Utiliser s = ut + 1/2 at² en physique HSC

Une voiture roule vers l’est à \(12\text{ m s}^{-1}\). Le conducteur freine de façon régulière pendant \(3.0\text{ s}\). Vous connaissez la vitesse initiale, l’accélération et le temps, mais vous ne savez pas quelle distance de déplacement la voiture parcourt.

Vous pourriez être tenté de calculer \(12 \times 3 = 36\text{ m}\). Mais cela suppose que la voiture continue à rouler à \(12\text{ m s}^{-1}\) pendant les trois secondes entières. Ce n’est pas le cas. Elle ralentit.

L’équation

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

résout précisément ce problème, à condition que l’accélération soit constante.

Dans les questions du HSC, la partie la plus difficile n’est généralement pas de remplacer les variables par leurs valeurs dans l’équation. Il s’agit plutôt de déterminer si l’équation s’applique réellement et de choisir correctement les signes de \(u\), \(a\) et \(s\).

01Quel problème cette équation résout-elle ?

Supposons qu’un objet commence avec une vitesse \(u\), puis accélère à un taux constant \(a\).

On peut se représenter son mouvement en deux parties.

D’abord, imaginons que l’objet continue à se déplacer à sa vitesse initiale pendant une durée \(t\). Son déplacement serait alors de

\[
ut.
\]

Mais l’accélération modifie sa vitesse pendant qu’il se déplace. Cette variation ajoute un déplacement supplémentaire, ou en retranche si l’accélération est orientée dans le sens opposé au mouvement initial.

La contribution de l’accélération au déplacement est

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

Le déplacement total est donc

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

Ici :

• \(s\) est le déplacement, mesuré en mètres (\(\text{m}\))
• \(u\) est la vitesse initiale, mesurée en mètres par seconde (\(\text{m s}^{-1}\))
• \(a\) est l’accélération constante, mesurée en mètres par seconde carrée (\(\text{m s}^{-2}\))
• \(t\) est le temps écoulé, mesuré en secondes (\(\text{s}\))

Remarquez que \(s\) représente le déplacement, et non la distance parcourue. Cette distinction devient importante chaque fois qu’un objet change de direction. Si cette différence reste difficile à saisir, révisez la distance et le déplacement en physique HSC avant d’aller plus loin.

02Pourquoi y a-t-il un \(\frac{1}{2}\) ?

Le facteur \(\frac{1}{2}\) peut donner l’impression d’être quelque chose qu’il faut simplement mémoriser. Il n’est pourtant pas arbitraire.

Imaginez qu’un objet parte du repos et accélère constamment à \(2\text{ m s}^{-2}\) pendant \(4\text{ s}\).

Sa vitesse augmente ainsi :

• à \(0\text{ s}\) : \(0\text{ m s}^{-1}\)
• à \(1\text{ s}\) : \(2\text{ m s}^{-1}\)
• à \(2\text{ s}\) : \(4\text{ m s}^{-1}\)
• à \(3\text{ s}\) : \(6\text{ m s}^{-1}\)
• à \(4\text{ s}\) : \(8\text{ m s}^{-1}\)

Prédisez le déplacement. Serait-il de \(8 \times 4 = 32\text{ m}\) ?

Non. L’objet n’atteint \(8\text{ m s}^{-1}\) qu’à la fin. Pendant la majeure partie des quatre secondes, il se déplace plus lentement.

Comme la vitesse augmente uniformément de \(0\) à \(8\text{ m s}^{-1}\), sa vitesse moyenne est

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

Son déplacement est donc

\[
s = v_{\text{moy}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

L’utilisation de \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) donne le même résultat :

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Le \(\frac{1}{2}\) apparaît parce que, sous une accélération constante, la vitesse varie progressivement au lieu de passer instantanément à sa valeur finale.

On peut aussi le comprendre à l’aide d’un graphique vitesse-temps. Le terme \(ut\) correspond à l’aire rectangulaire due à la vitesse initiale. Le terme \(\frac{1}{2}at^2\) correspond à l’aire triangulaire créée par la variation de la vitesse.

Cette représentation est utile, mais elle a une limite : ce triangle bien défini n’apparaît que lorsque l’accélération est constante. Si l’accélération varie avec le temps, le graphique vitesse-temps n’est généralement pas une droite et cette équation ne peut pas simplement être utilisée sur l’ensemble de l’intervalle.

03La condition que les élèves oublient : l’accélération doit être constante

Cette équation fait partie des équations du mouvement à accélération constante.

Cela signifie que \(a\) doit rester identique pendant tout l’intervalle de temps que vous analysez.

Par exemple, les situations suivantes peuvent raisonnablement être modélisées avec une accélération constante si la question vous demande de le faire :

• un objet en chute libre près de la surface de la Terre, en négligeant la résistance de l’air
• une voiture accélérant uniformément sur une route droite
• un train freinant à un taux constant
• un chariot subissant une accélération constante le long d’une piste

Mais supposons qu’une voiture accélère à \(2\text{ m s}^{-2}\) pendant deux secondes, puis à \(5\text{ m s}^{-2}\) pendant deux secondes supplémentaires.

Pouvez-vous utiliser \(t = 4\text{ s}\) dans

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

en choisissant une valeur unique et pratique de \(a\) ?

Pas à moins que cette valeur représente réellement une accélération constante sur l’ensemble de l’intervalle. Dans cet exemple, ce n’est pas le cas.

Il faut plutôt diviser le mouvement en intervalles. Déterminez le déplacement pendant le premier intervalle à accélération constante, trouvez la nouvelle vitesse, puis analysez le deuxième intervalle.

Un graphique accélération-temps peut vous aider à reconnaître quand l’accélération est constante et quand le mouvement doit être séparé en plusieurs parties.

04Choisir les signes : choisissez d’abord une direction positive

C’est ici que de nombreuses solutions par ailleurs correctes s’effondrent.

La vitesse et l’accélération sont des vecteurs. Dans un mouvement unidimensionnel, leurs signes indiquent la direction dans laquelle elles sont orientées.

Avant de remplacer quoi que ce soit dans l’équation, choisissez une direction positive.

Pour un mouvement horizontal, vous pourriez choisir :

\[
\text{est} = +
\]

ce qui signifie automatiquement

\[
\text{ouest} = -.
\]

Pour un mouvement vertical, vous pourriez choisir :

\[
\text{vers le haut} = +
\]

ce qui signifie

\[
\text{vers le bas} = -.
\]

Vous pourriez choisir la convention opposée et obtenir tout de même une réponse physiquement correcte. L’important est de rester cohérent.

Considérez le choix de la direction positive comme le fait de décider à quelle extrémité d’un couloir attribuer les numéros de pièce positifs. La physique ne se soucie pas de l’extrémité que vous choisissez. Elle exige simplement que vous ne changiez pas d’avis à mi-chemin.

Les signes ne signifient pas « bon », « mauvais », « accélération » ou « ralentissement »

Une accélération négative ne signifie pas automatiquement qu’un objet ralentit.

Cela signifie que l’accélération est orientée dans la direction négative.

Supposons que l’est soit positif.

Si une voiture roule vers l’est, alors \(u > 0\).

Si son accélération est orientée vers l’ouest, alors \(a < 0\). L’accélération s’oppose à la vitesse, donc la voiture ralentit.

Mais supposons que la voiture roule vers l’ouest. Alors \(u < 0\). Si son accélération est également orientée vers l’ouest, alors \(a < 0\), et la voiture accélère en valeur de vitesse.

La règle utile est donc :

Les signes vous indiquent d’abord la direction. Pour savoir si la valeur de la vitesse augmente ou diminue, il faut comparer les directions de la vitesse et de l’accélération.

05Une méthode fiable pour déterminer les signes

Avant d’utiliser l’équation, écrivez votre direction positive.

Ensuite, traduisez chaque grandeur vectorielle selon cette convention.

Supposons qu’une balle soit lancée vers le haut à \(15\text{ m s}^{-1}\), et que vous choisissiez le haut comme direction positive.

Alors :

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

et l’accélération gravitationnelle est dirigée vers le bas, donc

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Si le déplacement calculé est \(s = +6.0\text{ m}\), la balle termine \(6.0\text{ m}\) au-dessus de sa position de départ.

Si \(s = -6.0\text{ m}\), elle termine \(6.0\text{ m}\) en dessous de sa position de départ.

N’attribuez pas un signe négatif à l’accélération simplement parce que l’objet « décélère ». Attribuez le signe en fonction de la direction.

08Pourquoi \(t^2\) est important

Les élèves se souviennent parfois de la structure comme « mouvement initial plus mouvement dû à l’accélération », mais oublient d’élever le temps au carré.

Vérifiez les unités.

Le premier terme a pour unités

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

Le deuxième terme a pour unités

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

Les deux termes représentent donc des déplacements.

Si vous utilisiez par erreur \(\frac{1}{2}at\), ses unités seraient

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

ce qui correspond à une vitesse et non à un déplacement.

La vérification des unités ne permet pas de détecter toutes les erreurs de physique, mais elle permet de repérer facilement de nombreuses erreurs algébriques.

09Pourquoi le déplacement augmente avec \(t^2\)

Supposons qu’un objet parte du repos avec une accélération constante.

Alors \(u = 0\), donc

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

Si vous doublez le temps, que devient le déplacement ?

On pourrait être tenté de prévoir que le déplacement double. Mais

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

donc le déplacement devient quatre fois plus grand.

Par exemple, un objet partant du repos avec une accélération de \(3.0\text{ m s}^{-2}\) parcourt un déplacement de

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}
\]

en \(2.0\text{ s}\).

Après \(4.0\text{ s}\),

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

Deux fois plus de temps donne quatre fois plus de déplacement.

Pourquoi ? Parce que l’objet dispose de plus de temps pour se déplacer et qu’il se déplace plus vite pendant la partie finale de cet intervalle plus long.

10L’idée fausse la plus tentante : un déplacement négatif signifie que l’objet se déplace vers l’arrière

Pas nécessairement.

Supposons que l’est soit positif. Si un objet a

\[
s = -5\text{ m},
\]

cela vous indique seulement que sa position finale se situe à \(5\text{ m}\) à l’ouest de son point de départ.

Il pourrait être en train de se déplacer vers l’ouest.

Il pourrait aussi avoir voyagé vers l’ouest, fait demi-tour, et être maintenant en train de se déplacer vers l’est tout en restant à \(5\text{ m}\) à l’ouest de son point de départ.

Le déplacement décrit une variation de position. La vitesse décrit le taux et la direction selon lesquels la position change à cet instant.

Ces idées sont liées, mais elles ne sont pas interchangeables.

11Une règle de décision concise pour les questions du HSC

Avant d’utiliser

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

vérifiez quatre éléments.

1. Le mouvement est-il unidimensionnel pendant l’intervalle que vous analysez ?
   Choisissez un axe et définissez sa direction positive.

2. L’accélération est-elle constante ?
   Si ce n’est pas le cas, cette équation ne peut pas être appliquée sur l’ensemble d’un intervalle où l’accélération varie.

3. Connaissez-vous \(u\), \(a\) et \(t\), ou pouvez-vous les déterminer ?
   Cette équation est particulièrement utile parce que la vitesse finale n’y apparaît pas.

4. Avez-vous attribué les signes en fonction de la direction ?
   Faites-le avant de remplacer les variables par leurs valeurs, et non après.

Une bonne habitude consiste à écrire une ligne telle que

\[
\text{vers le haut positif}
\]

avant tout calcul de mouvement vertical. Cela ne prend que quelques secondes et évite une grande partie des erreurs de signe.

12Questions et solutions

Question 1

Un skateur se déplace vers le nord à \(3.0\text{ m s}^{-1}\) et accélère uniformément vers le nord à \(0.80\text{ m s}^{-2}\) pendant \(5.0\text{ s}\). Calculez le déplacement du skateur pendant cet intervalle.

Solution 1

Le skateur se déplace de \(\boxed{25\text{ m vers le nord}}\).

Prenons le nord comme direction positive. Alors

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

En utilisant

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

nous obtenons

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Le résultat positif signifie que le déplacement est dirigé vers le nord. \(u\) et \(a\) sont tous deux positifs parce qu’ils sont orientés dans la direction positive choisie.

Question 2

Un ascenseur se déplace vers le haut à \(2.4\text{ m s}^{-1}\). Il accélère uniformément vers le bas à \(0.60\text{ m s}^{-2}\) pendant \(3.0\text{ s}\).

Calculez son déplacement pendant l’intervalle de \(3.0\text{ s}\).

Solution 2

Le déplacement de l’ascenseur est \(\boxed{+4.5\text{ m}}\), il termine donc \(4.5\text{ m}\) au-dessus de sa position initiale.

Choisissez le haut comme direction positive. Alors

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

Par conséquent,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

L’accélération est négative parce qu’elle est orientée vers le bas, et non simplement parce que l’ascenseur ralentit.

Pendant ces trois secondes, la vitesse vers le haut et l’accélération vers le bas sont orientées dans des directions opposées, donc la valeur de la vitesse de l’ascenseur diminue.

Question 3

Une petite balle est projetée verticalement vers le haut depuis le niveau du sol à \(14.0\text{ m s}^{-1}\). Négligez la résistance de l’air et utilisez \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\).

Un élève calcule son déplacement après \(3.00\text{ s}\) comme

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

et obtient \(86.1\text{ m}\).

Identifiez l’erreur, calculez le déplacement correct et indiquez ce que signifie le signe de votre résultat.

Solution 3

L’erreur de l’élève consiste à utiliser le mauvais signe pour l’accélération gravitationnelle. Le déplacement correct est \(\boxed{-2.1\text{ m}}\), ce qui signifie que la balle se trouverait à \(2.1\text{ m}\) en dessous de son niveau de lancement après \(3.00\text{ s}\) si son mouvement pouvait se poursuivre sans obstacle.

Si le haut est positif, alors

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

mais la gravité est orientée vers le bas, donc

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Par conséquent,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Le calcul contient également une hypothèse physique importante. La question indique que la balle a été lancée depuis le niveau du sol. Une balle réelle heurterait le sol avant d’atteindre une position située à \(2.1\text{ m}\) en dessous, sauf s’il y avait un trou ou une dénivellation sous le point de lancement.

L’équation décrit donc correctement la trajectoire mathématique à accélération constante, mais la situation physique peut prendre fin lorsque la balle touche le sol. Les équations ne tiennent pas automatiquement compte des obstacles.

Question 4

Un véhicule d’essai commence avec une vitesse de \(+6.0\text{ m s}^{-1}\), l’est étant positif.

Pendant les premières \(2.0\text{ s}\), il subit une accélération constante de \(-2.0\text{ m s}^{-2}\). Pendant les \(3.0\text{ s}\) suivantes, son accélération est constante à \(+1.0\text{ m s}^{-2}\).

Un élève propose d’utiliser

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

une seule fois sur l’ensemble des \(5.0\text{ s}\), avec \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\) et une accélération obtenue en faisant la moyenne de \(-2.0\) et \(+1.0\).

Expliquez pourquoi cette méthode n’est pas valable, puis calculez le déplacement total du véhicule.

Solution 4

La méthode utilisant une seule équation n’est pas valable parce que l’accélération n’est pas constante sur l’ensemble des \(5.0\text{ s}\). Le déplacement total correct est \(\boxed{19.5\text{ m vers l’est}}\).

Le mouvement doit être divisé en deux intervalles pendant lesquels l’accélération est constante.

Pour le premier intervalle,

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

Le déplacement est

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Nous avons également besoin de la vitesse à la fin de cet intervalle, car elle devient la vitesse initiale du deuxième intervalle.

En utilisant

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

Pour le deuxième intervalle,

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

Donc

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Le déplacement total est

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Par conséquent,

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m vers l’est}}.
\]

L’idée importante est que faire la moyenne des deux valeurs d’accélération ne reproduit pas le mouvement réel. Le moment auquel chaque accélération s’applique est important, car le premier intervalle modifie la vitesse avec laquelle le véhicule entre dans le deuxième intervalle.

13Ce que cette équation vous prépare à comprendre

L’équation

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

est bien plus qu’une formule dans laquelle il suffit de remplacer des valeurs. Elle relie trois idées : le mouvement initial d’un objet, la manière dont une accélération constante modifie ce mouvement et le déplacement accumulé au fil du temps.

Une fois que les signes sont bien compris, les autres équations du mouvement à accélération constante deviennent plus faciles à organiser. La même convention s’applique : choisissez une direction positive, traitez la vitesse et l’accélération comme des grandeurs signées et demandez-vous ce que le résultat signifie physiquement.

L’étape suivante utile consiste à apprendre à passer de ces équations aux graphiques de mouvement, et inversement. Un graphique peut montrer immédiatement quand l’accélération est constante, quand un objet change de direction et quand une seule équation du mouvement à accélération constante cesse d’être valable.