वेग-समय ग्राफ: ढाल, क्षेत्रफल और गति की व्याख्या

वेग-समय ग्राफ देखने में भ्रामक रूप से सरल लग सकता है: एक रेखा ऊपर जाती है, नीचे जाती है या क्षैतिज रहती है। लेकिन एक ही ग्राफ आपको बता सकता है कि कोई वस्तु तेज़ हो रही है, धीमी हो रही है, दिशा बदल रही है, त्वरण कर रही है, और उसकी स्थिति कितनी बदली है।

लेकिन इसमें एक बात ध्यान रखने की है। आपको ग्राफ को दो अलग-अलग तरीकों से पढ़ना होता है। ढाल आपको त्वरण के बारे में बताती है। ग्राफ और समय-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल आपको विस्थापन बताता है। इन दोनों विचारों को मिला देना यह समझने में गलती करने के सबसे आसान तरीकों में से एक है कि ग्राफ वास्तव में क्या बता रहा है।

मान लीजिए किसी कार का वेग लगातार \(2\ \text{m s}^{-1}\) से बढ़कर \(8\ \text{m s}^{-1}\) हो जाता है। कोई गणना करने से पहले अनुमान लगाइए: कार का त्वरण ज्ञात करने के लिए आप ग्राफ की ऊँचाई देखेंगे, उसकी ढाल, या उसके नीचे का क्षेत्रफल?

उत्तर है ढाल। ग्राफ की ऊँचाई स्वयं वेग बताती है। उसकी ढाल बताती है कि वह वेग कितनी तेजी से बदल रहा है।

01वेग-समय ग्राफ वास्तव में क्या दिखाता है

वेग-समय ग्राफ में:

• क्षैतिज अक्ष पर समय \(t\) होता है, जिसे सामान्यतः सेकंड में मापा जाता है
• ऊर्ध्वाधर अक्ष पर वेग \(v\) होता है, जिसे सामान्यतः मीटर प्रति सेकंड, \(\text{m s}^{-1}\), में मापा जाता है

हर बिंदु किसी एक क्षण पर वस्तु का वेग बताता है।

यदि ग्राफ \((3,5)\) से गुजरता है, तो \(t=3\ \text{s}\) पर वेग \(5\ \text{m s}^{-1}\) है।

चिह्न महत्वपूर्ण है। \(+5\ \text{m s}^{-1}\) का वेग उस दिशा में गति को दर्शाता है जिसे धनात्मक दिशा के रूप में परिभाषित किया गया है। \(-5\ \text{m s}^{-1}\) का वेग विपरीत दिशा में गति को दर्शाता है।

यदि चिह्नित राशियाँ अभी भी थोड़ी उलझन पैदा कर रही हैं, तो आगे बढ़ने से पहले चाल और वेग की समीक्षा करना उपयोगी होगा।

पहला मानसिक मॉडल: कल्पना कीजिए कि आप स्पीडोमीटर देख रहे हैं

एक ऐसी कार की कल्पना कीजिए जिसका स्पीडोमीटर दिशा भी दिखा सकता है।

\(+6\ \text{m s}^{-1}\) पर एक क्षैतिज रेखा का अर्थ है कि रीडिंग लगातार \(+6\ \text{m s}^{-1}\) बनी रहती है। कार नियत वेग से चल रही है।

ऊपर की ओर ढलान वाली रेखा का अर्थ है कि वेग की रीडिंग बढ़ रही है।

नीचे की ओर ढलान वाली रेखा का अर्थ है कि वेग की रीडिंग घट रही है।

यह मॉडल उपयोगी है, लेकिन अधूरा है। “वेग घटना” हमेशा “चाल घटना” नहीं होता। यदि वेग अधिक ऋणात्मक हो जाता है, तो उसका संख्यात्मक मान घटता है, जबकि वस्तु की चाल वास्तव में बढ़ सकती है।

हम इस सामान्य भ्रम पर फिर लौटेंगे।

02ढाल आपको त्वरण बताती है

त्वरण यह मापता है कि समय के साथ वेग कितनी तेजी से बदलता है।

वेग-समय ग्राफ के किसी सीधे खंड के लिए,

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

जहाँ:

• \(a\), \(\text{m s}^{-2}\) में त्वरण है
• \(\Delta v\), \(\text{m s}^{-1}\) में वेग का परिवर्तन है
• \(\Delta t\), सेकंड में समय-अंतराल है

यह गणित का वही ग्रेडिएंट सूत्र है:

\[
\text{ढाल}=\frac{\text{ऊर्ध्व परिवर्तन}}{\text{क्षैतिज परिवर्तन}}
\]

वेग-समय ग्राफ पर, “ऊर्ध्व परिवर्तन” वेग में परिवर्तन है और “क्षैतिज परिवर्तन” समय में परिवर्तन है। इसलिए ढाल की इकाइयाँ हैं

\[
\frac{\text{m s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m s}^{-2}
\]

जो त्वरण की इकाइयाँ हैं।

अलग-अलग ढालों का क्या अर्थ है

धनात्मक त्वरण और तेज़ होना शब्दों को लेकर सावधान रहें। ये एक ही अर्थ नहीं रखते।

यदि किसी वस्तु का वेग ऋणात्मक और त्वरण धनात्मक है, तो वह धीमी हो सकती है।

त्वरण आपको बताता है कि वेग कैसे बदलता है, यह अपने-आप नहीं बताता कि चाल कैसे बदलती है।

03क्षेत्रफल विस्थापन क्यों देता है

अब मान लीजिए कोई वस्तु \(5\ \text{m s}^{-1}\) के नियत वेग से \(4\ \text{s}\) तक चलती है।

आप पहले से जानते हैं कि उसका विस्थापन कैसे ज्ञात किया जाता है:

\[
\Delta x=v\Delta t=(5)(4)=20\ \text{m}
\]

अब देखिए कि यही संख्याएँ वेग-समय ग्राफ पर क्या बनाती हैं। ग्राफ एक आयत बनाता है जिसकी:

• ऊँचाई \(5\ \text{m s}^{-1}\) है
• चौड़ाई \(4\ \text{s}\) है

इसका क्षेत्रफल है

\[
A=(5)(4)=20
\]

इकाइयाँ हैं

\[
(\text{m s}^{-1})(\text{s})=\text{m}
\]

इसलिए क्षेत्रफल की इकाई विस्थापन की इकाई है।

यह कोई संयोग नहीं है। किसी भी वेग-समय ग्राफ के लिए, ग्राफ और समय-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल विस्थापन देता है।

यदि वेग नियत है,

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

यदि वेग बदलता है, तब भी यही विचार काम करता है। आप क्षेत्र को उपयोगी आकृतियों में बाँट सकते हैं, या आगे गणित और भौतिकी में क्षेत्रफल को बहुत-से छोटे योगदानों \(v\Delta t\) के संचय के रूप में सोच सकते हैं।

04“चिह्नित” शब्द महत्वपूर्ण है

कल्पना कीजिए कि कोई वस्तु \(+3\ \text{m s}^{-1}\) से \(2\ \text{s}\) तक चलती है, फिर \(-3\ \text{m s}^{-1}\) से \(2\ \text{s}\) तक चलती है।

पहला खंड देता है

\[
\Delta x_1=(3)(2)=+6\ \text{m}
\]

दूसरा देता है

\[
\Delta x_2=(-3)(2)=-6\ \text{m}
\]

इसलिए,

\[
\Delta x_{\text{total}}=+6+(-6)=0\ \text{m}
\]

वस्तु ने दूरी तय की है, लेकिन अंत में वह वहीं पहुँचती है जहाँ से चली थी।

ग्राफ पर, समय-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल \(+6\ \text{m}\) है, जबकि समय-अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल \(-6\ \text{m}\) है। दोनों एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।

इसीलिए विस्थापन ज्ञात करते समय आप हर ज्यामितीय क्षेत्रफल को केवल धनात्मक संख्या मानकर नहीं जोड़ सकते।

यह सीधे दूरी और विस्थापन के अंतर से जुड़ता है।

एक थोड़ी मज़ेदार उपमा

विस्थापन को ऐसे सोचिए जैसे आप यह हिसाब रख रहे हों कि आपको अपने दोस्त को कितने पैसे देने हैं।

\(+\$20\) होने का अर्थ है कि आपके दोस्त को आपको पैसे देने हैं। \(-\$20\) होने का अर्थ है कि आपको अपने दोस्त को पैसे देने हैं। यदि आप चिह्नों को इसलिए नज़रअंदाज़ कर दें कि “बीस तो बीस ही होता है”, तो आपका हिसाब बहुत जल्दी बेतुका हो जाएगा।

वेग-समय क्षेत्रफल भी इसी तरह काम करते हैं। अक्ष के ऊपर और नीचे के क्षेत्रफल विपरीत दिशाओं में विस्थापन दर्शाते हैं।

यह उपमा पूरी तरह सही नहीं है, क्योंकि पैसे लोगों के बीच कई तरीकों से स्थानांतरित किए जा सकते हैं, जबकि ग्राफ चुने हुए अक्ष के साथ होने वाली गति का वर्णन कर रहा है। लेकिन चिह्नों का हिसाब रखने का विचार समान है।

05समय-अक्ष को पार करना दिशा बदलने का संकेत है

जब वेग-समय ग्राफ \(v=0\) को पार करता है, तो क्या होता है?

उस क्षण वेग शून्य होता है।

यदि ग्राफ धनात्मक वेग से आगे बढ़ते हुए ऋणात्मक वेग में चला जाता है, तो वस्तु दिशा बदलती है।

उदाहरण के लिए:

• पार करने से पहले, \(v>0\), इसलिए वस्तु धनात्मक दिशा में चलती है
• पार करते समय, \(v=0\), इसलिए उस क्षण वह विराम पर होती है
• पार करने के बाद, \(v<0\), इसलिए वह ऋणात्मक दिशा में चलती है

एक सामान्य गलती यह मानना है कि \(v=0\) का अर्थ \(a=0\) है।

ऐसा नहीं है।

ग्राफ की ऊँचाई आपको वेग बताती है। उसकी ढाल आपको त्वरण बताती है। कोई ग्राफ तीखी ढाल के साथ \(v=0\) को पार कर सकता है, इसलिए किसी वस्तु का एक ही क्षण पर वेग शून्य और त्वरण अशून्य हो सकता है।

ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंकी गई गेंद इसका परिचित उदाहरण है। अपने पथ के सबसे ऊँचे बिंदु पर उसका तात्कालिक वेग शून्य होता है, लेकिन गुरुत्वाकर्षण के कारण उसका त्वरण तब भी नीचे की ओर होता है।

06तेज़ होना या धीमा होना: चिह्नों की तुलना करें

यह एक उपयोगी जाँच है।

जब वेग और त्वरण का चिह्न समान होता है, तो वस्तु तेज़ हो रही होती है।

जब वेग और त्वरण के चिह्न विपरीत होते हैं, तो वस्तु धीमी हो रही होती है।

क्यों?

चाल, वेग का परिमाण है। यदि किसी वस्तु के लिए \(v=+5\ \text{m s}^{-1}\) और \(a=+2\ \text{m s}^{-2}\) है, तो उसका वेग अधिक धनात्मक होता जाता है, इसलिए उसकी चाल बढ़ती है।

लेकिन यदि

\[
v=-5\ \text{m s}^{-1}
\]

और

\[
a=-2\ \text{m s}^{-2},
\]

तो उसका वेग अधिक ऋणात्मक होता जाता है, जैसे \(-5,-7,-9,\ldots\)। उसका परिमाण बढ़ रहा है, इसलिए वह भी तेज़ हो रही है।

यह दूसरा मामला अक्सर छात्रों को उलझाता है क्योंकि ग्राफ नीचे की ओर ढलान वाला होता है।

एक त्वरित निर्णय सारणी

यह नियम तब लागू होता है जब आप जिस अंतराल पर विचार कर रहे हैं, उसमें दोनों में से किसी का भी चिह्न नहीं बदलता।

08यदि ग्राफ वक्र हो तो क्या होगा?

वेग-समय ग्राफ के किसी सीधे खंड की ढाल नियत होती है, इसलिए वह नियत त्वरण दर्शाता है।

वक्र खंड का अर्थ है कि ढाल बदलती है। इसलिए त्वरण भी बदलता है।

किसी विशेष क्षण पर त्वरण, उस बिंदु पर वेग-समय वक्र की स्पर्शरेखा के ग्रेडिएंट से मिलता है।

यह वही विचार है जो विस्थापन-समय ग्राफ पर तात्कालिक वेग के लिए प्रयोग होता है। वहाँ स्पर्शरेखा की ढाल वेग देती है। यहाँ, एक अवकलज आगे जाने पर, स्पर्शरेखा की ढाल त्वरण देती है।

HSC भौतिकी के लिए महत्वपूर्ण भौतिक विचार है:

\[
\text{वेग-समय ग्राफ की ढाल}=\text{त्वरण}
\]

अधिक तीखी स्पर्शरेखा का अर्थ है त्वरण का अधिक परिमाण।

वक्र ग्राफ के नीचे विस्थापन का क्या?

क्षेत्रफल का नियम तब भी काम करता है।

सरल सीधी-रेखा वाले खंडों के लिए आप आयत, त्रिभुज और समलंब का उपयोग कर सकते हैं। किसी अनियमित प्रायोगिक वक्र के लिए क्षेत्रफल का अनुमान ग्राफ या डेटा से संख्यात्मक रूप से लगाना पड़ सकता है।

भौतिकी नहीं बदली है। आप अभी भी समय-अंतराल में

\[
v\Delta t
\]

के रूप में बहुत-सी छोटी राशियों को संचित कर रहे हैं।

09समलंब वास्तव में छिपे हुए औसत वेग हैं

मान लीजिए वेग किसी समय \(\Delta t\) में समान रूप से \(v_i\) से \(v_f\) तक बदलता है।

सीधी वेग-समय रेखा के नीचे का क्षेत्रफल एक समलंब है:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

राशि

\[
\frac{v_i+v_f}{2}
\]

नियत त्वरण के लिए औसत वेग है। इसलिए इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

\[
\Delta x=v_{\text{av}}\Delta t
\]

यह उपयोगी है क्योंकि इससे ग्राफ का संबंध नियत-त्वरण समीकरणों से जुड़ता है, और ग्राफ से जुड़े प्रश्न पूरी तरह अलग विषय जैसे नहीं लगते।

इस संबंध के बारे में अधिक जानने के लिए औसत और तात्कालिक वेग देखें।

10ग्राफ से जुड़ी सबसे लुभावनी गलतियाँ

गलती 1: ग्राफ की ऊँचाई को त्वरण मान लेना

वेग-समय ग्राफ में ऊर्ध्वाधर निर्देशांक वेग होता है।

अक्ष से बहुत ऊपर कोई बिंदु उच्च धनात्मक वेग दर्शाता है, उच्च त्वरण नहीं।

\(20\ \text{m s}^{-1}\) पर एक क्षैतिज रेखा शून्य त्वरण दर्शाती है क्योंकि उसकी ढाल शून्य है।

गलती 2: यह कहना कि नीचे की ओर ढाल हमेशा धीमा होना दर्शाती है

कल्पना कीजिए कि कोई ग्राफ समय-अक्ष के नीचे है और \(-2\ \text{m s}^{-1}\) से गिरकर \(-8\ \text{m s}^{-1}\) हो रहा है।

यह नीचे की ओर ढलता है, इसलिए त्वरण ऋणात्मक है।

लेकिन चाल \(2\ \text{m s}^{-1}\) से बढ़कर \(8\ \text{m s}^{-1}\) हो गई है।

वस्तु ऋणात्मक दिशा में तेज़ हो रही है।

गलती 3: विस्थापन के लिए बिना चिह्न वाला क्षेत्रफल इस्तेमाल करना

अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल ऋणात्मक विस्थापन में योगदान देते हैं।

यदि आप हर क्षेत्रफल को धनात्मक बना देते हैं, तो आप इसके बजाय तय की गई कुल दूरी ज्ञात कर रहे हैं।

गलती 4: यह सोचना कि \(v=0\) पर लौटना मतलब प्रारंभिक स्थिति पर लौटना है

वेग \(v=0\) आपको बताता है कि वस्तु उस क्षण विराम पर है।

यह अपने-आप उसकी स्थिति के बारे में कुछ नहीं बताता।

यह जानने के लिए कि वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति पर लौटी है या नहीं, प्रारंभिक समय से अब तक का कुल चिह्नित क्षेत्रफल देखिए। वह अपनी मूल स्थिति पर तभी लौटती है जब कुल विस्थापन शून्य हो।

गलती 5: वेग-समय ग्राफ को विस्थापन-समय ग्राफ समझ लेना

इस अंतर को स्पष्ट रूप से समझना उपयोगी है:

यदि ये दोनों प्रकार के ग्राफ आपस में मिल रहे हैं, तो विस्थापन-समय ग्राफ की समीक्षा मदद करेगी।

11किसी भी वेग-समय ग्राफ को पढ़ने का विश्वसनीय तरीका

जब आपको कोई अपरिचित ग्राफ दिया जाए, तो इस क्रम में आगे बढ़िए:

1. ऊर्ध्वाधर मान पढ़िए। ये वेग हैं।
2. चिह्न जाँचिए। धनात्मक और ऋणात्मक वेग विपरीत दिशाओं को दर्शाते हैं।
3. ढाल देखिए। इससे त्वरण का चिह्न और परिमाण मिलता है।
4. \(v=0\) को पार करने पर ध्यान दीजिए। वेग के चिह्न में परिवर्तन का अर्थ दिशा में परिवर्तन है।
5. विस्थापन के लिए चिह्नित क्षेत्रफल का उपयोग कीजिए। अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक और नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक होता है।
6. तय की गई दूरी के लिए क्षेत्रफलों के परिमाण का उपयोग कीजिए।
7. यदि आपको तय करना हो कि वस्तु तेज़ हो रही है या धीमी, तो \(v\) और \(a\) के चिह्नों की तुलना कीजिए।

यह क्रम व्याख्या से जुड़ी अधिकांश सामान्य गलतियों को रोकता है।

12प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक ट्रॉली \(8.0\ \text{s}\) तक \(3.5\ \text{m s}^{-1}\) के नियत वेग से चलती है।

इसका त्वरण कितना है, और इस अंतराल में इसका विस्थापन कितना है?

समाधान 1

त्वरण \(0\ \text{m s}^{-2}\) है, और विस्थापन धनात्मक दिशा में \(28\ \text{m}\) है।

क्योंकि वेग नियत है, वेग-समय ग्राफ क्षैतिज है। इसलिए उसकी ढाल शून्य है:

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{0}{8.0}
=0\ \text{m s}^{-2}
\]

विस्थापन ग्राफ के नीचे का आयताकार क्षेत्रफल है:

\[
\Delta x=v\Delta t
=(3.5)(8.0)
=28\ \text{m}
\]

इसलिए ट्रॉली चलती रहती है, भले ही उसका त्वरण शून्य हो। शून्य त्वरण का अर्थ शून्य वेग नहीं होता।

प्रश्न 2

एक स्केटबोर्डर धनात्मक दिशा में चल रहा है। उसका वेग \(4.0\ \text{s}\) में समान रूप से \(12\ \text{m s}^{-1}\) से घटकर \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) हो जाता है।

इस अंतराल के दौरान त्वरण और विस्थापन की गणना कीजिए। बताइए कि स्केटबोर्डर तेज़ हो रहा है या धीमा।

समाधान 2

त्वरण \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\) है, विस्थापन \(32\ \text{m}\) है, और स्केटबोर्डर धीमा हो रहा है।

पहले त्वरण की गणना कीजिए:

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{4.0-12}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

वेग धनात्मक बना रहता है जबकि त्वरण ऋणात्मक है। क्योंकि वेग और त्वरण के चिह्न विपरीत हैं, स्केटबोर्डर की चाल घटती है।

विस्थापन समलंब का क्षेत्रफल है:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{12+4.0}{2}(4.0)
=(8.0)(4.0)
=32\ \text{m}
\]

धनात्मक विस्थापन का अर्थ है कि स्केटबोर्डर की अंतिम स्थिति उसकी प्रारंभिक स्थिति से धनात्मक दिशा में \(32\ \text{m}\) आगे है।

प्रश्न 3

एक रोबोट एक सीधी पटरी पर चलता है। \(t=0\) पर उसका वेग \(-3.0\ \text{m s}^{-1}\) है। उसका वेग समान रूप से बदलकर \(t=2.0\ \text{s}\) पर \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\) हो जाता है।

एक छात्र कहता है, “रोबोट धीमा हो रहा है क्योंकि उसका वेग छोटा होता जा रहा है।”

रोबोट का त्वरण, विस्थापन और चाल में परिवर्तन ज्ञात कीजिए। छात्र के तर्क में त्रुटि समझाइए।

समाधान 3

रोबोट का त्वरण \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\), विस्थापन \(-12\ \text{m}\) है, और उसकी चाल \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) बढ़ती है। रोबोट धीमा नहीं, बल्कि तेज़ हो रहा है।

त्वरण है

\[
a=\frac{-9.0-(-3.0)}{2.0}
=\frac{-6.0}{2.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

विस्थापन चिह्नित समलंब क्षेत्रफल है:

\[
\Delta x
=\frac{-3.0+(-9.0)}{2}(2.0)
=(-6.0)(2.0)
=-12\ \text{m}
\]

प्रारंभिक चाल है

\[
|v_i|=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

और अंतिम चाल है

\[
|v_f|=9.0\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए

\[
\Delta(\text{चाल})=9.0-3.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

छात्र की गलती यह है कि वह “अधिक ऋणात्मक” को “धीमा” मान रहा है। वेग संख्यात्मक रूप से \(-3.0\) से घटकर \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\) हुआ है, लेकिन चाल वेग के परिमाण पर निर्भर करती है। वह परिमाण बढ़ा है।

वेग और त्वरण दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए उनके चिह्न समान हैं। रोबोट ऋणात्मक दिशा में तेज़ हो रहा है।

प्रश्न 4

किसी वस्तु का वेग \(t=0\) पर \(+8.0\ \text{m s}^{-1}\) से रैखिक रूप से बदलकर \(t=6.0\ \text{s}\) पर \(-4.0\ \text{m s}^{-1}\) हो जाता है।

ज्ञात कीजिए:

1. त्वरण
2. वह समय जब वस्तु दिशा बदलती है
3. कुल विस्थापन
4. तय की गई कुल दूरी

समाधान 4

त्वरण \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\) है, वस्तु \(4.0\ \text{s}\) पर दिशा बदलती है, उसका विस्थापन \(12\ \text{m}\) है, और तय की गई कुल दूरी \(20\ \text{m}\) है।

पहले त्वरण की गणना कीजिए:

\[
a=\frac{-4.0-8.0}{6.0}
=\frac{-12.0}{6.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

वस्तु \(v=0\) होने पर दिशा बदलती है। इसका उपयोग करते हुए

\[
v=v_i+at,
\]

हमें मिलता है

\[
0=8.0+(-2.0)t
\]

इसलिए

\[
t=4.0\ \text{s}
\]

\(0\) से \(4.0\ \text{s}\) तक, ग्राफ अक्ष के ऊपर एक त्रिभुज बनाता है:

\[
A_1=\frac12(4.0)(8.0)=16\ \text{m}
\]

\(4.0\) से \(6.0\ \text{s}\) तक, यह अक्ष के नीचे एक त्रिभुज बनाता है:

\[
A_2=-\frac12(2.0)(4.0)=-4.0\ \text{m}
\]

इसलिए विस्थापन है

\[
\Delta x=16+(-4.0)=12\ \text{m}
\]

दूरी के लिए दोनों योगदानों को धनात्मक माना जाता है:

\[
d=16+4.0=20\ \text{m}
\]

\(12\ \text{m}\) और \(20\ \text{m}\) के बीच का अंतर इसलिए आता है क्योंकि दिशा बदलने के बाद वस्तु ऋणात्मक दिशा में \(4.0\ \text{m}\) वापस चलती है।

प्रश्न 5

दो वस्तुएँ, A और B, \(t=0\) पर एक ही स्थिति से शुरू होती हैं।

वस्तु A \(6.0\ \text{s}\) तक \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) के नियत वेग से चलती है।

वस्तु B का वेग \(t=0\) पर \(-2.0\ \text{m s}^{-1}\) से रैखिक रूप से बढ़कर \(t=6.0\ \text{s}\) पर \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) हो जाता है।

एक छात्र तर्क देता है कि B को A से आगे समाप्त करना ही चाहिए क्योंकि B का अंतिम वेग बहुत अधिक है।

निर्धारित कीजिए कि दोनों वस्तुएँ एक ही स्थिति पर समाप्त होती हैं या कोई एक आगे समाप्त होती है। समझाइए कि केवल अंतिम वेगों की तुलना करके इस प्रश्न का उत्तर क्यों नहीं दिया जा सकता।

समाधान 5

दोनों वस्तुएँ एक ही स्थिति पर समाप्त होती हैं, जहाँ वे शुरू हुई थीं वहाँ से \(24\ \text{m}\) दूर।

वस्तु A के लिए वेग नियत है:

\[
\Delta x_A=v\Delta t
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

वस्तु B के लिए वेग समान रूप से बदलता है, इसलिए उसका विस्थापन समलंब का क्षेत्रफल है:

\[
\Delta x_B
=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{-2.0+10.0}{2}(6.0)
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

इसलिए,

\[
\Delta x_A=\Delta x_B=24\ \text{m}
\]

अतः दोनों एक ही स्थिति पर समाप्त होती हैं।

छात्र का तर्क इसलिए विफल होता है क्योंकि अंतिम वेग केवल एक क्षण की गति का वर्णन करता है। स्थिति में परिवर्तन पूरे समय-अंतराल में संचित वेग पर निर्भर करता है, जिसे वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल से दर्शाया जाता है।

वस्तु B कुछ समय के लिए ऋणात्मक दिशा में चलती है, फिर शून्य वेग को पार करते हुए त्वरित होती है और बहुत बड़े धनात्मक वेग तक पहुँचती है। इन अलग-अलग चरणों से फिर भी वही शुद्ध क्षेत्रफल प्राप्त होता है जो A के नियत \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) से मिलता है।

प्रश्न 6

एक वाहन का वेग-समय ग्राफ दो सीधे खंडों से बना है।

\(t=0\) से \(t=5.0\ \text{s}\) तक, वेग समान रूप से \(0\) से बढ़कर \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) हो जाता है।

\(t=5.0\) से \(t=9.0\ \text{s}\) तक, वेग समान रूप से \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) से घटकर \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) हो जाता है।

एक दूसरा वाहन पूरे \(9.0\ \text{s}\) तक नियत वेग से चलता है और उसका विस्थापन पहले वाहन के बिल्कुल समान है।

दूसरे वाहन का नियत वेग ज्ञात कीजिए। फिर समझाइए कि यह मान आपको यह क्यों नहीं बताता कि दोनों वाहनों का कभी त्वरण समान था।

समाधान 6

दूसरे वाहन का नियत वेग लगभग \(5.89\ \text{m s}^{-1}\) है, और समान विस्थापन का अर्थ समान त्वरण नहीं होता।

पहले \(5.0\ \text{s}\) में, पहले वाहन का विस्थापन त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

\[
\Delta x_1
=\frac12(5.0)(10.0)
=25\ \text{m}
\]

अगले \(4.0\ \text{s}\) में, उसका विस्थापन समलंब का क्षेत्रफल है:

\[
\Delta x_2
=\frac{10.0+2.0}{2}(4.0)
=(6.0)(4.0)
=24\ \text{m}
\]

इसलिए उसका कुल विस्थापन है

\[
\Delta x=25+24=49\ \text{m}
\]

यदि दूसरे वाहन का नियत वेग \(v\) है,

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

तो

\[
v=\frac{49}{9.0}
\approx5.44\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए दूसरे वाहन का नियत वेग लगभग

\[
\boxed{5.44\ \text{m s}^{-1}}
\]

है।

क्योंकि उसका वेग नियत है, उसका त्वरण है

\[
a=0\ \text{m s}^{-2}
\]

पहले वाहन का दोनों खंडों के दौरान त्वरण अशून्य है। \(0\) से \(5.0\ \text{s}\) तक,

\[
a_1=\frac{10.0-0}{5.0}
=2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

और \(5.0\) से \(9.0\ \text{s}\) तक,

\[
a_2=\frac{2.0-10.0}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

दोनों वाहनों का विस्थापन समान है क्योंकि उनके वेग-समय ग्राफों का चिह्नित क्षेत्रफल समान है, इसलिए नहीं कि उनकी ढालें समान हैं।

यही अंतर वेग-समय ग्राफ की मुख्य शक्ति है: ढाल और क्षेत्रफल अलग-अलग भौतिक प्रश्नों का उत्तर देते हैं। ढाल आपको बताती है कि वेग कैसे बदल रहा है। चिह्नित क्षेत्रफल आपको बताता है कि स्थिति कैसे बदली है। जब ये दोनों व्याख्याएँ अच्छी तरह समझ में आ जाती हैं, तो नियत-त्वरण समीकरणों को समझना बहुत आसान हो जाता है क्योंकि आप देख सकते हैं कि बीजगणित कहाँ से आता है, बजाय इसके कि हर समीकरण को याद करने के लिए एक सूत्र माना जाए।