Physique de Year 12 : examen blanc sur la nature de la lumière et corrigé

Il s’agit d’une épreuve d’entraînement originale de tutorgum pour la physique de Year 12 : Nature de la lumière, couvrant le domaine de contenu fourni du programme 2025. Elle combine des calculs, l’analyse de données, des preuves expérimentales et des explications portant sur le comportement ondulatoire, la physique quantique, les ondes électromagnétiques et la relativité restreinte. Il s’agit d’une ressource originale de révision, et non d’une épreuve officielle, approuvée ou prédictive de la NESA.

01Consignes de l’examen

• Total des points : 90
• Durée de travail conseillée : 110 minutes
• Temps de lecture : 5 minutes
• Matériel autorisé : calculatrice scientifique, règle et papier millimétré. Aucun document ni aucune note.
• Démarche : présentez les calculs, les substitutions, les unités et un nombre de chiffres significatifs approprié. Expliquez votre raisonnement dans les réponses rédigées.

La durée et les conditions de cette épreuve constituent des conditions d’entraînement suggérées et ne prétendent pas reproduire les règles officielles d’un examen.

Champ évalué

Cette épreuve évalue le contenu fourni du programme de physique de Year 12 sur la nature de la lumière, dans l’édition 2025 du programme, notamment les modèles ondulatoire et quantique de la lumière, la production et la mesure des ondes électromagnétiques ainsi que la relativité restreinte. Elle n’évalue pas le contenu d’autres modules et ne combine pas des éléments provenant de différentes éditions du programme.

Constantes et conversions

Utilisez les données suivantes lorsque cela est nécessaire.

Sauf indication contraire dans une question, supposez que la lumière se propage dans l’air à une vitesse approximativement égale à celle qu’elle possède dans le vide, que les filtres polarisants sont idéaux et que les résultats numériques doivent être arrondis de manière appropriée.

02Questions

Question 1 (8 points)

(a) Énoncez les deux postulats d’Einstein sur la relativité restreinte. Pour cette question, un référentiel inertiel est un référentiel qui n’est pas en accélération. (2 points)

(b) Les équations de Maxwell permettent de prévoir la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide à l’aide de l’expression suivante :

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

où \(c\) est la vitesse de l’onde, \(\mu_0\) est la perméabilité du vide et \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide.

Calculez la vitesse de l’onde ainsi prédite. (2 points)

(c) Décrivez comment une charge électrique accélérée peut produire une onde électromagnétique. Précisez l’orientation du champ électrique, du champ magnétique et de la direction de propagation de l’énergie. (2 points)

(d) Une expérience de type Michelson-Morley ne détecte aucune différence mesurable entre les temps de parcours de la lumière dans deux directions perpendiculaires lorsque la Terre se déplace. Expliquez ce que ce résultat a permis d’étayer et donnez une raison pour laquelle il constituait un élément de preuve pertinent pour la relativité restreinte, plutôt qu’une preuve de l’ensemble de la théorie. (2 points)

Question 2 (6 points)

Heinrich Hertz utilisait un émetteur à éclateur et une boucle réceptrice distincte contenant un petit intervalle entre deux électrodes. Lorsque l’émetteur produisait une étincelle, une étincelle pouvait également être observée au niveau du récepteur, malgré l’absence de fil conducteur entre les deux appareils.

(a) Expliquez pourquoi cette observation étayait l’existence des ondes électromagnétiques. (2 points)

(b) Une onde électromagnétique réfléchie produit un motif d’onde stationnaire. Deux nœuds adjacents sont séparés de \(0.30\ \mathrm{m}\). Calculez la longueur d’onde. (1 point)

(c) La fréquence d’oscillation de l’émetteur est de \(5.0 \times 10^8\ \mathrm{Hz}\). À l’aide de votre réponse à la question (b), calculez la vitesse de l’onde. (2 points)

(d) Indiquez une hypothèse ou une limite à prendre en compte lorsqu’on utilise cette technique pour estimer la vitesse des ondes électromagnétiques. (1 point)

Question 3 (6 points)

(a) Un laser pulsé est dirigé vers un réflecteur situé à \(1.50\ \mathrm{km}\). Le temps mesuré entre l’émission d’une impulsion et la détection de son retour est de \(10.0\ \mathrm{\mu s}\).

Calculez la vitesse de la lumière à partir de ces mesures. (2 points)

(b) Décrivez brièvement comment la méthode de Fizeau utilisant une roue dentée employait un faisceau lumineux de retour et la rotation d’une roue pour estimer la vitesse de la lumière. (2 points)

(c) Comparez la méthode moderne utilisant un laser pulsé à la méthode historique de Fizeau. Indiquez un avantage de la méthode moderne et une limite qui doit toujours être prise en compte. (2 points)

Question 4 (10 points)

(a) Un corps noir idéal émet un spectre continu de rayonnement électromagnétique. Décrivez en quoi son spectre observé diffère de la prédiction de la physique classique aux très courtes longueurs d’onde et expliquez comment la quantification de l’énergie proposée par Planck a permis de résoudre ce problème. (3 points)

(b) La longueur d’onde correspondant au maximum du spectre d’un corps noir est de \(580\ \mathrm{nm}\). Utilisez la loi de déplacement de Wien,

\[ \lambda_{\max}T=b \]

où \(\lambda_{\max}\) est la longueur d’onde correspondant au maximum du spectre, \(T\) est la température absolue en kelvins et \(b\) est la constante de déplacement de Wien.

Calculez la température du corps noir. (2 points)

(c) Un photon possède une longueur d’onde de \(400\ \mathrm{nm}\). Utilisez

\[ E=\frac{hc}{\lambda} \]

où \(E\) est l’énergie du photon, \(h=6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) est la constante de Planck, \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) est la vitesse de la lumière et \(\lambda\) est la longueur d’onde.

Calculez l’énergie du photon en joules et en électronvolts. (3 points)

(d) Expliquez comment une cellule photovoltaïque convertit la lumière en énergie électrique. Identifiez une autre application reposant sur l’énergie quantifiée des photons et décrivez brièvement son fonctionnement. (2 points)

Question 5 (10 points)

L’effet photoélectrique se produit lorsque la lumière incidente sur un métal provoque l’émission d’électrons. Le travail d’extraction, \(\phi\), est l’énergie minimale nécessaire pour libérer un électron du métal. L’énergie cinétique maximale d’un électron émis est notée \(K_{\max}\).

Un élève mesure l’énergie cinétique maximale des photoélectrons émis par un métal donné pour différentes fréquences de la lumière incidente.

(a) Expliquez comment l’existence d’une fréquence seuil et l’émission immédiate des photoélectrons remettent en question le modèle ondulatoire classique de la lumière. (2 points)

(b) Tracez \(K_{\max}\) en fonction de la fréquence sur du papier millimétré. Nommez l’axe horizontal \(f/(10^{14}\ \mathrm{Hz})\), placez les données et tracez une droite d’ajustement appropriée.

À l’aide de votre graphique, estimez la fréquence seuil et expliquez ce qu’elle représente physiquement. (3 points)

(c) Utilisez la pente de votre graphique pour estimer la constante de Planck en \(\mathrm{J\,s}\). Convertissez correctement les unités d’énergie. (2 points)

(d) Utilisez l’équation de l’effet photoélectrique

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

pour calculer :

• le travail d’extraction du métal en électronvolts ;
• l’énergie cinétique maximale des photoélectrons émis lorsque la fréquence incidente est de \(8.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\).

Utilisez la valeur de la constante de Planck déduite de votre graphique. (3 points)

Question 6 (9 points)

(a) Expliquez comment se produit l’émission thermoïonique, pourquoi le matériau émetteur est généralement placé dans le vide et donnez une différence entre l’émission thermoïonique et l’émission photoélectrique. (3 points)

(b) Une lumière non polarisée d’intensité \(I_0\) traverse un polariseur idéal, puis un analyseur idéal. L’angle entre les axes de transmission des deux filtres est de \(30^\circ\).

Pour une lumière polarisée rectilignement incidente sur l’analyseur, la loi de Malus s’écrit

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

où \(I\) est l’intensité transmise, \(I_{\max}\) est l’intensité incidente sur l’analyseur lorsque son axe est aligné avec la direction de polarisation de la lumière, et \(\theta\) est l’angle entre la direction de polarisation et l’axe de transmission de l’analyseur.

Calculez l’intensité finale transmise en fonction de \(I_0\). (3 points)

(c) Expliquez pourquoi la polarisation étaye le modèle ondulatoire transversal de la lumière. Pourquoi un polariseur idéal ne peut-il pas sélectionner une direction particulière d’oscillation latérale pour une onde longitudinale ? (2 points)

(d) Indiquez une condition nécessaire pour appliquer correctement la loi de Malus. (1 point)

Question 7 (8 points)

(a) Une lumière monochromatique traverse une fente unique étroite. La largeur de la fente est réduite de \(5\lambda\) à \(\lambda\), où \(\lambda\) est la longueur d’onde de la lumière.

Décrivez comment le motif de diffraction change et expliquez pourquoi. (2 points)

(b) Dans une expérience à deux fentes, la séparation entre les deux fentes est \(d=0.25\ \mathrm{mm}\). Les fentes sont éclairées par une lumière de longueur d’onde \(\lambda=500\ \mathrm{nm}\).

La condition d’une frange brillante est

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

où \(\theta\) est l’angle mesuré par rapport à l’axe central et \(m\) est l’ordre entier de la frange brillante.

Calculez l’angle de la frange brillante du deuxième ordre, \(m=2\). (3 points)

(c) Un écran est placé à \(2.0\ \mathrm{m}\) des fentes. Utilisez l’approximation des petits angles pour calculer le déplacement de la frange brillante du deuxième ordre par rapport au maximum central. (2 points)

(d) Expliquez ce que les franges alternativement brillantes et sombres démontrent sur le comportement de la lumière. (1 point)

Question 8 (6 points)

Un réseau de diffraction comporte 600 traits par millimètre. Il est éclairé normalement par une lumière monochromatique de longueur d’onde \(500\ \mathrm{nm}\).

(a) Calculez l’espacement \(d\) entre deux traits adjacents du réseau ainsi que l’angle du maximum du deuxième ordre. Utilisez

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

où \(m\) est l’ordre du maximum et \(\theta\) est son angle par rapport à la normale. (3 points)

(b) Déterminez l’ordre de diffraction le plus élevé possible pour cette longueur d’onde. (1 point)

(c) Expliquez pourquoi un réseau comportant de nombreuses fentes peut distinguer deux longueurs d’onde très proches plus efficacement qu’un dispositif à deux fentes. (2 points)

Question 9 (10 points)

(a) Définissez un référentiel inertiel et expliquez ce que signifie la relativité de la simultanéité. (2 points)

(b) Deux événements, A et B, se produisent aux positions \(x_A=0\) et \(x_B=+600\ \mathrm{m}\) dans le référentiel du quai. Ils sont simultanés dans ce référentiel, de sorte que \(\Delta t=t_B-t_A=0\).

Le référentiel d’un train se déplace dans la direction \(+x\) à la vitesse \(0.60c\) par rapport au quai, où \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Utilisez la transformation de Lorentz

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right) \]

où \(\Delta t'=t'_B-t'_A\), \(\Delta x=x_B-x_A\), \(v\) est la vitesse relative et

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

est le facteur de Lorentz.

Calculez \(\Delta t'\) dans le référentiel du train et indiquez quel événement se produit en premier dans ce référentiel. (3 points)

(c) Une horloge au repos dans un vaisseau spatial mesure \(2.00\ \mathrm{\mu s}\) entre deux événements qui se produisent au même endroit dans le vaisseau. Un observateur terrestre mesure la vitesse du vaisseau à \(0.80c\).

Calculez l’intervalle de temps mesuré par l’observateur terrestre. (3 points)

(d) La longueur propre d’un vaisseau spatial, mesurée dans son propre référentiel de repos, est de \(120\ \mathrm{m}\). Calculez la longueur mesurée par un observateur terrestre lorsque le vaisseau se déplace à \(0.80c\). (2 points)

Question 10 (5 points)

(a) Une particule possède une masse au repos de \(1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}\) et se déplace à \(0.90c\), où \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Utilisez l’équation relativiste de la quantité de mouvement

\[ p=\gamma mv \]

où \(p\) est la quantité de mouvement, \(m\) est la masse au repos, \(v\) est la vitesse et \(\gamma\) est le facteur de Lorentz.

Calculez la quantité de mouvement relativiste de la particule. (3 points)

(b) Expliquez pourquoi une particule massive ne peut pas être accélérée jusqu’à la vitesse de la lumière en lui fournissant une quantité finie d’énergie. (2 points)

Question 11 (8 points)

(a) Des muons cosmiques sont produits dans les couches supérieures de l’atmosphère terrestre. La durée de vie moyenne d’un muon dans son propre référentiel de repos est de \(2.20\ \mathrm{\mu s}\), et il se déplace vers la surface de la Terre à \(0.998c\).

Supposez que le muon se déplace verticalement à vitesse constante et négligez les pertes d’énergie ainsi que les autres interactions. Son altitude de production est de \(10.0\ \mathrm{km}\).

Calculez :

• le facteur de Lorentz ;
• la durée de vie moyenne mesurée dans le référentiel terrestre ;
• la distance moyenne parcourue avant la désintégration.

Utilisez vos résultats pour expliquer pourquoi de nombreux muons peuvent atteindre la surface de la Terre. (5 points)

(b) Dans une expérience de type Hafele-Keating, des horloges atomiques sont transportées en avion vers l’est et vers l’ouest autour de la Terre. Après les vols, leurs indications sont comparées à celles d’une horloge de référence restée au sol.

Expliquez ce qui est testé, pourquoi les décalages prédits entre les horloges peuvent dépendre de la direction et des conditions du vol, et ce que confirmerait un accord entre les décalages mesurés et prédits. Prenez en compte les effets liés à la vitesse et ceux liés à l’altitude. (3 points)

Question 12 (4 points)

Un élève formule l’affirmation suivante :

« La diffraction et les interférences montrent que la lumière est une onde ; l’effet photoélectrique ne peut donc pas être expliqué par le même modèle physique de la lumière. »

(a) Indiquez ce que la diffraction ou les interférences démontrent sur le comportement de la lumière et expliquez pourquoi un modèle purement classique de particules ne suffit pas à les expliquer. (1 point)

(b) Indiquez ce que la fréquence seuil et l’émission immédiate observées dans l’effet photoélectrique démontrent sur la manière dont la lumière transfère son énergie. (1 point)

(c) Évaluez l’affirmation de l’élève en utilisant les deux ensembles de preuves. Expliquez comment un modèle moderne de la lumière rend compte de ces observations. (2 points)

03Solutions détaillées et barème

Des méthodes équivalentes et des réponses numériques correctement arrondies doivent recevoir le même nombre de points. Dans les questions de calcul, des points de suivi doivent être accordés lorsqu’un élève utilise de manière cohérente un résultat numérique obtenu précédemment, même si ce résultat comporte une petite erreur.

Solution 1

(a) Les postulats d’Einstein

1. Les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels. Aucun référentiel inertiel n’est privilégié : les lois de la physique ne prennent pas une forme différente dans un référentiel inertiel particulier.
2. La vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs inertiels, indépendamment du mouvement de la source ou de celui de l’observateur.

Barème :

• 1 point pour chaque postulat correctement énoncé.

(b) Prédiction de Maxwell

Substituons les constantes électromagnétiques fournies dans l’expression de la vitesse de l’onde.

\[ \begin{aligned} c&=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.85\times10^{-12})}}\\[4pt] &\approx 3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

La vitesse des ondes électromagnétiques ainsi prédite correspond à la valeur admise de la vitesse de la lumière dans le vide.

Barème :

• 1 point pour une substitution correcte.
• 1 point pour la vitesse correcte et ses unités.

(c) Production et propagation des ondes électromagnétiques

Une charge électrique accélérée produit des champs électrique et magnétique variables. Ces champs se propagent en s’éloignant de la charge sous la forme d’une onde électromagnétique.

Le champ électrique et le champ magnétique sont perpendiculaires l’un à l’autre, et tous deux sont perpendiculaires à la direction de propagation. L’onde transporte de l’énergie à travers l’espace.

Barème :

• 1 point pour le lien entre les charges accélérées et les champs électromagnétiques variables.
• 1 point pour la disposition transversale des champs et la propagation de l’énergie.

(d) Preuves issues d’une expérience de type Michelson-Morley

Le résultat nul a étayé la conclusion selon laquelle aucun changement détectable du temps de parcours de la lumière n’était causé par le mouvement de la Terre à travers un éther stationnaire hypothétique. Cela a contribué à remettre en cause le modèle de l’éther et a étayé l’idée que la vitesse de la lumière ne dépend pas de la direction de mesure dans la configuration expérimentale étudiée.

Cependant, un résultat nul est limité par la sensibilité et la configuration de l’expérience. À lui seul, il n’établit pas toutes les conséquences de la relativité restreinte et ne teste pas directement tous les référentiels inertiels.

Barème :

• 1 point pour une explication correcte de ce que le résultat nul a permis d’étayer.
• 1 point pour une limite pertinente ou une raison expliquant pourquoi il ne constitue pas une preuve complète de la théorie.

Solution 2

(a) Les observations de Hertz

Le récepteur produisait une étincelle alors qu’aucun fil conducteur ne le reliait à l’émetteur. Cela montrait que de l’énergie pouvait se déplacer dans l’espace entre l’émetteur et le récepteur, ce qui concorde avec la propagation d’ondes électromagnétiques.

Cette observation étayait le modèle des ondes électromagnétiques, même si la configuration expérimentale devait également permettre de distinguer le rayonnement propagé d’un couplage électromagnétique direct indésirable.

Barème :

• 1 point pour l’identification d’un transfert d’énergie sans connexion conductrice.
• 1 point pour le lien entre l’observation et les ondes électromagnétiques.

(b) Détermination de la longueur d’onde à partir de l’espacement des nœuds

Dans une onde stationnaire, deux nœuds adjacents sont séparés par une demi-longueur d’onde.

\[ \begin{aligned} \frac{\lambda}{2}&=0.30\ \mathrm{m}\\ \lambda&=2(0.30)\\ &=0.60\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

Barème :

• 1 point pour la longueur d’onde correcte.

(c) Vitesse de l’onde

La vitesse de l’onde \(v\) est le produit de la fréquence \(f\) par la longueur d’onde \(\lambda\).

\[ \begin{aligned} v&=f\lambda\\ &=(5.0\times10^8)(0.60)\\ &=3.0\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Barème :

• 1 point pour la relation et la substitution correctes.
• 1 point pour le résultat correct avec les unités.

(d) Hypothèse ou limite

Une réponse valable consiste à indiquer que la fréquence de l’émetteur doit être connue avec précision. Une autre consiste à préciser que les positions des nœuds de l’onde stationnaire doivent être mesurées avec précision. Le couplage en champ proche entre l’émetteur et le récepteur peut également compliquer l’interprétation de l’observation.

Barème :

• 1 point pour une hypothèse ou une limite pertinente.

Solution 3

(a) Mesure moderne du temps de parcours à l’aide d’un laser

La lumière se rend jusqu’au réflecteur puis revient ; la distance totale parcourue est donc égale à deux fois la distance aller.

\[ \begin{aligned} s&=2(1.50\times10^3)\\ &=3.00\times10^3\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

Le temps de parcours aller-retour est

\[ \Delta t=10.0\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

Par conséquent,

\[ \begin{aligned} c&=\frac{s}{\Delta t}\\ &=\frac{3.00\times10^3}{10.0\times10^{-6}}\\ &=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Barème :

• 1 point pour l’utilisation correcte de la distance aller-retour.
• 1 point pour la vitesse correcte et ses unités.

(b) Méthode de Fizeau utilisant une roue dentée

La lumière traversait une ouverture entre les dents d’une roue en rotation, se dirigeait vers un miroir éloigné, puis revenait. À une vitesse de rotation appropriée de la roue, une dent bloquait le faisceau de retour.

La vitesse de rotation de la roue et la distance connue jusqu’au miroir permettaient d’estimer le temps de parcours de la lumière. En divisant la distance aller-retour par ce temps, on obtenait la vitesse de la lumière.

Barème :

• 1 point pour la description de la roue, du faisceau aller et du faisceau de retour.
• 1 point pour le lien entre la rotation de la roue et la distance aller-retour, d’une part, et l’estimation du temps de parcours puis de la vitesse, d’autre part.

(c) Comparaison

Un avantage de la méthode moderne utilisant un laser pulsé est que le chronométrage électronique permet de mesurer des temps de parcours très courts avec une grande précision, sans roue dentée en rotation.

Une limite est que le temps de parcours peut être extrêmement court, ce qui exige une électronique de chronométrage précise et un étalonnage du détecteur. Les incertitudes sur la distance, les effets atmosphériques et l’alignement du réflecteur peuvent également affecter la mesure.

Barème :

• 1 point pour un avantage pertinent.
• 1 point pour une limite pertinente.

Solution 4

(a) Rayonnement du corps noir et quantification de Planck

Le spectre observé d’un corps noir augmente jusqu’à un maximum, puis diminue aux longueurs d’onde plus courtes. La physique classique prédisait une augmentation illimitée de l’intensité émise aux très courtes longueurs d’onde, ce qui conduisait à la catastrophe ultraviolette.

Planck a résolu le problème en proposant que l’énergie puisse être échangée par paquets discrets, appelés quanta, plutôt qu’en quantités continues arbitraires. L’énergie d’un quantum est proportionnelle à la fréquence :

\[ E=hf \]

où \(E\) est l’énergie du quantum, \(h\) est la constante de Planck et \(f\) est la fréquence. Cette quantification permettait d’expliquer le spectre observé.

Barème :

• 1 point pour la description du spectre observé.
• 1 point pour l’identification de la catastrophe ultraviolette classique.
• 1 point pour l’explication du rôle de l’énergie quantifiée.

• Plus froid
• Plus chaud

(b) Loi de déplacement de Wien

Convertissons la longueur d’onde correspondant au maximum en mètres :

\[ \lambda_{\max}=580\times10^{-9}\ \mathrm{m} \]

Réarrangeons la loi de Wien pour déterminer la température.

\[ \begin{aligned} T&=\frac{b}{\lambda_{\max}}\\[4pt] &=\frac{2.90\times10^{-3}}{580\times10^{-9}}\\[4pt] &=5.00\times10^3\ \mathrm{K} \end{aligned} \]

La température du corps noir est d’environ \(5000\ \mathrm{K}\).

Barème :

• 1 point pour la conversion et la substitution correctes.
• 1 point pour la température correcte et son unité.

(c) Énergie du photon

Calculons d’abord l’énergie en joules.

\[ \begin{aligned} E&=\frac{hc}{\lambda}\\[4pt] &=\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {400\times10^{-9}}\\[4pt] &=4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned} \]

Convertissons cette énergie en électronvolts en la divisant par l’énergie équivalente à un électronvolt.

\[ \begin{aligned} E&=\frac{4.97\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\\[4pt] &=3.11\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

L’énergie du photon est de \(4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J}\), soit environ \(3.11\ \mathrm{eV}\).

Barème :

• 1 point pour l’équation et la substitution correctes.
• 1 point pour l’énergie exprimée en joules.
• 1 point pour l’énergie exprimée en électronvolts.

(d) Photovoltaïque et autre application quantique

Dans une cellule photovoltaïque, un photon possédant une énergie suffisante peut faire passer un électron à un état d’énergie supérieure dans un semi-conducteur, en laissant un trou derrière lui. Le champ électrique interne de la cellule sépare ces charges, ce qui permet à un courant électrique de circuler dans un circuit extérieur.

Un autre exemple est une LED. Lorsqu’un électron se recombine avec un trou, de l’énergie peut être libérée sous la forme d’un photon. L’énergie du photon est liée à la différence d’énergie entre les états.

Barème :

• 1 point pour une explication correcte de l’absorption des photons et de la séparation des charges dans une cellule photovoltaïque.
• 1 point pour l’identification d’une autre application quantique et l’explication de son principe de fonctionnement.

Solution 5

(a) Fréquence seuil et émission immédiate

La fréquence seuil \(f_0\) est la fréquence minimale de la lumière incidente permettant l’émission de photoélectrons. En dessous de cette fréquence, une augmentation de l’intensité ne provoque pas d’émission, car les photons individuels ne possèdent pas suffisamment d’énergie pour dépasser le travail d’extraction du métal.

Au-dessus du seuil, l’émission se produit sans retard mesurable. Cela remet en question la prédiction classique selon laquelle les électrons devraient accumuler progressivement de l’énergie provenant de l’onde incidente avant de pouvoir s’échapper.

Barème :

• 1 point pour l’explication de la fréquence seuil en termes d’énergie des photons.
• 1 point pour l’explication de l’émission immédiate et de son incompatibilité avec la prédiction classique.

(b) Graphique et fréquence seuil

Le graphique doit présenter les cinq points de données disposés à proximité d’une droite.

L’intersection avec l’axe horizontal est approximativement

\[ f_0=5.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz} \]

À cette fréquence, l’énergie cinétique maximale est nulle. L’énergie d’un photon incident est juste suffisante pour surmonter le travail d’extraction, de sorte que

\[ hf_0=\phi \]

La fréquence seuil indique donc la fréquence minimale nécessaire pour libérer des électrons de ce métal particulier.

Barème :

• 1 point pour le tracé correct des données, avec les axes légendés et une droite d’ajustement appropriée.
• 1 point pour l’estimation de l’intersection avec l’axe horizontal.
• 1 point pour l’explication de la signification physique de la fréquence seuil.

• Données mesurées
• Droite de meilleur ajustement
• Fréquence seuil : 5.0 × 10^14 Hz

(c) Constante de Planck à partir de la pente

En utilisant les extrémités des données, la pente est approximativement

\[ \begin{aligned} \text{gradient} &=\frac{\Delta K_{\max}}{\Delta f}\\[4pt] &=\frac{1.66-0.00}{(9.0-5.0)\times10^{14}}\\[4pt] &=4.15\times10^{-15}\ \mathrm{eV\,s} \end{aligned} \]

Lorsque l’énergie cinétique est mesurée en électronvolts, cette pente représente la constante de Planck exprimée en \(\mathrm{eV\,s}\). Convertissons-la en \(\mathrm{J\,s}\) :

\[ \begin{aligned} h&=(4.15\times10^{-15})(1.60\times10^{-19})\\ &=6.64\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s} \end{aligned} \]

Barème :

• 1 point pour une estimation correcte de la pente avec des unités appropriées.
• 1 point pour la conversion en joules et l’estimation correcte de la constante de Planck.

(d) Travail d’extraction et énergie cinétique maximale

À la fréquence seuil, l’énergie cinétique maximale est nulle. Par conséquent,

\[ \phi=hf_0 \]

En utilisant la valeur de \(h\) déduite du graphique,

\[ \begin{aligned} \phi&=(6.64\times10^{-34})(5.0\times10^{14})\\ &=3.32\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &=\frac{3.32\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\ \mathrm{eV}\\ &=2.08\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

Pour une fréquence incidente \(f=8.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\),

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

\[ \begin{aligned} K_{\max} &=(6.64\times10^{-34})(8.0\times10^{14}) -3.32\times10^{-19}\\[4pt] &=1.99\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &\approx1.24\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

Le photon fournit une énergie \(hf\). Une partie de cette énergie sert à surmonter le travail d’extraction, et le reste devient l’énergie cinétique de l’électron émis. Il s’agit d’une application de la conservation de l’énergie à l’effet photoélectrique.

Barème :

• 1 point pour le calcul du travail d’extraction.
• 1 point pour la substitution correcte dans l’équation de l’effet photoélectrique à la fréquence indiquée.
• 1 point pour l’énergie cinétique maximale avec des unités appropriées.

Points de suivi : accepter les calculs reposant sur une valeur de la pente légèrement différente, à condition qu’elle ait été correctement déterminée à partir du graphique.

Solution 6

(a) Émission thermoïonique

L’émission thermoïonique se produit lorsque le chauffage fournit aux électrons d’un matériau suffisamment d’énergie pour s’échapper de sa surface. Le matériau émetteur est généralement placé dans le vide afin que les électrons émis puissent se déplacer en subissant moins de collisions avec les molécules de gaz.

Dans l’émission photoélectrique, l’énergie est fournie aux électrons par des photons, et la fréquence des photons détermine si le travail d’extraction peut être surmonté. Dans l’émission thermoïonique, l’énergie est fournie par le chauffage.

Barème :

• 1 point pour l’explication de la manière dont le chauffage permet aux électrons de s’échapper.
• 1 point pour l’explication du rôle du vide.
• 1 point pour la distinction entre émission thermoïonique et émission photoélectrique.

(b) Loi de Malus

Un polariseur idéal transmet la moitié de l’intensité d’une lumière initialement non polarisée.

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

Il s’agit de l’intensité incidente sur l’analyseur. Appliquons la loi de Malus avec \(\theta=30^\circ\) :

\[ \begin{aligned} I&=I_1\cos^2 30^\circ\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\times\frac{3}{4}\\[4pt] &=\frac{3I_0}{8} \end{aligned} \]

L’intensité finale transmise est \(3I_0/8\).

Barème :

• 1 point pour la détermination correcte de l’intensité après le premier polariseur.
• 1 point pour l’application correcte de la loi de Malus.
• 1 point pour l’expression finale.

(c) Polarisation et ondes transversales

Une onde transversale oscille perpendiculairement à sa direction de propagation. Un polariseur sélectionne une orientation particulière du champ électrique, ce qui démontre que la lumière possède une direction d’oscillation transversale.

Une onde longitudinale oscille parallèlement à sa direction de propagation. Elle ne possède pas de direction d’oscillation latérale équivalente qu’un polariseur pourrait sélectionner.

Barème :

• 1 point pour le lien entre la polarisation et les oscillations transversales.
• 1 point pour l’explication de la raison pour laquelle une onde longitudinale ne peut pas être polarisée de cette manière.

(d) Condition d’application de la loi de Malus

La lumière incidente sur l’analyseur doit être polarisée rectilignement. La loi de Malus relie alors l’intensité transmise à l’angle entre la direction de polarisation de la lumière et l’axe de transmission de l’analyseur.

Barème :

• 1 point pour l’énoncé d’une condition valable.

Solution 7

(a) Diffraction à travers une fente étroite

La diffraction est l’étalement d’une onde lorsqu’elle traverse une ouverture. Pour une longueur d’onde fixe, l’étalement angulaire augmente lorsque la largeur de la fente diminue par rapport à la longueur d’onde.

Réduire la largeur de la fente de \(5\lambda\) à \(\lambda\) entraîne donc un étalement plus important.

Barème :

• 1 point pour la description de la diffraction.
• 1 point pour le lien entre l’augmentation de l’étalement et la diminution de la largeur de la fente par rapport à la longueur d’onde.

(b) Frange brillante du deuxième ordre

Convertissons la séparation des fentes et la longueur d’onde en mètres :

\[ d=0.25\times10^{-3}=2.5\times10^{-4}\ \mathrm{m} \]

\[ \lambda=500\times10^{-9}=5.0\times10^{-7}\ \mathrm{m} \]

En utilisant la condition des franges brillantes,

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{m\lambda}{d}\\[4pt] &=\frac{2(5.0\times10^{-7})}{2.5\times10^{-4}}\\[4pt] &=0.0040 \end{aligned} \]

Par conséquent,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.0040)\approx0.229^\circ \]

Barème :

• 1 point pour la relation correcte.
• 1 point pour la substitution correcte.
• 1 point pour l’angle avec des unités appropriées.

(c) Déplacement de la frange

Pour les petits angles exprimés en radians,

\[ \tan\theta\approx\sin\theta \]

Le déplacement \(y\) par rapport au maximum central est approximativement

\[ y=L\tan\theta\approx L\sin\theta \]

En substituant la distance à l’écran \(L=2.0\ \mathrm{m}\),

\[ \begin{aligned} y&\approx2.0(0.0040)\\ &=0.0080\ \mathrm{m}\\ &=8.0\ \mathrm{mm} \end{aligned} \]

La frange du deuxième ordre se trouve à environ \(8.0\ \mathrm{mm}\) du maximum central.

Barème :

• 1 point pour la méthode correcte utilisant l’approximation des petits angles.
• 1 point pour le déplacement avec les unités.

(d) Preuve du comportement ondulatoire

Les franges brillantes et sombres résultent respectivement des interférences constructives et destructives. Leur motif régulier constitue une preuve du comportement ondulatoire de la lumière.

Barème :

• 1 point pour le lien entre le motif des franges, les interférences et le comportement ondulatoire.

Solution 8

(a) Espacement du réseau et angle du deuxième ordre

Le réseau comporte 600 traits par millimètre. Convertissons cette valeur en nombre de traits par mètre :

\[ 600\ \mathrm{lines\,mm^{-1}} =6.00\times10^5\ \mathrm{lines\,m^{-1}} \]

L’espacement \(d\) est l’inverse de la densité de traits :

\[ \begin{aligned} d&=\frac{1}{6.00\times10^5}\\ &=1.67\times10^{-6}\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

Pour le maximum du deuxième ordre, \(m=2\) :

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{2(500\times10^{-9})}{1.67\times10^{-6}}\\[4pt] &\approx0.600 \end{aligned} \]

Ainsi,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.600)\approx36.9^\circ \]

Barème :

• 1 point pour l’espacement correct du réseau.
• 1 point pour la substitution correcte dans l’équation du réseau.
• 1 point pour l’angle avec ses unités.

(b) Ordre maximal possible

Un maximum ne peut se produire que si

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}\leq1 \]

Par conséquent,

\[ m\leq\frac{d}{\lambda} =\frac{1.67\times10^{-6}}{5.00\times10^{-7}} \approx3.33 \]

L’ordre doit être un entier ; l’ordre maximal possible est donc

\[ m_{\max}=3 \]

Barème :

• 1 point pour l’ordre maximal correct.

(c) Pouvoir de résolution

Un réseau de diffraction possède de nombreuses fentes. Leurs interférences produisent des maxima principaux plus étroits que ceux obtenus avec un dispositif à deux fentes.

Lorsque deux longueurs d’onde sont très proches, ces maxima plus étroits permettent de distinguer plus facilement leurs positions angulaires respectives. Cela améliore le pouvoir de résolution du réseau en longueur d’onde.

Barème :

• 1 point pour l’explication selon laquelle de nombreuses fentes produisent des maxima plus étroits.
• 1 point pour le lien entre ces maxima plus étroits et la distinction de longueurs d’onde très proches.

Solution 9

(a) Référentiels inertiels et simultanéité

Un référentiel inertiel est un référentiel qui n’est pas en accélération. Il est soit au repos, soit en mouvement à vitesse constante par rapport à un autre référentiel inertiel.

La relativité de la simultanéité signifie que deux événements séparés dans l’espace et simultanés dans un référentiel inertiel ne sont pas nécessairement simultanés dans un autre référentiel en mouvement par rapport au premier.

Barème :

• 1 point pour la définition d’un référentiel inertiel.
• 1 point pour l’explication de la relativité de la simultanéité.

(b) Différence de temps entre les événements

Les événements sont simultanés dans le référentiel du quai, donc \(\Delta t=0\). Leur séparation spatiale est

\[ \Delta x=x_B-x_A=600\ \mathrm{m} \]

Pour \(v=0.60c\), le facteur de Lorentz vaut

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\[4pt] &=1.25 \end{aligned} \]

Appliquons la transformation de Lorentz fournie :

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\[4pt] &=1.25\left(0-\frac{(0.60c)(600)}{c^2}\right)\\[4pt] &=-1.50\times10^{-6}\ \mathrm{s} \end{aligned} \]

Le signe négatif signifie que \(t'_B-t'_A\) est négatif. Dans le référentiel du train, l’événement B se produit \(1.50\ \mathrm{\mu s}\) avant l’événement A.

Barème :

• 1 point pour le facteur de Lorentz correct.
• 1 point pour la substitution et le calcul corrects.
• 1 point pour l’interprétation correcte du signe négatif.

(c) Dilatation du temps

L’horloge mesure le temps propre, car les deux événements se produisent au même endroit dans le référentiel de repos du vaisseau spatial.

Pour une horloge en mouvement, l’intervalle mesuré dans le référentiel terrestre est

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

où \(\Delta\tau=2.00\ \mathrm{\mu s}\) est le temps propre.

Pour \(v=0.80c\),

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.36}}\\ &=1.667 \end{aligned} \]

Par conséquent,

\[ \begin{aligned} \Delta t&=1.667(2.00\ \mathrm{\mu s})\\ &=3.33\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

L’observateur terrestre mesure un intervalle d’environ \(3.33\ \mathrm{\mu s}\).

Barème :

• 1 point pour le facteur de Lorentz correct.
• 1 point pour la relation de dilatation du temps et la substitution correctes.
• 1 point pour l’intervalle final avec les unités.

(d) Contraction des longueurs

La longueur propre \(L_0=120\ \mathrm{m}\) est mesurée dans le référentiel de repos du vaisseau spatial. L’observateur terrestre mesure une longueur plus courte dans la direction du mouvement.

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} \]

En utilisant \(\gamma=1.667\),

\[ \begin{aligned} L&=\frac{120}{1.667}\\ &\approx72.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

La longueur contractée est d’environ \(72.0\ \mathrm{m}\).

Barème :

• 1 point pour la relation correcte de contraction des longueurs.
• 1 point pour la réponse correcte avec les unités.

Solution 10

(a) Quantité de mouvement relativiste

Calculons d’abord le facteur de Lorentz pour \(v=0.90c\).

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.90^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.19}}\\ &\approx2.294 \end{aligned} \]

La vitesse de la particule est

\[ v=0.90(3.00\times10^8) =2.70\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

En utilisant \(p=\gamma mv\),

\[ \begin{aligned} p&=(2.294)(1.67\times10^{-27})(2.70\times10^8)\\[4pt] &\approx1.03\times10^{-18}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Barème :

• 1 point pour le facteur de Lorentz correct.
• 1 point pour la substitution correcte dans l’équation de la quantité de mouvement.
• 1 point pour la quantité de mouvement correcte et ses unités.

(b) Pourquoi une particule massive ne peut pas atteindre la vitesse de la lumière

Lorsqu’une particule massive approche de la vitesse \(c\), le dénominateur de

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

tend vers zéro. Par conséquent, le facteur de Lorentz augmente sans limite et l’énergie nécessaire pour accélérer davantage la particule devient de plus en plus grande.

Atteindre la vitesse de la lumière nécessiterait une quantité infinie d’énergie à la limite. Une particule massive ne peut donc pas atteindre \(c\) en recevant une quantité finie d’énergie.

Barème :

• 1 point pour l’explication de l’augmentation du facteur de Lorentz ou de l’énergie relativiste.
• 1 point pour le lien entre cette augmentation et l’impossibilité d’atteindre \(c\) avec une énergie finie.

Solution 11

(a) Muons cosmiques et dilatation du temps

La durée de vie moyenne propre du muon est

\[ \tau_0=2.20\ \mathrm{\mu s} \]

Sa vitesse est \(v=0.998c\).

Calculons d’abord le facteur de Lorentz :

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.003996}}\\ &\approx15.8 \end{aligned} \]

La durée de vie moyenne mesurée dans le référentiel terrestre est plus longue en raison de la dilatation du temps :

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\tau_0\\ &=(15.8)(2.20\ \mathrm{\mu s})\\ &\approx34.8\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

Calculons la distance moyenne parcourue :

\[ \begin{aligned} s&=v\Delta t\\ &=(0.998)(3.00\times10^8)(34.8\times10^{-6})\\ &\approx1.04\times10^4\ \mathrm{m}\\ &\approx10.4\ \mathrm{km} \end{aligned} \]

La distance moyenne parcourue est d’environ \(10.4\ \mathrm{km}\), ce qui est comparable à l’altitude de production indiquée de \(10.0\ \mathrm{km}\) et légèrement supérieur à celle-ci. La dilatation du temps explique donc pourquoi de nombreux muons peuvent atteindre la surface de la Terre avant de se désintégrer.

Ce calcul porte sur la durée de vie moyenne et ne garantit pas que chaque muon survive au trajet. Les durées de désintégration individuelles varient.

Barème :

• 1 point pour le facteur de Lorentz correct.
• 1 point pour la durée de vie moyenne dans le référentiel terrestre.
• 1 point pour la méthode correcte de calcul de la distance.
• 1 point pour la distance avec les unités.
• 1 point pour le lien entre le résultat et l’observation de muons à la surface de la Terre.

(b) Tests de la relativité à l’aide d’horloges atomiques

Les horloges sont comparées après les vols afin de mesurer les différences de temps écoulé. Cette expérience teste si des horloges suivant des trajectoires différentes dans l’espace-temps accumulent des durées conformes aux prédictions de la relativité.

La contribution de la relativité restreinte dépend des vitesses des horloges par rapport à la Terre ; les vols vers l’est et vers l’ouest peuvent donc produire des résultats différents. L’altitude influe également sur la marche des horloges et constitue un effet relativiste supplémentaire qui doit être inclus dans le calcul du décalage net prédit.

Un accord entre les décalages mesurés et les prédictions étaye les descriptions relativistes du temps écoulé. Cette comparaison est particulièrement utile, car les prédictions peuvent être calculées avant que les horloges ne soient réunies.

Barème :

• 1 point pour l’identification de la comparaison des indications des horloges comme grandeur mesurée.
• 1 point pour l’explication des effets de la vitesse et de l’altitude sur les décalages prédits.
• 1 point pour l’explication de la manière dont l’accord avec les prédictions étaye la relativité.

Solution 12

(a) Preuves du comportement ondulatoire

La diffraction et les interférences démontrent un comportement ondulatoire. Un modèle purement classique de particules ne permet pas de rendre compte du motif régulier d’interférences produit par la superposition d’ondes lumineuses.

Barème :

• 1 point pour le lien correct entre les observations, le comportement ondulatoire et les limites d’un modèle classique de particules.

(b) Preuves issues de l’effet photoélectrique

La fréquence seuil montre qu’un photon doit fournir au moins l’énergie du travail d’extraction pour libérer un électron. L’émission immédiate étaye l’idée d’un transfert d’énergie par quantités individuelles quantifiées, plutôt que d’une accumulation progressive d’énergie provenant d’une onde classique continue.

Barème :

• 1 point pour le lien entre les observations et l’énergie quantifiée des photons.

(c) Évaluation de l’affirmation

La conclusion de l’élève est trop catégorique. La diffraction et les interférences démontrent un comportement ondulatoire, tandis que l’effet photoélectrique fournit des preuves que la lumière transfère de l’énergie sous forme de quanta discrets.

Une description quantique moderne rend compte des deux ensembles d’observations. La lumière peut présenter un comportement ondulatoire pendant sa propagation et lors des interférences, tandis que ses interactions avec la matière impliquent des transferts d’énergie quantifiés. Les observations ne peuvent être entièrement expliquées ni par un modèle purement ondulatoire classique ni par un modèle purement corpusculaire classique.

Barème :

• 1 point pour l’explication de la manière dont un modèle moderne rend compte des deux types de preuves.
• 1 point pour la conclusion selon laquelle les modèles classiques purement ondulatoire et corpusculaire sont, chacun pris isolément, insuffisants.