संवेग या गतिज ऊर्जा? टक्कर की समस्याओं के लिए एक मार्गदर्शिका
तंत्र की पहचान, बाह्य आवेग की जाँच और प्रत्यास्थ तथा अप्रत्यास्थ टक्करों में अंतर करके जानें कि टक्कर की समस्याओं के लिए सही समीकरण कैसे चुनें। इसमें हल किए गए उदाहरण और विस्तृत समाधानों सहित पाँच अभ्यास प्रश्न शामिल हैं।
एक 2.0 kg की ट्रॉली, जो \(+4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चल रही है, स्थिर अवस्था में मौजूद 1.0 kg की ट्रॉली से टकराती है। दोनों ट्रॉलियों का प्रारंभिक कुल संवेग \(+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) है। क्या आप केवल इस जानकारी से दोनों के अंतिम वेग ज्ञात कर सकते हैं?
समीकरण चुनने से पहले तीन संभावनाओं पर विचार करें: संवेग का संरक्षण, गतिज ऊर्जा का संरक्षण, या दोनों का संरक्षण। सही विकल्प इस बात पर निर्भर करता है कि आप किस तंत्र का अध्ययन कर रहे हैं, टक्कर के दौरान कौन-से बाहरी बल कार्य कर रहे हैं और आपको स्वयं टक्कर के बारे में क्या जानकारी है।
एक जैसी शुरुआत, टक्कर के अलग-अलग परिणाम
| प्रारंभिक अवस्था | m₁ = 2.0 kg, u₁ = +4.0 m/s; m₂ = 1.0 kg, u₂ = 0 कुल संवेग = +8.0 kg·m/s |
|---|---|
| आपस में चिपक जाएँ | v₁ = v₂ = +2.67 m/s संवेग संरक्षण से साझा अंतिम वेग ज्ञात होता है। |
| टक्कर के बाद अलग हो जाएँ | 2.0v₁ + 1.0v₂ = 8.0 वेग m/s में; केवल संवेग से कई संभावित परिणाम संभव हैं। यदि टक्कर प्रत्यास्थ हो: v₁ = +1.33 m/s, v₂ = +5.33 m/s। |
मुख्य बात यह है कि संवेग से शुरुआत करें, बशर्ते निवल बाह्य आवेग नगण्य हो। गतिज ऊर्जा एक अतिरिक्त शर्त है; वस्तुओं के टकराने पर उसका संरक्षण अपने-आप नहीं मान लिया जाता।
01समीकरण चुनने से पहले अपना तंत्र चुनें
तंत्र उन वस्तुओं का समूह है जिनकी गति का आप विश्लेषण कर रहे हैं। किसी टक्कर में यह तय करना कि कौन-सी वस्तुएँ उस तंत्र का हिस्सा हैं, यह निर्धारित करता है कि किन बलों को बाहरी बल माना जाएगा।
कल्पना करें कि दो ट्रॉलियाँ एक पटरियों पर टकराती हैं।
यदि आपके तंत्र में दोनों ट्रॉलियाँ शामिल हैं, तो वे एक-दूसरे पर जो बल लगाती हैं, वे आंतरिक बल होते हैं। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, ये बल परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होते हैं। इसलिए, दोनों ट्रॉलियों के कुल संवेग पर विचार करते समय उनके आवेग एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
हालाँकि, यदि आपके तंत्र में केवल पहली ट्रॉली शामिल है, तो दूसरी ट्रॉली द्वारा लगाया गया बल आपके तंत्र के लिए बाहरी बल है। टक्कर के दौरान पहली ट्रॉली का संवेग बदल जाता है।
तंत्र तय करता है कि कौन-से बल बाहरी हैं
| तंत्र: A और B | F(B on A) = −F(A on B) दोनों बल तंत्र के लिए आंतरिक हैं। उनका योग शून्य है; यदि निवल बाह्य आवेग नगण्य है, तो कुल संवेग अपरिवर्तित रहता है। |
|---|---|
| तंत्र: केवल A | Δp(A) = J(B on A) B द्वारा लगाया गया बल इस तंत्र के लिए बाहरी है। यह टक्कर के दौरान A का संवेग बदलता है। |
क्या बाहरी बल होने का अर्थ अपने-आप यह है कि संवेग संरक्षित नहीं रहता?
ज़रूरी नहीं। आपको टक्कर के दौरान लगने वाले बाह्य आवेग पर विचार करना होगा।
आवेग किसी समयांतराल में कार्य करने वाले बल के प्रभाव को मापता है। किसी तंत्र के लिए, निवल बाह्य आवेग उसके कुल संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:
\[ J_{\text{ext}}=\Delta p_{\text{तंत्र}} =p_f-p_i \]
यहाँ:
- \(J_{\text{ext}}\) निवल बाह्य आवेग है, जिसे न्यूटन-सेकंड (\(\mathrm{N\,s}\)) में मापा जाता है।
- \(p_i\) टक्कर से पहले तंत्र का कुल संवेग है।
- \(p_f\) टक्कर के बाद तंत्र का कुल संवेग है।
यदि निवल बाह्य आवेग शून्य है, या जिन संवेग परिवर्तनों का आप अध्ययन कर रहे हैं उनकी तुलना में नगण्य है, तो कुल संवेग संरक्षित रहता है:
\[ p_i\approx p_f \]
यदि बाह्य आवेग महत्त्वपूर्ण है, तो अधिक सामान्य संबंध का उपयोग करें:
\[ p_f=p_i+J_{\text{ext}} \]
HSC के प्रश्नों में यह अंतर उपयोगी है। दो वस्तुओं के बीच टक्कर के दौरान बहुत बड़ा बल लग सकता है, जबकि दोनों वस्तुओं का कुल संवेग संरक्षित रह सकता है, क्योंकि दो-वस्तु वाले तंत्र के लिए वह बल आंतरिक होता है। दूसरी ओर, पटरी से लगने वाला घर्षण बाहरी बल है और दोनों ट्रॉलियों के कुल संवेग को बदल सकता है।
महत्त्वपूर्ण प्रश्न केवल यह नहीं है कि बाहरी बल मौजूद हैं या नहीं। महत्त्वपूर्ण यह है कि टक्कर के दौरान उनके निवल आवेग की उपेक्षा की जा सकती है या नहीं।
02टक्कर की समस्याओं में संवेग से शुरुआत करें
संवेग किसी वस्तु के द्रव्यमान और वेग को एक साथ दर्शाता है:
\[ p=mv \]
जहाँ \(p\) संवेग है, \(m\) किलोग्राम में द्रव्यमान है और \(v\) मीटर प्रति सेकंड में वेग है। संवेग एक सदिश राशि है, इसलिए दिशा महत्त्वपूर्ण होती है।
दो वस्तुओं के बीच एक-विमीय टक्कर के लिए, संवेग संरक्षण से मिलता है:
\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]
यहाँ:
- \(m_1\) और \(m_2\) वस्तुओं के द्रव्यमान हैं।
- \(u_1\) और \(u_2\) उनके प्रारंभिक वेग हैं।
- \(v_1\) और \(v_2\) उनके अंतिम वेग हैं।
मान रखने से पहले एक धनात्मक दिशा चुनें। यदि दाईं दिशा धनात्मक है, तो बाईं ओर चलने वाली वस्तु का वेग ऋणात्मक होगा।
यह समीकरण प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ, दोनों प्रकार की टक्करों पर लागू होता है, बशर्ते चुने गए तंत्र पर निवल बाह्य आवेग नगण्य हो।
यह एक महत्त्वपूर्ण अंतर है। संवेग संरक्षण के लिए यह आवश्यक नहीं है कि वस्तुएँ पूरी तरह उछलकर अलग हों, अपनी मूल चाल बनाए रखें या अपनी सारी गतिज ऊर्जा बनाए रखें। इसके लिए केवल यह आवश्यक है कि तंत्र का कुल संवेग अपरिवर्तित रहे।
लेकिन केवल संवेग से हर अज्ञात राशि ज्ञात नहीं हो सकती। यदि दो वस्तुओं के दो अंतिम वेग अज्ञात हैं, तो संवेग का समीकरण उनके बीच केवल एक संबंध देता है। दोनों वेग ज्ञात करने के लिए आपको एक और शर्त की आवश्यकता होगी।
यहीं पर टक्कर के दौरान ऊर्जा के व्यवहार का महत्त्व सामने आता है।
03गतिज ऊर्जा एक अतिरिक्त शर्त है
गतिज ऊर्जा वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु में उसकी गति के कारण होती है:
\[ E_k=\frac12mv^2 \]
संवेग के विपरीत, गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है। इसमें वेग का वर्ग होता है, इसलिए दिशा का उसके मान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
दो वस्तुओं वाले तंत्र के लिए, टक्कर से पहले की कुल गतिज ऊर्जा है:
\[ E_{k,i}=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2 \]
टक्कर के बाद की संगत अभिव्यक्ति है:
\[ E_{k,f}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2 \]
ये दोनों राशियाँ बराबर होंगी या नहीं, यह टक्कर के प्रकार पर निर्भर करता है।
प्रत्यास्थ टक्करें
प्रत्यास्थ टक्कर में टकराने वाली वस्तुओं की कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है:
\[ E_{k,i}=E_{k,f} \]
यदि निवल बाह्य आवेग भी नगण्य है, तो आप संवेग संरक्षण और गतिज ऊर्जा संरक्षण, दोनों का उपयोग कर सकते हैं।
इनसे दो स्वतंत्र संबंध प्राप्त होते हैं, जो दो अज्ञात अंतिम वेग ज्ञात करने के लिए पर्याप्त हो सकते हैं।
अप्रत्यास्थ टक्करें
अप्रत्यास्थ टक्कर में कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती। कुछ गतिज ऊर्जा अन्य रूपों में स्थानांतरित हो जाती है, जैसे विकृति, ध्वनि, तापीय ऊर्जा या आंतरिक ऊर्जा।
इसके बावजूद संवेग संरक्षित रह सकता है।
यदि टक्कर के बाद दो वस्तुएँ आपस में चिपक जाती हैं, तो उस टक्कर को पूर्णतः अप्रत्यास्थ कहते हैं। दोनों वस्तुओं का अंतिम वेग समान होता है:
\[ v_1=v_2=v_f \]
यह समान वेग आपको एक अतिरिक्त शर्त देता है। आप गतिज ऊर्जा के संरक्षण की धारणा बनाए बिना, संवेग संरक्षण का उपयोग करके इसकी गणना कर सकते हैं।
वस्तुओं के आपस में चिपकने के बाद उनकी कुल गतिज ऊर्जा सामान्यतः कम हो जाती है, भले ही पूरे तंत्र की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती हो।
टक्कर में क्या संरक्षित रहता है?
| प्रत्यास्थ टक्कर | pᵢ = pᶠ; Eₖ,ᵢ = Eₖ,ᶠ कुल संवेग और कुल गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहते हैं। |
|---|---|
| अप्रत्यास्थ टक्कर | pᵢ = pᶠ; Eₖ,ᶠ < Eₖ,ᵢ गतिज ऊर्जा घटती है; यह अंतर ध्वनि, तापीय ऊर्जा या विकृति जैसे अन्य रूपों में स्थानांतरित हो जाता है। |
अधिक कठिन प्रश्नों के लिए एक बात याद रखना उपयोगी है: यदि टक्कर के दौरान कोई स्प्रिंग या ऊर्जा का कोई अन्य आंतरिक भंडार ऊर्जा मुक्त करता है, तो वस्तुओं की कुल गतिज ऊर्जा वास्तव में बढ़ भी सकती है। फिर भी इससे टक्कर प्रत्यास्थ नहीं बन जाती। प्रत्यास्थता इस बात से निर्धारित होती है कि कुल गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है या नहीं।
04निर्णय लेने का एक व्यावहारिक क्रम
जब भी किसी टक्कर के प्रश्न में अंतिम वेग, ऊर्जा में परिवर्तन या दोनों की गणना करने को कहा जाए, तो निम्नलिखित क्रम अपनाएँ।
टक्कर के सही समीकरण चुनें
- तंत्र की पहचान करें
पहचानें कि कौन-सी वस्तुएँ शामिल हैं।
- बाह्य आवेग की जाँच करें
pᶠ = pᵢ + Jₑₓₜ
आवेग नगण्य हो: संवेग संरक्षित मानें। अन्यथा, निवल बाह्य आवेग शामिल करें।
- प्रत्यास्थता की जाँच करें
यदि टक्कर स्पष्ट रूप से प्रत्यास्थ है, तो कुल गतिज ऊर्जा भी संरक्षित मानें। अन्यथा, ऐसा न मानें।
- जाँचें कि वस्तुएँ चिपकती हैं या नहीं
v₁ = v₂ = vᶠ
साझा अंतिम वेग और उपयुक्त संवेग-आवेग समीकरण का उपयोग करें।
- अपूर्ण जानकारी की जाँच करें
स्वतंत्र समीकरणों और अज्ञात राशियों की संख्या गिनें। ज़रूरत हो तो एक और उचित शर्त प्राप्त करें।
समीकरण चुनने की तालिका
| दी गई जानकारी | उपयोग किए जाने वाले समीकरण | सामान्य गलती |
|---|---|---|
| बाह्य आवेग नगण्य है, लेकिन टक्कर का प्रकार अज्ञात है | संवेग संरक्षण | यह मान लेना कि गतिज ऊर्जा भी संरक्षित है |
| टक्कर को स्पष्ट रूप से प्रत्यास्थ बताया गया है | संवेग और गतिज ऊर्जा का संरक्षण | संवेग के समीकरण में वेगों के चिह्न भूल जाना |
| वस्तुएँ आपस में चिपक जाती हैं | संवेग संरक्षण और समान अंतिम वेग | गतिज ऊर्जा को भी संरक्षित मान लेना |
| महत्त्वपूर्ण बाह्य आवेग दिया गया है | \(p_f=p_i+J_{\text{ext}}\) | प्रारंभिक और अंतिम संवेग को बराबर मान लेना |
| दो अंतिम वेग अज्ञात हैं, लेकिन केवल संवेग से संबंधित जानकारी उपलब्ध है | संवेग से एक संबंध मिलता है | यह मान लेना कि एक समीकरण से दो स्वतंत्र अज्ञात राशियाँ ज्ञात हो सकती हैं |
गणना करने से पहले स्वयं से पूछने के लिए चार प्रश्न
- मेरे तंत्र में कौन-कौन सी वस्तुएँ शामिल हैं?
- क्या टक्कर के दौरान निवल बाह्य आवेग नगण्य है?
- क्या प्रश्न में स्पष्ट रूप से कहा गया है कि टक्कर प्रत्यास्थ है, वस्तुएँ आपस में चिपक जाती हैं, या कोई अन्य शर्त दी गई है?
- जिन समीकरणों का उपयोग करना उचित है, उन्हें लिखने के बाद क्या मेरे पास प्रत्येक अज्ञात राशि ज्ञात करने के लिए पर्याप्त स्वतंत्र संबंध हैं?
यदि आप गतिज ऊर्जा के संरक्षण को उचित नहीं ठहरा सकते, तो उसका उपयोग न करें। यदि अज्ञात राशियों की संख्या स्वतंत्र समीकरणों से अधिक है, तो आपको और भौतिक जानकारी की आवश्यकता है। समीकरणों को कितनी भी बार पुनर्व्यवस्थित कर लें, उससे कोई अनुपस्थित शर्त प्राप्त नहीं हो सकती।
05हल किया हुआ उदाहरण: दो ट्रॉलियाँ आपस में चिपक जाती हैं
एक 2.0 kg की ट्रॉली दाईं ओर \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चल रही है और स्थिर अवस्था में मौजूद 1.0 kg की ट्रॉली से टकराती है। दोनों ट्रॉलियाँ आपस में चिपक जाती हैं। दोनों ट्रॉलियों पर लगने वाला निवल बाह्य क्षैतिज आवेग नगण्य है।
उनका साझा अंतिम वेग और कुल गतिज ऊर्जा में कमी की गणना करें।
चरण 1
दोनों ट्रॉलियों को एक ही तंत्र मानें। चूँकि निवल बाह्य क्षैतिज आवेग नगण्य है, इसलिए कुल संवेग संरक्षित रहता है।
ट्रॉलियाँ आपस में चिपक जाती हैं, इसलिए उनका एक साझा अंतिम वेग \(v_f\) होगा। हम यह नहीं मानते कि गतिज ऊर्जा संरक्षित है।
चरण 2
\[ m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v_f \]
ज्ञात मान रखें और दाईं दिशा को धनात्मक मानें:
\[ (2.0)(+4.0)+(1.0)(0)=(3.0)v_f \]
इसलिए,
\[ v_f=\frac{8.0}{3.0} =+2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
दोनों ट्रॉलियाँ \(2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से दाईं ओर साथ चलती हैं।
चरण 3
टक्कर से पहले केवल पहली ट्रॉली गतिमान है:
\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]
टक्कर के बाद संयुक्त द्रव्यमान \(3.0\ \mathrm{kg}\) है:
\[ E_{k,f}=\frac12(3.0) \left(\frac83\right)^2 =10.67\ \mathrm J \]
गतिज ऊर्जा में कमी है:
\[ \begin{aligned} E_{k,\text{कमी}} &=E_{k,i}-E_{k,f}\\ &=16.0-10.67\\ &=5.33\ \mathrm J \end{aligned} \]
चरण 4
ट्रॉलियों का कुल संवेग संरक्षित रहता है, लेकिन उनकी कुल गतिज ऊर्जा \(5.33\ \mathrm J\) कम हो जाती है।
यह ऊर्जा गायब नहीं हुई है। यह विकृति, ध्वनि या आंतरिक ऊर्जा जैसे अन्य रूपों में स्थानांतरित हो गई है। ट्रॉलियों के आपस में चिपकने से स्पष्ट होता है कि उनके अंतिम गतिक व्यवहार की गणना के लिए गतिज ऊर्जा संरक्षण का उपयोग नहीं करना चाहिए।
06हल किया हुआ उदाहरण: वही ट्रॉलियाँ प्रत्यास्थ रूप से टकराती हैं
वही 2.0 kg की ट्रॉली, जो \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चल रही है, स्थिर अवस्था में मौजूद 1.0 kg की ट्रॉली से टकराती है। इस बार टक्कर को स्पष्ट रूप से प्रत्यास्थ बताया गया है और टक्कर के बाद ट्रॉलियाँ अलग हो जाती हैं। निवल बाह्य क्षैतिज आवेग नगण्य है।
प्रत्येक ट्रॉली का अंतिम वेग ज्ञात करें।
चरण 1
दोनों ट्रॉलियाँ तंत्र का हिस्सा हैं और बाह्य आवेग नगण्य है। इसलिए हम कुल संवेग का संरक्षण लागू कर सकते हैं।
टक्कर को स्पष्ट रूप से प्रत्यास्थ बताया गया है, इसलिए हम कुल गतिज ऊर्जा का संरक्षण भी लागू कर सकते हैं। ये दोनों समीकरण अंतिम वेग ज्ञात करेंगे।
चरण 2
मान लें कि \(v_1\) और \(v_2\), क्रमशः 2.0 kg और 1.0 kg की ट्रॉलियों के अंतिम वेग हैं।
\[ (2.0)(4.0)+(1.0)(0) =2.0v_1+1.0v_2 \]
\(\mathrm{m\,s^{-1}}\) में वेगों का उपयोग करने पर यह सरल होकर बनता है:
\[ 2v_1+v_2=8 \]
एक अज्ञात को दूसरे के रूप में व्यक्त करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करें:
\[ v_2=8-2v_1 \]
चरण 3
प्रारंभिक कुल गतिज ऊर्जा \(16.0\ \mathrm J\) है। चूँकि टक्कर प्रत्यास्थ है, इसलिए अंतिम कुल गतिज ऊर्जा भी \(16.0\ \mathrm J\) होनी चाहिए।
\[ \frac12(2.0)v_1^2+ \frac12(1.0)v_2^2=16 \]
संख्यात्मक गुणांकों को सरल करने पर, जहाँ वेग \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) में मापे गए हैं:
\[ v_1^2+\frac12v_2^2=16 \]
चरण 4
\(v_2=8-2v_1\) को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखें:
\[ v_1^2+\frac12(8-2v_1)^2=16 \]
विस्तार करने और सरल बनाने पर मिलता है:
\[ 3v_1^2-16v_1+16=0 \]
गुणनखंड करने पर:
\[ (3v_1-4)(v_1-4)=0 \]
इसलिए,
\[ v_1=\frac43 \quad\text{या}\quad v_1=4 \]
\(v_1=4\) वाला मूल \(v_2=0\) देता है। यह अपरिवर्तित प्रारंभिक अवस्था है, न कि वह बताई गई टक्कर जिसमें ट्रॉलियाँ परस्पर क्रिया करती हैं और टक्कर के बाद अलग हो जाती हैं। इसलिए हम इस हल को अस्वीकार करते हैं।
भौतिक रूप से स्वीकार्य हल है:
\[ v_1=\frac43=+1.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
इसके बाद,
\[ v_2=8-2\left(\frac43\right) =\frac{16}{3} =+5.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
चरण 5
अंतिम संवेग है:
\[ \begin{aligned} p_f &=(2.0)\left(\frac43\right) +(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)\\ &=8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
अंतिम गतिज ऊर्जा है:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)\left(\frac43\right)^2\\ &\quad+\frac12(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)^2\\ &=16.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
इस पृथक प्रत्यास्थ टक्कर के लिए आवश्यकतानुसार, दोनों राशियाँ अपने प्रारंभिक मानों के बराबर हैं।
ध्यान दें कि दोनों हल किए गए उदाहरणों में प्रारंभिक जानकारी बिल्कुल समान थी। पहली टक्कर में दोनों ट्रॉलियों का साझा अंतिम वेग प्राप्त हुआ और गतिज ऊर्जा कम हुई। दूसरी टक्कर में दोनों के अंतिम वेग अलग-अलग थे, जबकि संवेग और गतिज ऊर्जा, दोनों संरक्षित रहे।
टक्कर की शर्तों ने निर्धारित किया कि किन समीकरणों का उपयोग उचित था।
- कुल गतिज ऊर्जा
07प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक 1.5 kg की ट्रॉली दाईं ओर \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चलती है और स्थिर अवस्था में मौजूद 2.5 kg की ट्रॉली से टकराती है। दोनों ट्रॉलियाँ आपस में जुड़ जाती हैं और निवल बाह्य क्षैतिज आवेग नगण्य है।
उनके साझा अंतिम वेग और कुल गतिज ऊर्जा में कमी की गणना करें।
समाधान 1
ट्रॉलियाँ \(+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के साझा अंतिम वेग से चलती हैं और उनकी कुल गतिज ऊर्जा लगभग \(16.9\ \mathrm J\) कम हो जाती है।
चूँकि ट्रॉलियाँ आपस में चिपक जाती हैं, इसलिए उनका एक ही अंतिम वेग होगा। संवेग संरक्षण से मिलता है:
\[ \begin{aligned} (1.5)(6.0)+(2.5)(0)&=(1.5+2.5)v_f\\ 9.0&=4.0v_f\\ v_f&=+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
अब प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की गणना करें:
\[ E_{k,i}=\frac12(1.5)(6.0)^2 =27.0\ \mathrm J \]
अंतिम गतिज ऊर्जा है:
\[ E_{k,f}=\frac12(4.0)(2.25)^2 =10.125\ \mathrm J \]
इसलिए,
\[ \begin{aligned} E_{k,\text{कमी}} &=27.0-10.125\\ &=16.875\ \mathrm J\\ &\approx16.9\ \mathrm J \end{aligned} \]
गतिज ऊर्जा में यह कमी इसलिए होती है क्योंकि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ है। संवेग की गणना सही है, लेकिन गतिज ऊर्जा के संरक्षण को मानने से गलत परिणाम मिलेगा।
प्रश्न 2
एक \(0.40\ \mathrm{kg}\) की गेंद दाईं ओर \(12\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चल रही है और बाईं ओर \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चल रही \(0.60\ \mathrm{kg}\) की गेंद से टकराती है। टक्कर के बाद पहली गेंद बाईं ओर \(3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चलती है। मान लें कि दोनों गेंदों वाले तंत्र पर निवल बाह्य आवेग नगण्य है।
दूसरी गेंद का अंतिम वेग ज्ञात करें। निर्धारित करें कि टक्कर प्रत्यास्थ है या नहीं।
समाधान 2
दूसरी गेंद दाईं ओर \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चलती है और टक्कर अप्रत्यास्थ है, क्योंकि कुल गतिज ऊर्जा \(9.0\ \mathrm J\) कम हो जाती है।
दाईं दिशा को धनात्मक मानें। संवेग संरक्षण से मिलता है:
\[ \begin{aligned} p_i&=(0.40)(+12)+(0.60)(-2.0)\\ &=3.6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
मान लें कि \(v_2\) दूसरी गेंद का अंतिम वेग है। तब:
\[ \begin{aligned} 3.6&=(0.40)(-3.0)+(0.60)v_2\\ 3.6&=-1.2+0.60v_2\\ v_2&=\frac{4.8}{0.60}\\ &=+8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
अब कुल गतिज ऊर्जाओं की तुलना करें।
टक्कर से पहले:
\[ \begin{aligned} E_{k,i} &=\frac12(0.40)(12)^2 +\frac12(0.60)(2.0)^2\\ &=28.8+1.2\\ &=30.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
टक्कर के बाद:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(0.40)(3.0)^2 +\frac12(0.60)(8.0)^2\\ &=1.8+19.2\\ &=21.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
ऊर्जा में कमी है:
\[ 30.0-21.0=9.0\ \mathrm J \]
टक्कर प्रत्यास्थ नहीं है, क्योंकि कुल गतिज ऊर्जा बदलती है। निवल बाह्य आवेग नगण्य होने के कारण संवेग फिर भी संरक्षित रहता है। ये दो अलग-अलग शर्तें हैं और एक शर्त पूरी होने से दूसरी अपने-आप पूरी नहीं होती।
प्रश्न 3
एक \(1.0\ \mathrm{kg}\) का पक दाईं ओर \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चल रहा है और स्थिर अवस्था में मौजूद \(2.0\ \mathrm{kg}\) के पक से टकराता है। दोनों आपस में चिपक जाते हैं।
\(0.20\ \mathrm s\) तक चलने वाली टक्कर के दौरान, दोनों पक वाले तंत्र पर लगने वाला औसत निवल बाह्य क्षैतिज बल बाईं ओर \(5.0\ \mathrm N\) है।
संयुक्त पकों का अंतिम वेग ज्ञात करें। समझाएँ कि कुल संवेग संरक्षित मानने वाली गणना में क्या गलती होगी।
समाधान 3
संयुक्त पक दाईं ओर \(1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चलते हैं। संवेग संरक्षण मानने पर गलत रूप से \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) प्राप्त होगा, क्योंकि बाह्य आवेग नगण्य नहीं है।
प्रारंभिक कुल संवेग है:
\[ p_i=(1.0)(6.0)+(2.0)(0) =6.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]
बाह्य आवेग है:
\[ \begin{aligned} J_{\text{ext}} &=F_{\text{avg}}\Delta t\\ &=(-5.0)(0.20)\\ &=-1.0\ \mathrm{N\,s} \end{aligned} \]
आवेग-संवेग संबंध का उपयोग करें:
\[ \begin{aligned} p_f&=p_i+J_{\text{ext}}\\ &=6.0-1.0\\ &=5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
संयुक्त द्रव्यमान \(3.0\ \mathrm{kg}\) है, इसलिए:
\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m_1+m_2}\\ &=\frac{5.0}{3.0}\\ &=+1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
यदि आप गलती से \(p_f=p_i\) मान लेते, तो आपको मिलता:
\[ v_f=\frac{6.0}{3.0} =2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
यह परिणाम आसपास के वातावरण द्वारा लगाए गए \(-1.0\ \mathrm{N\,s}\) के आवेग की उपेक्षा करता है। कुल संवेग के संतुलन में आंतरिक टक्कर बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, लेकिन आसपास के वातावरण का बाहरी बल तंत्र का संवेग बदल देता है।
प्रश्न 4
एक टक्कर के दौरान मापे गए संवेग निम्नलिखित हैं:
- वस्तु A का संवेग \(+10\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) से बदलकर \(+2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) हो जाता है।
- वस्तु B का संवेग \(-4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) से बदलकर \(+4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) हो जाता है।
एक विद्यार्थी का तर्क है कि संवेग संरक्षित नहीं रहा, क्योंकि वस्तु A ने अपना संवेग खो दिया। दूसरे विद्यार्थी का तर्क है कि संवेग संरक्षित रहा, क्योंकि दोनों वस्तुओं का कुल संवेग अपरिवर्तित रहा।
निर्धारित करें कि दो-वस्तु वाले तंत्र के लिए और केवल वस्तु A के लिए कौन-सा विद्यार्थी सही है। दोनों वस्तुओं पर लगने वाले निवल बाह्य आवेग की गणना करें और समझाएँ कि क्या ये आँकड़े यह सिद्ध करते हैं कि टक्कर प्रत्यास्थ थी।
समाधान 4
दूसरा विद्यार्थी दो-वस्तु वाले तंत्र के लिए सही है, लेकिन केवल वस्तु A के लिए संवेग संरक्षित नहीं रहता। दोनों वस्तुओं पर लगने वाला निवल बाह्य आवेग शून्य है और मापों से यह सिद्ध नहीं होता कि टक्कर प्रत्यास्थ थी।
दो-वस्तु वाले तंत्र के लिए प्रारंभिक कुल संवेग है:
\[ \begin{aligned} p_i&=+10+(-4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
अंतिम कुल संवेग है:
\[ \begin{aligned} p_f&=+2+(+4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
इसलिए,
\[ J_{\text{ext}}=p_f-p_i=0\ \mathrm{N\,s} \]
दोनों वस्तुओं का कुल संवेग अपरिवर्तित है। वस्तु A का संवेग \(8\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) कम होता है, जबकि वस्तु B का संवेग उतनी ही मात्रा में बढ़ता है। उनके संवेग में हुए परिवर्तन एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
हालाँकि, केवल वस्तु A के लिए, वस्तु B द्वारा लगाया गया बल बाहरी बल है। इसलिए टक्कर के दौरान वस्तु A का संवेग संरक्षित नहीं रहता।
अंत में, केवल संवेग के मापों से यह सिद्ध नहीं किया जा सकता कि टक्कर प्रत्यास्थ थी या नहीं। इसके लिए वस्तुओं के द्रव्यमान और वेगों के बारे में पर्याप्त जानकारी चाहिए, ताकि टक्कर से पहले और बाद की कुल गतिज ऊर्जाओं की तुलना की जा सके। कुल संवेग बराबर होने का अर्थ यह नहीं है कि कुल गतिज ऊर्जा भी बराबर होगी।
प्रश्न 5
एक \(2.0\ \mathrm{kg}\) की ट्रॉली A दाईं ओर \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग से चलती है और स्थिर अवस्था में मौजूद \(1.0\ \mathrm{kg}\) की ट्रॉली B से टकराती है। दोनों ट्रॉलियों वाले तंत्र पर लगने वाला निवल बाह्य क्षैतिज आवेग नगण्य है।
टक्कर के तुरंत बाद किए गए माप निम्नलिखित हैं:
- ट्रॉली A: \(+1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)।
- ट्रॉली B: \(+6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)।
ट्रॉलियों में पहले से संपीडित एक स्प्रिंग तंत्र है, जो संपर्क के दौरान संचित ऊर्जा मुक्त करता है। मान लें कि यह तंत्र उसी तंत्र का हिस्सा है जिसका अध्ययन किया जा रहा है और ऊर्जा के अन्य सभी भंडार अपरिवर्तित रहते हैं।
एक विद्यार्थी का दावा है कि ये माप असंभव हैं: “यदि तंत्र पृथक है, तो संवेग और गतिज ऊर्जा, दोनों संरक्षित होने चाहिए।”
इस दावे का मूल्यांकन करें। टक्कर से पहले और बाद के कुल संवेग तथा गतिज ऊर्जा की गणना करें, फिर स्प्रिंग की संचित ऊर्जा में परिवर्तन ज्ञात करें।
समाधान 5
ये माप संवेग संरक्षण के अनुरूप हैं, लेकिन कुल गतिज ऊर्जा \(3.0\ \mathrm J\) बढ़ जाती है। टक्कर प्रत्यास्थ नहीं है: स्प्रिंग \(3.0\ \mathrm J\) संचित ऊर्जा मुक्त करता है, जो अतिरिक्त गतिज ऊर्जा में बदल जाती है।
पहले संवेग संरक्षण की जाँच करें।
टक्कर से पहले:
\[ \begin{aligned} p_i&=(2.0)(+4.0)+(1.0)(0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
टक्कर के बाद:
\[ \begin{aligned} p_f&=(2.0)(+1.0)+(1.0)(+6.0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
कुल संवेग अपरिवर्तित है। स्प्रिंग तंत्र से संबंधित बलों सहित, ट्रॉलियों के बीच लगने वाले आंतरिक बल वस्तुओं के बीच संवेग का पुनर्वितरण कर सकते हैं, लेकिन तंत्र का कुल संवेग नहीं बदलते।
अब गतिज ऊर्जाओं की तुलना करें।
प्रारंभ में:
\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]
अंत में:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)(1.0)^2 +\frac12(1.0)(6.0)^2\\ &=1.0+18.0\\ &=19.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
गतिज ऊर्जा में वृद्धि है:
\[ \Delta E_k=19.0-16.0=+3.0\ \mathrm J \]
चूँकि ऊर्जा का एकमात्र अन्य भंडार जो बदलता है, स्प्रिंग है, इसलिए उसकी संचित ऊर्जा \(3.0\ \mathrm J\) कम होनी चाहिए। अतिरिक्त गतिज ऊर्जा उसी आंतरिक ऊर्जा भंडार से आती है।
विद्यार्थी की गलती कुल ऊर्जा के संरक्षण को गतिज ऊर्जा के संरक्षण के साथ भ्रमित करना है। किसी पृथक तंत्र की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है, लेकिन ऊर्जा गतिज ऊर्जा, प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा, तापीय ऊर्जा और अन्य रूपों के बीच स्थानांतरित हो सकती है।
टक्कर प्रत्यास्थ नहीं है, क्योंकि उसकी कुल गतिज ऊर्जा बदलती है। संवेग संरक्षित होने से यह आवश्यक नहीं हो जाता कि गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहे।
यही मूल नियम है: संवेग संरक्षण किसी तंत्र पर लगने वाले निवल बाह्य आवेग से संबंधित है, जबकि गतिज ऊर्जा का संरक्षण अंतःक्रिया की प्रकृति और उस तंत्र के भीतर होने वाले ऊर्जा स्थानांतरण पर निर्भर करता है।
इसके बाद सीखने के लिए उपयोगी अवधारणा आवेग-संवेग संबंध है। जब किसी टक्कर के प्रश्न में बल-समय ग्राफ दिया जाता है, तो ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल आवेग देता है, जिससे पता चलता है कि तंत्र का कुल संवेग कितना बदलता है। जब नगण्य बाह्य आवेग की धारणा लागू नहीं होती, तब यही विधि उपयोग करनी चाहिए।