm}\) et \(d_o=24\ \text{cm}\) :

\[
\frac{1}{8.0}=\frac{1}{24}+\frac{1}{d_i}
\]

\[
\frac{1}{d_i}
=\frac{1}{8}-\frac{1}{24}
=\frac{3-1}{24}
=\frac{1}{12}
\]

Par conséquent,

\[
d_i=12\ \text{cm}
\]

La distance d’image positive signifie qu’une image réelle se forme devant le miroir.

Calculons maintenant le grandissement :

\[
m=-\frac{d_i}{d_o}
=-\frac{12}{24}
=-0.50
\]

Le signe négatif signifie que l’image est renversée, tandis que \(|m|=0.50\) signifie qu’elle est deux fois plus petite.

Il existe également une vérification utile à partir du diagramme de rayons. Puisque \(C=2f=16\ \text{cm}\), l’objet situé à \(24\ \text{cm}\) se trouve au-delà de \(C\). Un miroir concave doit donc former une image réelle plus petite entre \(C\) et \(F\). La position calculée, \(12\ \text{cm}\), se situe exactement dans cette région.

Question 4

Un objet est déplacé lentement vers un miroir concave. Il commence au-delà de \(C\), passe par \(C\) et continue vers \(F\), sans toutefois passer à l’intérieur de \(F\).

Un élève affirme que l’image doit se déplacer régulièrement vers le miroir puisque l’objet se déplace vers le miroir.

Cette prédiction est-elle correcte ? Décrivez comment l’image change réellement.

Solution 4

La prédiction est incorrecte. Lorsque l’objet se déplace depuis une position au-delà de \(C\) vers \(F\), l’image réelle se déplace globalement en s’éloignant du miroir, tout en devenant plus grande.

Lorsque l’objet se trouve au-delà de \(C\), l’image se situe entre \(F\) et \(C\) et elle est réduite.

Lorsque l’objet atteint \(C\), l’image se trouve également en \(C\) et elle a la même taille que l’objet.

Lorsque l’objet se déplace entre \(C\) et \(F\), l’image se déplace au-delà de \(C\) et devient agrandie.

Lorsque l’objet s’approche de \(F\), les rayons réfléchis deviennent de plus en plus proches d’être parallèles, de sorte que leur point d’intersection s’éloigne. Dans le modèle idéal, la distance de l’image tend vers l’infini lorsque la distance de l’objet tend vers la distance focale.

L’erreur tentante consiste à supposer que le déplacement de l’objet et celui de l’image doivent se faire dans le même sens. La position de l’image est déterminée par les directions changeantes des rayons réfléchis, et non par une simple reproduction mécanique du mouvement de l’objet.

Question 5

Un petit objet est placé exactement au foyer d’un miroir concave idéal.

Un élève affirme qu’une image réelle se forme en \(F\) parce que « le foyer est l’endroit où les rayons réfléchis se rencontrent ». Un autre affirme qu’aucune réflexion ne se produit parce que le miroir ne peut pas former d’image.

Évaluez les deux affirmations et indiquez ce que prévoit le modèle de rayons.

Solution 5

Les deux affirmations sont incorrectes. Le miroir réfléchit toujours la lumière, mais le modèle idéal de rayons ne donne aucune image à une distance finie.

Considérons des rayons quittant un point de l’objet. Un rayon principal qui passe par \(F\) avant de frapper le miroir se réfléchit parallèlement à l’axe principal. Plus généralement, les rayons provenant d’un objet situé dans le plan focal sont réfléchis de telle sorte que l’image correspondante se trouve effectivement à l’infini dans le modèle paraxial.

L’erreur du premier élève consiste à considérer \(F\) comme un point de rencontre universel pour les rayons réfléchis. Le foyer possède une signification précise : pour un miroir concave, des rayons arrivant parallèlement à l’axe principal se réfléchissent en passant par \(F\). Cela ne signifie pas que tous les rayons réfléchis passent toujours par \(F\).

L’erreur du deuxième élève consiste à confondre « aucune image à une distance finie » avec « aucune réflexion ». La loi de la réflexion continue de s’appliquer normalement à la surface du miroir.

L’équation du miroir montre le comportement limite :

\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
\]

Avec \(d_o=f\),

\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d_i}
\]

donc

\[
\frac{1}{d_i}=0
\]

ce qui correspond à \(d_i\) tendant vers l’infini.

Le phénomène physique intéressant n’est donc pas que la lumière disparaît, mais que les rayons réfléchis ne parviennent pas à converger en une position finie.

13Où cette idée mène ensuite

Les diagrammes de rayons transforment la loi de la réflexion en une prédiction de ce qu’un observateur voit réellement. Une fois que vous savez déterminer où les rayons réfléchis se rencontrent, ou où ils donnent seulement l’impression de se rencontrer, le même raisonnement s’applique naturellement à la réfraction et aux lentilles.

La géométrie change lorsque la lumière passe d’un milieu à un autre, car le rayon peut se réfracter plutôt que se réfléchir, mais la question centrale reste la même : après que la lumière a changé de direction, où vont réellement les rayons, et vers quel point un observateur les prolongerait-il vers l’arrière ?