वर्ष 12 भौतिकी: प्रकाश का स्वभाव – अभ्यास परीक्षा और हल

यह tutorgum का एक मौलिक अभ्यास प्रश्नपत्र है, जो वर्ष 12 भौतिकी के ‘प्रकाश का स्वभाव’ विषय पर आधारित है और 2025 के पाठ्यक्रम में दिए गए विषय-वस्तु क्षेत्र को समाहित करता है। इसमें तरंग व्यवहार, क्वांटम भौतिकी, विद्युतचुंबकीय तरंगों और विशेष सापेक्षता से संबंधित गणनाएँ, आँकड़ों का विश्लेषण, प्रायोगिक साक्ष्य और व्याख्याएँ शामिल हैं। यह पुनरावृत्ति के लिए तैयार किया गया एक मौलिक संसाधन है, न कि NESA का आधिकारिक, अनुमोदित या संभावित परीक्षा प्रश्नपत्र।

01परीक्षा संबंधी निर्देश

• कुल अंक: 90
• हल करने का सुझाया गया समय: 110 मिनट
• प्रश्नपत्र पढ़ने का समय: 5 मिनट
• अनुमत उपकरण: वैज्ञानिक कैलकुलेटर, रूलर और ग्राफ पेपर। कोई नोट्स नहीं।
• हल प्रस्तुत करना: गणनाएँ, मानों का प्रतिस्थापन, इकाइयाँ और उपयुक्त सार्थक अंक दिखाएँ। लिखित उत्तरों में अपने तर्क की व्याख्या करें।

इस प्रश्नपत्र के लिए सुझाया गया समय और परिस्थितियाँ अभ्यास के लिए हैं; इन्हें आधिकारिक परीक्षा के नियमों के बारे में दावा नहीं माना जाना चाहिए।

मूल्यांकित विषय-क्षेत्र

यह प्रश्नपत्र 2025 के भौतिकी पाठ्यक्रम संस्करण के लिए दिए गए वर्ष 12 के ‘प्रकाश का स्वभाव’ विषय-वस्तु का आकलन करता है। इसमें प्रकाश के तरंग और क्वांटम मॉडल, विद्युतचुंबकीय तरंगों का उत्पादन और मापन तथा विशेष सापेक्षता शामिल हैं। इसमें अन्य मॉड्यूल की विषय-वस्तु का आकलन नहीं किया गया है और न ही विभिन्न पाठ्यक्रम संस्करणों की सामग्री को मिलाया गया है।

नियतांक और इकाई रूपांतरण

जहाँ आवश्यक हो, निम्नलिखित आँकड़ों का उपयोग करें।

जब तक किसी प्रश्न में अन्यथा न कहा गया हो, मान लें कि वायु में प्रकाश की चाल लगभग निर्वात में उसकी चाल के बराबर है, आदर्श ध्रुवण फ़िल्टरों का उपयोग किया गया है और संख्यात्मक उत्तरों को उचित रूप से पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

02प्रश्न

प्रश्न 1 (8 अंक)

(a) विशेष सापेक्षता के आइंस्टीन के दो अभिगृहीत लिखिए। इस प्रश्न के लिए, जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र वह संदर्भ-तंत्र है जिसमें त्वरण नहीं हो रहा है। (2 अंक)

(b) मैक्सवेल के समीकरण निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल की भविष्यवाणी निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके करते हैं:

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

जहाँ \(c\) तरंग की चाल, \(\mu_0\) निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता और \(\epsilon_0\) निर्वात की विद्युतशीलता है।

तरंग की अनुमानित चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

(c) वर्णन कीजिए कि कोई त्वरित विद्युत आवेश किस प्रकार विद्युतचुंबकीय तरंग उत्पन्न कर सकता है। विद्युत क्षेत्र, चुंबकीय क्षेत्र और ऊर्जा के संचरण की दिशा के अभिविन्यास को शामिल कीजिए। (2 अंक)

(d) माइकेलसन-मॉर्ले प्रकार के एक प्रयोग में पृथ्वी की गति के दौरान, परस्पर लंबवत दिशाओं में प्रकाश के यात्रा-समय में कोई मापनीय अंतर नहीं मिलता। समझाइए कि इस परिणाम ने किस निष्कर्ष का समर्थन किया और एक कारण दीजिए कि यह संपूर्ण सिद्धांत का प्रमाण होने के बजाय विशेष सापेक्षता से संबंधित साक्ष्य क्यों था। (2 अंक)

प्रश्न 2 (6 अंक)

हेनरिक हर्ट्ज़ ने एक स्पार्क-गैप प्रेषित्र और एक अलग अभिग्राही लूप का उपयोग किया, जिसमें एक छोटा अंतराल था। जब प्रेषित्र में चिंगारी उत्पन्न हुई, तो अभिग्राही पर भी चिंगारी दिखाई दी, जबकि दोनों के बीच कोई विद्युत-चालक तार नहीं था।

(a) समझाइए कि इस अवलोकन ने विद्युतचुंबकीय तरंगों के अस्तित्व का समर्थन क्यों किया। (2 अंक)

(b) परावर्तित विद्युतचुंबकीय तरंग से एक स्थिर-तरंग प्रतिरूप बनता है। पास-पास स्थित दो निस्पंदों के बीच की दूरी \(0.30\ \mathrm{m}\) है। तरंग की तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए। (1 अंक)

(c) प्रेषित्र की दोलन आवृत्ति \(5.0 \times 10^8\ \mathrm{Hz}\) है। भाग (b) के अपने उत्तर का उपयोग करके तरंग की चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

(d) विद्युतचुंबकीय तरंगों की चाल का अनुमान लगाने के लिए इस तकनीक का उपयोग करते समय ध्यान में रखी जाने वाली एक मान्यता या सीमा बताइए। (1 अंक)

प्रश्न 3 (6 अंक)

(a) एक स्पंदित लेज़र को \(1.50\ \mathrm{km}\) दूर स्थित परावर्तक की ओर निर्देशित किया जाता है। स्पंद भेजने और उसके लौटने का पता लगाने के बीच मापा गया समय \(10.0\ \mathrm{\mu s}\) है।

इन मापों का उपयोग करके प्रकाश की चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

(b) फिज़ो की दाँतेदार-पहिए वाली विधि में प्रकाश की चाल का अनुमान लगाने के लिए लौटने वाली प्रकाश किरण और पहिए के घूर्णन का उपयोग किस प्रकार किया गया, इसकी रूपरेखा प्रस्तुत कीजिए। (2 अंक)

(c) आधुनिक स्पंदित-लेज़र विधि की तुलना फिज़ो की ऐतिहासिक विधि से कीजिए। आधुनिक विधि का एक लाभ और ऐसी एक सीमा बताइए जिसे अब भी नियंत्रित करना आवश्यक है। (2 अंक)

प्रश्न 4 (10 अंक)

(a) एक आदर्श कृष्णिका विद्युतचुंबकीय विकिरण का सतत स्पेक्ट्रम उत्सर्जित करती है। वर्णन कीजिए कि बहुत कम तरंगदैर्ध्य पर इसका प्रेक्षित स्पेक्ट्रम शास्त्रीय भौतिकी की भविष्यवाणी से किस प्रकार भिन्न होता है। यह भी समझाइए कि ऊर्जा के क्वांटीकरण की प्लांक की अवधारणा ने इस समस्या का समाधान कैसे किया। (3 अंक)

(b) किसी कृष्णिका के स्पेक्ट्रम का अधिकतम तीव्रता वाला शिखर \(580\ \mathrm{nm}\) तरंगदैर्ध्य पर है। वीन के विस्थापन नियम का उपयोग कीजिए:

\[ \lambda_{\max}T=b \]

जहाँ \(\lambda_{\max}\) शिखर तरंगदैर्ध्य, \(T\) केल्विन में परम तापमान और \(b\) वीन का विस्थापन नियतांक है।

कृष्णिका के तापमान की गणना कीजिए। (2 अंक)

(c) एक फोटॉन की तरंगदैर्ध्य \(400\ \mathrm{nm}\) है। निम्नलिखित संबंध का उपयोग कीजिए:

\[ E=\frac{hc}{\lambda} \]

जहाँ \(E\) फोटॉन की ऊर्जा, \(h=6.63 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) प्लांक नियतांक, \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) प्रकाश की चाल और \(\lambda\) तरंगदैर्ध्य है।

फोटॉन की ऊर्जा की गणना जूल और इलेक्ट्रॉन-वोल्ट, दोनों में कीजिए। (3 अंक)

(d) समझाइए कि एक फोटोवोल्टिक सेल प्रकाश को विद्युत ऊर्जा में कैसे परिवर्तित करता है। फोटॉनों की क्वांटीकृत ऊर्जा पर निर्भर किसी अन्य अनुप्रयोग की पहचान कीजिए और उसके कार्य करने का तरीका संक्षेप में बताइए। (2 अंक)

प्रश्न 5 (10 अंक)

प्रकाशविद्युत प्रभाव तब होता है जब किसी धातु पर आपतित प्रकाश के कारण इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। कार्य फलन, \(\phi\), वह न्यूनतम ऊर्जा है जो धातु से किसी इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए आवश्यक होती है। उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा \(K_{\max}\) है।

एक विद्यार्थी किसी धातु पर विभिन्न आपतित-प्रकाश आवृत्तियों के लिए उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा मापता है।

(a) समझाइए कि देहली आवृत्ति का अस्तित्व और प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों का तत्काल उत्सर्जन, प्रकाश के शास्त्रीय तरंग मॉडल को किस प्रकार चुनौती देते हैं। (2 अंक)

(b) ग्राफ पेपर का उपयोग करके \(K_{\max}\) को आवृत्ति के विरुद्ध आलेखित कीजिए। क्षैतिज अक्ष पर \(f/(10^{14}\ \mathrm{Hz})\) लिखिए, आँकड़ों को अंकित कीजिए और उपयुक्त सर्वोत्तम-फिट रेखा खींचिए।

अपने ग्राफ से देहली आवृत्ति का अनुमान लगाइए और समझाइए कि भौतिक रूप से इसका क्या अर्थ है। (3 अंक)

(c) ग्राफ की ढाल का उपयोग करके प्लांक नियतांक का अनुमान \(\mathrm{J\,s}\) में लगाइए। ऊर्जा की इकाइयों का सही रूपांतरण कीजिए। (2 अंक)

(d) निम्नलिखित प्रकाशविद्युत समीकरण का उपयोग कीजिए:

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

गणना कीजिए:

• धातु का कार्य फलन, इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में;
• जब आपतित आवृत्ति \(8.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}\) हो, तब उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा।

प्लांक नियतांक के लिए अपने ग्राफ से प्राप्त मान का उपयोग कीजिए। (3 अंक)

प्रश्न 6 (9 अंक)

(a) समझाइए कि तापायनिक उत्सर्जन कैसे होता है, उत्सर्जक पदार्थ को सामान्यतः निर्वात में क्यों रखा जाता है और तापायनिक उत्सर्जन तथा प्रकाशविद्युत उत्सर्जन के बीच एक अंतर बताइए। (3 अंक)

(b) \(I_0\) तीव्रता वाला अध्रुवित प्रकाश एक आदर्श ध्रुवक और फिर एक आदर्श विश्लेषक से होकर गुजरता है। दोनों फ़िल्टरों के संचरण-अक्षों के बीच का कोण \(30^\circ\) है।

विश्लेषक पर आपतित समतल-ध्रुवित प्रकाश के लिए, मैलस का नियम है:

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

जहाँ \(I\) पारगमित प्रकाश की तीव्रता, \(I_{\max}\) वह तीव्रता है जो विश्लेषक पर तब आपतित होती है जब उसका अक्ष प्रकाश के ध्रुवण की दिशा के साथ संरेखित हो, और \(\theta\) ध्रुवण की दिशा तथा विश्लेषक के संचरण-अक्ष के बीच का कोण है।

अंतिम पारगमित तीव्रता की गणना \(I_0\) के पदों में कीजिए। (3 अंक)

(c) समझाइए कि ध्रुवण प्रकाश के अनुप्रस्थ-तरंग मॉडल का समर्थन क्यों करता है। कोई आदर्श ध्रुवक अनुदैर्ध्य तरंग के लिए किसी विशेष पार्श्व दोलन-दिशा का चयन क्यों नहीं कर सकता? (2 अंक)

(d) मैलस के नियम को सही ढंग से लागू करने के लिए आवश्यक एक शर्त बताइए। (1 अंक)

प्रश्न 7 (8 अंक)

(a) एकवर्णी प्रकाश एकल संकीर्ण स्लिट से होकर गुजरता है। स्लिट की चौड़ाई \(5\lambda\) से घटाकर \(\lambda\) कर दी जाती है, जहाँ \(\lambda\) प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।

वर्णन कीजिए कि विवर्तन प्रतिरूप किस प्रकार बदलता है और इसका कारण समझाइए। (2 अंक)

(b) द्वि-स्लिट प्रयोग में दोनों स्लिटों के बीच की दूरी \(d=0.25\ \mathrm{mm}\) है। \( \lambda=500\ \mathrm{nm}\) तरंगदैर्ध्य वाला प्रकाश स्लिटों को प्रकाशित करता है।

दीप्त फ्रिंज की शर्त है:

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

जहाँ \(\theta\) केंद्रीय अक्ष से मापा गया कोण और \(m\) दीप्त फ्रिंज की पूर्णांक कोटि है।

दूसरी कोटि के दीप्त फ्रिंज, \(m=2\), के कोण की गणना कीजिए। (3 अंक)

(c) स्लिटों से \(2.0\ \mathrm{m}\) की दूरी पर एक पर्दा रखा गया है। केंद्रीय उच्चिष्ठ से दूसरी कोटि के दीप्त फ्रिंज के विस्थापन की गणना करने के लिए लघु-कोण सन्निकटन का उपयोग कीजिए। (2 अंक)

(d) समझाइए कि बारी-बारी से बनने वाली दीप्त और अदीप्त फ्रिंजें प्रकाश के व्यवहार के बारे में क्या प्रदर्शित करती हैं। (1 अंक)

प्रश्न 8 (6 अंक)

एक विवर्तन जालक में प्रति मिलीमीटर 600 रेखाएँ हैं। इस पर \(500\ \mathrm{nm}\) तरंगदैर्ध्य वाला एकवर्णी प्रकाश अभिलंबवत् आपतित होता है।

(a) जालक की पास-पास की रेखाओं के बीच की दूरी \(d\) और दूसरी कोटि के उच्चिष्ठ का कोण ज्ञात कीजिए। निम्नलिखित संबंध का उपयोग कीजिए:

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

जहाँ \(m\) उच्चिष्ठ की कोटि और \(\theta\) अभिलंब से उसका कोण है। (3 अंक)

(b) इस तरंगदैर्ध्य के लिए संभव अधिकतम विवर्तन कोटि निर्धारित कीजिए। (1 अंक)

(c) समझाइए कि अनेक स्लिटों वाला जालक, दो-स्लिट व्यवस्था की तुलना में, एक-दूसरे के बहुत निकट स्थित दो तरंगदैर्ध्यों में अधिक प्रभावी ढंग से अंतर क्यों कर सकता है। (2 अंक)

प्रश्न 9 (10 अंक)

(a) जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र की परिभाषा दीजिए और समझाइए कि समकालिकता की सापेक्षता से क्या तात्पर्य है। (2 अंक)

(b) दो घटनाएँ, A और B, प्लेटफ़ॉर्म संदर्भ-तंत्र में क्रमशः \(x_A=0\) और \(x_B=+600\ \mathrm{m}\) स्थितियों पर घटित होती हैं। इस संदर्भ-तंत्र में वे समकालिक हैं, इसलिए \(\Delta t=t_B-t_A=0\) है।

एक रेलगाड़ी का संदर्भ-तंत्र प्लेटफ़ॉर्म के सापेक्ष \(+x\) दिशा में \(0.60c\) की चाल से गतिमान है, जहाँ \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) है।

लॉरेंत्ज़ रूपांतरण का उपयोग कीजिए:

\[ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right) \]

जहाँ \(\Delta t'=t'_B-t'_A\), \(\Delta x=x_B-x_A\), \(v\) सापेक्ष चाल है और

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

लॉरेंत्ज़ गुणक है।

रेलगाड़ी के संदर्भ-तंत्र में \(\Delta t'\) की गणना कीजिए और बताइए कि उस संदर्भ-तंत्र में कौन-सी घटना पहले घटित होती है। (3 अंक)

(c) एक अंतरिक्षयान में स्थिर अवस्था में स्थित घड़ी, दो ऐसी घटनाओं के बीच \(2.00\ \mathrm{\mu s}\) का समय अंतराल दर्ज करती है जो अंतरिक्षयान के एक ही स्थान पर घटित होती हैं। पृथ्वी पर स्थित एक प्रेक्षक अंतरिक्षयान की चाल \(0.80c\) मापता है।

पृथ्वी पर स्थित प्रेक्षक द्वारा मापे गए समय अंतराल की गणना कीजिए। (3 अंक)

(d) किसी अंतरिक्षयान की स्वयं के विराम संदर्भ-तंत्र में मापी गई उचित लंबाई \(120\ \mathrm{m}\) है। जब अंतरिक्षयान \(0.80c\) की चाल से चलता है, तब पृथ्वी पर स्थित प्रेक्षक द्वारा मापी गई लंबाई की गणना कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 10 (5 अंक)

(a) किसी कण का विराम द्रव्यमान \(1.67 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}\) है और वह \(0.90c\) की चाल से चलता है, जहाँ \(c=3.00 \times 10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) है।

सापेक्षिक संवेग समीकरण का उपयोग कीजिए:

\[ p=\gamma mv \]

जहाँ \(p\) संवेग, \(m\) विराम द्रव्यमान, \(v\) चाल और \(\gamma\) लॉरेंत्ज़ गुणक है।

कण के सापेक्षिक संवेग की गणना कीजिए। (3 अंक)

(b) समझाइए कि किसी परिमित मात्रा में ऊर्जा प्रदान करके द्रव्यमान वाले कण को प्रकाश की चाल तक क्यों नहीं त्वरित किया जा सकता। (2 अंक)

प्रश्न 11 (8 अंक)

(a) ब्रह्मांडीय म्यूऑन पृथ्वी के ऊपरी वायुमंडल में उत्पन्न होते हैं। म्यूऑन का उसके स्वयं के विराम संदर्भ-तंत्र में औसत जीवनकाल \(2.20\ \mathrm{\mu s}\) है और वह पृथ्वी की सतह की ओर \(0.998c\) की चाल से चलता है।

मान लें कि म्यूऑन नियत चाल से ऊर्ध्वाधर दिशा में चलता है तथा ऊर्जा हानि और अन्य अंतःक्रियाओं की उपेक्षा की जा सकती है। इसके उत्पन्न होने की ऊँचाई \(10.0\ \mathrm{km}\) है।

गणना कीजिए:

• लॉरेंत्ज़ गुणक;
• पृथ्वी के संदर्भ-तंत्र में मापा गया औसत जीवनकाल;
• क्षय होने से पहले तय की गई औसत दूरी।

अपने परिणामों का उपयोग करके समझाइए कि अनेक म्यूऑन पृथ्वी की सतह तक क्यों पहुँच सकते हैं। (5 अंक)

(b) हेफ़ेले-कीटिंग प्रकार के एक प्रयोग में परमाणु घड़ियों को विमान से पूर्व दिशा और पश्चिम दिशा में पृथ्वी के चारों ओर उड़ाया जाता है। उड़ान पूरी होने के बाद, उनकी रीडिंग की तुलना ज़मीन पर रखी गई एक संदर्भ घड़ी से की जाती है।

समझाइए कि इस प्रयोग में किसका परीक्षण किया जा रहा है, घड़ियों के पूर्व और पश्चिम दिशा में उड़ने तथा उड़ान की परिस्थितियों के आधार पर अनुमानित समय-अंतर क्यों बदल सकते हैं और मापे गए तथा अनुमानित समय-अंतर में सहमति किस निष्कर्ष का समर्थन करेगी। चाल पर निर्भर प्रभावों और ऊँचाई से संबंधित प्रभावों, दोनों पर विचार कीजिए। (3 अंक)

प्रश्न 12 (4 अंक)

एक विद्यार्थी निम्नलिखित दावा करता है:

“विवर्तन और व्यतिकरण यह दिखाते हैं कि प्रकाश एक तरंग है, इसलिए प्रकाशविद्युत प्रभाव की व्याख्या प्रकाश के उसी भौतिक मॉडल से नहीं की जा सकती।”

(a) बताइए कि विवर्तन या व्यतिकरण प्रकाश के व्यवहार के बारे में क्या प्रदर्शित करता है और केवल शास्त्रीय कण मॉडल इसकी व्याख्या करने के लिए अपर्याप्त क्यों है। (1 अंक)

(b) बताइए कि प्रकाशविद्युत प्रभाव में देखी गई देहली आवृत्ति और तत्काल उत्सर्जन, प्रकाश द्वारा ऊर्जा के स्थानांतरण के तरीके के बारे में क्या प्रदर्शित करते हैं। (1 अंक)

(c) दोनों प्रकार के साक्ष्यों का उपयोग करके विद्यार्थी के दावे का मूल्यांकन कीजिए। समझाइए कि प्रकाश का आधुनिक मॉडल इन अवलोकनों के अनुरूप कैसे है। (2 अंक)

03विस्तृत हल और अंक-वितरण मार्गदर्शिका

समतुल्य विधियों और सही रूप से पूर्णांकित संख्यात्मक उत्तरों को समान अंक मिलने चाहिए। गणना वाले प्रश्नों में आगे की गणना के लिए अंक दिए जा सकते हैं, जब विद्यार्थी पहले प्राप्त किसी संख्यात्मक परिणाम का लगातार और सुसंगत उपयोग करता है, भले ही उस परिणाम में कोई छोटी त्रुटि हो।

हल 1

(a) आइंस्टीन के अभिगृहीत

1. भौतिकी के नियम सभी जड़त्वीय संदर्भ-तंत्रों में समान होते हैं। कोई भी जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र ऐसा विशिष्ट संदर्भ-तंत्र नहीं है जिसमें भौतिकी के नियम किसी अलग रूप में लागू होते हों।
2. निर्वात में प्रकाश की चाल सभी जड़त्वीय प्रेक्षकों के लिए समान होती है और स्रोत या प्रेक्षक की गति पर निर्भर नहीं करती।

अंक-वितरण:

• प्रत्येक अभिगृहीत को सही ढंग से लिखने के लिए 1 अंक।

(b) मैक्सवेल की भविष्यवाणी

तरंग की चाल के व्यंजक में दिए गए विद्युतचुंबकीय नियतांकों का मान रखिए।

\[ \begin{aligned} c&=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{(4\pi\times10^{-7})(8.85\times10^{-12})}}\\[4pt] &\approx 3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

विद्युतचुंबकीय तरंग की अनुमानित चाल, निर्वात में प्रकाश की स्वीकृत चाल के अनुरूप है।

अंक-वितरण:

• सही प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• सही चाल और इकाइयों के लिए 1 अंक।

(c) विद्युतचुंबकीय तरंगों का उत्पादन और संचरण

कोई त्वरित विद्युत आवेश बदलते हुए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। ये क्षेत्र विद्युतचुंबकीय तरंग के रूप में आवेश से दूर तक फैलते हैं।

विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत होते हैं तथा दोनों ही संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं। तरंग अंतरिक्ष में ऊर्जा का संचरण करती है।

अंक-वितरण:

• त्वरित आवेशों और बदलते विद्युतचुंबकीय क्षेत्रों के बीच संबंध बताने के लिए 1 अंक।
• क्षेत्रों की अनुप्रस्थ व्यवस्था और ऊर्जा के संचरण को बताने के लिए 1 अंक।

(d) माइकेलसन-मॉर्ले प्रकार का साक्ष्य

शून्य परिणाम ने इस निष्कर्ष का समर्थन किया कि किसी काल्पनिक स्थिर ईथर के माध्यम से पृथ्वी की गति के कारण प्रकाश के यात्रा-समय में कोई पता लगाने योग्य परिवर्तन नहीं होता। इससे ईथर मॉडल को कमजोर करने में मदद मिली और परीक्षण की गई व्यवस्था में प्रकाश की चाल के मापन-दिशा पर निर्भर न होने के विचार को समर्थन मिला।

हालाँकि, शून्य परिणाम प्रयोग की संवेदनशीलता और उसकी व्यवस्था से सीमित होता है। अपने आप में यह विशेष सापेक्षता के प्रत्येक परिणाम को स्थापित नहीं करता और न ही हर जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र का प्रत्यक्ष परीक्षण करता है।

अंक-वितरण:

• शून्य परिणाम ने किस निष्कर्ष का समर्थन किया, इसकी सही व्याख्या के लिए 1 अंक।
• किसी उपयुक्त सीमा या इस कारण के लिए 1 अंक कि यह सिद्धांत का पूर्ण प्रमाण क्यों नहीं है।

हल 2

(a) हर्ट्ज़ का साक्ष्य

अभिग्राही में चिंगारी उत्पन्न हुई, जबकि वह किसी विद्युत-चालक तार से प्रेषित्र से जुड़ा नहीं था। इससे पता चला कि ऊर्जा प्रेषित्र से अभिग्राही तक अंतरिक्ष में संचरित हो सकती है, जो विद्युतचुंबकीय तरंगों के प्रसार के अनुरूप है।

इस अवलोकन ने विद्युतचुंबकीय तरंग मॉडल का समर्थन किया, हालाँकि प्रयोग की व्यवस्था में प्रसारित विकिरण और अवांछित प्रत्यक्ष विद्युतचुंबकीय युग्मन के बीच अंतर करना भी आवश्यक था।

अंक-वितरण:

• किसी विद्युत-चालक संबंध के बिना ऊर्जा के स्थानांतरण की पहचान करने के लिए 1 अंक।
• अवलोकन को विद्युतचुंबकीय तरंगों से जोड़ने के लिए 1 अंक।

(b) निस्पंदों के बीच की दूरी से तरंगदैर्ध्य

स्थिर तरंग में पास-पास के निस्पंदों के बीच की दूरी आधी तरंगदैर्ध्य के बराबर होती है।

\[ \begin{aligned} \frac{\lambda}{2}&=0.30\ \mathrm{m}\\ \lambda&=2(0.30)\\ &=0.60\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

अंक-वितरण:

• सही तरंगदैर्ध्य के लिए 1 अंक।

(c) तरंग की चाल

तरंग की चाल \(v\), आवृत्ति \(f\) और तरंगदैर्ध्य \(\lambda\) के गुणनफल के बराबर होती है।

\[ \begin{aligned} v&=f\lambda\\ &=(5.0\times10^8)(0.60)\\ &=3.0\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

अंक-वितरण:

• सही संबंध और प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• सही परिणाम और इकाइयों के लिए 1 अंक।

(d) मान्यता या सीमा

एक सही उत्तर यह है कि प्रेषित्र की आवृत्ति का सही-सही ज्ञात होना आवश्यक है। दूसरा उत्तर यह है कि स्थिर-तरंग प्रतिरूप में निस्पंदों की स्थितियों को सटीक रूप से मापना आवश्यक है। प्रेषित्र और अभिग्राही के बीच निकट-क्षेत्र युग्मन भी अवलोकन की व्याख्या को जटिल बना सकता है।

अंक-वितरण:

• किसी एक प्रासंगिक मान्यता या सीमा के लिए 1 अंक।

हल 3

(a) आधुनिक लेज़र समय-उड़ान मापन

प्रकाश परावर्तक तक जाकर वापस लौटता है, इसलिए कुल दूरी एकतरफ़ा दूरी की दोगुनी होती है।

\[ \begin{aligned} s&=2(1.50\times10^3)\\ &=3.00\times10^3\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

आने-जाने का कुल समय है:

\[ \Delta t=10.0\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

इसलिए,

\[ \begin{aligned} c&=\frac{s}{\Delta t}\\ &=\frac{3.00\times10^3}{10.0\times10^{-6}}\\ &=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

अंक-वितरण:

• आने-जाने की दूरी का सही उपयोग करने के लिए 1 अंक।
• सही चाल और इकाइयों के लिए 1 अंक।

(b) फिज़ो की दाँतेदार-पहिए वाली विधि

प्रकाश एक घूमते हुए दाँतेदार पहिए के एक अंतराल से होकर गुजरा, दूर स्थित दर्पण तक पहुँचा और वापस लौटा। पहिए के एक उपयुक्त घूर्णन वेग पर, पहिए का एक दाँत लौटती हुई किरण को रोक देता था।

पहिए की घूर्णन दर और दर्पण तक की ज्ञात दूरी का उपयोग करके प्रकाश के यात्रा-समय का अनुमान लगाया जा सकता था। आने-जाने की कुल दूरी को इस समय से विभाजित करके प्रकाश की चाल प्राप्त की जाती थी।

अंक-वितरण:

• पहिए, बाहर जाने वाली किरण और लौटने वाली किरण का वर्णन करने के लिए 1 अंक।
• पहिए के घूर्णन और आने-जाने की दूरी को यात्रा-समय के अनुमान तथा उससे चाल ज्ञात करने से जोड़ने के लिए 1 अंक।

(c) तुलना

आधुनिक स्पंदित-लेज़र विधि का एक लाभ यह है कि इलेक्ट्रॉनिक समय-मापन से बहुत कम यात्रा-समयों को उच्च परिशुद्धता के साथ मापा जा सकता है और घूमते हुए दाँतेदार पहिए की आवश्यकता नहीं होती।

एक सीमा यह है कि यात्रा-समय अत्यंत कम हो सकता है, इसलिए सटीक समय-मापन इलेक्ट्रॉनिक्स और संसूचक का अंशांकन आवश्यक होता है। दूरी में अनिश्चितता, वायुमंडलीय प्रभाव और परावर्तक का संरेखण भी मापन को प्रभावित कर सकते हैं।

अंक-वितरण:

• एक उपयुक्त लाभ के लिए 1 अंक।
• एक उपयुक्त सीमा के लिए 1 अंक।

हल 4

(a) कृष्णिका विकिरण और प्लांक का क्वांटीकरण

प्रेक्षित कृष्णिका स्पेक्ट्रम की तीव्रता एक शिखर तक बढ़ती है और फिर कम तरंगदैर्ध्य पर घटती है। शास्त्रीय भौतिकी ने बहुत कम तरंगदैर्ध्य पर उत्सर्जित तीव्रता में असीम वृद्धि की भविष्यवाणी की थी, जिससे पराबैंगनी विपत्ति उत्पन्न होती।

प्लांक ने यह प्रस्ताव देकर इस समस्या का समाधान किया कि ऊर्जा का आदान-प्रदान मनमानी सतत मात्राओं के बजाय विविक्त पैकेटों या क्वांटा में हो सकता है। एक क्वांटम की ऊर्जा आवृत्ति के समानुपाती होती है:

\[ E=hf \]

जहाँ \(E\) क्वांटम की ऊर्जा, \(h\) प्लांक नियतांक और \(f\) आवृत्ति है। इस क्वांटीकरण के कारण प्रेक्षित स्पेक्ट्रम की व्याख्या संभव हुई।

अंक-वितरण:

• प्रेक्षित स्पेक्ट्रम का वर्णन करने के लिए 1 अंक।
• शास्त्रीय पराबैंगनी विपत्ति की पहचान करने के लिए 1 अंक।
• क्वांटीकृत ऊर्जा की भूमिका समझाने के लिए 1 अंक।

• कम ताप वाला
• अधिक ताप वाला

(b) वीन का विस्थापन नियम

शिखर तरंगदैर्ध्य को मीटर में बदलें:

\[ \lambda_{\max}=580\times10^{-9}\ \mathrm{m} \]

तापमान ज्ञात करने के लिए वीन के नियम को पुनर्व्यवस्थित करें।

\[ \begin{aligned} T&=\frac{b}{\lambda_{\max}}\\[4pt] &=\frac{2.90\times10^{-3}}{580\times10^{-9}}\\[4pt] &=5.00\times10^3\ \mathrm{K} \end{aligned} \]

कृष्णिका का तापमान लगभग \(5000\ \mathrm{K}\) है।

अंक-वितरण:

• सही रूपांतरण और प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• सही तापमान और इकाइयों के लिए 1 अंक।

(c) फोटॉन की ऊर्जा

पहले ऊर्जा की गणना जूल में करें।

\[ \begin{aligned} E&=\frac{hc}{\lambda}\\[4pt] &=\frac{(6.63\times10^{-34})(3.00\times10^8)} {400\times10^{-9}}\\[4pt] &=4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J} \end{aligned} \]

इसे एक इलेक्ट्रॉन-वोल्ट के ऊर्जा-समतुल्य से विभाजित करके इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में बदलें।

\[ \begin{aligned} E&=\frac{4.97\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\\[4pt] &=3.11\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

फोटॉन की ऊर्जा \(4.97\times10^{-19}\ \mathrm{J}\), अर्थात लगभग \(3.11\ \mathrm{eV}\) है।

अंक-वितरण:

• सही समीकरण और प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• जूल में ऊर्जा के लिए 1 अंक।
• इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में ऊर्जा के लिए 1 अंक।

(d) फोटोवोल्टिक सेल और एक अन्य क्वांटम अनुप्रयोग

फोटोवोल्टिक सेल में पर्याप्त ऊर्जा वाला फोटॉन अर्धचालक में किसी इलेक्ट्रॉन को उच्च-ऊर्जा अवस्था में पहुँचा सकता है और पीछे एक होल छोड़ सकता है। सेल का आंतरिक विद्युत क्षेत्र इन आवेशों को अलग करता है, जिससे बाहरी परिपथ में विद्युत धारा प्रवाहित हो सकती है।

एक अन्य उदाहरण LED है। जब कोई इलेक्ट्रॉन किसी होल के साथ पुनर्संयोजित होता है, तो ऊर्जा फोटॉन के रूप में मुक्त हो सकती है। फोटॉन की ऊर्जा संबंधित ऊर्जा-अवस्थाओं के बीच के अंतर पर निर्भर करती है।

अंक-वितरण:

• फोटोवोल्टिक सेल में फोटॉन के अवशोषण और आवेशों के पृथक्करण की सही व्याख्या के लिए 1 अंक।
• किसी अन्य क्वांटम अनुप्रयोग की पहचान करने और उसके कार्य-सिद्धांत की व्याख्या करने के लिए 1 अंक।

हल 5

(a) देहली आवृत्ति और तत्काल उत्सर्जन

देहली आवृत्ति \(f_0\), आपतित प्रकाश की वह न्यूनतम आवृत्ति है जिस पर प्रकाश-इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित हो सकते हैं। इस आवृत्ति से कम पर तीव्रता बढ़ाने से भी उत्सर्जन नहीं होता, क्योंकि प्रत्येक फोटॉन में धातु के कार्य फलन को पार करने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं होती।

देहली आवृत्ति से ऊपर, उत्सर्जन बिना किसी मापनीय विलंब के होता है। यह शास्त्रीय तरंग की उस भविष्यवाणी को चुनौती देता है जिसके अनुसार इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकलने से पहले आपतित तरंग से धीरे-धीरे ऊर्जा संचित करनी चाहिए।

अंक-वितरण:

• फोटॉन की ऊर्जा के संदर्भ में देहली आवृत्ति समझाने के लिए 1 अंक।
• तत्काल उत्सर्जन और शास्त्रीय भविष्यवाणी के साथ उसके विरोध को समझाने के लिए 1 अंक।

(b) ग्राफ और देहली आवृत्ति

ग्राफ में पाँचों आँकड़ा-बिंदु लगभग एक सीधी रेखा पर होने चाहिए।

क्षैतिज अक्ष पर प्रतिच्छेद लगभग है:

\[ f_0=5.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz} \]

इस आवृत्ति पर अधिकतम गतिज ऊर्जा शून्य होती है। आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन को पार करने के लिए ठीक पर्याप्त होती है, इसलिए

\[ hf_0=\phi \]

इस प्रकार, देहली आवृत्ति इस विशिष्ट धातु से इलेक्ट्रॉनों को मुक्त करने के लिए आवश्यक न्यूनतम आवृत्ति को दर्शाती है।

अंक-वितरण:

• आँकड़ों को सही ढंग से आलेखित करने, अक्षों पर नाम लिखने और उपयुक्त सर्वोत्तम-फिट रेखा खींचने के लिए 1 अंक।
• क्षैतिज अक्ष पर प्रतिच्छेद का अनुमान लगाने के लिए 1 अंक।
• देहली आवृत्ति का भौतिक अर्थ समझाने के लिए 1 अंक।

• मापे गए आँकड़े
• सर्वोत्तम-फिट रेखा
• देहली आवृत्ति: 5.0 × 10^14 Hz

(c) ढाल से प्लांक नियतांक

आँकड़ों के अंतिम बिंदुओं का उपयोग करने पर ढाल लगभग है:

\[ \begin{aligned} \text{ढाल} &=\frac{\Delta K_{\max}}{\Delta f}\\[4pt] &=\frac{1.66-0.00}{(9.0-5.0)\times10^{14}}\\[4pt] &=4.15\times10^{-15}\ \mathrm{eV\,s} \end{aligned} \]

जब गतिज ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट में मापा जाता है, तो यह ढाल प्लांक नियतांक को \(\mathrm{eV\,s}\) में दर्शाती है। इसे \(\mathrm{J\,s}\) में बदलें:

\[ \begin{aligned} h&=(4.15\times10^{-15})(1.60\times10^{-19})\\ &=6.64\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s} \end{aligned} \]

अंक-वितरण:

• उचित इकाइयों सहित ढाल का सही अनुमान लगाने के लिए 1 अंक।
• जूल में रूपांतरण और प्लांक नियतांक के सही अनुमान के लिए 1 अंक।

(d) कार्य फलन और अधिकतम गतिज ऊर्जा

देहली आवृत्ति पर अधिकतम गतिज ऊर्जा शून्य होती है। इसलिए,

\[ \phi=hf_0 \]

ग्राफ से प्राप्त \(h\) के मान का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} \phi&=(6.64\times10^{-34})(5.0\times10^{14})\\ &=3.32\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &=\frac{3.32\times10^{-19}}{1.60\times10^{-19}}\ \mathrm{eV}\\ &=2.08\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

आपतित आवृत्ति \(f=8.0\times10^{14}\ \mathrm{Hz}\) के लिए,

\[ K_{\max}=hf-\phi \]

\[ \begin{aligned} K_{\max} &=(6.64\times10^{-34})(8.0\times10^{14}) -3.32\times10^{-19}\\[4pt] &=1.99\times10^{-19}\ \mathrm{J}\\[4pt] &\approx1.24\ \mathrm{eV} \end{aligned} \]

फोटॉन \(hf\) ऊर्जा प्रदान करता है। इस ऊर्जा का कुछ भाग कार्य फलन को पार करने में उपयोग होता है और शेष ऊर्जा उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा बन जाती है। यह प्रकाशविद्युत प्रभाव पर ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का अनुप्रयोग है।

अंक-वितरण:

• कार्य फलन की गणना के लिए 1 अंक।
• निर्दिष्ट आवृत्ति के लिए प्रकाशविद्युत समीकरण में सही प्रतिस्थापन करने के लिए 1 अंक।
• उपयुक्त इकाइयों सहित अधिकतम गतिज ऊर्जा के लिए 1 अंक।

आगे की गणना के लिए अंक: ग्राफ की ढाल से सही ढंग से प्राप्त किसी थोड़े भिन्न मान के आधार पर की गई गणनाएँ स्वीकार करें।

हल 6

(a) तापायनिक उत्सर्जन

तापायनिक उत्सर्जन तब होता है जब किसी पदार्थ को गर्म करने से उसमें उपस्थित इलेक्ट्रॉनों को उसकी सतह से बाहर निकलने के लिए पर्याप्त ऊर्जा मिल जाती है। उत्सर्जक पदार्थ को सामान्यतः निर्वात में रखा जाता है, ताकि उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन गैस के अणुओं से कम टकराव के साथ यात्रा कर सकें।

प्रकाशविद्युत उत्सर्जन में फोटॉन इलेक्ट्रॉनों को ऊर्जा प्रदान करते हैं और फोटॉन की आवृत्ति निर्धारित करती है कि कार्य फलन को पार किया जा सकता है या नहीं। तापायनिक उत्सर्जन में ऊर्जा गर्म करने से प्राप्त होती है।

अंक-वितरण:

• यह समझाने के लिए 1 अंक कि गर्म करने से इलेक्ट्रॉन कैसे बाहर निकलते हैं।
• निर्वात के उद्देश्य की व्याख्या के लिए 1 अंक।
• तापायनिक उत्सर्जन और प्रकाशविद्युत उत्सर्जन के बीच अंतर बताने के लिए 1 अंक।

(b) मैलस का नियम

एक आदर्श ध्रुवक प्रारंभ में अध्रुवित प्रकाश की आधी तीव्रता पारित करता है।

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

यही विश्लेषक पर आपतित तीव्रता है। \(\theta=30^\circ\) के लिए मैलस का नियम लागू करें:

\[ \begin{aligned} I&=I_1\cos^2 30^\circ\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\[4pt] &=\frac{I_0}{2}\times\frac{3}{4}\\[4pt] &=\frac{3I_0}{8} \end{aligned} \]

अंतिम पारगमित तीव्रता \(3I_0/8\) है।

अंक-वितरण:

• पहले ध्रुवक के बाद तीव्रता सही ढंग से ज्ञात करने के लिए 1 अंक।
• मैलस का नियम सही ढंग से लागू करने के लिए 1 अंक।
• अंतिम व्यंजक के लिए 1 अंक।

(c) ध्रुवण और अनुप्रस्थ तरंगें

अनुप्रस्थ तरंग में दोलन, उसके संचरण की दिशा के लंबवत होता है। ध्रुवक विद्युत क्षेत्र के एक विशेष अभिविन्यास का चयन करता है, जिससे प्रदर्शित होता है कि प्रकाश में अनुप्रस्थ दोलन की दिशा होती है।

अनुदैर्ध्य तरंग में दोलन, संचरण की दिशा के समानांतर होता है। इसमें पार्श्व दोलन का ऐसा कोई समतुल्य अभिविन्यास नहीं होता जिसे ध्रुवक चुन सके।

अंक-वितरण:

• ध्रुवण को अनुप्रस्थ दोलनों से जोड़ने के लिए 1 अंक।
• यह समझाने के लिए 1 अंक कि अनुदैर्ध्य तरंग को इस प्रकार ध्रुवित क्यों नहीं किया जा सकता।

(d) मैलस के नियम की शर्त

विश्लेषक पर आपतित प्रकाश समतल-ध्रुवित होना चाहिए। इसके बाद मैलस का नियम पारगमित तीव्रता को प्रकाश के ध्रुवण की दिशा और विश्लेषक के संचरण-अक्ष के बीच के कोण से संबंधित करता है।

अंक-वितरण:

• एक वैध शर्त बताने के लिए 1 अंक।

हल 7

(a) संकीर्ण स्लिट से विवर्तन

विवर्तन किसी तरंग के किसी छिद्र से गुजरने पर उसके फैलने की घटना है। नियत तरंगदैर्ध्य के लिए, जब तरंगदैर्ध्य की तुलना में स्लिट की चौड़ाई कम होती है, तो कोणीय फैलाव बढ़ जाता है।

इसलिए, स्लिट की चौड़ाई \(5\lambda\) से घटाकर \(\lambda\) करने पर अधिक फैलाव उत्पन्न होता है।

अंक-वितरण:

• विवर्तन का वर्णन करने के लिए 1 अंक।
• अधिक फैलाव को तरंगदैर्ध्य की तुलना में कम स्लिट-चौड़ाई से जोड़ने के लिए 1 अंक।

(b) दूसरी कोटि का दीप्त फ्रिंज

स्लिटों के बीच की दूरी और तरंगदैर्ध्य को मीटर में बदलें:

\[ d=0.25\times10^{-3}=2.5\times10^{-4}\ \mathrm{m} \]

\[ \lambda=500\times10^{-9}=5.0\times10^{-7}\ \mathrm{m} \]

दीप्त फ्रिंज की शर्त का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{m\lambda}{d}\\[4pt] &=\frac{2(5.0\times10^{-7})}{2.5\times10^{-4}}\\[4pt] &=0.0040 \end{aligned} \]

इसलिए,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.0040)\approx0.229^\circ \]

अंक-वितरण:

• सही संबंध के लिए 1 अंक।
• सही प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• उपयुक्त इकाइयों सहित कोण के लिए 1 अंक।

(c) फ्रिंज का विस्थापन

रेडियन में मापे गए छोटे कोणों के लिए,

\[ \tan\theta\approx\sin\theta \]

केंद्रीय उच्चिष्ठ से विस्थापन \(y\) लगभग है:

\[ y=L\tan\theta\approx L\sin\theta \]

पर्दे की दूरी \(L=2.0\ \mathrm{m}\) रखने पर,

\[ \begin{aligned} y&\approx2.0(0.0040)\\ &=0.0080\ \mathrm{m}\\ &=8.0\ \mathrm{mm} \end{aligned} \]

दूसरी कोटि का फ्रिंज केंद्रीय उच्चिष्ठ से लगभग \(8.0\ \mathrm{mm}\) दूर है।

अंक-वितरण:

• सही लघु-कोण विधि के लिए 1 अंक।
• इकाइयों सहित विस्थापन के लिए 1 अंक।

(d) तरंग व्यवहार का साक्ष्य

दीप्त और अदीप्त फ्रिंज क्रमशः रचनात्मक और विनाशात्मक व्यतिकरण के कारण बनते हैं। इनका नियमित प्रतिरूप प्रकाश के तरंग व्यवहार का साक्ष्य प्रदान करता है।

अंक-वितरण:

• फ्रिंज प्रतिरूप को व्यतिकरण और तरंग व्यवहार से जोड़ने के लिए 1 अंक।

हल 8

(a) जालक की रेखाओं के बीच की दूरी और दूसरी कोटि का कोण

जालक में प्रति मिलीमीटर 600 रेखाएँ हैं। इसे प्रति मीटर रेखाओं की संख्या में बदलें:

\[ 600\ \mathrm{lines\,mm^{-1}} =6.00\times10^5\ \mathrm{lines\,m^{-1}} \]

रेखाओं के बीच की दूरी \(d\), रेखा-घनत्व का व्युत्क्रम है:

\[ \begin{aligned} d&=\frac{1}{6.00\times10^5}\\ &=1.67\times10^{-6}\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

दूसरी कोटि के उच्चिष्ठ के लिए \(m=2\):

\[ \begin{aligned} d\sin\theta&=m\lambda\\[4pt] \sin\theta&=\frac{2(500\times10^{-9})}{1.67\times10^{-6}}\\[4pt] &\approx0.600 \end{aligned} \]

अतः,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.600)\approx36.9^\circ \]

अंक-वितरण:

• जालक की रेखाओं के बीच की सही दूरी के लिए 1 अंक।
• जालक समीकरण में सही प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• इकाइयों सहित कोण के लिए 1 अंक।

(b) अधिकतम संभव कोटि

उच्चिष्ठ तभी बन सकता है जब

\[ \sin\theta=\frac{m\lambda}{d}\leq1 \]

इसलिए,

\[ m\leq\frac{d}{\lambda} =\frac{1.67\times10^{-6}}{5.00\times10^{-7}} \approx3.33 \]

कोटि एक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए अधिकतम संभव कोटि है:

\[ m_{\max}=3 \]

अंक-वितरण:

• सही अधिकतम कोटि के लिए 1 अंक।

(c) विभेदन क्षमता

विवर्तन जालक में अनेक स्लिट होते हैं। उनके व्यतिकरण से दो-स्लिट व्यवस्था की तुलना में अधिक संकीर्ण मुख्य उच्चिष्ठ बनते हैं।

जब दो तरंगदैर्ध्य एक-दूसरे के बहुत निकट होते हैं, तो अधिक संकीर्ण उच्चिष्ठ उनकी अलग-अलग कोणीय स्थितियों को पहचानना आसान बनाते हैं। इससे जालक की तरंगदैर्ध्य-विभेदन क्षमता बढ़ती है।

अंक-वितरण:

• यह समझाने के लिए 1 अंक कि अनेक स्लिट अधिक संकीर्ण उच्चिष्ठ उत्पन्न करते हैं।
• अधिक संकीर्ण उच्चिष्ठों को पास-पास स्थित तरंगदैर्ध्यों में अंतर करने से जोड़ने के लिए 1 अंक।

हल 9

(a) जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र और समकालिकता

जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र वह संदर्भ-तंत्र है जिसमें त्वरण नहीं हो रहा है। यह या तो विरामावस्था में होता है या किसी अन्य जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र के सापेक्ष नियत वेग से गतिमान होता है।

समकालिकता की सापेक्षता का अर्थ है कि दो स्थानिक रूप से अलग घटनाएँ, जो एक जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र में समकालिक हैं, दूसरे सापेक्ष गतिमान संदर्भ-तंत्र में आवश्यक नहीं कि समकालिक ही हों।

अंक-वितरण:

• जड़त्वीय संदर्भ-तंत्र की परिभाषा के लिए 1 अंक।
• समकालिकता की सापेक्षता समझाने के लिए 1 अंक।

(b) घटनाओं के बीच समयांतर

प्लेटफ़ॉर्म संदर्भ-तंत्र में घटनाएँ समकालिक हैं, इसलिए \(\Delta t=0\) है। उनके बीच स्थानिक पृथक्करण है:

\[ \Delta x=x_B-x_A=600\ \mathrm{m} \]

\(v=0.60c\) पर लॉरेंत्ज़ गुणक है:

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{1-0.60^2}}\\[4pt] &=1.25 \end{aligned} \]

दिए गए लॉरेंत्ज़ रूपांतरण का उपयोग करें:

\[ \begin{aligned} \Delta t' &=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right)\\[4pt] &=1.25\left(0-\frac{(0.60c)(600)}{c^2}\right)\\[4pt] &=-1.50\times10^{-6}\ \mathrm{s} \end{aligned} \]

ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि \(t'_B-t'_A\) ऋणात्मक है। रेलगाड़ी के संदर्भ-तंत्र में घटना B, घटना A से \(1.50\ \mathrm{\mu s}\) पहले घटित होती है।

अंक-वितरण:

• सही लॉरेंत्ज़ गुणक के लिए 1 अंक।
• सही प्रतिस्थापन और गणना के लिए 1 अंक।
• ऋणात्मक चिह्न की सही व्याख्या के लिए 1 अंक।

(c) समय-विस्तारण

घड़ी उचित समय मापती है, क्योंकि दोनों घटनाएँ अंतरिक्षयान के विराम संदर्भ-तंत्र में एक ही स्थान पर घटित होती हैं।

गतिमान घड़ी के लिए, पृथ्वी के संदर्भ-तंत्र में मापा गया समयांतर है:

\[ \Delta t=\gamma\Delta\tau \]

जहाँ \(\Delta\tau=2.00\ \mathrm{\mu s}\) उचित समय है।

\(v=0.80c\) पर,

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.80^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.36}}\\ &=1.667 \end{aligned} \]

इसलिए,

\[ \begin{aligned} \Delta t&=1.667(2.00\ \mathrm{\mu s})\\ &=3.33\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

पृथ्वी पर स्थित प्रेक्षक लगभग \(3.33\ \mathrm{\mu s}\) का समयांतर मापता है।

अंक-वितरण:

• सही लॉरेंत्ज़ गुणक के लिए 1 अंक।
• समय-विस्तारण के सही संबंध और प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• इकाइयों सहित अंतिम समयांतर के लिए 1 अंक।

(d) लंबाई संकुचन

उचित लंबाई \(L_0=120\ \mathrm{m}\), अंतरिक्षयान के विराम संदर्भ-तंत्र में मापी जाती है। पृथ्वी पर स्थित प्रेक्षक गति की दिशा में इससे कम लंबाई मापता है।

\[ L=\frac{L_0}{\gamma} \]

\(\gamma=1.667\) का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} L&=\frac{120}{1.667}\\ &\approx72.0\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

संकुचित लंबाई लगभग \(72.0\ \mathrm{m}\) है।

अंक-वितरण:

• लंबाई संकुचन के सही संबंध के लिए 1 अंक।
• इकाइयों सहित सही उत्तर के लिए 1 अंक।

हल 10

(a) सापेक्षिक संवेग

पहले \(v=0.90c\) पर लॉरेंत्ज़ गुणक की गणना करें।

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.90^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.19}}\\ &\approx2.294 \end{aligned} \]

कण की चाल है:

\[ v=0.90(3.00\times10^8) =2.70\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

\(p=\gamma mv\) का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} p&=(2.294)(1.67\times10^{-27})(2.70\times10^8)\\[4pt] &\approx1.03\times10^{-18}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

अंक-वितरण:

• सही लॉरेंत्ज़ गुणक के लिए 1 अंक।
• संवेग समीकरण में सही प्रतिस्थापन के लिए 1 अंक।
• सही संवेग और इकाइयों के लिए 1 अंक।

(b) द्रव्यमान वाला कण प्रकाश की चाल तक क्यों नहीं पहुँच सकता

जैसे-जैसे किसी द्रव्यमान वाले कण की चाल \(c\) के निकट पहुँचती है, निम्नलिखित व्यंजक का हर शून्य के निकट पहुँचता है:

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \]

परिणामस्वरूप, लॉरेंत्ज़ गुणक बिना किसी सीमा के बढ़ता है और कण को और अधिक त्वरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा लगातार बढ़ती जाती है।

सीमा की स्थिति में प्रकाश की चाल तक पहुँचने के लिए अनंत ऊर्जा की आवश्यकता होगी। इसलिए, किसी द्रव्यमान वाले कण को परिमित मात्रा में ऊर्जा देकर \(c\) तक नहीं पहुँचाया जा सकता।

अंक-वितरण:

• लॉरेंत्ज़ गुणक या सापेक्षिक ऊर्जा में वृद्धि समझाने के लिए 1 अंक।
• इसे परिमित ऊर्जा से \(c\) तक न पहुँच पाने से जोड़ने के लिए 1 अंक।

हल 11

(a) ब्रह्मांडीय म्यूऑन और समय-विस्तारण

म्यूऑन का उचित औसत जीवनकाल है:

\[ \tau_0=2.20\ \mathrm{\mu s} \]

इसकी चाल \(v=0.998c\) है।

पहले लॉरेंत्ज़ गुणक की गणना करें:

\[ \begin{aligned} \gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-0.998^2}}\\[4pt] &=\frac{1}{\sqrt{0.003996}}\\ &\approx15.8 \end{aligned} \]

समय-विस्तारण के कारण पृथ्वी के संदर्भ-तंत्र में मापा गया औसत जीवनकाल अधिक होता है:

\[ \begin{aligned} \Delta t&=\gamma\tau_0\\ &=(15.8)(2.20\ \mathrm{\mu s})\\ &\approx34.8\ \mathrm{\mu s} \end{aligned} \]

औसत तय की गई दूरी की गणना करें:

\[ \begin{aligned} s&=v\Delta t\\ &=(0.998)(3.00\times10^8)(34.8\times10^{-6})\\ &\approx1.04\times10^4\ \mathrm{m}\\ &\approx10.4\ \mathrm{km} \end{aligned} \]

औसत तय की गई दूरी लगभग \(10.4\ \mathrm{km}\) है, जो दी गई \(10.0\ \mathrm{km}\) की उत्पत्ति-ऊँचाई के बराबर के निकट और उससे थोड़ी अधिक है। इसलिए, समय-विस्तारण यह समझाता है कि अनेक म्यूऑन क्षय होने से पहले पृथ्वी की सतह तक क्यों पहुँच सकते हैं।

यह औसत जीवनकाल पर आधारित गणना है, इस बात की गारंटी नहीं कि प्रत्येक म्यूऑन यात्रा के दौरान जीवित रहेगा। अलग-अलग म्यूऑन के क्षय होने के समय भिन्न होते हैं।

अंक-वितरण:

• सही लॉरेंत्ज़ गुणक के लिए 1 अंक।
• पृथ्वी के संदर्भ-तंत्र में औसत जीवनकाल के लिए 1 अंक।
• दूरी की सही गणना-विधि के लिए 1 अंक।
• इकाइयों सहित दूरी के लिए 1 अंक।
• परिणाम को पृथ्वी की सतह पर म्यूऑन के देखे जाने से जोड़ने के लिए 1 अंक।

(b) सापेक्षता के परमाणु-घड़ी परीक्षण

उड़ानों के बाद घड़ियों की रीडिंग की तुलना करके बीते हुए समय में अंतर मापा जाता है। इससे यह परीक्षण किया जाता है कि अंतरिक्ष-काल में अलग-अलग पथों पर चलने वाली घड़ियाँ सापेक्षता की भविष्यवाणियों के अनुसार कितना समय संचित करती हैं।

विशेष सापेक्षता का योगदान पृथ्वी के सापेक्ष घड़ियों के वेगों पर निर्भर करता है, इसलिए पूर्व और पश्चिम दिशा की उड़ानों से अलग-अलग परिणाम मिल सकते हैं। ऊँचाई भी घड़ियों की दर को प्रभावित करती है और एक अतिरिक्त सापेक्षिक प्रभाव उत्पन्न करती है, जिसे अनुमानित कुल समयांतर में शामिल करना आवश्यक है।

मापे गए समयांतरों और सैद्धांतिक भविष्यवाणियों के बीच सहमति, बीते हुए समय के सापेक्षिक वर्णन का समर्थन करती है। यह तुलना विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि घड़ियों के दोबारा मिलने से पहले ही अनुमानित परिणामों की गणना की जा सकती है।

अंक-वितरण:

• घड़ियों की रीडिंग की तुलना को मापी जाने वाली राशि के रूप में पहचानने के लिए 1 अंक।
• अनुमानित समयांतर पर चाल और ऊँचाई के प्रभावों को समझाने के लिए 1 अंक।
• भविष्यवाणियों के साथ सहमति को सापेक्षता के समर्थन से जोड़ने के लिए 1 अंक।

हल 12

(a) तरंग व्यवहार का साक्ष्य

विवर्तन और व्यतिकरण तरंग-जैसे व्यवहार को प्रदर्शित करते हैं। केवल शास्त्रीय कण मॉडल, अतिव्यापित प्रकाश तरंगों से बनने वाले नियमित व्यतिकरण प्रतिरूप की व्याख्या नहीं कर सकता।

अंक-वितरण:

• साक्ष्य को तरंग व्यवहार से सही ढंग से जोड़ने और शास्त्रीय कण मॉडल की सीमा बताने के लिए 1 अंक।

(b) प्रकाशविद्युत प्रभाव का साक्ष्य

देहली आवृत्ति यह दर्शाती है कि इलेक्ट्रॉन को मुक्त करने के लिए फोटॉन को कम-से-कम कार्य फलन के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी चाहिए। तत्काल उत्सर्जन इस विचार का समर्थन करता है कि ऊर्जा का स्थानांतरण विविक्त क्वांटीकृत मात्राओं में होता है, न कि किसी सतत शास्त्रीय तरंग से धीरे-धीरे ऊर्जा संचित होने के कारण।

अंक-वितरण:

• अवलोकनों को फोटॉन की क्वांटीकृत ऊर्जा से जोड़ने के लिए 1 अंक।

(c) दावे का मूल्यांकन

विद्यार्थी का निष्कर्ष अत्यधिक कठोर है। विवर्तन और व्यतिकरण तरंग-जैसे व्यवहार को प्रदर्शित करते हैं, जबकि प्रकाशविद्युत प्रभाव इस बात का साक्ष्य देता है कि प्रकाश ऊर्जा का स्थानांतरण विविक्त क्वांटा में करता है।

प्रकाश का आधुनिक क्वांटम वर्णन दोनों प्रकार के अवलोकनों की व्याख्या करता है। प्रसार और व्यतिकरण के दौरान प्रकाश तरंग-जैसा व्यवहार प्रदर्शित कर सकता है, जबकि पदार्थ के साथ उसकी अंतःक्रियाओं में ऊर्जा का क्वांटीकृत स्थानांतरण होता है। इन साक्ष्यों की पूरी व्याख्या केवल शास्त्रीय तरंग मॉडल या केवल शास्त्रीय कण मॉडल से नहीं की जा सकती।

अंक-वितरण:

• यह समझाने के लिए 1 अंक कि दोनों प्रकार के साक्ष्यों को आधुनिक मॉडल में किस प्रकार समाहित किया जाता है।
• यह निष्कर्ष निकालने के लिए 1 अंक कि केवल शास्त्रीय तरंग और कण मॉडल पर्याप्त नहीं हैं।