वृत्तीय गति के अनुप्रयोग: HSC भौतिकी अभ्यास परीक्षा

यह मौलिक tutorgum अभ्यास प्रश्नपत्र वृत्तीय गति के अनुप्रयोगों के लिए निर्धारित Physics 2017 पाठ्यक्रम के दायरे का आकलन करता है। इसमें आप किसी डोरी से बँधे पिंड के क्षैतिज वृत्त में गति करने पर बलों के घटकों का विश्लेषण करेंगे, झुके हुए ट्रैक पर अभिलंब बल के घटकों का अध्ययन करेंगे और समतल मोड़ों पर चलने वाली कारों के लिए आवश्यक घर्षण की गणना करेंगे। इस प्रश्नपत्र में किसी निकाय पर लगने वाले वास्तविक बलों की पहचान करने और उनके केंद्र की ओर परिणामी बल को निर्धारित करने पर विशेष ध्यान दिया गया है।

यह एक केंद्रित पुनरावृत्ति प्रश्नपत्र है, संपूर्ण पाठ्यक्रम की परीक्षा नहीं। यह tutorgum का एक मौलिक अभ्यास प्रश्नपत्र है, न कि NESA का आधिकारिक, अनुमोदित, पूर्व में आयोजित या संभावित प्रश्नपत्र।

01परीक्षा के निर्देश

• सुझाया गया हल करने का समय: 50 मिनट।
• सुझाया गया प्रश्नपत्र पढ़ने का समय: 5 मिनट।
• कुल अंक: 40।
• अनुमत उपकरण: वैज्ञानिक कैलकुलेटर, पैमाना और लेखन सामग्री। कोई नोट्स नहीं।
• गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता: पूरे प्रश्नपत्र में \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) का उपयोग करें।
• हल की प्रक्रिया और परिशुद्धता: अपने हल के चरण दिखाएँ, इकाइयाँ लिखें और संख्यात्मक उत्तरों को सार्थक अंकों की उपयुक्त संख्या तक दें।

मूल्यांकित विषयवस्तु

इस प्रश्नपत्र में निम्नलिखित विषय शामिल हैं:

• डोरी से बँधे किसी पिंड के क्षैतिज वृत्त में गति करने पर तनाव और भार के घटकों का निर्धारण।
• झुके हुए ट्रैक पर अभिलंब बल के घटकों का निर्धारण और अभिकल्पित चाल की गणना।
• समतल वृत्ताकार मोड़ पर अभिकेंद्रीय बल के स्रोत के रूप में स्थैतिक घर्षण का विश्लेषण।
• केंद्र की ओर परिणामी बल और चाल के बीच संबंध की व्याख्या।

ऊर्ध्वाधर वृत्तीय गति, घर्षण की सहायता से झुके हुए ट्रैक की गणनाएँ और वृत्तीय गति के अन्य विषय इसमें शामिल नहीं हैं।

झुके हुए ट्रैक के लिए, झुकाव कोण को क्षैतिज से मापें। डोरी से जुड़े पिंड के लिए, डोरी का कोण ऊर्ध्वाधर से मापें। मान लें कि वायु प्रतिरोध नगण्य है। जहाँ ट्रैक को घर्षणरहित बताया गया है, वहाँ घर्षण को पूरी तरह नगण्य मानें।

02प्रश्न

प्रश्न 1 (7 अंक)

\(0.500\,\text{kg}\) द्रव्यमान का एक पिंड हल्की डोरी से बँधा है और \(0.600\,\text{m}\) त्रिज्या वाले क्षैतिज वृत्त में \(4.00\,\text{m s}^{-1}\) की स्थिर चाल से गति करता है। डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ \(\theta\) कोण बनाती है।

(a) पिंड पर लगने वाले बलों की पहचान करें और उसके त्वरण की दिशा बताएँ। (2 अंक)

(b) पिंड पर लगने वाले केंद्र की ओर परिणामी बल की गणना करें। (2 अंक)

(c) तनाव को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में विभाजित करें। डोरी में तनाव और कोण \(\theta\) की गणना करें। (3 अंक)

प्रश्न 2 (7 अंक)

एक कार \(85.0\,\text{m}\) त्रिज्या वाले घर्षणरहित झुके हुए वृत्ताकार ट्रैक पर चलती है। ट्रैक क्षैतिज से \(12.0^\circ\) के कोण पर झुका हुआ है।

इस प्रश्न में, अभिकल्पित चाल वह चाल है जिस पर कार घर्षण पर निर्भर हुए बिना वृत्ताकार पथ पर चल सकती है।

(a) कार पर लगने वाले बलों की पहचान करें और बताएँ कि अभिलंब बल के घटकों का कार की ऊर्ध्वाधर गति तथा केंद्र की ओर गति से क्या संबंध है। (2 अंक)

(b) बलों के घटक निर्धारित करके त्रिज्या \(r\), झुकाव कोण \(\theta\) और गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता \(g\) के रूप में अभिकल्पित चाल \(v\) का व्यंजक व्युत्पन्न करें। (3 अंक)

(c) इस ट्रैक के लिए अभिकल्पित चाल की गणना करें। (2 अंक)

प्रश्न 3 (8 अंक)

\(1.20\times10^3\,\text{kg}\) द्रव्यमान की एक कार \(55.0\,\text{m}\) त्रिज्या वाले समतल, क्षैतिज मोड़ पर \(14.0\,\text{m s}^{-1}\) की चाल से चलती है। कार पर लगने वाला स्थैतिक घर्षण ही एकमात्र क्षैतिज बल है।

(a) मोड़ पर कार की गति बनाए रखने के लिए आवश्यक केंद्र की ओर परिणामी बल की गणना करें। (2 अंक)

(b) घर्षण बल की दिशा बताएँ और इस चाल पर कार को फिसलने से रोकने के लिए आवश्यक स्थैतिक घर्षण के न्यूनतम गुणांक की गणना करें। (3 अंक)

(c) इसके बाद कार उसी मोड़ पर \(16.8\,\text{m s}^{-1}\) की चाल से चलती है। उपलब्ध स्थैतिक घर्षण का गुणांक \(0.450\) है। निर्धारित करें कि क्या कार वृत्ताकार पथ पर अपनी गति बनाए रख सकती है। गणना द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि करें। (3 अंक)

प्रश्न 4 (5 अंक)

\(0.750\,\text{kg}\) द्रव्यमान का एक पिंड डोरी से बँधा है। किसी विशेष क्षण पर डोरी में तनाव \(12.0\,\text{N}\) है और डोरी ऊर्ध्वाधर से \(25.0^\circ\) का कोण बनाती है। तनाव और भार ही पिंड पर लगने वाले एकमात्र बल हैं।

(a) तनाव के ऊर्ध्वाधर घटक की गणना करें। (2 अंक)

(b) एक विद्यार्थी का दावा है कि इन बलों के मानों के साथ पिंड स्थिर ऊँचाई पर क्षैतिज वृत्त में गति कर रहा है। इस दावे का मूल्यांकन करें। यदि दिए गए मान सही हैं, तो पिंड के प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर त्वरण की गणना करें और उसकी दिशा भी बताएँ। (3 अंक)

प्रश्न 5 (6 अंक)

एक वस्तु निश्चित त्रिज्या वाले क्षैतिज वृत्त में गति करती है। उसकी चाल बदली जाती है और केंद्र की ओर परिणामी बल \(F_{\text{in}}\) मापा जाता है। परिणाम नीचे दर्ज किए गए हैं।

निम्नलिखित ग्राफ दिए गए मापों को दर्शाता है।

• मापे गए आँकड़े
• सर्वोत्तम अनुरूप रेखा

(a) केंद्र की ओर परिणामी बल और चाल के वर्ग के बीच संबंध का वर्णन करें। (2 अंक)

(b) ग्राफ की प्रवणता की गणना करें और बताएँ कि वृत्ताकार पथ के द्रव्यमान \(m\) तथा त्रिज्या \(r\) के संदर्भ में यह प्रवणता क्या दर्शाती है। (2 अंक)

(c) यदि वृत्ताकार पथ की त्रिज्या \(1.50\,\text{m}\) है, तो वस्तु के द्रव्यमान की गणना करें। (2 अंक)

प्रश्न 6 (7 अंक)

एक घर्षणरहित झुका हुआ परीक्षण ट्रैक, \(120.0\,\text{m}\) त्रिज्या वाले वृत्ताकार खंड पर \(20.0\,\text{m s}^{-1}\) की चाल के लिए अभिकल्पित किया गया है। \(900.0\,\text{kg}\) द्रव्यमान की एक कार इस अभिकल्पित चाल से चलती है।

(a) आवश्यक झुकाव कोण की गणना करें। (3 अंक)

(b) कार पर लगने वाले अभिलंब बल के परिमाण की गणना करें। (2 अंक)

(c) अभिलंब बल के केंद्र की ओर घटक की गणना करें। कार की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक केंद्र की ओर परिणामी बल से इसकी तुलना करके अपने परिणाम की पुष्टि करें। (2 अंक)

03विस्तृत हल और अंकन मार्गदर्शिका

हल 1

(a) बलों और त्वरण की पहचान करें। (2 अंक)

पिंड पर लगने वाले दो बल हैं:

• तनाव \(T\), जो डोरी के अनुदिश सहारे के बिंदु की ओर निर्देशित है।
• भार \(mg\), जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर निर्देशित है।

पिंड का त्वरण क्षैतिज रूप से वृत्त के केंद्र की ओर होता है। चूँकि पिंड की ऊँचाई स्थिर रहती है, इसलिए उसका ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है और बलों के ऊर्ध्वाधर घटक एक-दूसरे को संतुलित करते हैं।

अंकन मार्गदर्शिका:

• तनाव और भार, दोनों की पहचान करने के लिए 1 अंक।
• त्वरण की दिशा केंद्र की ओर बताने के लिए 1 अंक।

(b) केंद्र की ओर परिणामी बल की गणना करें। (2 अंक)

एकसमान वृत्तीय गति के लिए केंद्र की ओर परिणामी बल है

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

जहाँ \(m\) किलोग्राम में द्रव्यमान, \(v\) मीटर प्रति सेकंड में चाल और \(r\) मीटर में त्रिज्या है।

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

केंद्र की ओर परिणामी बल \(13.3\,\text{N}\) है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• सही समीकरण और उसमें मान रखने के लिए 1 अंक।
• इकाई सहित सही उत्तर के लिए 1 अंक।

(c) तनाव और कोण की गणना करें। (3 अंक)

मान लें कि \(\theta\), डोरी और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण है।

तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है:

\[ T\cos\theta=mg \]

क्षैतिज घटक केंद्र की ओर परिणामी बल प्रदान करता है:

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

पहले, दोनों परस्पर लंबवत घटकों का उपयोग करके तनाव की गणना करें:

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

इसके बाद, क्षैतिज घटक वाले समीकरण को ऊर्ध्वाधर घटक वाले समीकरण से विभाजित करें:

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

अतः,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

तनाव \(14.2\,\text{N}\) है और डोरी ऊर्ध्वाधर से \(69.8^\circ\) के कोण पर झुकी हुई है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• तनाव को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में सही ढंग से विभाजित करने के लिए 1 अंक।
• तनाव की गणना करने के लिए 1 अंक।
• कोण की गणना करने के लिए 1 अंक।

यदि पहले की संख्यात्मक त्रुटि को आगे की गणना में लगातार और सही तरीके से उपयोग किया गया हो, तो तनाव और कोण के लिए अनुवर्ती अंक दें।

हल 2

(a) बलों और उनके घटकों की पहचान करें। (2 अंक)

कार पर लगने वाले बल हैं उसका भार \(mg\), जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है, और ट्रैक द्वारा लगाया गया अभिलंब बल \(F_N\), जो ट्रैक की सतह के लंबवत होता है।

अभिलंब बल के दो प्रासंगिक घटक हैं:

• एक ऊर्ध्वाधर घटक, \(F_N\cos\theta\), जो भार को संतुलित करता है।
• एक क्षैतिज घटक, \(F_N\sin\theta\), जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।

चूँकि ट्रैक को घर्षणरहित बताया गया है, इसलिए कोई घर्षण बल नहीं है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• भार और अभिलंब बल की पहचान करने के लिए 1 अंक।
• ऊर्ध्वाधर और केंद्र की ओर घटकों का सही वर्णन करने के लिए 1 अंक।

(b) अभिकल्पित चाल का समीकरण व्युत्पन्न करें। (3 अंक)

चूँकि कार की ऊँचाई स्थिर रहती है, इसलिए ऊर्ध्वाधर बल संतुलित होते हैं:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

अभिलंब बल का केंद्र की ओर घटक अभिकेंद्रीय बल प्रदान करता है:

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

केंद्र की ओर बल वाले समीकरण को ऊर्ध्वाधर बल वाले समीकरण से विभाजित करें:

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

समान गुणकों को काट दें और \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\) का उपयोग करें:

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

चाल के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर मिलता है

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

यह समीकरण दर्शाता है कि अभिकल्पित चाल ट्रैक की त्रिज्या, झुकाव कोण और गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता पर निर्भर करती है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• सही ऊर्ध्वाधर बल समीकरण के लिए 1 अंक।
• सही केंद्र की ओर बल समीकरण के लिए 1 अंक।
• समीकरणों को विभाजित करके अभिकल्पित चाल का व्यंजक व्युत्पन्न करने के लिए 1 अंक।

(c) अभिकल्पित चाल की गणना करें। (2 अंक)

\(r=85.0\,\text{m}\), \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) और \(\theta=12.0^\circ\) का उपयोग करते हुए:

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

अभिकल्पित चाल \(13.3\,\text{m s}^{-1}\) है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• अभिकल्पित चाल के समीकरण में सही मान रखने के लिए 1 अंक।
• इकाई सहित सही संख्यात्मक उत्तर के लिए 1 अंक।

हल 3

(a) केंद्र की ओर परिणामी बल की गणना करें। (2 अंक)

आवश्यक केंद्र की ओर परिणामी बल है

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

कार का द्रव्यमान, चाल और मोड़ की त्रिज्या रखने पर:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

कार को \(4.28\times10^3\,\text{N}\) का केंद्र की ओर परिणामी बल चाहिए।

अंकन मार्गदर्शिका:

• सही समीकरण और उसमें मान रखने के लिए 1 अंक।
• इकाई सहित सही उत्तर के लिए 1 अंक।

(b) स्थैतिक घर्षण के न्यूनतम गुणांक की गणना करें। (3 अंक)

समतल, क्षैतिज सड़क पर स्थैतिक घर्षण मोड़ के केंद्र की ओर कार्य करता है। यह केंद्र की ओर परिणामी बल प्रदान करता है।

ऊर्ध्वाधर बल संतुलित होते हैं, इसलिए

\[ F_N=mg \]

उपलब्ध स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान है

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

जहाँ \(f_{s,\max}\), न्यूटन में स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान है और \(\mu_s\) स्थैतिक घर्षण का गुणांक है।

फिसलने से बचने के लिए आवश्यक न्यूनतम गुणांक पर अधिकतम घर्षण, आवश्यक केंद्र की ओर बल के बराबर होता है:

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

द्रव्यमान को काटकर समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

स्थैतिक घर्षण का न्यूनतम गुणांक \(0.364\) है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• स्थैतिक घर्षण को केंद्र की ओर लगने वाले बल के रूप में पहचानने के लिए 1 अंक।
• अधिकतम घर्षण का अभिलंब बल और भार से संबंध स्थापित करने के लिए 1 अंक।
• न्यूनतम गुणांक की सही गणना करने के लिए 1 अंक।

(c) निर्धारित करें कि अधिक चाल पर कार मोड़ पर गति बनाए रख सकती है या नहीं। (3 अंक)

\(16.8\,\text{m s}^{-1}\) की चाल पर आवश्यक गुणांक है

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

आवश्यक गुणांक \(0.524\), उपलब्ध गुणांक \(0.450\) से अधिक है।

अतः उपलब्ध स्थैतिक घर्षण आवश्यक केंद्र की ओर बल प्रदान करने के लिए पर्याप्त नहीं है। कार वृत्ताकार पथ पर अपनी गति बनाए नहीं रख सकती और मोड़ के बाहरी हिस्से की ओर फिसल जाएगी।

अंकन मार्गदर्शिका:

• सही समीकरण और उसमें मान रखने के लिए 1 अंक।
• लगभग \(0.524\) के आवश्यक गुणांक के लिए 1 अंक।
• आवश्यक और उपलब्ध गुणांकों की तुलना करके सही निष्कर्ष निकालने के लिए 1 अंक।

हल 4

(a) तनाव के ऊर्ध्वाधर घटक की गणना करें। (2 अंक)

डोरी ऊर्ध्वाधर से \(25.0^\circ\) का कोण बनाती है। इसलिए तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक है

\[ T_y=T\cos\theta \]

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक \(10.9\,\text{N}\) है और इसकी दिशा ऊपर की ओर है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• सही घटक समीकरण का उपयोग करने के लिए 1 अंक।
• इकाई सहित सही संख्यात्मक उत्तर के लिए 1 अंक।

(b) दावे का मूल्यांकन करें और ऊर्ध्वाधर त्वरण की गणना करें। (3 अंक)

पिंड का भार है

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

पिंड को स्थिर ऊँचाई पर क्षैतिज वृत्त में गति करने के लिए तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार के बराबर होना चाहिए।

लेकिन,

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में बल संतुलित नहीं हैं। विद्यार्थी का दावा दिए गए बलों के मानों के अनुरूप नहीं है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में परिणामी बल ऊपर की ओर है:

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर त्वरण \(4.70\,\text{m s}^{-2}\) ऊपर की ओर है। इन परिस्थितियों में पिंड अपनी ऊँचाई स्थिर नहीं रख सकता।

अंकन मार्गदर्शिका:

• तनाव के ऊर्ध्वाधर घटक और भार की तुलना करके असंतुलन की पहचान करने के लिए 1 अंक।
• ऊर्ध्वाधर परिणामी बल की गणना करने के लिए 1 अंक।
• त्वरण की गणना करने और उसकी दिशा बताने के लिए 1 अंक।

हल 5

(a) संबंध का वर्णन करें। (2 अंक)

ग्राफ दर्शाता है कि केंद्र की ओर परिणामी बल, चाल के वर्ग के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। आँकड़े मूलबिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के अनुरूप हैं, इसलिए

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

दूसरे शब्दों में, यदि द्रव्यमान और त्रिज्या स्थिर रहें, तो चाल दोगुनी करने पर आवश्यक केंद्र की ओर परिणामी बल चार गुना हो जाता है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• चाल के वर्ग के साथ रैखिक संबंध की पहचान करने के लिए 1 अंक।
• यह बताने के लिए 1 अंक कि बल \(v^2\) के सीधे समानुपाती है।

(b) प्रवणता की गणना करें और उसकी व्याख्या करें। (2 अंक)

प्रवणता, केंद्र की ओर परिणामी बल में परिवर्तन को चाल के वर्ग में परिवर्तन से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:

\[ \begin{aligned} \text{gradient} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

इकाइयाँ सरल होकर किलोग्राम प्रति मीटर बन जाती हैं।

वृत्तीय गति का समीकरण है

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

इसे सरल रेखा के समीकरण के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें:

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

इसकी तुलना \(y=mx\) से करने पर स्पष्ट होता है कि ग्राफ की प्रवणता, द्रव्यमान और त्रिज्या के अनुपात को दर्शाती है:

\[ \boxed{\text{gradient}=\frac{m}{r}} \]

अंकन मार्गदर्शिका:

• सही प्रवणता और उसकी इकाइयों के लिए 1 अंक।
• प्रवणता को \(m/r\) के रूप में पहचानने के लिए 1 अंक।

(c) द्रव्यमान की गणना करें। (2 अंक)

भाग (b) से,

\[ \text{gradient}=\frac{m}{r} \]

द्रव्यमान को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

\[ m=(\text{gradient})r \]

प्रवणता और त्रिज्या के मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

वस्तु का द्रव्यमान \(0.600\,\text{kg}\) है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• प्रवणता के संबंध को सही ढंग से पुनर्व्यवस्थित करके त्रिज्या का मान रखने के लिए 1 अंक।
• इकाई सहित सही द्रव्यमान के लिए 1 अंक।

भाग (b) में प्राप्त प्रवणता का लगातार और सही तरीके से उपयोग करने पर अनुवर्ती अंक दें।

हल 6

(a) झुकाव कोण की गणना करें। (3 अंक)

घर्षणरहित झुके हुए ट्रैक के लिए अभिकल्पित चाल का संबंध है

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

दी गई चाल, त्रिज्या और गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता के मान रखें:

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

प्रतिलोम स्पर्शज्या लेने पर,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

आवश्यक झुकाव कोण क्षैतिज से \(18.8^\circ\) है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• सही अभिकल्पित चाल संबंध का उपयोग करने के लिए 1 अंक।
• सही मान रखने के लिए 1 अंक।
• सही कोण के लिए 1 अंक।

(b) अभिलंब बल की गणना करें। (2 अंक)

कार का ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है, इसलिए अभिलंब बल का ऊर्ध्वाधर घटक उसके भार को संतुलित करता है:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

पुनर्व्यवस्थित करने पर:

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

अभिलंब बल का परिमाण \(9.31\times10^3\,\text{N}\) है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• अभिलंब बल को ऊर्ध्वाधर दिशा में विभाजित करके सही समीकरण का उपयोग करने के लिए 1 अंक।
• इकाई सहित सही अभिलंब बल के लिए 1 अंक।

(c) केंद्र की ओर घटक की गणना करें और उसकी पुष्टि करें। (2 अंक)

अभिलंब बल का केंद्र की ओर घटक है

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

\(F_N\cos\theta=mg\) का उपयोग करके इसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है:

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

अब वृत्तीय गति के लिए आवश्यक केंद्र की ओर परिणामी बल की गणना करें:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

अभिलंब बल का केंद्र की ओर घटक, आवश्यक केंद्र की ओर परिणामी बल के बराबर है; दोनों मानों में केवल पूर्णांकन के कारण मामूली अंतर हो सकता है। इससे पुष्टि होती है कि अभिकल्पित चाल पर अभिलंब बल आवश्यक अभिकेंद्रीय बल प्रदान कर सकता है।

अंकन मार्गदर्शिका:

• अभिलंब बल के केंद्र की ओर घटक की गणना करने के लिए 1 अंक।
• आवश्यक केंद्र की ओर परिणामी बल की गणना करने और दोनों मानों के मेल की पुष्टि करने के लिए 1 अंक।

भाग (b) और (c) में, भाग (a) से प्राप्त कोण का लगातार उपयोग करने पर अनुवर्ती अंक दें, बशर्ते हल करने की विधि सही हो।