अभिलंब बल भार के बराबर कब नहीं होता? HSC भौतिकी
जानें कि वस्तु स्थिर होने पर भी अभिलंब बल हमेशा उसके भार के बराबर क्यों नहीं होता। मुक्त-पिंड आरेखों और चरण-दर-चरण विधि की मदद से झुके तल, कोण पर लगाए गए बल, लिफ्ट और घर्षण से जुड़े प्रश्न हल करें।
आप झुके हुए तल से जुड़े एक प्रश्न को हल कर रहे हैं। गुटका स्थिर है और आप \(N=mg\) लिख देते हैं। यह तर्कसंगत लगता है: शून्य त्वरण का अर्थ है कि बल संतुलित हैं। लेकिन तब आपके परिकलन में अभिलंब बल का मान वास्तविक मान से अधिक निकलता है।
गलती यह मानने में है कि “बल संतुलित हैं” का अर्थ है “अभिलंब बल पूरे भार को संतुलित करता है”। ये दोनों बातें एक जैसी नहीं हैं।
आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाएँ: \(4.0\ \text{kg}\) का एक गुटका क्षैतिज से \(30^\circ\) के कोण पर झुके हुए एक स्थिर रैंप पर रखा है। क्या उसका अभिलंब बल \(39.2\ \text{N}\), \(19.6\ \text{N}\), या इनमें से कोई भी नहीं है?
उत्तर इनमें से कोई भी नहीं है। अभिलंब बल लगभग \(33.9\ \text{N}\) है। पूरा भार \(39.2\ \text{N}\) है, जबकि \(19.6\ \text{N}\) गुरुत्वाकर्षण बल का वह घटक है जो ढलान के नीचे की ओर कार्य करता है।
मुख्य बात यह पहचानना है कि अभिलंब बल किस दिशा में कार्य करता है और फिर उसी दिशा में बलों की गणना करना है।
01निदान: आप गलत बलों का संतुलन बना रहे हैं
अभिलंब बल, \(N\), किसी सतह द्वारा उस सतह के लंबवत लगाया गया संपर्क बल है। भार, \(mg\), गुरुत्वाकर्षण बल है जो ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर कार्य करता है।
यहाँ \(m\) किलोग्राम में द्रव्यमान है और \(g\) गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता है, जिसका मान पृथ्वी की सतह के निकट लगभग \(9.8\ \text{m s}^{-2}\) होता है।
एक क्षैतिज मेज पर अभिलंब बल ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर होता है। भार ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर होता है। ये दोनों बल सीधे एक-दूसरे को संतुलित कर सकते हैं।
झुके हुए तल पर अभिलंब बल की दिशा ऊर्ध्वाधर दिशा के सापेक्ष झुकी हुई होती है। यह पूरे भार को संतुलित नहीं कर सकता, क्योंकि दोनों बल विपरीत दिशाओं में कार्य नहीं करते।
अपने मुक्त-पिंड आरेख में सबसे पहले यही जाँचें: अभिलंब बल को वास्तविक संपर्क सतह के लंबवत दर्शाएँ, न कि स्वतः ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर।
अभिलंब बल भार के बराबर कब होता है?
| क्षैतिज सतह | N = mg ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य; कोई अन्य ऊर्ध्वाधर बल नहीं। |
|---|---|
| θ कोण पर झुका तल | N = mg cos θ स्थिर सीधा तल; लंबवत त्वरण शून्य; कोई अन्य लंबवत बल नहीं। |
| ऊपर की ओर कोण पर खिंचाव | N = mg − F sin β खींचने वाला बल F क्षैतिज से β कोण ऊपर की ओर कार्य करता है; ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य; संपर्क बना रहता है। |
आपके मुक्त-पिंड आरेख में क्या दिखना चाहिए
मुक्त-पिंड आरेख में किसी एक वस्तु को अलग करके उस पर कार्य करने वाले सभी बल दिखाए जाते हैं। अभिलंब बल से जुड़े प्रश्नों में इन बलों को सावधानीपूर्वक नामांकित करें।
| स्थिति | बलों के आवश्यक नामांकन | सतह के लंबवत बल का समीकरण |
|---|---|---|
| क्षैतिज मेज | \(N\) ऊपर की ओर, \(mg\) नीचे की ओर | \(N-mg=ma_y\) |
| झुका हुआ तल | \(N\) तल के लंबवत, \(mg\) ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर | \(N-mg\cos\theta=ma_\perp\) |
| ऊपर की ओर कोण पर खींचे जाने वाला बल, क्षैतिज सतह पर | \(N\) ऊपर की ओर, \(mg\) नीचे की ओर और खींचने वाले बल का ऊर्ध्वमुखी घटक | \(N+F_y-mg=ma_y\) |
यहाँ \(a_y\) ऊर्ध्वाधर त्वरण है, \(a_\perp\) सतह के लंबवत त्वरण है और \(F_y\) लगाए गए बल का ऊर्ध्वमुखी ऊर्ध्वाधर घटक है। इस तालिका में यह माना गया है कि अन्य कोई बल सतह के लंबवत घटक नहीं रखता। यदि ऐसे अतिरिक्त बल मौजूद हों, तो उन्हें भी शामिल करना होगा।
झुके हुए तल के समीकरण में \(\theta\), तल और क्षैतिज दिशा के बीच का कोण है। इस समीकरण में गुरुत्वाकर्षण बल का तल के लंबवत घटक \(mg\cos\theta\) उपयोग किया जाता है।
ध्यान दें कि इन समीकरणों में एक बात समान है: ये सतह के लंबवत दिशा में न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करते हैं।
\[ \boxed{\sum F_\perp=ma_\perp} \]
प्रतीक \(\sum F_\perp\) का अर्थ है सतह के लंबवत दिशा में परिणामी बल। \(N=mg\) मान लेने के बजाय इसी समीकरण से शुरुआत करनी चाहिए।
02\(N=mg\) वास्तव में कब सही होता है?
एक किताब पर विचार करें जो क्षैतिज मेज पर रखी है।
किताब का ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है। यदि उस पर कार्य करने वाले एकमात्र ऊर्ध्वाधर बल अभिलंब बल और भार हैं, तो परिणामी ऊर्ध्वाधर बल शून्य होना चाहिए।
ऊपर की दिशा को धनात्मक मानते हुए,
\[ N-mg=0 \]
इसलिए,
\[ \boxed{N=mg} \]
यह परिणाम विशेष परिस्थितियों के कारण सही है, केवल इसलिए नहीं कि किताब स्थिर है।
अब एक-एक करके परिस्थिति में बदलाव करें।
स्थिति 1: झुके हुए तल पर कोई वस्तु
गुरुत्वाकर्षण बल को दो घटकों में विभाजित करें:
- \(mg\cos\theta\), जो तल के लंबवत और तल के भीतर की ओर निर्देशित है।
- \(mg\sin\theta\), जो तल के समानांतर और ढलान के नीचे की ओर निर्देशित है।
यदि वस्तु एक स्थिर, सीधे झुके हुए तल के संपर्क में बनी रहती है, तो तल के लंबवत उसका त्वरण शून्य होता है। यदि किसी अन्य बल का लंबवत घटक नहीं है, तो अभिलंब बल गुरुत्वाकर्षण बल के केवल लंबवत घटक को संतुलित करता है।
\[ N-mg\cos\theta=0 \]
अतः,
\[ \boxed{N=mg\cos\theta} \]
वस्तु स्थिर हो सकती है या ढलान के नीचे की ओर त्वरण कर सकती है। दोनों ही स्थितियों में अभिलंब बल का मान यही होगा, बशर्ते लंबवत त्वरण शून्य रहे और कोई अन्य लंबवत बल कार्य न करे।
- N/(mg) = cos θ
यह ग्राफ दिखाता है कि इन मान्यताओं के अंतर्गत ढलान का कोण बढ़ने पर अभिलंब बल क्यों घटता है। \(0^\circ\) पर तल क्षैतिज होता है, इसलिए \(N=mg\)। \(60^\circ\) पर अभिलंब बल पूरे भार का केवल आधा होता है।
घटक \(mg\sin\theta\) अभिलंब बल नहीं है। यह ढलान के समानांतर कार्य करता है और तल के समानांतर गति के लिए प्रासंगिक है।
स्थिति 2: वस्तु पर एक अतिरिक्त बल कार्य करता है
क्षैतिज मेज पर वापस आएँ। मान लें कि आप एक डिब्बे को कोण बनाते हुए ऊपर की ओर खींचते हैं।
आपके खींचने वाले बल का एक भाग क्षैतिज दिशा में कार्य करता है। दूसरा भाग ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर कार्य करता है और डिब्बे को सहारा देने में मदद करता है।
यदि डिब्बे का ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है, तो ऊर्ध्वाधर बलों के लिए
\[ N+F_y-mg=0 \]
इसलिए,
\[ \boxed{N=mg-F_y} \]
खींचने वाले बल का ऊर्ध्वमुखी घटक अभिलंब बल को कम कर देता है। यदि आप इसके बजाय किसी कोण पर नीचे की ओर धक्का देते हैं, तो बल का अधोमुखी घटक अभिलंब बल को बढ़ा देता है।
किसी सीधे तल के पूर्णतः समानांतर कार्य करने वाले बल का उस तल के लंबवत कोई घटक नहीं होता। इसलिए, जब लंबवत त्वरण शून्य बना रहता है, तो ऐसा बल अभिलंब बल को सीधे नहीं बदलता।
स्थिति 3: वस्तु ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरण करती है
अब वस्तु को लिफ्ट के भीतर एक तराजू पर रखें।
तराजू वस्तु पर लगने वाले अभिलंब संपर्क बल को मापता है। यदि लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरण करती है, तो परिणामी ऊर्ध्वमुखी बल उत्पन्न करने के लिए अभिलंब बल का भार से अधिक होना आवश्यक है।
ऊपर की दिशा को धनात्मक मानते हुए,
\[ N-mg=ma_y \]
पुनर्व्यवस्थित करने पर,
\[ \boxed{N=m(g+a_y)} \]
यदि ऊपर की ओर त्वरण का परिमाण \(a\) है, तो
\[ N=m(g+a) \]
यदि नीचे की ओर त्वरण का परिमाण \(a\) है, तो
\[ N=m(g-a) \]
इसलिए किसी व्यक्ति को अपना द्रव्यमान या गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता बदले बिना भी अधिक भारी या हल्का महसूस हो सकता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि त्वरण बदलने से सहारा देने वाला बल बदल गया है।
मुक्त पतन में अभिलंब बल शून्य होता है, भले ही गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता रहता है। व्यक्ति और लिफ्ट दोनों एक साथ नीचे की ओर त्वरण करते हैं, इसलिए तराजू अब व्यक्ति को सहारा नहीं देता।
03परीक्षा के प्रश्नों के लिए एक विश्वसनीय विधि
जब भी आपको अभिलंब बल की गणना करने के लिए कहा जाए, तो इस क्रम का उपयोग करें।
चरण 1: संपर्क सतह की पहचान करें।
क्या वस्तु क्षैतिज फर्श, झुके हुए तल, दीवार या वक्र सतह पर है? अभिलंब बल संपर्क बिंदु पर सतह के लंबवत होना चाहिए।
चरण 2: मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
वस्तु पर कार्य करने वाले भार, अभिलंब बल और प्रत्येक आरोपित बल, तनाव तथा घर्षण बल को शामिल करें। पृथ्वी की सतह के निकट भार हमेशा ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर होता है। अभिलंब बल संपर्क सतह के लंबवत होता है।
चरण 3: लंबवत अक्ष चुनें।
क्षैतिज सतह के लिए ऊर्ध्वाधर अक्ष का उपयोग करें। सीधे झुके हुए तल के लिए तल के समानांतर और तल के लंबवत अक्ष चुनें।
चरण 4: बलों को घटकों में विभाजित करें।
केवल सतह के लंबवत घटक ही लंबवत बल के समीकरण में शामिल होते हैं। तल के समानांतर बल इस समीकरण में कोई योगदान नहीं देता।
चरण 5: न्यूटन का दूसरा नियम लागू करें।
लिखें,
\[ \sum F_\perp=ma_\perp \]
केवल तभी \(a_\perp=0\) रखें, जब वस्तु का सतह के लंबवत कोई त्वरण न हो। किसी स्थिर, सीधे तल के संपर्क में रहने पर आमतौर पर यह शर्त पूरी होती है।
चरण 6: जाँचें कि संपर्क भौतिक रूप से संभव है या नहीं।
अभिलंब बल किसी वस्तु को सतह से दूर धकेल सकता है, लेकिन सतह की ओर खींच नहीं सकता। इस मॉडल में \(N\) ऋणात्मक नहीं हो सकता।
यदि आपकी गणना में \(N<0\) आता है, तो मानी गई संपर्क स्थिति असंभव है। संपर्क समाप्त हो जाने पर \(N=0\) रखें और फिर इस अभिलंब बल के बिना वस्तु की गति का विश्लेषण करें।
अभिलंब बल ज्ञात करने की विश्वसनीय विधि
- सतह की पहचान करें
अभिलंब दिशा को संपर्क सतह के लंबवत चुनें।
- सभी बलों की सूची बनाएँ
भार, अभिलंब बल, लगाए गए बल, तनाव और घर्षण को शामिल करें।
- लंबवत घटकों में विभाजित करें
केवल सतह के लंबवत बल-घटकों को शामिल करें।
- न्यूटन का दूसरा नियम लागू करें
ΣF⊥ = ma⊥
a⊥ = 0 का उपयोग केवल तभी करें, जब लंबवत त्वरण शून्य हो।
- संपर्क की जाँच करें
N ≥ 0: संपर्क बना रह सकता है। N < 0: N = 0 रखें और संपर्क के बिना गति का पुनः विश्लेषण करें।
04हल किए गए उदाहरण
हल किया गया उदाहरण: झुके हुए तल पर एक स्थिर डिब्बा
\(6.0\ \text{kg}\) का एक डिब्बा क्षैतिज से \(25^\circ\) के कोण पर झुके हुए चिकने तल पर रखा है। एक रस्सी तल के समानांतर कार्य करके उसे स्थिर रखती है। अभिलंब बल की गणना करें। \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।
चरण 1
अभिलंब बल तल के लंबवत कार्य करता है। गुरुत्वाकर्षण बल ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर कार्य करता है और उसका तल के भीतर की ओर लंबवत घटक \(mg\cos25^\circ\) है।
रस्सी तल के समानांतर कार्य करती है, इसलिए उसका कोई लंबवत घटक नहीं है।
चरण 2
डिब्बे का लंबवत त्वरण शून्य है, इसलिए
\[ N-mg\cos25^\circ=0 \]
अतः,
\[ N=mg\cos25^\circ \]
चरण 3
\[ \begin{aligned} N&=(6.0\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2}) \cos25^\circ\\ &=58.8\ \text{N}\times0.9063\\ &=53.3\ \text{N} \end{aligned} \]
अभिलंब बल \(\boxed{53.3\ \text{N}}\) है।
आसानी से सही लगने वाला उत्तर गलत क्यों है: \(N=mg=58.8\ \text{N}\) लिखने का अर्थ है कि अभिलंब बल को पूरे भार के विरुद्ध संतुलित माना जा रहा है, जबकि दोनों बल विपरीत दिशाओं में कार्य नहीं करते। रस्सी झुके हुए तल के समानांतर गुरुत्वाकर्षण घटक को संतुलित करती है; अभिलंब बल उसके लंबवत घटक को संतुलित करता है।
डिब्बा स्थिर है, लेकिन इसका अर्थ यह नहीं कि अभिलंब बल उसके भार के बराबर है।
हल किया गया उदाहरण: कोण पर खींचा जाने वाला डिब्बा
\(10.0\ \text{kg}\) के एक डिब्बे को क्षैतिज फर्श पर \(50.0\ \text{N}\) के बल से खींचा जाता है। यह बल क्षैतिज से \(30^\circ\) ऊपर की दिशा में कार्य करता है। डिब्बा क्षैतिज दिशा में त्वरण करता है, लेकिन उसका ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है और वह फर्श के संपर्क में बना रहता है। अभिलंब बल की गणना करें।
चरण 1
अभिलंब बल ऊपर की ओर और भार नीचे की ओर कार्य करता है। खींचने वाले बल का एक ऊर्ध्वमुखी घटक भी है।
खींचने वाले बल का ऊर्ध्वमुखी घटक है,
\[ F_y=F\sin30^\circ \]
चरण 2
ऊर्ध्वाधर त्वरण नहीं है, इसलिए
\[ N+F\sin30^\circ-mg=0 \]
पुनर्व्यवस्थित करने पर,
\[ N=mg-F\sin30^\circ \]
चरण 3
\[ \begin{aligned} N&=(10.0)(9.8)-50.0\sin30^\circ\\ &=98.0-25.0\\ &=73.0\ \text{N} \end{aligned} \]
अभिलंब बल \(\boxed{73.0\ \text{N}}\) है।
चरण 4
खींचने वाले बल का क्षैतिज घटक क्षैतिज गति को प्रभावित करता है। वह ऊर्ध्वाधर बल के समीकरण में शामिल नहीं होता, क्योंकि उसका कोई ऊर्ध्वाधर घटक नहीं है।
अभिलंब बल भार से कम है, क्योंकि खींचने वाले बल का ऊर्ध्वमुखी घटक डिब्बे के भार के एक भाग को सहारा देता है।
गलत तरीका यह है कि केवल इसलिए \(N=mg=98.0\ \text{N}\) लिख दिया जाए क्योंकि फर्श क्षैतिज है। केवल फर्श की दिशा जानना पर्याप्त नहीं है; आपको अन्य सभी बलों और फर्श के लंबवत त्वरण को भी ध्यान में रखना होगा।
कोण पर लगाए गए बल अभिलंब बल को कैसे बदलते हैं
| कोण पर लगाया गया कोई बल नहीं | N = mg = 98 N केवल ऊर्ध्वाधर बल N और भार हैं। |
|---|---|
| 30° के कोण पर 50 N का ऊर्ध्वमुखी खिंचाव | N = mg − F sin 30° = 73 N ऊर्ध्वमुखी घटक N को 25 N कम करता है। |
| 30° के कोण पर 50 N का अधोमुखी धक्का | N = mg + F sin 30° = 123 N अधोमुखी घटक N को 25 N बढ़ाता है। |
05ऐसी सरल धारणाएँ जो परीक्षा में गलत साबित होती हैं
| प्रश्न में क्या कहा गया है | वास्तव में आपको क्या जाँचना चाहिए |
|---|---|
| “वस्तु स्थिर है।” | क्या अन्य बल भी कार्य कर रहे हैं, और क्या सतह क्षैतिज है? शून्य त्वरण का अर्थ अपने-आप \(N=mg\) नहीं होता। |
| “वस्तु नियत चाल से चलती है।” | सीधी रेखा में नियत चाल का अर्थ शून्य त्वरण है, लेकिन फिर भी आपको बलों के सही घटकों का संतुलन करना होगा। |
| “वस्तु क्षैतिज दिशा में त्वरण करती है।” | यदि सतह क्षैतिज है, ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है और कोई अन्य ऊर्ध्वाधर बल कार्य नहीं करता, तो अभिलंब बल फिर भी \(mg\) के बराबर हो सकता है। |
| “एक बल वस्तु को ढलान के ऊपर खींचता है।” | क्या बल ढलान के समानांतर है या उससे दूर की ओर कोण बनाता है? केवल दूसरी स्थिति में बल सीधे \(N\) को कम करता है। |
| “वस्तु को ऊर्ध्वाधर दीवार से दबाकर रखा गया है।” | अभिलंब बल क्षैतिज होता है। यदि वस्तु स्थिर है, तो घर्षण ऊर्ध्वाधर दिशा में उसके भार को सहारा दे सकता है। |
| “गणना में अभिलंब बल ऋणात्मक आता है।” | मानी गई परिस्थितियों में संपर्क बनाए रखना संभव नहीं है। \(N=0\) मानकर गति का दोबारा विश्लेषण करें। |
एक और विशेष स्थिति महत्त्वपूर्ण है। वक्र पथ पर वस्तु का त्वरण सतह के लंबवत हो सकता है, इसलिए \(N=mg\cos\theta\) भी गलत हो सकता है। याद किए हुए सूत्र पर निर्भर रहने के बजाय न्यूटन के दूसरे नियम का फिर से उपयोग करें।
यह भी ध्यान रखें कि अभिलंब बल और भार, न्यूटन के तीसरे नियम के क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म नहीं हैं। दोनों एक ही वस्तु पर कार्य करते हैं। भार के प्रति प्रतिक्रिया पृथ्वी पर वस्तु द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है; अभिलंब बल के प्रति प्रतिक्रिया सतह पर वस्तु द्वारा लगाया गया संपर्क बल है।
घर्षण के लिए अभिलंब बल क्यों महत्त्वपूर्ण है
यहीं यह गलतफहमी दूसरी गलती का कारण बन सकती है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण है,
\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]
यहाँ \(f_{s,\max}\) उपलब्ध स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान है और \(\mu_s\) स्थैतिक घर्षण का गुणांक है। स्थैतिक घर्षण अपने-आप इस अधिकतम मान के बराबर नहीं होता। फिसलने से रोकने के लिए जितने घर्षण की आवश्यकता होती है, वह उसी के अनुसार बदलता है, लेकिन अधिकतम सीमा से अधिक नहीं हो सकता।
यदि लगाया गया बल किसी वस्तु को झुके हुए तल से दूर खींचता है, तो अभिलंब बल कम हो जाता है। इससे अधिकतम स्थैतिक घर्षण भी कम हो जाता है।
इसलिए वस्तु को ढलान के ऊपर खींचने वाला बल दो तरह से एक साथ अधिक प्रभावी हो सकता है: ढलान के समानांतर उसका घटक वस्तु को ऊपर की ओर ले जाने की प्रवृत्ति बढ़ाता है, जबकि सतह से बाहर की ओर उसका घटक उस गति का विरोध करने के लिए उपलब्ध घर्षण को कम करता है।
- अभिलंब बल N
- अधिकतम स्थैतिक घर्षण μₛN
0630 सेकंड में स्वयं की जाँच करें
अभिलंब बल की गणना पूरी करने के बाद आगे बढ़ने से पहले स्वयं से पूछें:
- क्या मैंने \(N\) को वास्तविक सतह के लंबवत दर्शाया है?
- क्या मैंने वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बलों को शामिल किया है?
- क्या मैंने बलों को अभिलंब दिशा के घटकों में विभाजित किया है?
- क्या मैंने \(N=mg\) मान लेने के बजाय \(\sum F_\perp=ma_\perp\) का उपयोग किया है?
- क्या मेरा उत्तर भौतिक रूप से संभव है, अर्थात संपर्क बना रहने तक \(N\geq0\) है?
- यदि घर्षण शामिल है, तो क्या अधिकतम उपलब्ध घर्षण निकालने से पहले मैंने \(N\) की गणना की है?
अब जाँचें कि क्या आप परिस्थितियाँ बदलने पर भी इस विधि को लागू कर सकते हैं।
07प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
\(4.0\ \text{kg}\) का एक डिब्बा क्षैतिज मेज पर रखा है। उस पर कोई अन्य ऊर्ध्वाधर बल कार्य नहीं करता। मेज द्वारा लगाए गए अभिलंब बल की गणना करें। \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।
समाधान 1
अभिलंब बल \(\boxed{39.2\ \text{N}}\) है, क्योंकि डिब्बे का ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है और उस पर कार्य करने वाले एकमात्र ऊर्ध्वाधर बल अभिलंब बल तथा भार हैं।
ऊपर की दिशा को धनात्मक मानते हुए,
\[ N-mg=ma_y \]
चूँकि \(a_y=0\),
\[ N=mg \]
मानों को समीकरण में रखें:
\[ N=(4.0\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2}) =39.2\ \text{N} \]
यहाँ \(N=mg\) सही है, क्योंकि सतह क्षैतिज है, कोई अतिरिक्त ऊर्ध्वाधर बल कार्य नहीं करता और डिब्बे का ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है। इस परिणाम को हर सतह या हर परिस्थिति पर लागू न करें।
प्रश्न 2
\(8.0\ \text{kg}\) के एक संदूक को क्षैतिज से \(30^\circ\) के कोण पर झुके हुए स्थिर तल पर विराम अवस्था में रखा गया है। \(25\ \text{N}\) का एक बल तल के समानांतर ढलान के ऊपर की ओर कार्य करता है। स्थैतिक घर्षण भी कार्य करता है और सतह आवश्यकतानुसार जितना भी स्थैतिक घर्षण चाहिए, उतना प्रदान कर सकती है।
गणना करें:
(a) अभिलंब बल;
(b) स्थैतिक घर्षण बल का परिमाण और दिशा।
\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।
समाधान 2
अभिलंब बल \(\boxed{67.9\ \text{N}}\) है और स्थैतिक घर्षण बल \(\boxed{14.2\ \text{N}}\) है, जिसकी दिशा ढलान के ऊपर की ओर है। लगाया गया बल और घर्षण ढलान के समानांतर बलों के संतुलन को प्रभावित करते हैं, लेकिन इनमें से किसी का भी लंबवत घटक नहीं है।
भाग (a): अभिलंब बल
गुरुत्वाकर्षण बल का झुके हुए तल के लंबवत घटक \(mg\cos30^\circ\) है। संदूक का लंबवत त्वरण शून्य है, इसलिए
\[ N-mg\cos30^\circ=0 \]
अतः,
\[ \begin{aligned} N&=(8.0)(9.8)\cos30^\circ\\ &=78.4(0.8660)\\ &=67.9\ \text{N} \end{aligned} \]
भाग (b): स्थैतिक घर्षण
ढलान के नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक है,
\[ mg\sin30^\circ =(8.0)(9.8)(0.5) =39.2\ \text{N} \]
लगाया गया बल ढलान के ऊपर की ओर \(25\ \text{N}\) है। यदि घर्षण न होता, तो ढलान के समानांतर परिणामी बल होता,
\[ 39.2-25.0=14.2\ \text{N} \]
ढलान के नीचे की ओर।
चूँकि संदूक स्थिर है, घर्षण को इस प्रवृत्ति का विरोध करना होगा। इसलिए यह \(14.2\ \text{N}\) के परिमाण के साथ ढलान के ऊपर की ओर कार्य करता है।
गलती यह मानना है कि घर्षण को ढलान के नीचे की ओर ही कार्य करना चाहिए, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण का एक घटक नीचे की ओर है। घर्षण सतहों के बीच सापेक्ष गति की प्रवृत्ति का विरोध करता है, केवल गुरुत्वाकर्षण का नहीं।
प्रश्न 3
\(12.0\ \text{kg}\) का एक संदूक क्षैतिज फर्श पर दाईं ओर गति कर रहा है। इसे क्षैतिज से \(35^\circ\) ऊपर की दिशा में \(60.0\ \text{N}\) के बल से खींचा जा रहा है और साथ ही \(20.0\ \text{N}\) का एक बल ऊर्ध्वाधर दिशा में नीचे की ओर लगाया जा रहा है। गतिज घर्षण का गुणांक \(\mu_k=0.25\) है।
मान लें कि संदूक का ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है और वह फर्श के संपर्क में बना रहता है।
गणना करें:
(a) अभिलंब बल;
(b) संदूक का क्षैतिज त्वरण।
\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।
समाधान 3
अभिलंब बल \(\boxed{103.2\ \text{N}}\) है और क्षैतिज त्वरण लगभग \(\boxed{1.95\ \text{m s}^{-2}}\) दाईं ओर है। नीचे की ओर लगाया गया बल अभिलंब बल को बढ़ाता है, जिससे गतिज घर्षण बढ़ता है और परिणामी क्षैतिज बल कम हो जाता है।
भाग (a): अभिलंब बल
ऊर्ध्वाधर बलों में अभिलंब बल और खींचने वाले बल का ऊर्ध्वमुखी घटक शामिल हैं। इनके विरुद्ध भार और अतिरिक्त अधोमुखी बल कार्य करते हैं।
चूँकि ऊर्ध्वाधर त्वरण शून्य है,
\[ N+60.0\sin35^\circ-mg-20.0=0 \]
पुनर्व्यवस्थित करने पर,
\[ N=mg+20.0-60.0\sin35^\circ \]
मानों को रखने पर,
\[ \begin{aligned} N&=117.6+20.0-34.4\\ &=103.2\ \text{N} \end{aligned} \]
भाग (b): क्षैतिज त्वरण
गतिज घर्षण बल बाईं ओर कार्य करता है, क्योंकि संदूक फर्श के सापेक्ष दाईं ओर गति कर रहा है।
इसका परिमाण है,
\[ f_k=\mu_kN \]
अतः,
\[ f_k=0.25(103.2)=25.8\ \text{N} \]
खींचने वाले बल का क्षैतिज घटक है,
\[ F_x=60.0\cos35^\circ =49.1\ \text{N} \]
दाईं दिशा को धनात्मक मानते हुए, परिणामी क्षैतिज बल है,
\[ \begin{aligned} F_{\text{net},x}&=F_x-f_k\\ &=49.1-25.8\\ &=23.3\ \text{N} \end{aligned} \]
क्षैतिज दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करें:
\[ a_x=\frac{F_{\text{net},x}}{m} \]
\[ a_x=\frac{23.3}{12.0} =1.94\ \text{m s}^{-2} \]
संदूक लगभग \(1.95\ \text{m s}^{-2}\) के त्वरण से दाईं ओर गति करता है।
एक सामान्य गलती घर्षण की गणना करते समय \(N=mg\) का उपयोग करना है। इससे खींचने वाले बल के ऊर्ध्वमुखी घटक और अतिरिक्त अधोमुखी बल, दोनों की उपेक्षा होगी। परिणामस्वरूप घर्षण बल और इसलिए त्वरण का मान गलत निकलेगा।
प्रश्न 4
\(60.0\ \text{kg}\) का एक यात्री लिफ्ट के भीतर तराजू पर खड़ा है। तराजू का पाठ्यांक \(510\ \text{N}\) है।
(a) यात्री के ऊर्ध्वाधर त्वरण की गणना करें।
(b) आप लिफ्ट की गति के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? समझाएँ कि केवल तराजू का पाठ्यांक यह निर्धारित क्यों नहीं करता कि लिफ्ट ऊपर जा रही है या नीचे।
\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें। मान लें कि तराजू का पाठ्यांक यात्री पर लगने वाले अभिलंब बल के बराबर है और कोई अन्य ऊर्ध्वाधर बल कार्य नहीं करता।
समाधान 4
यात्री का त्वरण \(\boxed{1.30\ \text{m s}^{-2}}\) नीचे की ओर है। तराजू का पाठ्यांक त्वरण की दिशा बताता है, वेग की दिशा नहीं।
भाग (a): त्वरण
ऊपर की दिशा को धनात्मक मानें। ऊर्ध्वाधर बल का समीकरण है,
\[ N-mg=ma_y \]
पुनर्व्यवस्थित करने पर,
\[ a_y=\frac{N-mg}{m} \]
यात्री का भार है,
\[ mg=(60.0)(9.8)=588\ \text{N} \]
मानों को रखने पर,
\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{510-588}{60.0}\\ &=\frac{-78}{60.0}\\ &=-1.30\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि त्वरण नीचे की ओर है।
भाग (b): गति की दिशा
लिफ्ट नीचे की ओर त्वरण कर रही है। यदि वह ऊपर की ओर जा रही है, तो उसकी चाल कम हो रही होगी। यदि वह नीचे की ओर जा रही है, तो उसकी चाल बढ़ रही होगी।
नीचे की ओर गति शुरू होने के क्षण में लिफ्ट की गति क्षणिक रूप से शून्य भी हो सकती है। केवल तराजू का पाठ्यांक लिफ्ट का वेग नहीं बताता।
आसानी से होने वाली गलती यह कहना है कि यात्री के भार से कम पाठ्यांक का अर्थ है कि लिफ्ट नीचे की ओर जा रही है। पाठ्यांक त्वरण बताता है, यात्रा की दिशा नहीं। वेग और त्वरण अलग-अलग राशियाँ हैं।
प्रश्न 5
\(5.0\ \text{kg}\) का एक गुटका क्षैतिज से \(30^\circ\) के कोण पर झुके हुए खुरदरे, स्थिर तल पर रखा है। स्थैतिक घर्षण का गुणांक \(\mu_s=0.70\) है।
एक बल \(F\) तल से \(20^\circ\) ऊपर के कोण पर लगाया जाता है। यह बल ढलान के ऊपर की ओर तथा सतह से दूर की ओर निर्देशित है। \(F=0\) से शुरू करके बल को धीरे-धीरे बढ़ाया जाता है।
मान लें कि गुटका शुरू में विराम अवस्था में रहता है, झुका हुआ तल सीधा है और संपर्क बना रहने तक गुटके का तल के लंबवत त्वरण शून्य है। \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) लें।
निर्धारित करें:
(a) वह बल जिस पर स्थैतिक घर्षण की दिशा बदलती है;
(b) वह बल जिस पर गुटका पहली बार ढलान के ऊपर की ओर फिसलने लगता है;
(c) क्या गुटका ऊपर की ओर फिसलने से पहले झुके हुए तल से संपर्क खो देता है?
समझाएँ कि \(N=mg\cos30^\circ\) को एक नियत मानने से भाग (b) का उत्तर गलत क्यों मिलता है।
समाधान 5
स्थैतिक घर्षण की दिशा लगभग \(\boxed{26.1\ \text{N}}\) पर बदलती है। गुटका लगभग \(\boxed{46.0\ \text{N}}\) पर पहली बार ऊपर की ओर फिसलता है। यह उस बल से काफी पहले होता है जिस पर अभिलंब बल शून्य होकर संपर्क समाप्त हो जाता; यह बल लगभग \(\boxed{124\ \text{N}}\) है।
मुख्य बात यह है कि लगाए गए बल के दो घटक हैं: एक ढलान के ऊपर की ओर कार्य करता है, जबकि दूसरा गुटके को सतह से दूर खींचता है। दूसरा घटक अभिलंब बल को कम करता है और इसलिए उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण को भी कम कर देता है।
चरण 1: जाँचें कि गुटका शुरू में विराम अवस्था में रह सकता है या नहीं।
जब \(F=0\) है, तो अभिलंब बल है,
\[ N=mg\cos30^\circ \]
\[ N=(5.0)(9.8)\cos30^\circ =42.4\ \text{N} \]
ढलान के नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक है,
\[ mg\sin30^\circ =(5.0)(9.8)(0.5) =24.5\ \text{N} \]
अधिकतम स्थैतिक घर्षण है,
\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]
\[ f_{s,\max}=0.70(42.4)=29.7\ \text{N} \]
चूँकि \(24.5\ \text{N}<29.7\ \text{N}\), इसलिए स्थैतिक घर्षण शुरू में गुटके को विराम अवस्था में रख सकता है। दी गई प्रारंभिक स्थिति भौतिक रूप से संभव है।
चरण 2: ज्ञात करें कि घर्षण की दिशा कब बदलती है।
लगाए गए बल का ढलान के समानांतर घटक \(F\cos20^\circ\) है, जो ऊपर की ओर निर्देशित है।
शुरू में गुरुत्वाकर्षण का ढलान के नीचे की ओर घटक अधिक होता है, इसलिए गुटके को नीचे फिसलने से रोकने के लिए घर्षण ऊपर की ओर कार्य करता है।
जब दोनों समानांतर घटक संतुलित हो जाते हैं, तब घर्षण शून्य हो जाता है:
\[ F\cos20^\circ=mg\sin30^\circ \]
अतः,
\[ F=\frac{mg\sin30^\circ}{\cos20^\circ} \]
मानों को रखने पर,
\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\sin30^\circ} {\cos20^\circ}\\ &=\frac{24.5}{0.9397}\\ &=26.1\ \text{N} \end{aligned} \]
\(26.1\ \text{N}\) पर ढलान के समानांतर बलों को संतुलित करने के लिए घर्षण की आवश्यकता नहीं होती।
इससे कम लगाए गए बलों पर घर्षण ऊपर की ओर कार्य करता है। इससे अधिक बलों पर लगाए गए बल का ऊर्ध्वमुखी घटक गुरुत्वाकर्षण के अधोमुखी घटक से अधिक हो जाता है, इसलिए गुटके को ऊपर की ओर गति करने से रोकने के लिए घर्षण नीचे की ओर कार्य करना चाहिए।
चरण 3: बदलते हुए अभिलंब बल को ध्यान में रखें।
लगाए गए बल का सतह से बाहर की ओर घटक \(F\sin20^\circ\) है। यह अभिलंब बल को कम करता है।
संपर्क में रहते हुए तल के लंबवत त्वरण शून्य है, इसलिए
\[ N+F\sin20^\circ-mg\cos30^\circ=0 \]
अतः,
\[ \boxed{N=mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ} \]
ज्ञात मानों को रखने पर,
\[ N=42.4-F\sin20^\circ \]
यही सबसे महत्त्वपूर्ण संबंध है। \(F\) बढ़ने पर अभिलंब बल नियत नहीं रहता।
चरण 4: ज्ञात करें कि गुटका ऊपर की ओर फिसलना कब शुरू करता है।
जिस क्षण गुटका ऊपर की ओर फिसलने वाला होता है, उस समय स्थैतिक घर्षण नीचे की ओर अपने अधिकतम परिमाण से कार्य करता है:
\[ f_s=\mu_sN \]
गति शुरू होने की सीमा पर ढलान के समानांतर परिणामी बल अभी भी शून्य होता है। इसलिए,
\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ=\mu_sN \]
\(N\) का व्यंजक रखने पर,
\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ =\mu_s(mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ) \]
\(F\) वाले पदों को एक तरफ करने पर,
\[ F(\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ) =mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ) \]
पुनर्व्यवस्थित करने पर,
\[ F= \frac{mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ)} {\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ} \]
\(m=5.0\ \text{kg}\), \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\) और \(\mu_s=0.70\) रखने पर,
\[ \begin{aligned} F&= \frac{49.0(0.500+0.70\times0.8660)} {0.9397+0.70\times0.3420}\\ &=\frac{54.2}{1.1791}\\ &=46.0\ \text{N} \end{aligned} \]
जब लगाया गया बल लगभग \(46.0\ \text{N}\) तक पहुँचता है, तब गुटका पहली बार ऊपर की ओर फिसलता है।
यदि अभिलंब बल को \(N=mg\cos30^\circ\) मानकर नियत रखा जाए, तो यह सीमा पहले क्यों नहीं मिलती? यदि आप गलती से अभिलंब बल को \(42.4\ \text{N}\) पर स्थिर मान लेते हैं, तो आपको मिलता है,
\[ F= \frac{mg\sin30^\circ+\mu_smg\cos30^\circ} {\cos20^\circ} \]
जिसका मान लगभग \(57.7\ \text{N}\) आता है।
यह उत्तर बहुत अधिक है, क्योंकि इसमें यह माना गया है कि अधिकतम स्थैतिक घर्षण नियत रहता है। वास्तव में, लगाए गए बल का बाहर की ओर घटक \(N\) को कम करता है, इसलिए लगाया गया बल बढ़ने के साथ अधिकतम घर्षण घटता जाता है। परिणामस्वरूप गुटका घर्षण की सीमा तक पहले पहुँच जाता है।
चरण 5: जाँचें कि संपर्क पहले समाप्त होता है या नहीं।
जब अभिलंब बल शून्य हो जाता है, तब संपर्क समाप्त हो जाता है:
\[ mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ=0 \]
अतः,
\[ F=\frac{mg\cos30^\circ}{\sin20^\circ} \]
मानों को रखने पर,
\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\cos30^\circ} {\sin20^\circ}\\ &=\frac{42.4}{0.3420}\\ &=124\ \text{N} \end{aligned} \]
ऊपर की ओर फिसलने की सीमा \(46.0\ \text{N}\) पर अभिलंब बल अभी भी धनात्मक है:
\[ \begin{aligned} N&=42.4-46.0\sin20^\circ\\ &\approx26.7\ \text{N} \end{aligned} \]
इसलिए संपर्क समाप्त होने से पहले ही गुटका ऊपर की ओर फिसलना शुरू कर देता है।
यहाँ महत्त्वपूर्ण बात यह है कि लगाया गया बल ढलान के समानांतर गति करने की प्रवृत्ति और उसके लंबवत संपर्क बल, दोनों को बदलता है। अभिलंब बल अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण निर्धारित करता है, इसलिए लगाए गए बल के दोनों घटकों को ध्यान में रखे बिना फिसलने की सीमा की सही गणना नहीं की जा सकती।
अगली बार जब किसी प्रश्न में घर्षण शामिल हो, तो \(f_{s,\max}=\mu_sN\) का उपयोग करने से पहले अभिलंब बल की गणना करें। लिफ्ट से जुड़े प्रश्न में आभासी भार निर्धारित करने के लिए इसी लंबवत बल वाले तर्क का उपयोग करें। विश्वसनीय तरीका हमेशा एक ही है: सतह की पहचान करें, बलों को घटकों में विभाजित करें और संपर्क के लंबवत दिशा में न्यूटन का दूसरा नियम लागू करें।