HSC Physics में प्रक्षेप्य गति की मान्यताओं की व्याख्या

कैलकुलेटर पूरी तरह सही हो सकता है और फिर भी गिरने की जगह का गलत अनुमान दे सकता है। किसी गेंद को प्रक्षेपित करें, प्रक्षेप्य गति के समीकरणों का उपयोग करें, और आपको उसकी परास 50 m मिल सकती है। वास्तविक दुनिया में, गेंद उससे कई मीटर पहले गिर सकती है।

तो असफल क्या हुआ: बीजगणित, समीकरण, या उसके पीछे का मॉडल?

आगे पढ़ने से पहले एक अनुमान लगाइए। यदि आप उसी गेंद को बहुत अधिक गति से प्रक्षेपित करें, तो क्या सरल प्रक्षेप्य मॉडल सामान्यतः अधिक सटीक होगा या कम सटीक? हवा में चलती किसी वस्तु के लिए, सामान्यतः कम सटीक। वह जितनी तेज़ चलती है, वायु प्रतिरोध उतना ही अधिक महत्वपूर्ण होने लगता है।

यही प्रक्षेप्य गति की मान्यताओं का उद्देश्य है। समीकरण यह दावा नहीं करते कि वास्तविक प्रक्षेप्य सचमुच स्थिर गुरुत्व और शून्य वायु प्रतिरोध का अनुभव करते हैं। वे एक सरलीकृत भौतिक मॉडल का वर्णन करते हैं। HSC Physics में आपका काम यह जानना है कि यह मॉडल क्या भविष्यवाणी करता है, कई परिस्थितियों में यह इतना अच्छा क्यों काम करता है, और कब इस पर भरोसा करना बंद कर देना चाहिए।

01मानक प्रक्षेप्य मॉडल क्या मानता है

जब किसी वस्तु को प्रक्षेपित कर दिया गया हो और प्रक्षेपक अब उसे धक्का न दे रहा हो, तो सबसे सरल मॉडल कहता है कि उस पर कार्य करने वाला एकमात्र महत्वपूर्ण बल गुरुत्व है।

इससे हमें दो प्रमुख मान्यताएँ मिलती हैं:

हम सामान्यतः यह भी मानते हैं कि स्थानीय रूप से भूमि समतल है और प्रक्षेप्य एक ऐसे कण की तरह है जिसका आकार महत्वपूर्ण नहीं है।

यही मान्यताएँ परिचित प्रक्षेप्य समीकरणों को संभव बनाती हैं। इन्हें हटा दें, तो समीकरण गति का वर्णन करना बंद कर सकते हैं।

02मॉडल को एक साथ हो रही दो गतियों से बनाइए

कल्पना कीजिए कि आप किसी प्रक्षेप्य का वीडियो बनाते हैं और हर 0.1 s पर उसकी स्थिति चिह्नित करते हैं।

यदि वायु प्रतिरोध न हो, तो क्षैतिज दिशा में चिह्न समान दूरी पर होंगे। इससे पता चलता है कि क्षैतिज वेग स्थिर है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में चिह्नों के बीच की दूरी बदलती है क्योंकि गुरुत्व लगातार ऊर्ध्वाधर वेग को बदलता रहता है।

उपयोगी तरीका यह है कि इन्हें एक ही गति के दो घटकों के रूप में देखें:

• शून्य त्वरण वाली क्षैतिज गति,
• स्थिर नीचे की ओर त्वरण वाली ऊर्ध्वाधर गति।

दोनों के लिए समय समान है। यदि प्रक्षेप्य क्षैतिज दिशा में 2 s से चल रहा है, तो वह ऊर्ध्वाधर दिशा में भी ठीक 2 s से गुरुत्व के प्रभाव में गिर रहा है।

यह कुछ-कुछ ऐसा है जैसे एक ही परीक्षा अवधि में दो विद्यार्थी अलग-अलग विषय कर रहे हों। एक Maths कर रहा है और दूसरा Physics, इसलिए उनका काम अलग-अलग तरह से आगे बढ़ता है, लेकिन दीवार की घड़ी दोनों के लिए एक ही है। यह उपमा एक सीमा पर टूट जाती है क्योंकि ये दोनों गतियाँ वास्तव में दो अलग वस्तुएँ नहीं हैं; वे एक ही वेग सदिश के घटक हैं।

मान लीजिए किसी प्रक्षेप्य को चाल \(u\) से क्षैतिज से ऊपर \(\theta\) कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। उसके प्रारंभिक वेग घटक हैं

\[
u_x=u\cos\theta
\]

और

\[
u_y=u\sin\theta
\]

जहाँ:

• \(u\) प्रक्षेपण चाल है, \(\text{m s}^{-1}\) में,
• \(u_x\) प्रारंभिक क्षैतिज वेग है, \(\text{m s}^{-1}\) में,
• \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है, \(\text{m s}^{-1}\) में,
• \(\theta\) क्षैतिज से ऊपर प्रक्षेपण कोण है।

मानक मॉडल के अनुसार,

\[
a_x=0
\]

और

\[
a_y=-g
\]

यदि ऊपर की दिशा को धनात्मक माना जाए।

इससे मिलता है

\[
x=u_x t
\]

और

\[
y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2
\]

जब प्रक्षेप्य \(x=0\) और \(y=0\) से शुरू होता है।

बाद में उसके वेग घटक हैं

\[
v_x=u_x
\]

और

\[
v_y=u_y-gt
\]

जहाँ \(t\) समय है, सेकंड में।

ध्यान दीजिए कि यहाँ क्या हुआ। हमने चार समीकरण याद करके शुरुआत नहीं की। हमने दो भौतिक कथनों से शुरुआत की: कोई क्षैतिज बल नहीं, और लगभग स्थिर नीचे की ओर गुरुत्व। समीकरण इन्हीं कथनों से निकलते हैं।

03मान्यता 1: गुरुत्व स्थिर है

एक सामान्य गलती यह है कि “स्थिर गुरुत्व” सुनकर यह मान लिया जाए कि प्रक्षेप्य का नीचे की ओर वेग भी स्थिर होना चाहिए।

ऐसा नहीं है।

स्थिर गुरुत्व का अर्थ है कि त्वरण स्थिर है। इसलिए वेग हर सेकंड समान मात्रा से बदलता है।

पृथ्वी की सतह के पास,

\[
g\approx9.8\text{ m s}^{-2}
\]

इसलिए, वायु प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ करने पर, ऊर्ध्वाधर वेग हर सेकंड लगभग \(9.8\text{ m s}^{-1}\) नीचे की ओर बदलता है।

यदि किसी गेंद का प्रारंभिक

\[
v_y=+15\text{ m s}^{-1},
\]

है, तो लगभग एक सेकंड बाद,

\[
v_y=+5.2\text{ m s}^{-1}.
\]

एक और सेकंड बाद वह नीचे की ओर चल रही होगी, और

\[
v_y\approx-4.6\text{ m s}^{-1}.
\]

त्वरण वही रहा। वेग नहीं।

\(g\) केवल लगभग स्थिर क्यों है?

पृथ्वी से अधिक दूर जाने पर गुरुत्व वास्तव में कमजोर होता जाता है।

पृथ्वी के केंद्र से दूरी \(r\) के लिए,

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}
\]

जहाँ:

• \(G\) सार्वत्रिक गुरुत्वीय नियतांक है,
• \(M_E\) पृथ्वी का द्रव्यमान है,
• \(r\) पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।

पृथ्वी की सतह पर, \(r\) लगभग पृथ्वी की त्रिज्या \(R_E\) के बराबर है। ऊँचाई \(h\) पर,

\[
g(h)=g_0\left(\frac{R_E}{R_E+h}\right)^2
\]

जहाँ \(g_0\) सतह पर गुरुत्वीय त्वरण है।

किसी खेल के मैदान से कुछ दसियों मीटर ऊपर जाने वाली फुटबॉल के लिए, \(h\) पृथ्वी की लगभग \(6.37\times10^6\text{ m}\) त्रिज्या की तुलना में अत्यंत छोटा है। इसलिए \(g\) को स्थिर मानना बहुत अच्छा सन्निकटन है।

लेकिन मान लीजिए कोई वस्तु 100 km ऊपर चढ़ती है।

\(R_E=6370\text{ km}\) का उपयोग करते हुए,

\[
g=9.8\left(\frac{6370}{6470}\right)^2
\approx9.50\text{ m s}^{-2}.
\]

यह सतही मान से लगभग 3% कम है। अब स्थिर \(g\) की मान्यता इतनी निर्दोष नहीं रहती।

एक और मुद्दा भी है। गुरुत्व हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर इंगित करता है। स्कूल के खेल मैदान की चौड़ाई में “नीचे” की दिशा प्रभावी रूप से हर जगह समान है। सैकड़ों या हजारों किलोमीटर में ऐसा नहीं है।

इसलिए स्थिर-गुरुत्व मॉडल में दो सन्निकटन शामिल हैं:

• \(g\) का परिमाण उल्लेखनीय रूप से नहीं बदलता,
• \(g\) की दिशा उल्लेखनीय रूप से नहीं बदलती।

पृथ्वी की सतह के पास सामान्य HSC प्रक्षेप्य समस्याओं के लिए दोनों ही बहुत अच्छे सन्निकटन हैं।

04मान्यता 2: वायु प्रतिरोध नगण्य है

कागज़ की एक सपाट शीट और उसी शीट को कसकर मसलकर बनाई गई गेंद को गिराइए।

क्या सरल प्रक्षेप्य मॉडल दोनों के लिए अलग-अलग त्वरण की भविष्यवाणी करेगा?

नहीं। उनका गुरुत्वीय त्वरण समान होगा क्योंकि मॉडल में गुरुत्व ही एकमात्र महत्वपूर्ण बल है।

वास्तविकता इससे बहुत अलग है। सपाट शीट अपने भार की तुलना में कहीं अधिक वायु प्रतिरोध अनुभव करती है।

यह हमें एक महत्वपूर्ण बात बताता है: “नगण्य वायु प्रतिरोध” का अर्थ यह नहीं कि हवा सचमुच गायब हो गई है। इसका अर्थ है कि हवा द्वारा लगाया गया बल इतना छोटा है कि उसे नज़रअंदाज़ करने पर उस प्रश्न के लिए स्वीकार्य भविष्यवाणी मिलती है जिसका हम उत्तर देने की कोशिश कर रहे हैं।

वायु प्रतिरोध वास्तव में क्या करता है?

स्थिर हवा में, ड्रैग वस्तु के हवा के सापेक्ष वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।

यदि कोई प्रक्षेप्य ऊपर और दाईं ओर चल रहा है, तो ड्रैग नीचे और बाईं ओर कार्य करता है।

यदि वह नीचे और दाईं ओर चल रहा है, तो ड्रैग ऊपर और बाईं ओर कार्य करता है।

इससे सरल प्रक्षेप्य मॉडल की सबसे सुविधाजनक विशेषताओं में से एक तुरंत समाप्त हो जाती है। ड्रैग मौजूद होने पर क्षैतिज वेग अब स्थिर नहीं रहता।

पर्याप्त रूप से उच्च चालों पर ड्रैग का एक सामान्य सन्निकट मॉडल है

\[
F_D=\frac{1}{2}\rho C_D A v^2
\]

जहाँ:

• \(F_D\) ड्रैग बल है, न्यूटन में,
• \(\rho\) वायु का घनत्व है, \(\text{kg m}^{-3}\) में,
• \(C_D\) आकार से संबंधित विमाहीन ड्रैग गुणांक है,
• \(A\) अनुप्रस्थ क्षेत्रफल है, \(\text{m}^2\) में,
• \(v\) हवा के सापेक्ष वस्तु की चाल है, \(\text{m s}^{-1}\) में।

सामान्य HSC प्रक्षेप्य गणनाओं के लिए आपको इस व्यंजक की आवश्यकता नहीं है। यहाँ यह इसलिए उपयोगी है क्योंकि यह दिखाता है कि “बस वायु प्रतिरोध जोड़ दो” सामान्य समीकरणों में कोई बहुत छोटा सुधार नहीं है। चाल बदलने के साथ बल बदलता है, और वेग की दिशा बदलने के साथ उसकी दिशा भी बदलती है।

इसलिए त्वरण स्थिर नहीं रहता।

अधिक तेज़ होने का अर्थ केवल “वही परवलय, लेकिन छोटा” नहीं है

एक आकर्षक कल्पना यह है: बिना ड्रैग वाला परवलय निकालिए, फिर उसे थोड़ा दबा दीजिए।

सामान्यतः यह सही नहीं है।

वायु प्रतिरोध:

• पूरी उड़ान के दौरान क्षैतिज वेग घटा सकता है,
• अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय बदल सकता है,
• अधिकतम ऊँचाई घटा सकता है,
• किसी बाद के बिंदु पर चाल कम कर सकता है,
• ऊपर चढ़ने और नीचे आने के बीच की सममिति समाप्त कर सकता है,
• पथ को गैर-परवलयिक बना सकता है।

प्रक्षेप्य के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर समीकरण भी ड्रैग बल के कारण परस्पर जुड़े हो जाते हैं क्योंकि ड्रैग की दिशा पूरे वेग सदिश पर निर्भर करती है।

इसीलिए सरल HSC मॉडल इतना उपयोगी है। वायु प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ करने से बदलते हुए बल की जटिल समस्या दो स्थिर-त्वरण समस्याओं में बदल जाती है।

05इन मान्यताओं से गणितीय रूप से क्या लाभ मिलता है

चाल \(u\) और कोण \(\theta\) पर प्रक्षेपित किसी प्रक्षेप्य के लिए,

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta.
\]

स्थिर \(g\) और नगण्य वायु प्रतिरोध के अंतर्गत,

\[
x=(u\cos\theta)t
\]

और

\[
y=(u\sin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

यदि प्रक्षेप्य उसी ऊँचाई पर उतरता है जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था, तो उसकी कुल उड़ान अवधि है

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

तब उसकी क्षैतिज परास है

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

आखिरी समीकरण के साथ सावधानी रखें। यह सार्वभौमिक “प्रक्षेप्य परास सूत्र” नहीं है। यह मानता है:

• प्रक्षेपण चाल निश्चित है,
• प्रक्षेपण और अवतरण की ऊँचाई समान है,
• गुरुत्वीय त्वरण स्थिर है,
• वायु प्रतिरोध नगण्य है,
• संदर्भ तंत्र स्थानीय रूप से समतल है।

इनमें से कोई एक शर्त बदल जाए, तो आपको घटक समीकरणों पर वापस जाना पड़ सकता है।

06कैसे पता करें कि वायु प्रतिरोध को सुरक्षित रूप से नगण्य माना जा सकता है

ऐसी कोई जादुई चाल नहीं है जिसके नीचे वायु प्रतिरोध अचानक गायब हो जाए।

एक उपयोगी तुलना वायु बल और वस्तु के भार \(mg\) के बीच है।

यदि

\[
F_{\text{air}}\ll mg,
\]

तो कम से कम उस क्षण हवा द्वारा उत्पन्न त्वरण गुरुत्वीय त्वरण की तुलना में बहुत छोटा है।

लेकिन अवधि भी महत्वपूर्ण है। लंबे समय तक कार्य करने वाला छोटा अतिरिक्त त्वरण भी वेग या स्थिति में ध्यान देने योग्य परिवर्तन ला सकता है।

वायु प्रतिरोध अधिक संदिग्ध हो जाता है जब वस्तु:

• तेज़ हो,
• अपने आकार की तुलना में हल्की हो,
• चौड़ी या अनियमित आकार की हो,
• लंबे समय तक हवा में रहे,
• घनी हवा से होकर चले,
• हवा के बहाव से बहुत प्रभावित हो,
• इतनी घूम रही हो कि महत्वपूर्ण वायुगतिकीय लिफ्ट अनुभव करे।

कम दूरी तय करने वाली घनी गेंद को बिना-ड्रैग मॉडल से अच्छी तरह निरूपित किया जा सकता है। शटलकॉक लगभग इसका उलटा है: उसका व्यवहार वायुगतिकीय बलों से नियंत्रित होता है, इसलिए अपेक्षाकृत छोटी उड़ान में भी उसके क्षैतिज वेग को स्थिर मानना खराब सन्निकटन है।

07स्थिर गुरुत्व कब विफल होने लगता है

सामान्य फेंक में ऊँचाई और परास दोनों पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत छोटे होते हैं। स्थानीय स्थिर-\(g\) मॉडल अत्यंत अच्छी तरह काम करता है।

जैसे-जैसे पैमाना बढ़ता है, कई प्रभाव महत्वपूर्ण हो सकते हैं।

पहला, ऊँचाई के साथ गुरुत्वीय शक्ति घटती है:

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}.
\]

दूसरा, गुरुत्व की दिशा बदलती है क्योंकि “नीचे” हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर होता है।

तीसरा, पृथ्वी की वक्र सतह को अब अनंत समतल क्षैतिज रेखा की तरह नहीं माना जा सकता।

बहुत लंबी उड़ान अवधि और परास के लिए पृथ्वी का घूर्णन भी महत्वपूर्ण हो सकता है।

ये अलग-अलग मुद्दे हैं। कोई प्रक्षेप्य नगण्य वायु प्रतिरोध अनुभव कर सकता है, लेकिन फिर भी इतना दूर जा सकता है कि स्थिर नीचे की ओर \(g\) एक खराब मॉडल बन जाए।

अंतरिक्ष इसका स्पष्ट उदाहरण है। वायुमंडल हटा देने से स्कूल-स्तर के प्रक्षेप्य समीकरण हमेशा के लिए सटीक नहीं हो जाते।

08मान्यताएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं

विद्यार्थी कभी-कभी दोनों प्रमुख मान्यताओं को एक साथ मिला देते हैं:

“प्रक्षेप्य मॉडल गलत है क्योंकि गुरुत्व बदलता है और वायु प्रतिरोध होता है।”

इससे यह छिप सकता है कि वास्तव में क्या हो रहा है।

मान्यताएँ स्वतंत्र हैं।

कम ऊँचाई वाला प्रक्षेप्य लगभग स्थिर \(g\) अनुभव कर सकता है जबकि वायु प्रतिरोध बहुत महत्वपूर्ण हो। शटलकॉक इसका अच्छा उदाहरण है।

लगभग निर्वात में बहुत अधिक ऊँचाई वाली वस्तु के लिए वायु प्रतिरोध नगण्य हो सकता है जबकि गुरुत्वीय शक्ति उल्लेखनीय रूप से बदलती है।

जब कोई मॉडल विफल हो, तो केवल यह कहने के बजाय कि “वास्तविक दुनिया अधिक जटिल है”, पूछें कि कौन-सी मान्यता खराब हो गई है।

09पाँच आकर्षक लेकिन गलत धारणाएँ

आखिरी बात विशेष रूप से याद रखने योग्य है। ड्रैग महत्वपूर्ण होते ही परास को अधिकतम करने वाला कोण सामान्यतः \(45^\circ\) होना आवश्यक नहीं रहता। और जब प्रक्षेपण तथा अवतरण की ऊँचाई अलग हों, तब बिना-ड्रैग वाला परिणाम भी बदल जाता है।

10प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक गेंद \(19.6\text{ m}\) ऊँची कगार से \(12.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से क्षैतिज रूप से लुढ़ककर बाहर जाती है। \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) और नगण्य वायु प्रतिरोध मानें।

गणना करें:

• जमीन तक पहुँचने में लगा समय,
• तय की गई क्षैतिज दूरी,
• टक्कर के समय उसके वेग का ऊर्ध्वाधर घटक,
• उसकी टक्कर की चाल।

वह भौतिक मान्यता बताइए जो आपको क्षैतिज वेग को \(12.0\text{ m s}^{-1}\) पर स्थिर रखने की अनुमति देती है।

समाधान 1

गेंद को \(2.00\text{ s}\) लगते हैं, वह क्षैतिज रूप से \(24.0\text{ m}\) चलती है, उसका ऊर्ध्वाधर टक्कर वेग \(-19.6\text{ m s}^{-1}\) है, और वह \(23.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से टकराती है। क्षैतिज वेग का स्थिर रहना वायु प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ करने के कारण है।

ऊर्ध्वाधर गति के लिए प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है:

\[
u_y=0.
\]

ऊपर को धनात्मक मानते हुए,

\[
\Delta y=-19.6\text{ m}
\]

और

\[
a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

उपयोग करें

\[
\Delta y=u_yt+\frac{1}{2}a_yt^2.
\]

मान रखने पर,

\[
\begin{aligned}
-19.6&=0+\frac{1}{2}(-9.8)t^2\\
t^2&=4.00\\
t&=2.00\text{ s}.
\end{aligned}
\]

क्षैतिज दिशा में,

\[
\begin{aligned}
x&=v_xt\\
&=(12.0)(2.00)\\
&=24.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

ऊर्ध्वाधर टक्कर वेग है

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y+a_yt\\
&=0+(-9.8)(2.00)\\
&=-19.6\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

कुल टक्कर चाल है

\[
\begin{aligned}
v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\
&=\sqrt{(12.0)^2+(-19.6)^2}\\
&=23.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

एक आकर्षक गलती यह कहना है कि क्षैतिज वेग स्थिर रहता है “क्योंकि क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियाँ स्वतंत्र हैं”। इससे वास्तविक भौतिक कारण छूट जाता है। यह स्थिर रहता है क्योंकि वायु प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ करने के बाद कोई क्षैतिज बल नहीं रहता और इसलिए कोई क्षैतिज त्वरण भी नहीं होता।

प्रश्न 2

दो प्रक्षेप्य समान \(30.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से समतल भूमि से प्रक्षेपित किए जाते हैं। प्रक्षेप्य A को \(35.0^\circ\) पर और प्रक्षेप्य B को \(55.0^\circ\) पर प्रक्षेपित किया जाता है।

स्थिर \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) और नगण्य वायु प्रतिरोध मानते हुए:

1. प्रत्येक प्रक्षेप्य की परास ज्ञात करें,
2. प्रत्येक की उड़ान अवधि ज्ञात करें,
3. प्रत्येक की अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करें।

एक वास्तविक प्रयोग में दोनों प्रक्षेपण कोणों के लिए परास स्पष्ट रूप से अलग मिलती हैं, जबकि मापी गई प्रक्षेपण चालें समान हैं। क्या केवल यह अवलोकन सिद्ध करता है कि अंतर वायु प्रतिरोध के कारण हुआ?

समाधान 2

सरल मॉडल के अनुसार दोनों प्रक्षेप्य \(86.3\text{ m}\) चलते हैं, लेकिन \(55.0^\circ\) वाला प्रक्षेप्य अधिक समय तक हवा में रहता है और बहुत अधिक ऊँचाई तक पहुँचता है। अलग मापी गई परासें दिखाती हैं कि आदर्श मॉडल प्रयोग का पूरा वर्णन नहीं करता, लेकिन केवल परास का अंतर यह सिद्ध नहीं करता कि इसका कारण वायु प्रतिरोध ही है।

समान प्रक्षेपण और अवतरण ऊँचाइयों के लिए,

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

प्रक्षेप्य A के लिए,

\[
\begin{aligned}
R_A&=\frac{(30.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}\\
&=86.3\text{ m}.
\end{aligned}
\]

प्रक्षेप्य B के लिए,

\[
\begin{aligned}
R_B&=\frac{(30.0)^2\sin110.0^\circ}{9.8}.
\end{aligned}
\]

क्योंकि

\[
\sin110.0^\circ=\sin70.0^\circ,
\]

इसलिए

\[
R_B=86.3\text{ m}.
\]

पूरक-कोण का यह परिणाम आदर्श मॉडल का परिणाम है।

अब उड़ान अवधियाँ ज्ञात करें:

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

A के लिए,

\[
\begin{aligned}
T_A&=\frac{2(30.0)\sin35.0^\circ}{9.8}\\
&=3.51\text{ s}.
\end{aligned}
\]

B के लिए,

\[
\begin{aligned}
T_B&=\frac{2(30.0)\sin55.0^\circ}{9.8}\\
&=5.02\text{ s}.
\end{aligned}
\]

अधिकतम ऊँचाई के लिए,

\[
H=\frac{(u\sin\theta)^2}{2g}.
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
H_A&=\frac{[(30.0)\sin35.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=15.1\text{ m},
\end{aligned}
\]

जबकि

\[
\begin{aligned}
H_B&=\frac{[(30.0)\sin55.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=30.8\text{ m}.
\end{aligned}
\]

आकर्षक निष्कर्ष यह है: “वास्तविक परासें बराबर नहीं थीं, इसलिए वायु प्रतिरोध सिद्ध हो गया।”

यह निष्कर्ष बहुत आगे चला जाता है। वायु प्रतिरोध एक उचित व्याख्या है क्योंकि अधिक लंबी उड़ान वाला प्रक्षेप्य अधिक समय तक वायुगतिकीय बलों के संपर्क में रहता है, और ड्रैग पूरक-कोण वाली परास समानता को समाप्त कर देता है। लेकिन प्रक्षेपण कोण का गलत मापन, असमान प्रक्षेपण चालें, हवा, घूर्णन, या अन्य प्रायोगिक प्रभाव भी असमान परास उत्पन्न कर सकते हैं।

सही निष्कर्ष अधिक सीमित है: बताए गए प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हुए स्थिर-\(g\), बिना-वायु-प्रतिरोध वाला मॉडल सभी अवलोकनों को नहीं समझा सकता।

प्रश्न 3

किसी प्रक्षेप्य की स्थिति हर \(0.50\text{ s}\) पर मापी जाती है। निर्देशांक हैं:

मान लें कि मापन बिल्कुल सटीक हैं।

1. समान समय अंतरालों का उपयोग करके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर त्वरण ज्ञात करें।
2. क्या ये आँकड़े नगण्य वायु प्रतिरोध वाली आदर्श प्रक्षेप्य गति को दर्शा सकते हैं?
3. मान लीजिए कोई व्यक्ति इसके बजाय दावा करता है कि स्थिर हवा में सामान्य ड्रैग इन आँकड़ों को समझाता है। क्या प्रक्षेप्य के ऊपर जाते समय यह दावा पूरी तालिका के अनुरूप है?

समाधान 3

आँकड़ों से \(a_x=-4.0\text{ m s}^{-2}\) और \(a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}\) मिलता है। इसलिए वे आदर्श बिना-ड्रैग प्रक्षेप्य गति का वर्णन नहीं कर सकते, और स्थिर हवा में सामान्य ड्रैग भी इन्हें साफ़ तौर पर नहीं समझाता।

समान अंतराल \(\Delta t\) से अलग किए गए मापनों के लिए, स्थिर त्वरण दूसरी स्थिति-अंतर देता है

\[
x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=a_x(\Delta t)^2.
\]

यहाँ,

\[
\Delta t=0.50\text{ s}.
\]

पहली तीन क्षैतिज स्थितियों के लिए,

\[
\begin{aligned}
18.0-2(9.5)+0&=-1.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
-1.0&=a_x(0.50)^2\\
a_x&=\frac{-1.0}{0.25}\\
&=-4.0\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

अगले तीन बिंदु भी वही परिणाम देते हैं:

\[
25.5-2(18.0)+9.5=-1.0\text{ m}.
\]

क्षैतिज दिशा में प्रक्षेप्य स्पष्ट रूप से धीमा हो रहा है।

अब ऊर्ध्वाधर निर्देशांकों का उपयोग करें:

\[
11.100-2(6.775)+0=-2.450\text{ m}.
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
-2.450&=a_y(0.50)^2\\
a_y&=\frac{-2.450}{0.25}\\
&=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

अगले तीन ऊर्ध्वाधर स्थान भी वही परिणाम देते हैं:

\[
12.975-2(11.100)+6.775=-2.450\text{ m}.
\]

इसलिए ऊर्ध्वाधर त्वरण ठीक स्थानीय गुरुत्वीय त्वरण के बराबर है, जबकि क्षैतिज त्वरण शून्य नहीं है।

आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल के लिए आवश्यक है

\[
a_x=0,
\]

इसलिए वह तुरंत विफल हो जाता है।

लेकिन यहाँ एक दूसरा जाल है। यह कहना स्वाभाविक लग सकता है, “ठीक है, क्षैतिज मंदन तो बस ड्रैग होगा।”

जब प्रक्षेप्य स्थिर हवा में ऊपर और दाईं ओर चल रहा हो, तो सामान्य ड्रैग नीचे और बाईं ओर होना चाहिए। इसलिए उसे बाईं ओर का घटक और नीचे की ओर का घटक, दोनों देना चाहिए।

इसके विपरीत, आँकड़े एक महत्वपूर्ण क्षैतिज त्वरण दिखाते हैं जबकि ऊर्ध्वाधर त्वरण ठीक \(-g\) ही बना रहता है।

इसलिए स्थिर हवा में साधारण वेग-विरोधी ड्रैग भी पूरे पैटर्न से मेल नहीं खाता। किसी अतिरिक्त विशेषता की आवश्यकता होगी, जैसे कोई अलग वायुगतिकीय बल, चलती हुई हवा, कोई अन्य बाहरी बल, या मापनों के बारे में गलत दावा।

गहरा सबक यह है कि ड्रैग जैसी दिखने वाली एक विशेषता पहचान लेना पर्याप्त नहीं है। प्रस्तावित बल को मापे गए त्वरण के हर घटक को समझाना चाहिए।

प्रश्न 4

एक प्रोब को पृथ्वी की सतह से सीधे ऊपर \(3.00\times10^3\text{ m s}^{-1}\) की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। वायुमंडल और पृथ्वी के घूर्णन को नज़रअंदाज़ करें।

एक विद्यार्थी पहले स्थिर \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) मानता है।

1. स्थिर-\(g\) मॉडल द्वारा अनुमानित अधिकतम ऊँचाई की गणना करें।
2. फिर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का उपयोग करते हुए गुरुत्वीय शक्ति में परिवर्तन को ध्यान में रखें

\[
U=-\frac{GM_Em}{r}.
\]

\(R_E=6.37\times10^6\text{ m}\) और संबंध

\[
GM_E=gR_E^2.
\]

का उपयोग करें। बेहतर अधिकतम ऊँचाई की गणना करें।
3. समझाइए कि स्थिर-\(g\) भविष्यवाणी बहुत बड़ी होने के बजाय बहुत छोटी क्यों है।

समाधान 4

स्थिर-\(g\) मॉडल लगभग \(459\text{ km}\) की भविष्यवाणी करता है, जबकि बदलते गुरुत्व वाला मॉडल लगभग \(495\text{ km}\) की भविष्यवाणी करता है। स्थिर \(g\) ऊँचाई को कम आँकता है क्योंकि वह मानता है कि पूरी चढ़ाई के दौरान गुरुत्व सतह वाले मान जितना ही शक्तिशाली बना रहता है।

स्थिर-\(g\) मॉडल के लिए, अधिकतम ऊँचाई पर चाल शून्य होती है। उपयोग करते हुए

\[
v^2=u^2+2a\Delta y,
\]

हमें मिलता है

\[
\begin{aligned}
0&=(3.00\times10^3)^2+2(-9.8)h\\
h&=\frac{(3.00\times10^3)^2}{2(9.8)}\\
&=4.59\times10^5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

अतः,

\[
h\approx459\text{ km}.
\]

अब बदलते गुरुत्वीय क्षेत्र के साथ यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करें।

प्रक्षेपण के समय,

\[
E_i=\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}.
\]

अधिकतम ऊँचाई पर चाल शून्य होती है, इसलिए यदि पृथ्वी के केंद्र से अंतिम दूरी \(r_{\max}\) है,

\[
E_f=-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

\(E_i=E_f\) रखने पर,

\[
\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}
=
-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

\(m\) काटें:

\[
\frac{u^2}{2}-\frac{GM_E}{R_E}
=
-\frac{GM_E}{r_{\max}}.
\]

उपयोग करते हुए

\[
GM_E=gR_E^2,
\]

हमें मिलता है

\[
\frac{1}{r_{\max}}
=
\frac{1}{R_E}
–
\frac{u^2}{2gR_E^2}.
\]

मान रखने पर लगभग मिलता है

\[
r_{\max}=6.865\times10^6\text{ m}.
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
h&=r_{\max}-R_E\\
&=(6.865-6.370)\times10^6\\
&=4.95\times10^5\text{ m}\\
&\approx495\text{ km}.
\end{aligned}
\]

अंतर लगभग है

\[
495-459=36\text{ km},
\]

या स्थिर-\(g\) भविष्यवाणी का लगभग 8%।

आकर्षक तर्क यह है कि कमजोर होता गुरुत्व गणना में कुछ “कम” कर देगा और इसलिए कम ऊँचाई देगा। वास्तव में इसका उलटा होता है। जैसे-जैसे प्रोब ऊपर उठता है, उसका वास्तविक नीचे की ओर त्वरण \(9.8\text{ m s}^{-2}\) से कम हो जाता है। इसलिए स्थिर-\(g\) मॉडल प्रोब को बहुत आक्रामक रूप से धीमा करता है और भविष्यवाणी करता है कि वह बहुत जल्दी रुक जाता है।

सामान्य प्रक्षेप्य ऊँचाइयों पर यह प्रभाव बहुत छोटा है। सैकड़ों किलोमीटर पर, केवल पैमाना ही हमें बता देता है कि सन्निकटन की जाँच करनी चाहिए।

प्रश्न 5

एक गेंद को समतल भूमि से \(25.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल पर और क्षैतिज से \(40.0^\circ\) ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। अंततः वह उसी ऊँचाई पर लौटती है।

इस बार वायु प्रतिरोध महत्वपूर्ण है। स्थिर हवा, पूरे प्रक्षेप पथ में स्थिर गुरुत्वीय शक्ति, और ऐसा ड्रैग बल मानें जो हमेशा हवा के सापेक्ष गेंद के तात्कालिक वेग का विरोध करता है।

पूरे ड्रैग समीकरण हल करने की कोशिश किए बिना:

1. गेंद की टक्कर की चाल की तुलना उसकी प्रक्षेपण चाल से करें,
2. शीर्ष बिंदु पर उसकी क्षैतिज चाल की तुलना उसके प्रारंभिक क्षैतिज घटक से करें,
3. एक विद्यार्थी ड्रैग को नज़रअंदाज़ करके \(g\) को बड़े स्थिर \(g_{\text{eff}}\) से बदलने का प्रस्ताव देता है, जिसे इस तरह चुना जाता है कि संशोधित बिना-ड्रैग मॉडल सही मापी गई उड़ान अवधि दे। क्या यह मॉडल तब शीर्ष बिंदु पर वास्तविक क्षैतिज चाल और वास्तविक टक्कर चाल को भी पुनरुत्पादित कर सकता है? समझाइए।

समाधान 5

टक्कर की चाल \(25.0\text{ m s}^{-1}\) से कम होनी चाहिए, शीर्ष बिंदु पर क्षैतिज चाल उसके लगभग \(19.2\text{ m s}^{-1}\) के प्रारंभिक मान से कम होनी चाहिए, और स्थिर \(g_{\text{eff}}\) का कोई भी चुनाव बिना-ड्रैग मॉडल को इन सभी अवलोकनों को पुनरुत्पादित करने योग्य नहीं बना सकता।

पहले प्रारंभिक क्षैतिज घटक ज्ञात करें:

\[
\begin{aligned}
u_x&=u\cos\theta\\
&=(25.0)\cos40.0^\circ\\
&=19.2\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

महत्वपूर्ण ड्रैग के साथ, वायु बल गेंद पर ऋणात्मक कार्य करता है। यह यांत्रिक ऊर्जा कम करता है।

प्रक्षेपण बिंदु और अवतरण बिंदु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा समान है क्योंकि वे एक ही ऊँचाई पर हैं। इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से कम होनी चाहिए:

\[
K_f<K_i.
\]

क्योंकि

\[
K=\frac{1}{2}mv^2,
\]

इसलिए आवश्यक है कि

\[
v_{\text{impact}}<25.0\text{ m s}^{-1}.
\]

यह एक सामान्य जाल को उजागर करता है। विद्यार्थी अक्सर याद रखते हैं कि बिना-ड्रैग वाला प्रक्षेप्य समान ऊँचाई पर वापस आने पर समान चाल से आता है और गलती से इसे सार्वभौमिक नियम मान लेते हैं। यह केवल तब सत्य है जब कोई अपव्ययी बल यांत्रिक ऊर्जा न हटाए।

अब शीर्ष बिंदु पर विचार करें।

शीर्ष बिंदु पर,

\[
v_y=0,
\]

लेकिन गेंद अभी भी क्षैतिज दिशा में चल रही होती है। दाईं ओर की गति के दौरान ड्रैग का बाईं ओर का घटक लगातार रहा है, इसलिए क्षैतिज चाल कम हो चुकी है।

अतः,

\[
v_{x,\text{apex}}<19.2\text{ m s}^{-1}.
\]

अब विद्यार्थी द्वारा प्रस्तावित “प्रभावी गुरुत्व” सुधार पर विचार करें।

मान लीजिए वे \(g_{\text{eff}}\) का कोई बड़ा मान चुनते हैं ताकि बिना-ड्रैग वाली गणना संयोग से मापी गई उड़ान अवधि को पुनरुत्पादित कर दे। इससे एक अवलोकन फिट हो जाता है, लेकिन मॉडल की संरचना फिर भी गलत रहती है।

वायु प्रतिरोध के बिना, संशोधित मॉडल को मानना ही होगा

\[
a_x=0.
\]

अतः वह भविष्यवाणी करता है

\[
v_x=19.2\text{ m s}^{-1}
\]

पूरी उड़ान के दौरान, शीर्ष बिंदु सहित। वास्तविक प्रक्षेप्य ऐसा नहीं करता।

इससे भी अधिक मजबूत विरोधाभास है। किसी भी बिना-ड्रैग, स्थिर-गुरुत्व मॉडल में, यदि कोई प्रक्षेप्य अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई पर वापस आता है, तो चुने गए \(g_{\text{eff}}\) के मान की परवाह किए बिना वह अपनी मूल चाल से लौटना चाहिए।

इसलिए संशोधित मॉडल ज़ोर देकर कहता है कि

\[
v_{\text{impact}}=25.0\text{ m s}^{-1},
\]

जबकि वास्तविक गेंद कम गतिज ऊर्जा और इसलिए कम चाल के साथ पहुँचेगी।

यहाँ मुख्य वैचारिक बिंदु यह है: किसी एक मापे गए मान से मेल खा जाना किसी मॉडल को मान्य नहीं कर देता। किसी गलत मॉडल को कभी-कभी इस तरह समायोजित किया जा सकता है कि वह एक परिणाम को पुनरुत्पादित कर दे। अच्छे मॉडल-परीक्षण में कई स्वतंत्र भविष्यवाणियाँ देखी जाती हैं, विशेष रूप से वे जिन्हें मॉडल अलग-अलग समायोजित नहीं कर सकता।

यह विचार प्रक्षेप्य गति से बहुत आगे भी महत्वपूर्ण हो जाता है। बाद की यांत्रिकी समस्याओं में, किसी मॉडल की सबसे मजबूत जाँच अक्सर यह नहीं होती कि उसे एक परिणाम के अनुरूप बनाया जा सकता है या नहीं, बल्कि यह होती है कि क्या वही मान्यताएँ एक साथ गति की कई अलग-अलग विशेषताओं की सही भविष्यवाणी करती हैं।