HSC भौतिकी के लिए धारा-वाहित कुंडली पर आघूर्ण

एक आयताकार कुंडली दो चुंबकीय ध्रुवों के बीच रखी है। उसमें धारा प्रवाहित हो रही है। कुंडली की एक भुजा ऊपर की ओर धकेली जाती है, जबकि विपरीत भुजा नीचे की ओर धकेली जाती है।

यदि ये दोनों चुंबकीय बल बराबर और विपरीत हों, तो क्या होना चाहिए: कुछ नहीं, बगल की ओर गति, या घूर्णन?

कुल बल शून्य है, इसलिए कुंडली बगल की ओर त्वरित नहीं होती। लेकिन बल अलग-अलग कार्य-रेखाओं पर लगते हैं। मिलकर वे एक घुमाने वाला प्रभाव पैदा करते हैं – एक आघूर्ण।

अब एक दूसरी भविष्यवाणी करें। जब कुंडली का सपाट फलक सीधे चुंबकीय क्षेत्र की ओर हो, तो क्या आप अपेक्षा करेंगे कि आघूर्ण सबसे अधिक होगा? यह उचित लग सकता है: क्षेत्र सीधे कुंडली के आर-पार जा रहा है। वास्तव में, वहाँ आघूर्ण शून्य होता है।

ऐसा क्यों होता है, यह समझने पर आपको मोटर समीकरण

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

बिना इसे केवल याद करने वाला सूत्र माने समझ में आ जाता है।

01बराबर और विपरीत बल फिर भी किसी वस्तु को क्यों घुमा सकते हैं

कल्पना करें कि आप किसी जाम हो चुके जार के ढक्कन को घुमाने की कोशिश कर रहे हैं। आपके दोनों हाथ विपरीत दिशाओं में बल लगा सकते हैं। कुल बल के रूप में वे एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं, फिर भी ढक्कन घूमता है क्योंकि बल अलग-अलग स्थानों पर लगते हैं।

इसे बल-युग्म कहते हैं: दो बराबर, विपरीत और समानांतर बल, जिनके बीच कुछ दूरी होती है।

चुंबकीय क्षेत्र में धारा-वाहित कुंडली भी इसी तरह व्यवहार करती है। कुंडली की दो विपरीत भुजाओं में धारा विपरीत दिशाओं में बहती है। इसलिए चुंबकीय क्षेत्र उन पर विपरीत दिशाओं में चुंबकीय बल उत्पन्न करता है।

जार के ढक्कन वाली उपमा की एक सीमा है। आप अपने हाथ जहाँ चाहें रख सकते हैं और यह चुन सकते हैं कि किस दिशा में बल लगाना है। मोटर में बल की दिशा धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र से निश्चित होती है। ठीक-ठीक क्या होता है, यह जानने के लिए हमें मोटर-प्रभाव के समीकरण का उपयोग करना होगा।

चुंबकीय क्षेत्र \(B\) में धारा \(I\) वहन करने वाले लंबाई \(l\) के एक सीधे चालक के लिए,

\[ F=BIl\sin\phi \]

जहाँ \(\phi\) धारा की दिशा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।

एक सरल आयताकार मोटर-कुंडली की दो सक्रिय भुजाओं में धारा क्षेत्र के लंबवत होती है, इसलिए \(\phi=90^\circ\)। अतः प्रत्येक सक्रिय भुजा पर,

\[ F=BIl \]

होता है।

02चुंबकीय बल से आघूर्ण तक

मान लें कि आयताकार कुंडली में:

• सक्रिय भुजा की लंबाई \(l\),
• चौड़ाई \(w\),
• धारा \(I\), और
• चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता \(B\)

है।

प्रत्येक सक्रिय भुजा पर \(BIl\) का बल लगता है।

आघूर्ण केवल बल पर निर्भर नहीं करता। यह बलों की कार्य-रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी पर भी निर्भर करता है।

बल-युग्म के लिए,

\[ \tau=Fd \]

जहाँ \(d\) उन कार्य-रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी है।

अब महत्वपूर्ण ज्यामिति पर ध्यान दें। \(\theta\) को चुंबकीय क्षेत्र और कुंडली के तल के अभिलंब के बीच के कोण के रूप में परिभाषित करें।

अभिलंब एक काल्पनिक रेखा है जो कुंडली के सपाट फलक से सीधी बाहर की ओर निकलती है।

जब अभिलंब क्षेत्र के साथ \(\theta\) कोण बनाता है, तो दोनों बलों के बीच प्रभावी दूरी होती है

\[ d=w\sin\theta \]

इसलिए

\[ \tau=(BIl)(w\sin\theta) \]

और क्योंकि आयताकार कुंडली का क्षेत्रफल \(A=lw\) है,

\[ \tau=IAB\sin\theta \]

एक फेरे के लिए।

यदि कुंडली में \(n\) समान फेरे हों, तो प्रत्येक फेरा उसी दिशा में आघूर्ण देता है:

\[ \boxed{\tau=nIAB\sin\theta} \]

जहाँ:

यह समीकरण आघूर्ण का परिमाण देता है। उसके घूर्णन की दिशा धारा और चुंबकीय क्षेत्र की दिशाओं से निर्धारित करनी होती है।

03कोण ही वह भाग है जिसमें अधिकांश विद्यार्थी भ्रमित होते हैं

समीकरण

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

में \(\theta\) सामान्यतः कुंडली के तल और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण नहीं होता।

यह क्षेत्र और कुंडली के अभिलंब के बीच का कोण है।

इससे परिणाम पूरी तरह बदल जाता है।

इसलिए अधिकतम आघूर्ण तब होता है जब

\[ \theta=90^\circ \]

क्योंकि \(\sin90^\circ=1\)।

तब

\[ \tau_{\max}=nIAB \]

इसे केवल याद करने के बजाय चित्र के रूप में समझना उपयोगी है। जब कुंडली का तल क्षेत्र के समानांतर होता है, तब दोनों चुंबकीय बलों के बीच प्रभावी दूरी सबसे अधिक होती है। उनका उत्तोलक-भुजा सबसे बड़ी होती है, इसलिए वे सबसे अधिक आघूर्ण उत्पन्न करते हैं।

जब कुंडली का तल क्षेत्र के लंबवत होता है, तब सक्रिय भुजाओं पर बल अभी भी मौजूद होते हैं, लेकिन घूर्णन-अक्ष के सापेक्ष उनकी कार्य-रेखाओं के बीच कोई प्रभावी दूरी नहीं होती। इसलिए आघूर्ण शून्य होता है।

यदि प्रश्न में तल का कोण दिया गया हो

मान लें कि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ \(\alpha\) कोण बनाता है।

\(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच के कोणों के लिए,

\[ \theta=90^\circ-\alpha \]

इसलिए

\[ \tau=nIAB\sin(90^\circ-\alpha) \]

या

\[ \tau=nIAB\cos\alpha \]

दोनों समीकरण एक ही भौतिक स्थिति को व्यक्त करते हैं। परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका सामान्यतः दिए गए कोण को अभिलंब-क्षेत्र कोण \(\theta\) में बदलना और फिर सूत्र को उसी रूप में उपयोग करना है जिसमें वह दिया गया है।

04मोटर को कम्यूटेटर की आवश्यकता क्यों होती है

आघूर्ण समीकरण के भीतर एक समस्या छिपी हुई है।

कल्पना करें कि कुंडली उस स्थिति की ओर घूम रही है जहाँ उसका अभिलंब चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में आ जाता है। जैसे-जैसे वह उस स्थिति के पास पहुँचती है,

\[ \theta\rightarrow0^\circ \]

और इसलिए

\[ \tau\rightarrow0 \]

यदि धारा की दिशा को अपरिवर्तित रहने दिया जाए और कुंडली इस स्थिति से आगे निकल जाए, तो चुंबकीय आघूर्ण अब विपरीत दिशा में कार्य करेगा। लगातार घूर्णन पैदा करने के बजाय, चुंबकीय परस्पर क्रिया कुंडली को फिर से संरेखित स्थिति की ओर लौटाने की प्रवृत्ति रखेगी।

एक सरल DC मोटर स्प्लिट-रिंग कम्यूटेटर का उपयोग करके इससे बचती है। कम्यूटेटर प्रत्येक आधे चक्कर पर कुंडली में धारा की दिशा उलट देता है। धारा की दिशा उलटने से दोनों सक्रिय भुजाओं पर चुंबकीय बलों की दिशा भी उलट जाती है, इसलिए आघूर्ण आवश्यक घूर्णन-दिशा में कार्य करता रहता है।

फिर भी एक क्षण ऐसा आता है जब आघूर्ण शून्य होता है। धारा को उलट देने से \(\sin0^\circ\) अचानक अशून्य नहीं हो जाता। वास्तविक घूमती हुई प्रणाली अपने घूर्णन की वजह से इस स्थिति से आगे निकल सकती है, और व्यावहारिक मोटरों में अलग-अलग कोणों पर व्यवस्थित कई कुंडलियाँ हो सकती हैं, ताकि वे सभी एक ही समय शून्य आघूर्ण पर न हों।

इसी कारण

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

को तात्कालिक आघूर्ण का समीकरण समझना चाहिए। घूमती हुई मोटर सामान्यतः हर कोण पर समान आघूर्ण अनुभव नहीं करती।

05कुंडली को समझने का एक दूसरा उपयोगी तरीका

धारा-लूप इस प्रकार व्यवहार करता है मानो उसकी एक चुंबकीय दिशा उसके तल के लंबवत हो। इसे उसके चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण से वर्णित किया जाता है।

इसका परिमाण है

\[ \mu=nIA \]

इसलिए आघूर्ण समीकरण को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

\[ \tau=\mu B\sin\theta \]

चुंबकीय क्षेत्र लूप के चुंबकीय आघूर्ण को क्षेत्र के साथ संरेखित करने की दिशा में घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।

यह चित्र दोनों चरम स्थितियों को स्पष्ट रूप से समझाता है:

• यदि चुंबकीय आघूर्ण पहले से ही क्षेत्र के समानांतर या प्रतिसमानांतर है, तो आघूर्ण शून्य होता है;
• यदि वह क्षेत्र के लंबवत है, तो आघूर्ण का परिमाण अधिकतम होता है।

धारा की दिशा उलटने से कुंडली के चुंबकीय आघूर्ण की दिशा भी उलट जाती है। यह कम्यूटेटर के कार्य को समझने का एक और तरीका है।

06सूत्र किन मान्यताओं पर आधारित है

प्रचलित मोटर-सूत्र बहुत उपयोगी है, लेकिन यह कोई जादू नहीं है। यह एक विशेष मॉडल पर निर्भर करता है।

हम सामान्यतः मानते हैं कि चुंबकीय क्षेत्र पूरी कुंडली पर लगभग एकसमान है, प्रत्येक फेरे का क्षेत्रफल समान है, प्रत्येक फेरे में धारा समान है, और कुंडली दृढ़ तथा समतलीय है।

यह इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि बहुत अधिक असमान चुंबकीय क्षेत्र में बराबर और विपरीत बल वाला तर्क विफल हो सकता है। एक भुजा दूसरी से अधिक बल अनुभव कर सकती है। तब कुंडली पर आघूर्ण के साथ-साथ एक कुल बल भी लग सकता है।

मोटर डिज़ाइनों की तुलना करते समय भी यह महत्वपूर्ण है। समीकरण बताता है कि यदि बाकी सब कुछ स्थिर रहे, तो \(n\) को दोगुना करने पर आघूर्ण भी दोगुना हो जाता है। लेकिन वास्तविक कुंडली में फेरों की संख्या बदलने से उसका प्रतिरोध और इसलिए उसकी धारा भी बदल सकती है। आप हमेशा केवल एक प्रतीक को बदलकर यह नहीं मान सकते कि बाकी सभी अपरिवर्तित रहेंगे।

07प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

80 फेरों वाली एक मोटर-कुंडली का क्षेत्रफल \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\) है। इसमें \(0.40\text{ T}\) के चुंबकीय क्षेत्र में \(1.2\text{ A}\) धारा बहती है। कुंडली का अभिलंब क्षेत्र के साथ \(30^\circ\) का कोण बनाता है।

आघूर्ण की गणना करें।

समाधान 1

आघूर्ण है

\[ \boxed{4.8\times10^{-2}\text{ N m}} \]

प्रयुक्त समीकरण है

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

जहाँ दिया गया \(30^\circ\) पहले से ही अभिलंब और क्षेत्र के बीच का कोण है, इसलिए कोण बदलने की आवश्यकता नहीं है।

मान रखने पर,

\[ \begin{aligned} \tau &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)\sin30^\circ\\ &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)(0.5)\\ &=4.8\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह मान लेना है कि \(30^\circ\), \(90^\circ\) का एक-तिहाई है, इसलिए आघूर्ण भी अपने अधिकतम मान का एक-तिहाई होगा। आघूर्ण कोण के साथ रैखिक रूप से नहीं बदलता। यह \(\sin\theta\) के अनुसार बदलता है।

\(30^\circ\) पर आघूर्ण अपने अधिकतम मान का ठीक आधा होता है।

प्रश्न 2

200 फेरों वाली एक कुंडली में \(0.80\text{ A}\) धारा बहती है। प्रत्येक फेरे का क्षेत्रफल \(1.5\times10^{-3}\text{ m}^2\) है और चुंबकीय क्षेत्र \(0.50\text{ T}\) है।

एक क्षण पर मापा गया आघूर्ण-परिमाण \(0.096\text{ N m}\) है।

\(0^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच \(\theta\) के सभी संभव मान ज्ञात करें, जहाँ \(\theta\) कुंडली के अभिलंब और क्षेत्र के बीच का कोण है। समझाएँ कि केवल आघूर्ण का परिमाण एकमात्र निश्चित अभिविन्यास क्यों नहीं बता सकता।

समाधान 2

संभव कोण लगभग हैं

\[ \boxed{\theta=53.1^\circ\text{ या }126.9^\circ} \]

और केवल आघूर्ण का परिमाण इन दोनों के बीच अंतर नहीं कर सकता।

पहले अधिकतम संभव आघूर्ण की गणना करें:

\[ \begin{aligned} \tau_{\max} &=nIAB\\ &=(200)(0.80)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.120\text{ N m} \end{aligned} \]

अब मापे गए आघूर्ण का उपयोग करें:

\[ \begin{aligned} 0.096&=0.120\sin\theta\\ \sin\theta&=0.800 \end{aligned} \]

कैलकुलेटर पहला हल देता है,

\[ \theta=\sin^{-1}(0.800)=53.1^\circ \]

लेकिन \(180^\circ-\theta\) पर भी sine का वही धनात्मक मान होता है। इसलिए,

\[ 180^\circ-53.1^\circ=126.9^\circ \]

भी संभव है।

एक आसान लेकिन गलत तरीका inverse sine दबाने के बाद रुक जाना है। ऐसा करने पर पूरे \(0^\circ\) से \(180^\circ\) के परास की ज्यामिति छूट जाती है।

यहाँ एक और गहरी सीमा भी है। अदिश समीकरण \(\tau=nIAB\sin\theta\) आघूर्ण का परिमाण देता है। वास्तविक घूर्णन-दिशा निर्धारित करने के लिए आपको कुंडली का अभिविन्यास और धारा तथा चुंबकीय क्षेत्र की दिशाएँ भी जाननी होंगी।

प्रश्न 3

\(4.0\times10^{-3}\text{ m}^2\) क्षेत्रफल वाली 60 फेरों की एक कुंडली में \(0.25\text{ T}\) के चुंबकीय क्षेत्र में \(1.5\text{ A}\) धारा बहती है।

कुंडली उस स्थिति की ओर घूम रही है जिसमें उसका अभिलंब क्षेत्र के समानांतर है। उस स्थिति पर विचार करें जब उसका अभिलंब संरेखण से \(10^\circ\) दूर है।

इस स्थिति पर आघूर्ण का परिमाण ज्ञात करें। फिर समझाएँ कि कुंडली के संरेखण से आगे निकलने के तुरंत बाद क्या होता है:

a. यदि धारा की दिशा नहीं उलटी जाती, और
b. यदि सही समय पर कार्य करने वाला स्प्लिट-रिंग कम्यूटेटर धारा की दिशा उलट देता है।

यह भी समझाएँ कि ठीक संरेखण के क्षण पर क्या होता है।

समाधान 3

संरेखण से \(10^\circ\) दूर आघूर्ण का परिमाण लगभग है

\[ \boxed{1.56\times10^{-2}\text{ N m}} \]

धारा की दिशा न उलटने पर कुंडली के संरेखण से आगे निकलते ही आघूर्ण का घूर्णन-प्रभाव उलट जाता है। सही कम्यूटेशन होने पर धारा की दिशा उलट जाती है, जिससे मोटर का आघूर्ण इच्छित घूर्णन-दिशा में कार्य करता रहता है। ठीक संरेखण पर दोनों ही स्थितियों में आघूर्ण शून्य होता है।

पहले परिमाण की गणना करें:

\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB\sin\theta\\ &=(60)(1.5)(4.0\times10^{-3})(0.25)\sin10^\circ\\ &=1.56\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

संरेखण से ठीक पहले, चुंबकीय बल ऐसा आघूर्ण उत्पन्न करते हैं जो कुंडली को संरेखित स्थिति की ओर घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।

यदि कुंडली इस स्थिति से आगे निकल जाए और धारा अपरिवर्तित रहे, तो ज्यामिति संरेखण के दूसरी ओर पहुँच चुकी होती है। अब चुंबकीय परस्पर क्रिया कुंडली को फिर से संरेखण की ओर घुमाने की प्रवृत्ति रखती है। इसलिए उसका आघूर्ण उस गति का विरोध करता है जिसने कुंडली को संरेखण से आगे पहुँचाया।

एक आकर्षक तर्क यह है कि आघूर्ण अपरिवर्तित रहना चाहिए क्योंकि \(\sin10^\circ\) का परिमाण संरेखण के दोनों ओर समान है। यहाँ छूटी हुई जानकारी दिशा है। अदिश समीकरण हमें परिमाण बताता है, घूर्णन-प्रभाव का चिह्न नहीं।

स्प्लिट-रिंग कम्यूटेटर के साथ, उचित बिंदु पर कुंडली में धारा की दिशा उलट जाती है। इसलिए प्रत्येक सक्रिय भुजा पर चुंबकीय बल भी उलट जाता है। इससे कुंडली के सापेक्ष आघूर्ण की दिशा बदल जाती है और आघूर्ण उसी समग्र घूर्णन को चलाता रहता है।

ठीक संरेखण पर,

\[ \theta=0^\circ \]

इसलिए

\[ \tau=nIAB\sin0^\circ=0 \]

उस क्षण धारा की दिशा उलटने पर भी आघूर्ण शून्य ही रहता है। किसी व्यावहारिक मोटर को इस मृत स्थिति से विश्वसनीय रूप से पार कराने के लिए जड़त्व या अलग-अलग अभिविन्यास वाली अतिरिक्त कुंडलियों की आवश्यकता होती है।

प्रश्न 4

40 फेरों वाली एक आयताकार कुंडली असमान चुंबकीय क्षेत्र में है। प्रत्येक सक्रिय भुजा \(0.050\text{ m}\) लंबी है और सक्रिय भुजाओं के बीच की दूरी \(0.030\text{ m}\) है। धारा \(2.0\text{ A}\) है।

कुंडली को अधिकतम उत्तोलक-भुजा वाली स्थिति में रखा गया है। बाईं सक्रिय भुजा पर चुंबकीय क्षेत्र \(0.60\text{ T}\) है, जबकि दाईं सक्रिय भुजा पर यह \(0.40\text{ T}\) है। दोनों भुजाओं पर क्षेत्र की दिशा समान है।

मान लें कि प्रत्येक सक्रिय भुजा स्थानीय क्षेत्र के लंबवत है।

a. प्रत्येक सक्रिय भुजा पर कुल चुंबकीय बल का परिमाण ज्ञात करें।
b. कुंडली पर कुल बल ज्ञात करें।
c. कुंडली के केंद्र के बारे में आघूर्ण की गणना करें।
d. एक विद्यार्थी दोनों क्षेत्रों के औसत \(B=0.50\text{ T}\) को \(\tau=nIAB\) में रखता है और उसे वही आघूर्ण मिलता है। समझाएँ कि इससे यह क्यों सिद्ध नहीं होता कि मानक एकसमान-क्षेत्र मॉडल पूरी स्थिति का वर्णन करता है।

समाधान 4

सक्रिय भुजाओं पर बल हैं

\[ \boxed{2.4\text{ N और }1.6\text{ N}} \]

कुंडली पर कुल बल है

\[ \boxed{0.80\text{ N}} \]

जो अधिक बड़े भुजा-बल की दिशा में है, और उसके केंद्र के बारे में आघूर्ण है

\[ \boxed{6.0\times10^{-2}\text{ N m}} \]

औसत-क्षेत्र की गणना इस सममित ज्यामिति के लिए संयोग से वही आघूर्ण देती है, लेकिन वह अशून्य कुल बल को पूरी तरह नज़रअंदाज़ कर देती है।

बाईं भुजा के लिए,

\[ \begin{aligned} F_L &=nB_LIl\\ &=(40)(0.60)(2.0)(0.050)\\ &=2.4\text{ N} \end{aligned} \]

दाईं भुजा के लिए,

\[ \begin{aligned} F_R &=nB_RIl\\ &=(40)(0.40)(2.0)(0.050)\\ &=1.6\text{ N} \end{aligned} \]

दोनों सक्रिय भुजाओं में धाराएँ विपरीत होने के कारण बल विपरीत दिशाओं में लगते हैं।

उनके परिमाण असमान हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त नहीं करते:

\[ F_{\text{net}}=2.4-1.6=0.80\text{ N} \]

अब आघूर्ण की गणना करें। प्रत्येक बल केंद्र से \(0.015\text{ m}\) की दूरी पर कार्य करता है क्योंकि

\[ \frac{0.030}{2}=0.015\text{ m} \]

यद्यपि बल विपरीत दिशाओं में हैं, दोनों समान घूर्णन-दिशा में आघूर्ण उत्पन्न करते हैं:

\[ \begin{aligned} \tau &=F_L(0.015)+F_R(0.015)\\ &=(2.4)(0.015)+(1.6)(0.015)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]

अब विद्यार्थी की औसत-क्षेत्र विधि पर विचार करें।

कुंडली का क्षेत्रफल है

\[ A=(0.050)(0.030)=1.5\times10^{-3}\text{ m}^2 \]

\(B_{\text{avg}}=0.50\text{ T}\) का उपयोग करने पर,

\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB_{\text{avg}}\\ &=(40)(2.0)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]

इसलिए संख्यात्मक आघूर्ण मेल खाता है।

आकर्षक निष्कर्ष यह है कि असमान क्षेत्र को उसके औसत से बदलने पर पूरी समस्या हल हो गई। ऐसा नहीं है। मानक सरल-मोटर मॉडल बराबर और विपरीत भुजा-बल मानता है, जिससे कुल बल शून्य होता है। यहाँ कुंडली पर \(0.80\text{ N}\) का कुल बल है।

सही और अधिक गहरी विधि यह है कि कुंडली के प्रत्येक भाग पर चुंबकीय बल की गणना की जाए और फिर परिणामी बल तथा परिणामी आघूर्ण दोनों ज्ञात किए जाएँ। इस विशेष आघूर्ण-गणना में औसत क्षेत्र इसलिए काम करता है क्योंकि दोनों भुजाओं की उत्तोलक-भुजाएँ बराबर हैं। यह संयोग क्षेत्र को एकसमान नहीं बना देता।

प्रश्न 5

दो रुकी हुई मोटर-कुंडलियाँ एक ही आयताकार फ्रेम का उपयोग करती हैं, इसलिए प्रत्येक फेरे का क्षेत्रफल समान है, \(A=2.0\times10^{-3}\text{ m}^2\)। दोनों को समान \(0.50\text{ T}\) क्षेत्र में अधिकतम आघूर्ण की स्थिति में रखा गया है और अलग-अलग एक आदर्श \(12\text{ V}\) आपूर्ति से जोड़ा गया है।

कुंडली A में 100 फेरे और \(4.0\,\Omega\) प्रतिरोध है।

कुंडली B को 200 फेरों के साथ फिर से लपेटा गया है, लेकिन उसमें कुंडली A जितना ही कुल ताँबा उपयोग किया गया है। मान लें कि फ्रेम अपरिवर्तित होने के कारण प्रत्येक फेरे की लंबाई समान है।

उपयोग करें

\[ R=\rho\frac{L}{S} \]

जहाँ \(\rho\) ताँबे की प्रतिरोधकता है, \(L\) तार की कुल लंबाई है और \(S\) तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।

a. कुंडली B का प्रतिरोध और धारा ज्ञात करें।
b. प्रत्येक कुंडली का अधिकतम आघूर्ण ज्ञात करें।
c. समझाएँ कि इस स्थिति में फेरों की संख्या दोगुनी करने से आघूर्ण क्यों कम हो गया है।
d. यदि इसके बजाय एक आदर्श धारा-स्रोत दोनों कुंडलियों में \(3.0\text{ A}\) धारा प्रवाहित करे, तो उनके अधिकतम आघूर्णों की तुलना करें।

प्रतिरोध में ताप के कारण होने वाले परिवर्तन और बैक emf की उपेक्षा करें।

समाधान 5

नियत-वोल्टेज आपूर्ति के साथ, कुंडली B के लिए

\[ \boxed{R_B=16\,\Omega,\qquad I_B=0.75\text{ A}} \]

और वह केवल

\[ \boxed{0.15\text{ N m}} \]

का आघूर्ण उत्पन्न करती है, जबकि कुंडली A का आघूर्ण है

\[ \boxed{0.30\text{ N m}} \]

फेरों की संख्या दोगुनी होने के बावजूद, कुंडली B आधा आघूर्ण उत्पन्न करती है। यदि इसके बजाय एक आदर्श \(3.0\text{ A}\) धारा-स्रोत उपयोग किया जाए, तो कुंडली B, कुंडली A से दोगुना आघूर्ण उत्पन्न करेगी।

मुख्य शर्त ताँबे की कुल मात्रा का नियत होना है।

एक ही फ्रेम पर कुंडली B में दोगुने फेरे हैं, इसलिए उसके तार की कुल लंबाई दोगुनी है:

\[ L_B=2L_A \]

ताँबे का आयतन अपरिवर्तित रखने के लिए,

\[ V_{\text{copper}}=LS \]

का उपयोग करें।

यदि \(L\) दोगुना होता है, तो तार का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल आधा होना चाहिए:

\[ S_B=\frac{S_A}{2} \]

अब प्रतिरोधों की तुलना करें:

\[ R=\rho\frac{L}{S} \]

इसलिए

\[ \frac{R_B}{R_A} = \frac{2L_A/(S_A/2)}{L_A/S_A} =4 \]

अतः,

\[ R_B=4(4.0)=16\,\Omega \]

रुकी हुई अवस्था में, बैक emf की उपेक्षा करने पर, ओम का नियम कुंडली A की धारा देता है:

\[ I_A=\frac{V}{R_A}=\frac{12}{4.0}=3.0\text{ A} \]

कुंडली B के लिए,

\[ I_B=\frac{12}{16}=0.75\text{ A} \]

अब कुंडली A के अधिकतम आघूर्ण की गणना करें:

\[ \begin{aligned} \tau_A &=nIAB\\ &=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.30\text{ N m} \end{aligned} \]

कुंडली B के लिए,

\[ \begin{aligned} \tau_B &=(200)(0.75)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.15\text{ N m} \end{aligned} \]

आकर्षक तर्क केवल यह है

\[ \tau\propto n \]

इसलिए \(n\) को दोगुना करने पर आघूर्ण भी दोगुना होना चाहिए।

यह समानुपात केवल तब मान्य है जब \(I\), \(A\), \(B\) और \(\theta\) अपरिवर्तित रहें। यहाँ वे अपरिवर्तित नहीं रहते। ताँबे की समान मात्रा बनाए रखते हुए फेरों की संख्या दोगुनी करने से प्रतिरोध चार गुना हो जाता है। नियत वोल्टेज पर धारा चार गुना कम हो जाती है।

महत्वपूर्ण गुणनफल \(nI\) है:

\[ (nI)_A=(100)(3.0)=300 \]

जबकि

\[ (nI)_B=(200)(0.75)=150 \]

इसलिए कुंडली B का अधिकतम आघूर्ण केवल आधा है।

अब शर्त बदलें। मान लें कि एक आदर्श धारा-स्रोत किसी भी कुंडली में \(3.0\text{ A}\) धारा प्रवाहित करता है।

तब

\[ \tau_A=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.30\text{ N m} \]

जबकि

\[ \tau_B=(200)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.60\text{ N m} \]

इसलिए अब कुंडली B दोगुना आघूर्ण उत्पन्न करती है।

भौतिकी ने स्वयं का विरोध नहीं किया है। केवल आपूर्ति की शर्त बदल गई है। यह कथन कि “अधिक फेरे अधिक आघूर्ण देते हैं” केवल तभी सुरक्षित है जब धारा को वास्तव में अपरिवर्तित माना जा सके।

08इससे आगे आप क्या समझ सकते हैं

समीकरण

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

केवल एक संख्या की गणना से अधिक बताता है। यह समझाता है कि रोटर के घूमने पर मोटर का आघूर्ण क्यों बदलता है, कुंडली की मृत स्थितियाँ क्यों होती हैं, कम्यूटेटर को धारा की दिशा क्यों उलटनी पड़ती है, और मोटर की वाइंडिंग बदलने से एक साथ एक से अधिक राशियाँ क्यों प्रभावित हो सकती हैं।

अगला उपयोगी कदम इस बदलते आघूर्ण को विद्युतचुंबकीय प्रेरण से जोड़ना है। जब मोटर वास्तव में घूम रही होती है, तो गतिमान कुंडली एक प्रेरित emf भी उत्पन्न करती है जो आपूर्ति का विरोध करती है। यह बैक emf धारा को बदलती है, और धारा में परिवर्तन फिर आघूर्ण को बदलता है। इसलिए वास्तविक मोटर गति, प्रेरित emf, धारा और आघूर्ण के बीच एक प्रतिपुष्टि तंत्र है – केवल नियत \(nIAB\) वाली एक कुंडली नहीं।