HSC Physics में s = ut + 1/2 at² का उपयोग

एक कार \(12\text{ m s}^{-1}\) की चाल से पूर्व दिशा में जा रही है। चालक \(3.0\text{ s}\) तक समान रूप से ब्रेक लगाता है। आपको प्रारंभिक वेग, त्वरण और समय ज्ञात हैं, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि कार कितनी दूर चलती है।

आपका मन \(12 \times 3 = 36\text{ m}\) की गणना करने का हो सकता है। लेकिन इसमें यह मान लिया जाता है कि कार पूरे तीन सेकंड तक \(12\text{ m s}^{-1}\) की चाल से चलती रहती है। वास्तव में ऐसा नहीं होता। उसकी चाल कम हो रही है।

समीकरण

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

इसी समस्या को हल करता है, बशर्ते त्वरण नियत हो।

HSC के प्रश्नों में कठिन भाग आम तौर पर समीकरण में मान रखना नहीं होता। कठिनाई यह तय करने में होती है कि समीकरण लागू भी होता है या नहीं, और \(u\), \(a\) तथा \(s\) के चिह्न सही ढंग से चुनने में होती है।

01यह समीकरण किस समस्या को हल करता है?

मान लीजिए कोई वस्तु वेग \(u\) से शुरू करती है और फिर नियत दर \(a\) से त्वरित होती है।

हम उसकी गति को दो भागों में समझ सकते हैं।

पहले कल्पना कीजिए कि वस्तु समय \(t\) तक अपने प्रारंभिक वेग से ही चलती रहती। तब उसका विस्थापन होता

\[
ut.
\]

लेकिन गति के दौरान त्वरण उसके वेग को बदलता है। यह परिवर्तन कुछ अतिरिक्त विस्थापन जोड़ता है, या यदि त्वरण प्रारंभिक गति की विपरीत दिशा में हो तो कुछ विस्थापन घटा देता है।

त्वरण से होने वाला यह योगदान है

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

इसलिए कुल विस्थापन है

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

यहाँ:

• \(s\) विस्थापन है, जिसे मीटर (\(\text{m}\)) में मापा जाता है
• \(u\) प्रारंभिक वेग है, जिसे मीटर प्रति सेकंड (\(\text{m s}^{-1}\)) में मापा जाता है
• \(a\) नियत त्वरण है, जिसे मीटर प्रति सेकंड वर्ग (\(\text{m s}^{-2}\)) में मापा जाता है
• \(t\) बीता हुआ समय है, जिसे सेकंड (\(\text{s}\)) में मापा जाता है

ध्यान दें कि \(s\) विस्थापन है, दूरी नहीं। जब भी कोई वस्तु दिशा बदलती है, यह अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। यदि यह अंतर अभी भी पूरी तरह स्पष्ट नहीं है, तो आगे बढ़ने से पहले HSC Physics में दूरी और विस्थापन दोहरा लें।

02\(\frac{1}{2}\) क्यों होता है?

\(\frac{1}{2}\) का गुणक ऐसा लग सकता है जैसे इसे बस याद करना पड़ेगा। लेकिन यह मनमाना नहीं है।

कल्पना कीजिए कि कोई वस्तु विराम से शुरू होती है और \(4\text{ s}\) तक \(2\text{ m s}^{-2}\) के नियत त्वरण से चलती है।

उसका वेग इस प्रकार बढ़ता है:

• \(0\text{ s}\) पर: \(0\text{ m s}^{-1}\)
• \(1\text{ s}\) पर: \(2\text{ m s}^{-1}\)
• \(2\text{ s}\) पर: \(4\text{ m s}^{-1}\)
• \(3\text{ s}\) पर: \(6\text{ m s}^{-1}\)
• \(4\text{ s}\) पर: \(8\text{ m s}^{-1}\)

विस्थापन का अनुमान लगाइए। क्या यह \(8 \times 4 = 32\text{ m}\) होगा?

नहीं। वस्तु केवल अंत में \(8\text{ m s}^{-1}\) तक पहुँचती है। चार सेकंड के अधिकांश समय में वह इससे कम चाल से चलती है।

चूँकि वेग \(0\) से \(8\text{ m s}^{-1}\) तक समान रूप से बढ़ता है, इसलिए उसका औसत वेग है

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

इसलिए उसका विस्थापन है

\[
s = v_{\text{av}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) का उपयोग करने पर भी यही परिणाम मिलता है:

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

\(\frac{1}{2}\) इसलिए आता है क्योंकि नियत त्वरण के अंतर्गत वेग अपने अंतिम मान तक तुरंत छलाँग लगाने के बजाय लगातार बदलता है।

इसे देखने का एक और तरीका वेग-समय ग्राफ है। \(ut\) पद प्रारंभिक वेग के कारण बनने वाला आयताकार क्षेत्रफल है। \(\frac{1}{2}at^2\) पद बदलते हुए वेग के कारण बनने वाला त्रिभुजाकार क्षेत्रफल है।

यह चित्र उपयोगी है, लेकिन इसकी एक सीमा है: साफ-सुथरा त्रिभुज केवल तब बनता है जब त्वरण नियत हो। यदि त्वरण समय के साथ बदलता है, तो वेग-समय ग्राफ सामान्यतः सीधी रेखा नहीं होता, और इस समीकरण को पूरे समय-अंतराल पर सीधे लागू नहीं किया जा सकता।

03वह शर्त जिसे विद्यार्थी अक्सर भूल जाते हैं: त्वरण नियत होना चाहिए

यह समीकरण नियत-त्वरण वाले समीकरणों में से एक है।

इसका अर्थ है कि जिस समय-अंतराल का आप विश्लेषण कर रहे हैं, उसके पूरे दौरान \(a\) समान रहना चाहिए।

उदाहरण के लिए, यदि प्रश्न ऐसा करने के लिए कहता है, तो इन परिस्थितियों को नियत त्वरण से उचित रूप से मॉडल किया जा सकता है:

• पृथ्वी की सतह के पास मुक्त-पतन करती वस्तु, जब वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की गई हो
• सीधी सड़क पर समान रूप से त्वरित होती कार
• नियत दर से ब्रेक लगाती ट्रेन
• पटरी पर नियत त्वरण का अनुभव करती ट्रॉली

लेकिन मान लीजिए कि कोई कार दो सेकंड तक \(2\text{ m s}^{-2}\) से त्वरित होती है और फिर अगले दो सेकंड तक \(5\text{ m s}^{-2}\) से त्वरित होती है।

क्या आप

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

में \(t = 4\text{ s}\) रख सकते हैं और \(a\) के लिए कोई सुविधाजनक एकल मान इस्तेमाल कर सकते हैं?

नहीं, जब तक वह मान वास्तव में पूरे समय-अंतराल के दौरान नियत त्वरण को निरूपित न करता हो। इस उदाहरण में ऐसा नहीं है।

इसके बजाय, गति को अलग-अलग समय-अंतरालों में बाँटें। पहले नियत-त्वरण वाले समय-अंतराल में विस्थापन ज्ञात करें, नया वेग निर्धारित करें, फिर दूसरे समय-अंतराल का विश्लेषण करें।

त्वरण-समय ग्राफ यह पहचानने में मदद कर सकता है कि त्वरण कब नियत है और कब गति को अलग-अलग भागों में बाँटना आवश्यक है।

04चिह्न चुनना: पहले धनात्मक दिशा चुनें

यहीं पर कई अन्यथा सही हल बिगड़ जाते हैं।

वेग और त्वरण सदिश राशियाँ हैं। एक-आयामी गति में उनके चिह्न बताते हैं कि वे किस दिशा में हैं।

कोई भी मान रखने से पहले धनात्मक दिशा चुनें।

क्षैतिज गति के लिए आप चुन सकते हैं:

\[
\text{पूर्व} = +
\]

जिसका स्वतः अर्थ होगा

\[
\text{पश्चिम} = -.
\]

ऊर्ध्वाधर गति के लिए आप चुन सकते हैं:

\[
\text{ऊपर} = +
\]

जिसका अर्थ है

\[
\text{नीचे} = -.
\]

आप इसके विपरीत परंपरा भी चुन सकते हैं और फिर भी सही भौतिकी प्राप्त कर सकते हैं। महत्वपूर्ण बात है संगति बनाए रखना।

धनात्मक दिशा चुनने को ऐसे समझिए जैसे आप तय कर रहे हों कि किसी गलियारे के किस सिरे से कमरों के धनात्मक नंबर शुरू होंगे। भौतिकी को इस बात से फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन-सा सिरा चुनते हैं। फर्क इस बात से पड़ता है कि आप गलियारे के बीच में पहुँचकर अपना निर्णय न बदलें।

चिह्नों का अर्थ “अच्छा”, “बुरा”, “चाल बढ़ना” या “चाल घटना” नहीं होता

ऋणात्मक त्वरण का अर्थ अपने-आप यह नहीं होता कि वस्तु की चाल कम हो रही है।

इसका अर्थ है कि त्वरण ऋणात्मक दिशा में है।

मान लीजिए पूर्व दिशा धनात्मक है।

यदि कार पूर्व की ओर चल रही है, तो \(u > 0\)।

यदि उसका त्वरण पश्चिम की ओर है, तो \(a < 0\)। त्वरण वेग के विपरीत है, इसलिए कार की चाल कम होती है।

लेकिन मान लीजिए कार पश्चिम की ओर चल रही है। तब \(u < 0\)। यदि उसका त्वरण भी पश्चिम की ओर है, तो \(a < 0\), और कार की चाल बढ़ती है।

इसलिए उपयोगी नियम है:

चिह्न सबसे पहले आपको दिशा बताते हैं। चाल बढ़ती है या घटती है, यह वेग और त्वरण की दिशाओं की तुलना से पता चलता है।

05चिह्न तय करने की एक विश्वसनीय विधि

समीकरण का उपयोग करने से पहले अपनी धनात्मक दिशा लिख लें।

फिर प्रत्येक सदिश राशि को उसी परंपरा के अनुसार व्यक्त करें।

मान लीजिए एक गेंद \(15\text{ m s}^{-1}\) की चाल से ऊपर की ओर फेंकी जाती है, और आप ऊपर की दिशा को धनात्मक चुनते हैं।

तब:

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

और गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर है, इसलिए

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

यदि गणना से विस्थापन \(s = +6.0\text{ m}\) आता है, तो गेंद अपनी प्रारंभिक स्थिति से \(6.0\text{ m}\) ऊपर समाप्त होती है।

यदि \(s = -6.0\text{ m}\) हो, तो वह अपनी प्रारंभिक स्थिति से \(6.0\text{ m}\) नीचे समाप्त होती है।

केवल इसलिए त्वरण के साथ ऋणात्मक चिह्न न लगाएँ कि वस्तु “मंदित” हो रही है। चिह्न दिशा के अनुसार लगाएँ।

08\(t^2\) क्यों महत्वपूर्ण है

विद्यार्थी कभी-कभी संरचना को “प्रारंभिक गति और त्वरण से होने वाली गति” के रूप में याद रखते हैं, लेकिन समय का वर्ग करना भूल जाते हैं।

इकाइयों की जाँच करें।

पहले पद की इकाइयाँ हैं

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

दूसरे पद की इकाइयाँ हैं

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

इसलिए दोनों पद विस्थापन हैं।

यदि आपने गलती से \(\frac{1}{2}at\) का उपयोग किया, तो उसकी इकाइयाँ होंगी

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

जो वेग है, विस्थापन नहीं।

इकाइयों की जाँच हर भौतिकी की गलती नहीं पकड़ेगी, लेकिन यह बहुत-सी बीजगणितीय गलतियाँ आसानी से पकड़ लेती है।

09विस्थापन \(t^2\) के साथ क्यों बढ़ता है

मान लीजिए कोई वस्तु विराम से नियत त्वरण के साथ शुरू होती है।

तब \(u = 0\), इसलिए

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

यदि आप समय को दोगुना कर दें, तो विस्थापन का क्या होगा?

यह अनुमान लगाना आकर्षक हो सकता है कि विस्थापन भी दोगुना होगा। लेकिन

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

इसलिए विस्थापन चार गुना हो जाता है।

उदाहरण के लिए, विराम से शुरू होकर \(3.0\text{ m s}^{-2}\) के त्वरण से चलने वाली वस्तु

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}
\]

की दूरी \(2.0\text{ s}\) में तय करती है।

\(4.0\text{ s}\) के बाद,

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

समय दोगुना करने पर विस्थापन चार गुना हो जाता है।

क्यों? क्योंकि वस्तु को चलने के लिए अधिक समय मिलता है और उस अधिक समय-अंतराल के बाद वाले हिस्से में वह अधिक तेज चल रही होती है।

10सबसे आकर्षक गलत धारणा: ऋणात्मक विस्थापन का अर्थ पीछे की ओर चलना है

यह आवश्यक नहीं है।

मान लीजिए पूर्व दिशा धनात्मक है। यदि किसी वस्तु का

\[
s = -5\text{ m},
\]

है, तो यह केवल इतना बताता है कि उसकी अंतिम स्थिति उसकी प्रारंभिक स्थिति से \(5\text{ m}\) पश्चिम में है।

वह इस समय पश्चिम की ओर चल रही हो सकती है।

यह भी संभव है कि वह पश्चिम की ओर गई हो, फिर मुड़ी हो, और अब पूर्व की ओर चल रही हो, जबकि अभी भी अपनी प्रारंभिक स्थिति से \(5\text{ m}\) पश्चिम में हो।

विस्थापन स्थिति में परिवर्तन का वर्णन करता है। वेग उस दर और दिशा का वर्णन करता है जिस दिशा में उस क्षण स्थिति बदल रही है।

ये विचार आपस में जुड़े हुए हैं, लेकिन एक-दूसरे के स्थान पर इस्तेमाल नहीं किए जा सकते।

11HSC प्रश्नों के लिए एक संक्षिप्त निर्णय-नियम

उपयोग करने से पहले

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

चार बातों की जाँच करें।

1. क्या जिस समय-अंतराल का आप विश्लेषण कर रहे हैं, उसमें गति एक-आयामी है?
   एक अक्ष चुनें और उसकी धनात्मक दिशा निर्धारित करें।

2. क्या त्वरण नियत है?
   यदि नहीं, तो इस समीकरण को पूरे बदलते-त्वरण वाले समय-अंतराल पर लागू नहीं किया जा सकता।

3. क्या आपको \(u\), \(a\) और \(t\) ज्ञात हैं, या क्या आप उन्हें ज्ञात कर सकते हैं?
   यह समीकरण विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि इसमें अंतिम वेग शामिल नहीं होता।

4. क्या आपने दिशा के आधार पर चिह्न निर्धारित किए हैं?
   यह काम मान रखने से पहले करें, बाद में नहीं।

एक उपयोगी आदत है कि किसी भी ऊर्ध्वाधर गति की गणना से पहले ऐसी एक पंक्ति लिखें

\[
\text{ऊपर की दिशा धनात्मक}
\]

इसमें कुछ ही सेकंड लगते हैं और यह चिह्नों से जुड़ी बहुत-सी गलतियों को रोक देता है।

12प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक स्केटबोर्डर \(3.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से उत्तर दिशा में चलता है और \(5.0\text{ s}\) तक उत्तर दिशा में \(0.80\text{ m s}^{-2}\) के समान त्वरण से त्वरित होता है। इस समय-अंतराल के दौरान स्केटबोर्डर का विस्थापन ज्ञात कीजिए।

समाधान 1

स्केटबोर्डर \(\boxed{25\text{ m उत्तर}}\) विस्थापित होता है।

उत्तर दिशा को धनात्मक मानें। तब

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

उपयोग करते हुए

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

हमें मिलता है

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

धनात्मक परिणाम का अर्थ है कि विस्थापन उत्तर दिशा में है। \(u\) और \(a\) दोनों धनात्मक हैं क्योंकि दोनों चुनी गई धनात्मक दिशा में हैं।

प्रश्न 2

एक लिफ्ट \(2.4\text{ m s}^{-1}\) की चाल से ऊपर की ओर जा रही है। वह \(3.0\text{ s}\) तक नीचे की ओर \(0.60\text{ m s}^{-2}\) के समान त्वरण से त्वरित होती है।

\(3.0\text{ s}\) के समय-अंतराल में उसका विस्थापन ज्ञात कीजिए।

समाधान 2

लिफ्ट का विस्थापन \(\boxed{+4.5\text{ m}}\) है, इसलिए वह अपनी प्रारंभिक स्थिति से \(4.5\text{ m}\) ऊपर समाप्त होती है।

ऊपर की दिशा को धनात्मक चुनें। तब

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

इसलिए,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

त्वरण ऋणात्मक है क्योंकि वह नीचे की ओर है, केवल इसलिए नहीं कि लिफ्ट की चाल कम हो रही है।

इन तीन सेकंड के दौरान ऊपर की ओर वेग और नीचे की ओर त्वरण विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए लिफ्ट की चाल घटती है।

प्रश्न 3

एक छोटी गेंद को जमीन के स्तर से \(14.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से सीधे ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें और \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\) लें।

एक विद्यार्थी \(3.00\text{ s}\) के बाद उसका विस्थापन इस प्रकार गणना करता है

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

और \(86.1\text{ m}\) प्राप्त करता है।

त्रुटि पहचानिए, सही विस्थापन ज्ञात कीजिए, और बताइए कि आपके परिणाम के चिह्न का क्या अर्थ है।

समाधान 3

विद्यार्थी की त्रुटि गुरुत्वीय त्वरण के लिए गलत चिह्न का उपयोग करना है। सही विस्थापन \(\boxed{-2.1\text{ m}}\) है, जिसका अर्थ है कि यदि गेंद की गति को बिना किसी अवरोध के जारी रहने दिया जाए, तो \(3.00\text{ s}\) के बाद गेंद अपने छोड़े जाने के स्तर से \(2.1\text{ m}\) नीचे होगी।

यदि ऊपर की दिशा धनात्मक है, तो

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

लेकिन गुरुत्व नीचे की ओर है, इसलिए

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

इसलिए,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

इस गणना में एक महत्वपूर्ण भौतिक मान्यता भी छिपी हुई है। प्रश्न कहता है कि गेंद जमीन के स्तर से प्रक्षेपित की गई थी। वास्तविक गेंद अपने छोड़े जाने के बिंदु से \(2.1\text{ m}\) नीचे पहुँचने से पहले ही जमीन से टकरा जाएगी, जब तक कि प्रक्षेपण बिंदु के नीचे कोई गड्ढा या गिरावट न हो।

इसलिए समीकरण नियत-त्वरण वाले गणितीय पथ का सही वर्णन करता है, लेकिन गेंद के जमीन से टकराते ही वास्तविक भौतिक स्थिति समाप्त हो सकती है। समीकरण अपने-आप अवरोधों के बारे में नहीं जानते।

प्रश्न 4

एक परीक्षण वाहन \(+6.0\text{ m s}^{-1}\) से शुरू होता है, जहाँ पूर्व दिशा धनात्मक है।

पहले \(2.0\text{ s}\) के लिए उसका नियत त्वरण \(-2.0\text{ m s}^{-2}\) है। अगले \(3.0\text{ s}\) के लिए उसका त्वरण \(+1.0\text{ m s}^{-2}\) पर नियत है।

एक विद्यार्थी प्रस्ताव करता है कि

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

का उपयोग पूरे \(5.0\text{ s}\) के लिए एक बार किया जाए, जहाँ \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\) हो और त्वरण \(-2.0\) तथा \(+1.0\) का औसत लेकर प्राप्त किया जाए।

समझाइए कि यह विधि मान्य क्यों नहीं है, फिर वाहन का कुल विस्थापन ज्ञात कीजिए।

समाधान 4

एक ही समीकरण का उपयोग करने वाली विधि मान्य नहीं है क्योंकि पूरे \(5.0\text{ s}\) के दौरान त्वरण नियत नहीं है। सही कुल विस्थापन \(\boxed{19.5\text{ m पूर्व}}\) है।

गति को उन दो समय-अंतरालों में बाँटना होगा जिनमें त्वरण नियत है।

पहले समय-अंतराल के लिए,

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

विस्थापन है

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

हमें इस समय-अंतराल के अंत का वेग भी चाहिए क्योंकि वही दूसरे समय-अंतराल के लिए प्रारंभिक वेग बनता है।

उपयोग करते हुए

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

दूसरे समय-अंतराल के लिए,

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

इसलिए

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

कुल विस्थापन है

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

इसलिए,

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m पूर्व}}.
\]

महत्वपूर्ण विचार यह है कि दोनों त्वरण मानों का औसत लेना वास्तविक गति को पुनः प्रस्तुत नहीं करता। प्रत्येक त्वरण कब लागू होता है, यह महत्वपूर्ण है क्योंकि पहला समय-अंतराल उस वेग को बदल देता है जिससे दूसरा समय-अंतराल शुरू होता है।

13यह समीकरण आपको आगे किसके लिए तैयार करता है

समीकरण

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

सिर्फ मान रखने का सूत्र नहीं है। यह तीन विचारों को जोड़ता है: किसी वस्तु की प्रारंभिक गति, नियत त्वरण उस गति को किस प्रकार बदलता है, और समय के साथ संचित होने वाला विस्थापन।

एक बार चिह्नों का अर्थ स्पष्ट हो जाए, तो नियत-त्वरण के अन्य समीकरणों को व्यवस्थित करना आसान हो जाता है। वही परंपरा आगे भी लागू रहती है: धनात्मक दिशा चुनें, वेग और त्वरण को चिह्नयुक्त राशियों के रूप में लें, और पूछें कि परिणाम का भौतिक अर्थ क्या है।

अगला उपयोगी कदम इन समीकरणों और गति-ग्राफों के बीच संबंध बनाना सीखना है। कोई ग्राफ तुरंत दिखा सकता है कि त्वरण कब नियत है, कोई वस्तु कब दिशा बदलती है, और कब एक ही नियत-त्वरण समीकरण का उपयोग मान्य नहीं रह जाता।