HSC भौतिकी के लिए कूलॉम का नियम: बल और दिशा

दो छोटे आवेशित पिंडों को 20 cm की दूरी पर रखा गया है। आप एक पिंड का आवेश दोगुना कर देते हैं, लेकिन उसी समय उनके बीच की दूरी भी दोगुनी कर देते हैं। क्या विद्युत बल बढ़ेगा, घटेगा, या समान रहेगा?

एक आकर्षक अनुमान यह हो सकता है कि “दोनों परिवर्तन एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे”। लेकिन ऐसा नहीं होता। आवेश और दूरी विद्युत बल को अलग-अलग तरीकों से प्रभावित करते हैं। बल आवेश के सीधे समानुपाती होता है, लेकिन दूरी के साथ इसका संबंध व्युत्क्रम-वर्ग का होता है। एक आवेश को दोगुना करने से बल 2 गुना हो जाता है, जबकि दूरी को दोगुना करने से बल \(2^2 = 4\) से विभाजित हो जाता है। इसलिए अंतिम बल आधा रह जाता है।

यही संबंध कूलॉम का नियम है। इसकी गणना आमतौर पर सीधी होती है। HSC में अधिक कठिन कौशल यह समझना है कि प्राप्त संख्या का अर्थ क्या है: बल किस दिशा में है, गणना में कौन-से चिह्न उपयोग करने हैं, और दो से अधिक आवेश होने पर क्या बदलता है?

01भौतिक स्थिति से शुरुआत करें

कल्पना करें कि दो छोटे आवेशित गोले एक-दूसरे से इतनी दूरी पर हैं कि हम प्रत्येक गोले को इस प्रकार मान सकते हैं मानो उसका पूरा आवेश एक ही बिंदु पर केंद्रित हो।

केवल दो संभावनाएँ हैं:

• समान चिह्न वाले आवेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं
• विपरीत चिह्न वाले आवेश एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं

इसलिए दो धनात्मक आवेश एक-दूसरे से दूर धकेलते हैं। दो ऋणात्मक आवेश भी एक-दूसरे से दूर धकेलते हैं। एक धनात्मक और एक ऋणात्मक आवेश एक-दूसरे की ओर खिंचते हैं।

कोई भी गणित करने से पहले दिशा का अनुमान लगाएँ।

मान लें कि बाईं ओर एक धनात्मक आवेश है और दाईं ओर एक ऋणात्मक आवेश है।

धनात्मक आवेश पर बल किस दिशा में होगा?

ऋणात्मक आवेश की ओर, यानी दाईं ओर।

ऋणात्मक आवेश पर बल किस दिशा में होगा?

धनात्मक आवेश की ओर, यानी बाईं ओर।

दोनों बल विपरीत दिशाओं में हैं, लेकिन उनके परिमाण समान हैं। यह न्यूटन के तीसरे नियम के अनुरूप है।

इस प्रारंभिक चित्र में यह माना गया है कि आवेश बिंदु आवेशों की तरह व्यवहार करते हैं। वास्तविक आवेशित वस्तुओं का आकार होता है। कूलॉम का नियम अपने सरल रूप में बिंदु आवेशों पर बिल्कुल लागू होता है और गोलाकार सममित आवेश-वितरणों के लिए भी उपयोग किया जा सकता है, जब उनके बीच की दूरी उनके केंद्रों के बीच मापी जाए।

02बल के परिमाण को क्या नियंत्रित करता है?

तीन चीज़ें महत्वपूर्ण हैं:

1. पहले आवेश का परिमाण
2. दूसरे आवेश का परिमाण
3. उनके बीच की दूरी

यदि किसी भी आवेश का परिमाण बढ़ता है, तो बल बढ़ता है।

यदि आवेश एक-दूसरे से अधिक दूर चले जाते हैं, तो बल घटता है।

लेकिन दूरी का प्रभाव अधिक प्रबल होता है क्योंकि उसका वर्ग लिया जाता है।

उदाहरण के लिए:

इस व्युत्क्रम-वर्ग व्यवहार को केवल एक अजीब नियम की तरह याद करने की बजाय समझना अधिक उपयोगी है।

यदि दो आवेश एक-दूसरे से दोगुनी दूरी पर हों, तो उनकी विद्युत अंतःक्रिया ज्यामितीय रूप से बड़े क्षेत्र में फैली होती है। इसका परिणाम बल का केवल आधा हो जाना नहीं है। बल चार गुना कम हो जाता है।

03कूलॉम का नियम

दो बिंदु आवेशों के बीच वैद्युतस्थैतिक बल का परिमाण है

\[
F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]

जहाँ:

• \(F\) वैद्युतस्थैतिक बल का परिमाण है, जिसे न्यूटन (N) में मापा जाता है
• \(q_1\) और \(q_2\) आवेश हैं, जिन्हें कूलॉम (C) में मापा जाता है
• \(r\) आवेशों के बीच की दूरी है, जिसे मीटर (m) में मापा जाता है
• \(k\) कूलॉम नियतांक है

निर्वात में, और लगभग वायु में भी,

\[
k = 8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}
\]

\(q_1q_2\) के चारों ओर निरपेक्ष-मूल्य के चिह्न इसलिए हैं क्योंकि समीकरण का यह रूप एक परिमाण निकालता है। परिमाण ऋणात्मक नहीं हो सकता।

आवेशों के चिह्न फिर भी महत्वपूर्ण हैं, लेकिन उनका उपयोग बल की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

इन भूमिकाओं को अलग रखना उपयोगी है:

• कूलॉम के नियम में परिमाण जाते हैं
• आवेशों के चिह्न बताते हैं कि बल आकर्षी है या प्रतिकर्षी
• आपका आरेख या निर्देशांक तंत्र बताता है कि वह दिशा धनात्मक है या ऋणात्मक

04इकाई रूपांतरण का जाल

HSC के प्रश्नों में आवेश प्रायः कई पूरे कूलॉम के रूप में नहीं लिखे होते। छोटी वस्तुओं के पैमाने पर एक कूलॉम बहुत बड़ी मात्रा का आवेश है।

आप अक्सर देखेंगे:

\[
1\ \text{mC} = 1\times10^{-3}\ \text{C}
\]

\[
1\ \mu\text{C} = 1\times10^{-6}\ \text{C}
\]

\[
1\ \text{nC} = 1\times10^{-9}\ \text{C}
\]

कूलॉम का नियम उपयोग करने से पहले आपको सेंटीमीटर को मीटर में भी बदलना होगा।

उदाहरण के लिए,

\[
25\ \text{cm} = 0.25\ \text{m}
\]

एक सामान्य गलती \(r^2\) में \(25\) रखने की है। ऐसा करने पर समीकरण यह मानेगा कि आवेश 25 मीटर की दूरी पर हैं।

06आकर्षण दिखाने के लिए ऋणात्मक बल का उपयोग क्यों नहीं करना चाहिए

मान लें कि आप चिह्न सहित मान \(q_1 = +3.0\ \mu\text{C}\) और \(q_2 = -5.0\ \mu\text{C}\) को सीधे इस समीकरण में रखते हैं

\[
F = k\frac{q_1q_2}{r^2}
\]

आपको एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होगी।

यह कहना आकर्षक लग सकता है कि “ऋणात्मक बल का अर्थ आकर्षण है”।

यह शॉर्टकट भरोसेमंद नहीं है।

ऋणात्मक सदिश अवयव का अर्थ है कि बल आपके चुने हुए निर्देशांक अक्ष की ऋणात्मक दिशा में है। आकर्षण अपने-आप बायाँ, दायाँ, धनात्मक या ऋणात्मक नहीं होता। यह इस बात पर निर्भर करता है कि दूसरा आवेश कहाँ स्थित है।

उदाहरण के लिए, एक धनात्मक परीक्षण आवेश की कल्पना करें।

• यदि उसके दाईं ओर ऋणात्मक आवेश है, तो आकर्षण दाईं ओर बल उत्पन्न करता है।
• यदि उसी ऋणात्मक आवेश को उसकी बाईं ओर ले जाएँ, तो आकर्षण बाईं ओर बल उत्पन्न करता है।

दोनों स्थितियों में अंतःक्रिया आकर्षी है, लेकिन निर्देशांक चिह्न बदल जाता है।

अधिकांश एक-विमीय HSC गणनाओं के लिए अधिक सुरक्षित तरीका है:

1. कूलॉम के नियम में आवेशों के परिमाणों का उपयोग करें
2. तय करें कि अंतःक्रिया आकर्षी है या प्रतिकर्षी
3. भौतिक दिशा निर्धारित करें
4. अक्ष चुनने के बाद ही धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न लगाएँ

07दिशा उत्तर का हिस्सा है

मान लें कि दो आवेश \(x\)-अक्ष पर स्थित हैं।

आप तय करते हैं कि दाईं दिशा धनात्मक है।

तब:

• दाईं ओर बल का \(x\)-अवयव धनात्मक होता है
• बाईं ओर बल का \(x\)-अवयव ऋणात्मक होता है

धनात्मक दिशा का चुनाव मनमाना है। भौतिकी दाईं दिशा को बाईं दिशा से अधिक प्राथमिकता नहीं देती।

चिह्न को ऐसे समझें जैसे किसी गलियारे के किस सिरे को “धनात्मक” कहा जाए, यह चुनना। लेबल बदल देने से गलियारा नहीं बदलता। केवल वे संख्याएँ बदलती हैं जिनसे आप स्थितियों और दिशाओं का वर्णन करते हैं।

इस उपमा की एक सीमा है। विद्युत आकर्षण और प्रतिकर्षण वास्तविक भौतिक अंतःक्रियाएँ हैं, जबकि धनात्मक और ऋणात्मक निर्देशांक दिशाएँ केवल हिसाब रखने के लिए चुनी गई परंपराएँ हैं।

09जब एक से अधिक आवेश प्रभाव डालते हैं तो क्या होता है?

कूलॉम का नियम एक आवेश द्वारा दूसरे आवेश पर लगाए गए बल को देता है।

यदि किसी आवेश पर कई अन्य आवेश प्रभाव डाल रहे हों, तो प्रत्येक बल को अलग-अलग निकालें और फिर बलों को सदिशों के रूप में जोड़ें।

इसे अध्यारोपण का सिद्धांत कहते हैं।

यदि किसी आवेश पर \(\vec F_1\), \(\vec F_2\), और \(\vec F_3\) बल लग रहे हैं, तो

\[
\vec F_{\text{net}} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3
\]

बलों के परिमाणों को अपने-आप न जोड़ें। दिशा महत्वपूर्ण है।

कल्पना करें कि आप दो लोगों के बीच खड़े हैं और दोनों आपको अपनी-अपनी ओर खींचने की कोशिश कर रहे हैं। यह कहना कि “एक व्यक्ति 80 N से खींचता है और दूसरा 60 N से, इसलिए कुल बल 140 N है” उस महत्वपूर्ण बात को नज़रअंदाज़ करता है कि वे आपको विपरीत दिशाओं में खींच रहे हैं। आपका परिणामी बल अधिक मजबूत खिंचाव की दिशा में 20 N है।

जब विद्युत बल एक ही सीधी रेखा पर होते हैं, तो वे भी इसी प्रकार काम करते हैं।

जब बल एक ही रेखा पर न हों, तो यह उपमा काम नहीं करती। उस स्थिति में केवल परिमाणों को घटाने के बजाय वास्तविक द्वि-विमीय सदिशों को जोड़ना पड़ता है।

10हल किया हुआ उदाहरण: दो अन्य आवेशों से उत्पन्न परिणामी बल

तीन बिंदु आवेश एक क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं।

• आवेश \(A = +4.0\ \mu\text{C}\)
• आवेश \(B = +2.0\ \mu\text{C}\)
• आवेश \(C = -3.0\ \mu\text{C}\)

आवेश \(A\), \(B\) से \(0.20\ \text{m}\) बाईं ओर है। आवेश \(C\), \(B\) से \(0.30\ \text{m}\) दाईं ओर है।

\(B\) पर परिणामी वैद्युतस्थैतिक बल ज्ञात करें। दाईं दिशा को धनात्मक मानें।

चरण 1

\(A\) और \(B\) दोनों धनात्मक हैं, इसलिए वे प्रतिकर्षित करते हैं।

क्योंकि \(A\), \(B\) के बाईं ओर है, वह \(B\) को दाईं ओर धकेलता है।

इसलिए,

\[
F_{AB} > 0
\]

चरण 2

\[
\begin{aligned}
F_{AB}
&= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(4.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\
&= 1.80\ \text{N}
\end{aligned}
\]

अतः,

\[
F_{AB} = +1.80\ \text{N}
\]

चरण 3

\(B\) धनात्मक और \(C\) ऋणात्मक है, इसलिए वे आकर्षित करते हैं।

क्योंकि \(C\) दाईं ओर है, \(B\) दाईं ओर खिंचता है।

इसलिए,

\[
F_{CB} > 0
\]

चरण 4

\[
\begin{aligned}
F_{CB}
&= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(3.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.30)^2} \\
&= 0.599\ \text{N}
\end{aligned}
\]

अतः,

\[
F_{CB} = +0.599\ \text{N}
\]

चरण 5

\[
\begin{aligned}
F_{\text{net}}
&= F_{AB} + F_{CB} \\
&= 1.80 + 0.599 \\
&= 2.40\ \text{N}
\end{aligned}
\]

इसलिए \(B\) पर परिणामी बल है

\[
\boxed{F_{\text{net}} = +2.40\ \text{N}}
\]

या दाईं ओर \(2.40\ \text{N}\)।

दोनों अंतःक्रियाएँ \(B\) को एक ही दिशा में धकेलती या खींचती हैं, भले ही एक अंतःक्रिया प्रतिकर्षी है और दूसरी आकर्षी।

यही कारण है कि “आकर्षी का अर्थ ऋणात्मक” एक खराब नियम है।

11कूलॉम के नियम के प्रश्नों के लिए एक भरोसेमंद विधि

जब किसी प्रश्न में विद्युत बल शामिल हों, तो इस क्रम का उपयोग करें।

1. आवेशों को उनकी सही स्थितियों में बनाएँ

उनके चिह्न और उनके बीच की दूरियाँ भी लिखें।

ऐसा तब भी करें जब व्यवस्था स्पष्ट लगे। अधिकांश दिशा-संबंधी गलतियाँ कैलकुलेटर छूने से पहले ही शुरू हो जाती हैं।

2. वह आवेश चुनें जिस पर लगने वाला बल आपको ज्ञात करना है

पूछें: इस आवेश पर कौन-कौन से बल लग रहे हैं?

अन्य आवेशों पर लगने वाले बलों को नज़रअंदाज़ करें, जब तक प्रश्न विशेष रूप से उनके बारे में न पूछे।

3. प्रत्येक बल की दिशा का अनुमान लगाएँ

प्रत्येक अंतःक्रिया करने वाले युग्म के लिए:

• समान चिह्न का अर्थ प्रतिकर्षण
• विपरीत चिह्न का अर्थ आकर्षण

जिस आवेश में आपकी रुचि है, उस पर लगने वाले बल को दिखाने वाला तीर बनाएँ।

4. सभी राशियों को SI इकाइयों में बदलें

उपयोग करें:

• आवेश के लिए कूलॉम
• दूरी के लिए मीटर
• बल के लिए न्यूटन

5. प्रत्येक बल का परिमाण अलग-अलग निकालें

उपयोग करें

\[
F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]

6. बलों को सदिश चिह्न दें

अब ही अपनी निर्देशांक परंपरा का उपयोग करें।

उदाहरण के लिए, यदि दाईं दिशा धनात्मक है:

• दाईं ओर का बल: धनात्मक
• बाईं ओर का बल: ऋणात्मक

7. बलों को जोड़ें

एक-विमीय समस्याओं के लिए,

\[
F_{\text{net}} = F_1 + F_2 + \cdots
\]

द्वि-विमीय व्यवस्थाओं के लिए, बलों को जोड़ने से पहले उन्हें अवयवों में विभाजित करें।

12सबसे आकर्षक भ्रांतियाँ

“ऋणात्मक आवेश का अर्थ ऋणात्मक बल है”

ज़रूरी नहीं।

आवेश का चिह्न आवेश के प्रकार को बताता है। बल का चिह्न किसी निर्देशांक तंत्र के सापेक्ष दिशा बताता है।

ये अलग-अलग विचार हैं।

“विपरीत आवेश हमेशा ऋणात्मक उत्तर देते हैं”

विपरीत आवेश हमेशा आकर्षित करते हैं। बल-अवयव धनात्मक होगा या ऋणात्मक, यह इस बात पर निर्भर करता है कि आवेश कहाँ हैं और आपने किस दिशा को धनात्मक चुना है।

“यदि दूरी दोगुनी हो जाए, तो बल आधा हो जाता है”

कूलॉम के नियम में \(r^2\) है, केवल \(r\) नहीं।

दूरी को दोगुना करने पर

\[
F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{2^2}
= \frac{F_{\text{old}}}{4}
\]

“बड़े आवेश पर बड़ा बल लगता है”

मान लें कि एक \(+1\ \mu\text{C}\) आवेश एक \(+100\ \mu\text{C}\) आवेश के साथ अंतःक्रिया करता है।

यह सोचना स्वाभाविक लग सकता है कि \(100\ \mu\text{C}\) वाला आवेश किसी तरह “जीतेगा” और बड़ा बल लगाएगा।

ऐसा नहीं होता।

कूलॉम का नियम वही गुणनफल \(q_1q_2\) देता है, चाहे आप किस आवेश को \(q_1\) कहें और किसे \(q_2\)। आवेश 1 द्वारा आवेश 2 पर लगाया गया बल और आवेश 2 द्वारा आवेश 1 पर लगाया गया बल परिमाण में समान होते हैं।

फिर भी यदि वस्तुओं के द्रव्यमान अलग-अलग हों, तो उनके त्वरण अलग हो सकते हैं, क्योंकि

\[
\vec a = \frac{\vec F}{m}
\]

समान बल का अर्थ समान त्वरण नहीं है।

“शून्य परिणामी बल का अर्थ है कि कोई विद्युत बल नहीं है”

यह भी गलत है।

दो या अधिक अशून्य बल एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं।

किसी आवेश पर बाईं ओर \(3\ \text{N}\) और दाईं ओर \(3\ \text{N}\) के बल लग सकते हैं। उसका परिणामी बल शून्य होगा, जबकि उस पर दो वैद्युतस्थैतिक बल काम कर रहे हैं।

यह अंतर विशेष रूप से तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब आप विद्युत क्षेत्र और संतुलन का अध्ययन करते हैं।

13प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

दो बिंदु आवेश, \(+2.5\ \mu\text{C}\) और \(+4.0\ \mu\text{C}\), \(0.50\ \text{m}\) की दूरी पर हैं।

उनके बीच वैद्युतस्थैतिक बल का परिमाण निकालें और बताएँ कि अंतःक्रिया आकर्षी है या प्रतिकर्षी।

समाधान 1

आवेश \(0.360\ \text{N}\) के बल के परिमाण से एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।

दोनों आवेश धनात्मक हैं, इसलिए अंतःक्रिया प्रतिकर्षी है।

आवेशों को कूलॉम में बदलें:

\[
q_1 = 2.5\times10^{-6}\ \text{C}
\]

\[
q_2 = 4.0\times10^{-6}\ \text{C}
\]

दूरी है

\[
r = 0.50\ \text{m}
\]

कूलॉम के नियम का उपयोग करते हुए,

\[
\begin{aligned}
F
&= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(2.5\times10^{-6})(4.0\times10^{-6})}{(0.50)^2} \\
&= 0.3596\ \text{N}
\end{aligned}
\]

इसलिए,

\[
\boxed{F = 0.360\ \text{N}}
\]

प्रत्येक आवेश पर समान परिमाण का यह बल लगता है, जिसकी दिशा दूसरे आवेश से दूर होती है। यहाँ एक सामान्य गलती यह कहना है कि बड़े \(+4.0\ \mu\text{C}\) आवेश पर बड़ा बल लगेगा। न्यूटन का तीसरा नियम बताता है कि दोनों अंतःक्रिया बलों के परिमाण समान होते हैं।

प्रश्न 2

एक \(+6.0\ \text{nC}\) आवेश \(x = 0\) पर स्थित है, और एक \(-8.0\ \text{nC}\) आवेश \(x = -0.12\ \text{m}\) पर स्थित है।

दाईं दिशा को धनात्मक मानें। \(+6.0\ \text{nC}\) आवेश पर लगने वाला बल ज्ञात करें।

समाधान 2

धनात्मक आवेश पर बल लगभग \(-3.00\times10^{-5}\ \text{N}\) है, जिसका अर्थ है कि यह बाईं ओर है।

आवेशों के चिह्न विपरीत हैं, इसलिए वे आकर्षित करते हैं। ऋणात्मक आवेश धनात्मक आवेश के बाईं ओर है, इसलिए धनात्मक आवेश पर बल भी बाईं ओर होना चाहिए।

आवेशों को बदलें:

\[
|q_1| = 6.0\times10^{-9}\ \text{C}
\]

\[
|q_2| = 8.0\times10^{-9}\ \text{C}
\]

परिमाण निकालें:

\[
\begin{aligned}
F
&= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(6.0\times10^{-9})(8.0\times10^{-9})}{(0.12)^2} \\
&= 2.997\times10^{-5}\ \text{N}
\end{aligned}
\]

तीन सार्थक अंकों तक,

\[
F = 3.00\times10^{-5}\ \text{N}
\]

क्योंकि बाईं दिशा ऋणात्मक \(x\)-दिशा है,

\[
\boxed{F_x = -3.00\times10^{-5}\ \text{N}}
\]

ऋणात्मक चिह्न चुनी गई निर्देशांक दिशा से आता है, केवल इस तथ्य से नहीं कि एक आवेश ऋणात्मक है।

प्रश्न 3

एक \(+1.0\ \mu\text{C}\) आवेश पर दूसरे बिंदु आवेश के कारण \(0.90\ \text{N}\) परिमाण का बल लगता है।

दोनों के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाती है, जबकि दोनों आवेशों के परिमाण अपरिवर्तित रहते हैं।

बल का नया परिमाण क्या होगा? कूलॉम के नियम की पूरी गणना को शुरू से दोहराए बिना समझाएँ।

समाधान 3

बल का नया परिमाण \(0.225\ \text{N}\) है।

कूलॉम का नियम यह संबंध देता है

\[
F \propto \frac{1}{r^2}
\]

यदि दूरी \(r\) से बदलकर \(2r\) हो जाए, तो

\[
\frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}}
=
\frac{r^2}{(2r)^2}
=
\frac{1}{4}
\]

इसलिए,

\[
\begin{aligned}
F_{\text{new}}
&= \frac{0.90}{4} \\
&= 0.225\ \text{N}
\end{aligned}
\]

अतः,

\[
\boxed{F_{\text{new}} = 0.225\ \text{N}}
\]

मुख्य गलती इस संबंध को व्युत्क्रम-वर्ग की बजाय केवल व्युत्क्रम मान लेना है। दूरी को दोगुना करने से बल आधा नहीं होता। वह घटकर एक-चौथाई रह जाता है।

प्रश्न 4

तीन बिंदु आवेश \(x\)-अक्ष पर स्थित हैं।

• \(A = +3.0\ \mu\text{C}\), \(x = -0.20\ \text{m}\) पर
• \(B = +1.0\ \mu\text{C}\), \(x = 0\) पर
• \(C = +12.0\ \mu\text{C}\), \(x = +0.40\ \text{m}\) पर

दाईं दिशा को धनात्मक मानें।

\(B\) पर परिणामी वैद्युतस्थैतिक बल ज्ञात करें।

समाधान 4

\(B\) पर परिणामी बल शून्य है, भले ही उस पर दो अशून्य वैद्युतस्थैतिक बल लग रहे हैं।

पहले \(A\) से लगने वाले बल पर विचार करें।

\(A\) और \(B\) दोनों धनात्मक हैं, इसलिए \(A\), \(B\) को प्रतिकर्षित करता है। क्योंकि \(A\) बाईं ओर है, यह बल दाईं ओर है।

इसका परिमाण है

\[
\begin{aligned}
F_{AB}
&= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\
&= 0.674\ \text{N}
\end{aligned}
\]

इसलिए,

\[
F_{AB} = +0.674\ \text{N}
\]

अब \(C\) से लगने वाले बल पर विचार करें।

\(B\) और \(C\) भी दोनों धनात्मक हैं, इसलिए \(C\), \(B\) को प्रतिकर्षित करता है। क्योंकि \(C\) दाईं ओर है, यह बल बाईं ओर है।

इसका परिमाण है

\[
\begin{aligned}
F_{CB}
&= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\
&= (8.99\times10^9)
\frac{(12.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.40)^2} \\
&= 0.674\ \text{N}
\end{aligned}
\]

इसलिए,

\[
F_{CB} = -0.674\ \text{N}
\]

सदिश अवयवों को जोड़ें:

\[
\begin{aligned}
F_{\text{net}}
&= F_{AB} + F_{CB} \\
&= 0.674 – 0.674 \\
&= 0
\end{aligned}
\]

अतः,

\[
\boxed{F_{\text{net}} = 0\ \text{N}}
\]

रोचक बात यह है कि क्या आवेश \(C\), \(B\) से \(A\) की तुलना में चार गुना दूर है? वास्तविक दूरियों को ध्यान से जाँचें: \(C\), \(0.40\ \text{m}\) दूर है जबकि \(A\), \(0.20\ \text{m}\) दूर है, इसलिए \(C\) केवल दोगुना दूर है। क्योंकि दूरी का वर्ग लिया जाता है, दोगुना दूर होने से बल चार गुना कमजोर हो जाता है। \(C\) पर आवेश चार गुना बड़ा है, जो इस कमी की बिल्कुल भरपाई कर देता है।

इसलिए शून्य परिणामी बल का अर्थ शून्य वैद्युतस्थैतिक अंतःक्रिया नहीं है। इसका अर्थ है कि अलग-अलग सदिश बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

प्रश्न 5

दो स्थिर धनात्मक बिंदु आवेश एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

• \(Q_1 = +4.0\ \mu\text{C}\), \(x = 0\) पर
• \(Q_2 = +9.0\ \mu\text{C}\), \(x = 1.00\ \text{m}\) पर

एक छोटा धनात्मक परीक्षण आवेश उसी रेखा पर कहीं रखा जाता है।

\(Q_1\) और \(Q_2\) के बीच वह स्थिति ज्ञात करें जहाँ परीक्षण आवेश पर परिणामी वैद्युतस्थैतिक बल शून्य हो। यह भी समझाएँ कि परीक्षण आवेश के अपने आवेश का मान जानना क्यों आवश्यक नहीं है।

समाधान 5

परीक्षण आवेश को \(Q_1\) से मापे जाने पर \(x = 0.400\ \text{m}\) पर रखना होगा।

क्योंकि परीक्षण आवेश धनात्मक है, दोनों स्थिर धनात्मक आवेश उसे प्रतिकर्षित करते हैं।

\(Q_1\) और \(Q_2\) के बीच:

• \(Q_1\) परीक्षण आवेश को दाईं ओर धकेलता है
• \(Q_2\) परीक्षण आवेश को बाईं ओर धकेलता है

परिणामी बल शून्य होने के लिए इन बलों के परिमाण समान होने चाहिए।

अज्ञात स्थिति को \(Q_1\) से \(x\) मीटर मानें।

तब \(Q_2\) से उसकी दूरी होगी

\[
1.00-x
\]

परीक्षण आवेश को \(q\) मानें। दोनों बलों के परिमाण बराबर रखने पर

\[
k\frac{|Q_1q|}{x^2}
=
k\frac{|Q_2q|}{(1.00-x)^2}
\]

\(k\) और \(|q|\) दोनों पक्षों में हैं, इसलिए वे निरस्त हो जाते हैं:

\[
\frac{Q_1}{x^2}
=
\frac{Q_2}{(1.00-x)^2}
\]

आवेशों के परिमाण रखें:

\[
\frac{4.0}{x^2}
=
\frac{9.0}{(1.00-x)^2}
\]

धनात्मक वर्गमूल लेना उचित है क्योंकि \(x\) और \(1.00-x\), दोनों धनात्मक दूरियाँ हैं:

\[
\frac{2}{x}
=
\frac{3}{1.00-x}
\]

क्रॉस-गुणा करने पर,

\[
\begin{aligned}
2(1.00-x) &= 3x \\
2.00-2x &= 3x \\
2.00 &= 5x \\
x &= 0.400\ \text{m}
\end{aligned}
\]

इसलिए,

\[
\boxed{x = 0.400\ \text{m}}
\]

परीक्षण आवेश का परिमाण आवश्यक नहीं है क्योंकि वह दोनों प्रतिस्पर्धी बलों को समान रूप से गुणा करता है और बलों को बराबर रखने पर निरस्त हो जाता है।

यह स्थिति भौतिक रूप से भी उचित है। \(+9.0\ \mu\text{C}\) आवेश अधिक बड़ा है, इसलिए संतुलन बिंदु कमजोर \(+4.0\ \mu\text{C}\) आवेश के अधिक निकट होना चाहिए। \(x=0.400\ \text{m}\) पर परीक्षण आवेश \(Q_1\) से \(0.400\ \text{m}\) दूर है, लेकिन अधिक बड़े \(Q_2\) से \(0.600\ \text{m}\) दूर है।

एक आकर्षक तरीका मध्यबिंदु ढूँढना हो सकता है। लेकिन यह केवल तभी काम करता जब दोनों स्थिर आवेशों के परिमाण समान होते।

14बल से विद्युत क्षेत्र तक

कूलॉम का नियम आपको विशेष आवेशों के बीच का बल बताता है। अगला उपयोगी कदम अंतःक्रिया के स्रोत को वहाँ रखी गई वस्तु से अलग करके देखना है।

यदि कोई आवेश \(Q\) अपने चारों ओर विद्युत प्रभाव उत्पन्न करता है, तो हम उस प्रभाव का वर्णन विद्युत क्षेत्र की सहायता से कर सकते हैं। उस क्षेत्र में रखा गया दूसरा आवेश तब एक बल अनुभव करता है।

यह बदलाव

\[
F = k\frac{|Qq|}{r^2}
\]

को इससे निकटता से जुड़े विचार में बदल देता है

\[
E = k\frac{|Q|}{r^2}
\]

जहाँ \(E\) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।

इसलिए यहाँ आपने दिशा को समझने के लिए जो काम किया है, वही सीधे आगे लागू होता है: पहले समझें कि एक धनात्मक परीक्षण आवेश किस दिशा में धकेला जाएगा, फिर सदिश दिशा जोड़ें। यही कूलॉम के नियम से विद्युत क्षेत्रों, क्षेत्र आरेखों, विद्युत विभव और अंततः विद्युत क्षेत्रों में आवेशित कणों की गति तक जाने वाला सेतु है।