कोणीय वेग, चाल, आवर्तकाल और आवृत्ति: अभ्यास परीक्षा

यह tutorgum का एक मौलिक अभ्यास प्रश्नपत्र है, जो समान वृत्तीय गति के कोणीय और रैखिक वर्णनों के बीच संबंध पर आधारित है। इसमें भौतिकी के 2017 संस्करण के निर्धारित दायरे के अंतर्गत कोणीय वेग, चाल, आवर्तकाल और आवृत्ति का आकलन किया जाता है। यह किसी विशिष्ट विषय पर केंद्रित प्रश्नपत्र है, संपूर्ण पाठ्यक्रम की मॉक परीक्षा नहीं है। यह NESA का आधिकारिक, अनुमोदित, पूर्ववर्ती या अनुमानित प्रश्नपत्र भी नहीं है।

01परीक्षा संबंधी निर्देश

• सुझाया गया कार्य समय: 50 मिनट।
• प्रश्नपत्र पढ़ने का समय: 5 मिनट।
• कुल अंक: 36।
• अनुमत उपकरण: वैज्ञानिक कैलकुलेटर, पेन और पेंसिल। कोई नोट्स नहीं।
• परीक्षा की परिस्थितियाँ: ये अभ्यास प्रश्नपत्र की परिस्थितियाँ हैं, न कि NESA की आधिकारिक परीक्षा के नियमों के बारे में कोई दावा।

मूल्यांकित विषय-क्षेत्र

इस प्रश्नपत्र में निम्नलिखित विषय शामिल हैं:

• चक्करों, रेडियन, आवृत्ति और आवर्तकाल के बीच रूपांतरण।
• कोणीय विस्थापन और बीते हुए समय से कोणीय वेग की गणना।
• कोणीय वेग और आवृत्ति, आवर्तकाल तथा रैखिक चाल के बीच संबंध स्थापित करना।
• एक ही घूर्णनशील वस्तु पर अलग-अलग त्रिज्याओं पर स्थित बिंदुओं की तुलना करना।
• समान कोणीय वेग और समान रैखिक चाल के बीच अंतर करना।
• समान वृत्तीय गति से संबंधित संख्यात्मक आँकड़ों की व्याख्या करना।

इस प्रश्नपत्र में अभिकेंद्रीय त्वरण और बल, बलाघूर्ण, कोणीय त्वरण, असमान वृत्तीय गति तथा पाठ्यक्रम के अन्य संस्करणों की सामग्री शामिल नहीं है।

संकेत-लेखन और मात्रक

पूरे प्रश्नपत्र में निम्नलिखित संकेतों का उपयोग करें।

• कोणीय विस्थापन, \(\Delta\theta\), कोणीय स्थिति में परिवर्तन को दर्शाता है और इसे रेडियन (rad) में मापा जाता है।
• कोणीय वेग, \(\omega\), कोणीय विस्थापन में परिवर्तन की दर को दर्शाता है और इसे रेडियन प्रति सेकंड (\(\text{rad s}^{-1}\)) में मापा जाता है।
• त्रिज्या, \(r\), को मीटर (m) में मापा जाता है।
• रैखिक चाल, \(v\), को मीटर प्रति सेकंड (\(\text{m s}^{-1}\)) में मापा जाता है।
• बीते हुए समय, \(t\), को सेकंड (s) में मापा जाता है।
• आवर्तकाल, \(T\), एक पूरा चक्कर लगाने में लगने वाला समय है और इसे सेकंड (s) में मापा जाता है।
• आवृत्ति, \(f\), प्रति सेकंड पूरे किए गए चक्करों की संख्या है और इसे हर्ट्ज़ (Hz) में मापा जाता है।

जहाँ भी घूर्णन को समान बताया गया है, वहाँ समान वृत्तीय गति मानें। \(\pi\) या अपने कैलकुलेटर में उपलब्ध इसका मान इस्तेमाल करें, मात्रक अवश्य लिखें और तीन सार्थक अंकों तक उत्तर दें, जब तक दिए गए आँकड़े इससे कम सार्थक अंकों को उचित न ठहराएँ।

सभी प्रश्न हल किए गए समाधानों से पहले दिए गए हैं। मूल्यांकन मार्गदर्शिका देखने से पहले निर्धारित समय-सीमा के भीतर प्रश्नपत्र हल करने का प्रयास करें।

02प्रश्न

प्रश्न 1 (4 अंक)

एक टर्नटेबल 10.0 s में 15 चक्कर पूरे करता है।

(a) इसकी आवृत्ति और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

(b) 10.0 s के अंतराल में टर्नटेबल का कोणीय विस्थापन रेडियन में ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(c) इस अंतराल में औसत कोणीय वेग की गणना कीजिए। (1 अंक)

प्रश्न 2 (5 अंक)

एक ड्राइव शाफ्ट समान रूप से 120.0 चक्कर प्रति मिनट (rpm) की दर से घूमता है।

(a) इस घूर्णन दर को हर्ट्ज़ में आवृत्ति में परिवर्तित कीजिए। (1 अंक)

(b) शाफ्ट के कोणीय वेग की गणना रेडियन प्रति सेकंड में कीजिए। (2 अंक)

(c) 3.50 s के समयांतराल में शाफ्ट के कोणीय विस्थापन की गणना कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 3 (5 अंक)

एक घूर्णनशील मंच पर लगा चिह्न 0.400 m त्रिज्या वाले पथ पर समान वृत्तीय गति करता है। इसे एक चक्कर पूरा करने में 1.60 s लगते हैं।

(a) चिह्न की रैखिक चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

(b) चिह्न के कोणीय वेग की गणना कीजिए। (1 अंक)

(c) 12.0 s में चिह्न द्वारा तय की गई दूरी की गणना कीजिए। (2 अंक)

प्रश्न 4 (5 अंक)

एक दृढ़ टर्नटेबल \(0.80\ \text{rad s}^{-1}\) के नियत कोणीय वेग से घूमता है।

बिंदु A केंद्र से 0.10 m की दूरी पर स्थित है, जबकि बिंदु B केंद्र से 0.30 m की दूरी पर स्थित है।

(a) बिंदु A और B के कोणीय वेगों की तुलना कीजिए। अपने उत्तर की व्याख्या कीजिए। (2 अंक)

(b) प्रत्येक बिंदु की रैखिक चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

(c) बिंदु B की रैखिक चाल और बिंदु A की रैखिक चाल का अनुपात ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

प्रश्न 5 (6 अंक)

दो वस्तुएँ, X और Y, समान वृत्तीय गति करती हैं। वस्तु X, 0.200 m त्रिज्या वाले वृत्त में गति करती है और प्रत्येक 0.500 s में एक चक्कर पूरा करती है। वस्तु Y, 0.350 m त्रिज्या वाले वृत्त में गति करती है।

दोनों वस्तुओं की रैखिक चाल समान है।

(a) वस्तु X की रैखिक चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

(b) वस्तु Y का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

(c) किस वस्तु का कोणीय वेग अधिक है? रैखिक चाल, त्रिज्या और कोणीय वेग के बीच संबंध का उपयोग करके अपने उत्तर को उचित ठहराइए। (2 अंक)

प्रश्न 6 (5 अंक)

एक घूर्णनशील सेंसर विभिन्न समयों पर अपनी प्रारंभिक स्थिति से कोणीय विस्थापन दर्ज करता है। पूरे मापन के दौरान घूर्णन समान रहता है।

(a) 0.00 s से 1.50 s तक के मापों का उपयोग करके कोणीय वेग की गणना कीजिए। (2 अंक)

(b) 6.0 s के बाद कोणीय विस्थापन की गणना कीजिए। इस विस्थापन को चक्करों की संख्या के रूप में व्यक्त कीजिए। (2 अंक)

(c) सेंसर पर एक बिंदु घूर्णन अक्ष से 0.250 m की दूरी पर स्थित है। उसकी रैखिक चाल की गणना कीजिए। (1 अंक)

प्रश्न 7 (6 अंक)

एक घूर्णनशील निरीक्षण मंच 45.0 rpm की दर से काम करता है। सेंसर A केंद्र से 0.120 m की दूरी पर लगा है, जबकि सेंसर B केंद्र से 0.280 m की दूरी पर लगा है।

(a) मंच की घूर्णन दर को रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय वेग में परिवर्तित कीजिए। (2 अंक)

(b) प्रत्येक सेंसर की रैखिक चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

(c) सेंसर B को 0.200 m त्रिज्या पर ले जाया जाता है। मंच की घूर्णन दर इस प्रकार समायोजित की जाती है कि सेंसर की रैखिक चाल उसके मूल मान के बराबर बनी रहे। नए कोणीय वेग की गणना रेडियन प्रति सेकंड में कीजिए और नई घूर्णन दर को rpm में व्यक्त कीजिए। (2 अंक)

03हल किए गए समाधान और मूल्यांकन मार्गदर्शिका

नीचे दिए गए चरणों के प्रदर्शन के लिए अंक प्रदान करें। गणितीय रूप से समतुल्य विधियाँ और उचित पूर्णांकन स्वीकार करें। यदि कोई विद्यार्थी पहले प्राप्त संख्यात्मक परिणाम का सही उपयोग करता है, तो आगे की गणना के लिए अंक प्रदान किए जाने चाहिए, भले ही पहले परिणाम में कोई त्रुटि हो।

समाधान 1

(a) आवृत्ति और आवर्तकाल ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

आवृत्ति प्रति सेकंड पूरे किए गए चक्करों की संख्या है। टर्नटेबल 10.0 s में 15 चक्कर पूरे करता है, इसलिए

\[ f=\frac{15}{10.0}=1.50\ \text{Hz} \]

आवर्तकाल एक चक्कर पूरा करने में लगने वाला समय है। यह आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है:

\[ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1.50}=0.667\ \text{s} \]

उत्तर: \(f=1.50\ \text{Hz}\) और \(T=0.667\ \text{s}\)।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सही आवृत्ति के लिए 1 अंक।
• सही आवर्तकाल के लिए 1 अंक।

(b) कोणीय विस्थापन ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

एक पूरा चक्कर \(2\pi\) रेडियन के बराबर होता है। इसलिए, 15 चक्कर निम्नलिखित कोणीय विस्थापन के बराबर हैं:

\[ \Delta\theta=15(2\pi)=30\pi \]

\[ \Delta\theta=94.2\ \text{rad} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• रेडियन में सही कोणीय विस्थापन के लिए 1 अंक।

(c) औसत कोणीय वेग की गणना कीजिए। (1 अंक)

कोणीय वेग, कोणीय विस्थापन को बीते हुए समय से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\ &=\frac{30\pi}{10.0}\\ &=9.42\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• मात्रक सहित सही कोणीय वेग के लिए 1 अंक।

कुल: 4 अंक।

समाधान 2

(a) rpm को आवृत्ति में परिवर्तित कीजिए। (1 अंक)

एक मिनट में 60 सेकंड होते हैं। प्रति सेकंड चक्करों की संख्या प्राप्त करने के लिए घूर्णन दर को 60 से विभाजित करें:

\[ f=\frac{120.0}{60}=2.00\ \text{Hz} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• हर्ट्ज़ में सही आवृत्ति के लिए 1 अंक।

(b) कोणीय वेग की गणना कीजिए। (2 अंक)

प्रत्येक चक्कर \(2\pi\) रेडियन के कोणीय विस्थापन के बराबर होता है। चूँकि शाफ्ट प्रति सेकंड \(f\) चक्कर पूरा करता है, इसलिए उसका कोणीय वेग है:

\[ \omega=2\pi f \]

आवृत्ति का मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi(2.00)\\ &=4\pi\\ &=12.6\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• कोणीय वेग और आवृत्ति के बीच सही संबंध के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही संख्यात्मक उत्तर के लिए 1 अंक।

(c) 3.50 s में कोणीय विस्थापन की गणना कीजिए। (2 अंक)

समान घूर्णन के लिए, कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और बीते हुए समय के गुणनफल के बराबर होता है:

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(4\pi)(3.50)\\ &=14\pi\\ &=44.0\ \text{rad} \end{aligned} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• कोणीय विस्थापन के सही संबंध का उपयोग करने के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही संख्यात्मक उत्तर के लिए 1 अंक।

कुल: 5 अंक।

समाधान 3

(a) रैखिक चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

चिह्न प्रत्येक आवर्तकाल \(T\) में एक वृत्त की पूरी परिधि \(2\pi r\) तय करता है। रैखिक चाल, तय की गई दूरी को समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है। इसलिए,

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

\(r=0.400\ \text{m}\) और \(T=1.60\ \text{s}\) रखने पर:

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi(0.400)}{1.60}\\ &=1.57\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

उत्तर: \(1.57\ \text{m s}^{-1}\)।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सही सूत्र के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही संख्यात्मक उत्तर के लिए 1 अंक।

(b) कोणीय वेग की गणना कीजिए। (1 अंक)

एक चक्कर \(2\pi\) रेडियन के बराबर होता है, इसलिए कोणीय वेग है:

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{1.60}\\ &=3.93\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• मात्रक सहित सही कोणीय वेग के लिए 1 अंक।

(c) 12.0 s में तय की गई दूरी की गणना कीजिए। (2 अंक)

चिह्न की रैखिक चाल नियत है। इसलिए, दूरी, रैखिक चाल और बीते हुए समय के गुणनफल के बराबर होगी:

\[ \begin{aligned} d&=vt\\ &=(1.5708)(12.0)\\ &=18.8\ \text{m} \end{aligned} \]

उत्तर: \(18.8\ \text{m}\)।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• \(d=vt\) का उपयोग करने के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही दूरी के लिए 1 अंक।

कुल: 5 अंक।

समाधान 4

(a) कोणीय वेगों की तुलना कीजिए। (2 अंक)

दोनों बिंदु एक ही दृढ़ टर्नटेबल का हिस्सा हैं। किसी भी दिए गए समयांतराल में टर्नटेबल के प्रत्येक बिंदु पर कोणीय विस्थापन समान होता है।

इसलिए,

\[ \omega_A=\omega_B=0.80\ \text{rad s}^{-1} \]

अलग-अलग त्रिज्याओं पर स्थित होने के बावजूद दोनों बिंदुओं के कोणीय वेग समान हैं।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• यह बताने के लिए 1 अंक कि दोनों कोणीय वेग समान हैं।
• यह समझाने के लिए 1 अंक कि दोनों बिंदु समान समय में समान कोणीय विस्थापन पूरा करते हैं।

(b) रैखिक चालों की गणना कीजिए। (2 अंक)

कोणीय वेग और रैखिक चाल के बीच संबंध है:

\[ v=\omega r \]

बिंदु A के लिए:

\[ \begin{aligned} v_A&=(0.80)(0.10)\\ &=0.080\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

बिंदु B के लिए:

\[ \begin{aligned} v_B&=(0.80)(0.30)\\ &=0.24\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

बिंदु B की चाल अधिक है, क्योंकि वह घूर्णन अक्ष से अधिक दूर स्थित है। समान समय में, समान कोणीय विस्थापन पूरा करते हुए वह वृत्तीय पथ पर अधिक लंबा चाप तय करता है।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• बिंदु A की सही रैखिक चाल के लिए 1 अंक।
• बिंदु B की सही रैखिक चाल के लिए 1 अंक।

(c) चालों का अनुपात ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{0.24}{0.080}=3.0 \]

इसलिए,

\[ v_B:v_A=3:1 \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सही अनुपात के लिए 1 अंक।

कुल: 5 अंक।

समाधान 5

(a) वस्तु X की रैखिक चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

वस्तु X की त्रिज्या \(r_X=0.200\ \text{m}\) और आवर्तकाल \(T_X=0.500\ \text{s}\) है।

एक चक्कर में तय की गई परिधि का उपयोग करने पर,

\[ v_X=\frac{2\pi r_X}{T_X} \]

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} v_X&=\frac{2\pi(0.200)}{0.500}\\ &=2.51\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सही सूत्र और उसमें मान रखने के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही रैखिक चाल के लिए 1 अंक।

(b) वस्तु Y का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

दोनों वस्तुओं की रैखिक चाल समान है, इसलिए

\[ v_Y=v_X=2.513\ \text{m s}^{-1} \]

वस्तु Y की रैखिक चाल उसकी परिधि को आवर्तकाल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:

\[ v_Y=\frac{2\pi r_Y}{T_Y} \]

आवर्तकाल को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[ T_Y=\frac{2\pi r_Y}{v_Y} \]

मान रखने पर:

\[ \begin{aligned} T_Y&=\frac{2\pi(0.350)}{2.513}\\ &=0.875\ \text{s} \end{aligned} \]

उत्तर: \(T_Y=0.875\ \text{s}\)।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सही पुनर्व्यवस्थापन और मान रखने के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही आवर्तकाल के लिए 1 अंक।

(c) कोणीय वेगों की तुलना कीजिए। (2 अंक)

रैखिक चाल और कोणीय वेग के बीच संबंध है:

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

वस्तु X के लिए:

\[ \omega_X=\frac{2.513}{0.200}=12.6\ \text{rad s}^{-1} \]

वस्तु Y के लिए:

\[ \omega_Y=\frac{2.513}{0.350}=7.18\ \text{rad s}^{-1} \]

वस्तु X का कोणीय वेग अधिक है। दोनों वस्तुओं की रैखिक चाल समान है, लेकिन X की त्रिज्या छोटी है। इसलिए समान रैखिक चाल बनाए रखने के लिए उसका कोणीय वेग अधिक होना चाहिए।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• रैखिक चाल, त्रिज्या और कोणीय वेग के बीच संबंध का सही उपयोग करने के लिए 1 अंक।
• यह पहचानने के लिए 1 अंक कि वस्तु X का कोणीय वेग अधिक है।

कुल: 6 अंक।

समाधान 6

(a) मापों से कोणीय वेग की गणना कीजिए। (2 अंक)

कोणीय वेग, कोणीय विस्थापन में परिवर्तन को बीते हुए समय से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

0.00 s और 1.50 s पर लिए गए मापों का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{3.60-0.00}{1.50-0.00}\\ &=2.40\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

उत्तर: \(2.40\ \text{rad s}^{-1}\)।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सही संबंध और आँकड़ों के उपयोग के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही कोणीय वेग के लिए 1 अंक।

(b) कोणीय विस्थापन की गणना करके उसे चक्करों में परिवर्तित कीजिए। (2 अंक)

घूर्णन समान है, इसलिए 6.0 s के बाद कोणीय विस्थापन होगा:

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(2.40)(6.0)\\ &=14.4\ \text{rad} \end{aligned} \]

एक चक्कर \(2\pi\) रेडियन के बराबर होता है। इसलिए, चक्करों की संख्या है:

\[ \begin{aligned} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}\\ &=\frac{14.4}{2\pi}\\ &=2.29\ \text{revolutions} \end{aligned} \]

यहाँ \(N\) चक्करों की संख्या को दर्शाता है।

उत्तर: \(14.4\ \text{rad}\), अर्थात \(2.29\) चक्कर।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सही कोणीय विस्थापन के लिए 1 अंक।
• चक्करों में सही रूपांतरण के लिए 1 अंक।

(c) रैखिक चाल की गणना कीजिए। (1 अंक)

यह बिंदु घूर्णन अक्ष से \(0.250\ \text{m}\) की दूरी पर स्थित है। \(v=\omega r\) का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} v&=(2.40)(0.250)\\ &=0.600\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• मात्रक सहित सही रैखिक चाल के लिए 1 अंक।

कुल: 5 अंक।

• ढाल = ω = 2.40 rad s⁻¹

समाधान 7

(a) घूर्णन दर को कोणीय वेग में परिवर्तित कीजिए। (2 अंक)

मंच 45.0 चक्कर प्रति मिनट की दर से घूमता है। इसे प्रति सेकंड चक्करों में परिवर्तित करने पर,

\[ f=\frac{45.0}{60}=0.750\ \text{Hz} \]

चूँकि प्रत्येक चक्कर \(2\pi\) रेडियन के बराबर होता है,

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(0.750)\\ &=4.71\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

उत्तर: \(4.71\ \text{rad s}^{-1}\)।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• rpm को आवृत्ति में सही ढंग से परिवर्तित करने के लिए 1 अंक।
• मात्रक सहित सही कोणीय वेग के लिए 1 अंक।

(b) दोनों सेंसरों की रैखिक चाल की गणना कीजिए। (2 अंक)

घूर्णनशील वस्तु पर स्थित किसी बिंदु की रैखिक चाल है:

\[ v=\omega r \]

सेंसर A के लिए:

\[ \begin{aligned} v_A&=(4.712)(0.120)\\ &=0.565\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

सेंसर B के लिए:

\[ \begin{aligned} v_B&=(4.712)(0.280)\\ &=1.32\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

सेंसर B की रैखिक चाल अधिक है, क्योंकि वह घूर्णन अक्ष से अधिक दूर स्थित है। एक ही दृढ़ मंच पर लगे होने के कारण दोनों सेंसरों का कोणीय वेग समान है।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• सेंसर A की सही रैखिक चाल के लिए 1 अंक।
• सेंसर B की सही रैखिक चाल के लिए 1 अंक।

(c) नया कोणीय वेग और घूर्णन दर ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

सेंसर B की रैखिक चाल लगभग \(1.319\ \text{m s}^{-1}\) पर अपरिवर्तित रहनी चाहिए। इसकी नई त्रिज्या \(0.200\ \text{m}\) है।

\(v=\omega r\) को पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[ \begin{aligned} \omega_{\text{new}}&=\frac{v}{r_{\text{new}}}\\ &=\frac{1.319}{0.200}\\ &=6.60\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

नए कोणीय वेग को चक्कर प्रति मिनट में परिवर्तित करने के लिए, पहले रेडियन प्रति सेकंड को चक्कर प्रति सेकंड में परिवर्तित करें और फिर 60 से गुणा करें:

\[ \begin{aligned} f_{\text{new}}&=\frac{\omega_{\text{new}}}{2\pi}\\ &=\frac{6.596}{2\pi}\\ &=1.05\ \text{Hz} \end{aligned} \]

\[ \text{घूर्णन दर}=1.05(60)=63.0\ \text{rpm} \]

उत्तर: \(\omega_{\text{new}}=6.60\ \text{rad s}^{-1}\) और घूर्णन दर \(63.0\ \text{rpm}\)।

नई घूर्णन दर अधिक है, क्योंकि सेंसर घूर्णन अक्ष के अधिक निकट है। छोटी त्रिज्या पर समान रैखिक चाल बनाए रखने के लिए मंच को अधिक तेज़ी से घूमना होगा।

मूल्यांकन मार्गदर्शिका:

• अपरिवर्तित रैखिक चाल का उपयोग करके नए कोणीय वेग की सही गणना करने के लिए 1 अंक।
• कोणीय वेग को rpm में सही ढंग से परिवर्तित करने के लिए 1 अंक।

कुल: 6 अंक।

अंतिम अंक-जाँच

इस पूरे प्रश्नपत्र में मुख्य संबंध यह है कि कोणीय वेग बताता है कि कोणीय स्थिति कितनी तेज़ी से बदलती है, जबकि रैखिक चाल बताती है कि वृत्तीय पथ पर दूरी कितनी तेज़ी से बदलती है। समान वृत्तीय गति के लिए, इनके बीच संबंध है:

\[ v=\omega r=\frac{2\pi r}{T} \]

एक ही दृढ़ घूर्णनशील वस्तु पर स्थित बिंदुओं का कोणीय वेग समान होता है, लेकिन उनकी रैखिक चाल घूर्णन अक्ष से उनकी दूरी पर निर्भर करती है। इसके विपरीत, यदि दो वस्तुओं की रैखिक चाल समान हो, तो छोटी त्रिज्या वाली वस्तु का कोणीय वेग अधिक होता है।