Grafik Percepatan-Waktu: Luas dan Perubahan Kecepatan

Sebuah mobil mengalami percepatan \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) selama 4 detik, kemudian percepatannya turun menjadi nol. Apa yang pasti telah berubah setelah 4 detik tersebut: posisinya, kecepatannya, atau keduanya?

Posisinya telah berubah, tetapi grafik percepatan-waktu tidak memberi tahu Anda perubahan tersebut secara langsung. Yang diberikan secara langsung adalah perubahan kecepatan. Dalam kasus ini,

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Perhatikan apa yang baru saja kita hitung: percepatan dikalikan waktu. Pada grafik percepatan-waktu, perkalian itu muncul sebagai sebuah luas.

Inilah gagasan utama panduan ini:

Luas bertanda antara grafik percepatan-waktu dan sumbu waktu memberikan perubahan kecepatan.

Kata bertanda penting. Luas di atas sumbu waktu bernilai positif. Luas di bawahnya bernilai negatif.

01Apa yang sebenarnya ditunjukkan oleh grafik percepatan-waktu

Grafik percepatan-waktu memiliki:

• waktu \(t\), diukur dalam detik (s), pada sumbu horizontal
• percepatan \(a\), diukur dalam meter per detik kuadrat (\(\text{m s}^{-2}\)), pada sumbu vertikal

Misalkan suatu grafik berupa garis horizontal pada \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\).

Sebelum melanjutkan, buatlah prediksi. Apakah itu berarti benda bergerak dengan kecepatan konstan?

Tidak. Itu berarti kecepatannya berubah dengan laju yang konstan.

Percepatan sebesar \(2.0\ \text{m s}^{-2}\) berarti bahwa setiap detik, kecepatan berubah sebesar \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Jadi, jika kecepatan awalnya \(5.0\ \text{m s}^{-1}\):

• setelah 1 s, kecepatannya \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• setelah 2 s, kecepatannya \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• setelah 3 s, kecepatannya \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

Itulah sebabnya grafik percepatan-waktu sangat berkaitan dengan grafik kecepatan-waktu. Percepatan memberi tahu Anda bagaimana grafik kecepatan berubah.

02Mengapa luas memberikan perubahan kecepatan

Mulailah dengan persamaan yang sudah dikenal untuk percepatan konstan:

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

Di sini:

• \(a\) adalah percepatan dalam \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) adalah perubahan kecepatan dalam \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) adalah waktu yang telah berlalu dalam detik

Dengan menyusun ulang,

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

Sekarang bayangkan percepatan konstan pada grafik percepatan-waktu. Daerah di bawahnya berbentuk persegi panjang.

Persegi panjang tersebut memiliki:

• tinggi \(a\)
• lebar \(\Delta t\)

Maka luasnya adalah

\[
\text{luas} = a\Delta t
\]

Namun \(a\Delta t = \Delta v\).

Jadi, luas bukan sekadar trik praktis dalam membaca grafik. Hubungan ini berasal langsung dari definisi percepatan.

Satuannya juga menegaskan hal itu:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Itu adalah satuan kecepatan.

03Grafik memberikan perubahan, bukan secara otomatis kecepatan akhir

Ini adalah bagian yang mudah menyebabkan kehilangan nilai.

Misalkan luas di bawah grafik percepatan-waktu adalah \(+8\ \text{m s}^{-1}\). Seorang siswa menulis:

Kecepatan akhir \(= 8\ \text{m s}^{-1}\).

Pernyataan itu hanya benar jika benda mulai dari keadaan diam.

Grafik memberi tahu kita bahwa

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

bukan berarti selalu \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\).

Secara umum,

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

Jika \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\), misalnya,

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

Riwayat percepatan mengubah kecepatan sebesar \(+8\ \text{m s}^{-1}\), yang dalam kasus ini cukup untuk membalik arah gerak benda.

04Luas di bawah sumbu waktu bernilai negatif

Bayangkan grafik percepatan berada pada

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

selama 2.0 s.

Luas bertandanya adalah

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Jadi, kecepatan berkurang sebesar \(8.0\ \text{m s}^{-1}\).

Berhati-hatilah dengan ungkapan “kecepatan berkurang”. Hal itu tidak selalu berarti benda melambat.

Misalkan sebuah benda memiliki kecepatan awal

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

dan mengalami perubahan kecepatan sebesar

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Maka

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

Kecepatannya menjadi semakin negatif, tetapi kelajuannya meningkat dari \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) menjadi \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Percepatan negatif tidak berarti benda melambat.

Apakah sebuah benda mempercepat atau melambat bergantung pada tanda kecepatan dan percepatan. Jika Anda perlu mengingat kembali perbedaan tersebut, lihat Kelajuan dan Kecepatan: HSC Physics Dijelaskan dengan Jelas.

05Aturan praktis untuk menentukan apakah benda mempercepat atau melambat

Bandingkan tanda kecepatan dan percepatan.

Mengapa?

Kecepatan memberi tahu Anda ke arah mana benda bergerak. Percepatan memberi tahu Anda ke arah mana kecepatannya sedang didorong untuk berubah.

Bayangkan kecepatan dan percepatan sebagai dua orang yang berdebat tentang arah yang harus ditempuh. Jika keduanya sepakat tentang arahnya, besar kecepatan meningkat. Jika tidak sepakat, besar kecepatan awalnya berkurang.

Analogi ini tidak lagi berlaku setelah kecepatan mencapai nol. Benda kemudian dapat berbalik arah, dan setelah itu percepatan yang sama dapat membuatnya kembali mempercepat.

06Percepatan yang berubah berarti bentuk luas yang berubah

Percepatan tidak harus konstan.

Misalkan percepatan meningkat secara tetap dari \(0\) menjadi \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) selama 4.0 s.

Daerah di bawah grafik berbentuk segitiga, sehingga

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

dengan \(b\) sebagai selang waktu dan \(h\) sebagai percepatan maksimum.

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Walaupun percepatan terus berubah, luas tetap memberikan perubahan kecepatan total.

Secara lebih umum,

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

Simbol integral berarti “menjumlahkan semua kontribusi kecil \(a\,dt\) di sepanjang selang waktu”. Untuk soal grafik HSC dengan bagian-bagian berupa garis lurus, biasanya Anda dapat menentukan luas tersebut menggunakan persegi panjang, segitiga, dan trapesium tanpa melakukan kalkulus.

07Luas positif dan negatif dapat saling meniadakan

Sekarang perhatikan sebuah benda dengan riwayat percepatan berikut:

• dari \(0\) hingga \(4.0\ \text{s}\), percepatan meningkat secara seragam dari \(0\) menjadi \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• dari \(4.0\) hingga \(6.0\ \text{s}\), percepatannya adalah \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

Prediksikan apa yang terjadi pada kecepatan selama keseluruhan 6.0 s. Apakah meningkat, menurun, atau kembali ke nilai awalnya?

Gunakan luas bertanda.

Dari \(0\) hingga \(4.0\ \text{s}\), luas segitiga positif adalah

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Dari \(4.0\) hingga \(6.0\ \text{s}\), luas persegi panjang negatif adalah

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Maka,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Kecepatan akhirnya \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) lebih besar daripada kecepatan awal.

Bagian negatif tidak “menghapus gerakan”. Bagian itu mengurangi sebagian peningkatan kecepatan yang terjadi sebelumnya.

08Percepatan nol tidak berarti kecepatan nol

Bagian horizontal pada grafik percepatan-waktu di \(a = 0\) mungkin terlihat seolah-olah “tidak terjadi apa-apa”.

Sebenarnya ada sesuatu yang terjadi. Benda masih dapat bergerak.

Jika

\[
a = 0
\]

maka kecepatannya tidak berubah.

Jadi, sebuah benda yang bergerak dengan \(18\ \text{m s}^{-1}\) dan percepatan nol akan terus bergerak dengan \(18\ \text{m s}^{-1}\), dengan asumsi model satu dimensi berlaku.

Benda yang sudah diam juga akan tetap diam.

Grafik percepatan saja tidak dapat memberi tahu Anda situasi mana yang berlaku kecuali Anda juga mengetahui kecepatan benda pada suatu titik.

09Grafik percepatan-waktu tidak secara langsung memberikan perpindahan

Ada dua “aturan luas” yang sering tertukar oleh siswa:

Mengapa luas di bawah grafik percepatan-waktu tidak dapat memberikan perpindahan?

Periksa satuannya:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Itu adalah kecepatan, bukan perpindahan.

Untuk memperoleh perpindahan dari riwayat percepatan, pertama-tama Anda memerlukan informasi yang cukup untuk menentukan kecepatan sebagai fungsi waktu. Kemudian Anda menentukan luas di bawah grafik kecepatan-waktu yang sesuai.

Inilah juga sebabnya kecepatan awal penting. Dua benda dapat memiliki grafik percepatan-waktu yang identik tetapi perpindahan yang sangat berbeda karena keduanya memulai dengan kecepatan yang berbeda.

10Cara berpindah antara grafik percepatan-waktu dan kecepatan-waktu

Grafik percepatan-waktu memberi tahu Anda perilaku kemiringan grafik kecepatan-waktu.

Ingat bahwa

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

jadi percepatan adalah gradien grafik kecepatan-waktu.

Hal itu memberikan hubungan berikut:

Ada satu hal yang agak halus di sini. Ketinggian grafik percepatan-waktu memberi tahu Anda kemiringan grafik kecepatan-waktu. Luas grafik percepatan-waktu memberi tahu Anda seberapa besar kecepatan itu sendiri telah berubah.

Keduanya memiliki fungsi yang berbeda.

11Metode yang dapat diandalkan untuk soal grafik HSC

Ketika Anda diberi grafik percepatan-waktu, kerjakan dengan urutan berikut:

1. Pilih arah positif. Biasanya grafik sudah menetapkannya melalui tanda yang digunakan.
2. Catat kecepatan awal. Jika tidak diberikan, berhati-hatilah terhadap apa yang sebenarnya dapat ditentukan.
3. Bagi grafik menjadi daerah-daerah sederhana. Gunakan persegi panjang, segitiga, atau trapesium sesuai kebutuhan.
4. Beri tanda pada setiap luas. Di atas sumbu waktu bernilai positif. Di bawahnya bernilai negatif.
5. Jumlahkan luas bertanda. Hasilnya adalah \(\Delta v\).
6. Gunakan \(v_f = v_i + \Delta v\).
7. Jika ditanya tentang kelajuan atau arah, periksa kecepatan, bukan percepatan saja.
8. Periksa satuannya. Luas di bawah grafik percepatan-waktu harus memiliki satuan \(\text{m s}^{-1}\).

Pemeriksaan satuan terakhir itu dapat menangkap cukup banyak kesalahan yang sering tidak disadari.

12Pertanyaan dan solusi

Pertanyaan 1

Seorang pesepeda memiliki percepatan \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) selama 4.0 s. Kecepatan pesepeda pada awal selang tersebut adalah \(6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Tentukan kecepatan pesepeda setelah 4.0 s.

Solusi 1

Kecepatan akhir pesepeda adalah \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\).

Luas di bawah grafik percepatan-waktu memberikan perubahan kecepatan:

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Sekarang tambahkan perubahan tersebut pada kecepatan awal:

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Kesalahan umum adalah menyatakan \(6.0\ \text{m s}^{-1}\), yaitu luas tersebut, sebagai kecepatan akhir. Nilai itu hanya merupakan perubahan kecepatan.

Pertanyaan 2

Sebuah benda mula-mula bergerak dengan kecepatan \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\). Benda kemudian mengalami percepatan konstan sebesar \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) selama 5.0 s.

Hitung kecepatan akhirnya dan nyatakan apakah arah geraknya berubah.

Solusi 2

Kecepatan akhirnya adalah \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\), sehingga benda telah berubah arah.

Perubahan kecepatannya adalah

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

Maka,

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Karena kecepatan berubah dari negatif menjadi positif, kecepatannya pasti melewati nol selama selang tersebut. Pada saat itu benda berhenti sesaat, lalu berbalik arah.

Kesalahan yang menggoda adalah mengatakan bahwa percepatan positif berarti benda bergerak ke arah positif selama seluruh 5.0 s. Percepatan menjelaskan bagaimana kecepatan berubah, bukan selalu arah gerak saat itu.

Pertanyaan 3

Percepatan sebuah benda berubah secara seragam dari \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) pada \(t=0\) menjadi \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\) pada \(t=4.0\ \text{s}\).

Kecepatan awalnya adalah \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Tentukan kecepatannya pada \(t=4.0\ \text{s}\).

Solusi 3

Kecepatan benda pada \(4.0\ \text{s}\) adalah \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\).

Karena percepatan berubah secara linear, luas di bawah grafik berbentuk trapesium. Luasnya adalah

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

dengan \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\), \(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\), dan \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\).

Dengan mensubstitusikan nilainya,

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

Kemudian

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

Percepatannya tidak terus-menerus sebesar \(6.0\ \text{m s}^{-2}\), sehingga mengalikan \(6.0\) dengan keseluruhan 4.0 s akan menghasilkan perkiraan perubahan kecepatan yang terlalu besar.

Pertanyaan 4

Sebuah robot bergerak sepanjang rel lurus. Dari \(t=0\) hingga \(t=3.0\ \text{s}\), percepatannya adalah \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\). Dari \(t=3.0\) hingga \(t=7.0\ \text{s}\), percepatannya adalah \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Seorang siswa mengatakan:

“Bagian positif dan negatif memiliki efek yang sama karena \(4\times3 = 3\times4\), jadi robot pasti berakhir di tempat semula.”

Kecepatan awal robot adalah \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Tentukan kecepatan akhir robot, dan nilai kesimpulan siswa tentang posisi akhirnya.

Solusi 4

Kecepatan akhir robot adalah \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\), tetapi pernyataan bahwa robot pasti berakhir di tempat semula tidak benar.

Untuk selang pertama,

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

Untuk selang kedua,

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

Maka,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

dan

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Jadi, siswa tersebut benar bahwa kecepatan kembali ke nilai awalnya.

Namun, perubahan bersih kecepatan sebesar nol tidak berarti perpindahan juga nol. Robot telah bergerak selama selang tersebut, dan selama sebagian besar gerakannya kecepatannya lebih besar dari \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Luas di bawah grafik percepatan-waktu memberikan perubahan kecepatan, bukan perpindahan. Untuk menentukan perubahan posisi robot, kita perlu menyusun atau menghitung berdasarkan perilaku grafik kecepatan-waktunya.

Pertanyaan 5

Dua kereta kecil, A dan B, bergerak pada lintasan lurus yang sejajar.

Kedua kereta memiliki grafik percepatan-waktu yang benar-benar sama dari \(t=0\) hingga \(t=8.0\ \text{s}\). Luas bertanda total di bawah grafik tersebut adalah \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Kereta A mulai dengan kecepatan \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\), sedangkan kereta B mulai dengan kecepatan \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\).

Seorang siswa menyatakan bahwa karena kedua kereta memiliki grafik percepatan yang sama, keduanya pasti memiliki kecepatan akhir yang sama dan menempuh perpindahan yang sama.

Evaluasi kedua bagian dari pernyataan tersebut.

Solusi 5

Kedua bagian dari pernyataan tersebut tidak benar. Kereta A berakhir dengan kecepatan \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\), kereta B berakhir dengan kecepatan \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\), dan perpindahan keduanya selama 8.0 s tidak sama.

Riwayat percepatan yang sama memberi kedua kereta perubahan kecepatan yang sama:

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Untuk kereta A,

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Untuk kereta B,

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Jadi, riwayat percepatan yang identik tidak menghasilkan kecepatan akhir yang identik kecuali kecepatan awalnya juga identik.

Perpindahan keduanya juga berbeda. Pada setiap saat, kecepatan kereta B adalah \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) lebih besar daripada kecepatan kereta A karena keduanya memulai dengan selisih kecepatan \(8.0\ \text{m s}^{-1}\), lalu mengalami percepatan yang benar-benar sama.

Selama 8.0 s, perbedaan kecepatan yang konstan itu menghasilkan selisih perpindahan sebesar

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

Jadi kereta B bergerak \(64\ \text{m}\) lebih jauh ke arah positif dibandingkan kereta A selama selang tersebut.

Gagasan yang lebih mendalam adalah bahwa grafik percepatan-waktu memberi tahu Anda bagaimana kecepatan berubah. Untuk mengetahui kecepatan sebenarnya, Anda juga memerlukan kecepatan awal. Setelah riwayat kecepatan diketahui, luas di bawah grafiknya dapat digunakan untuk menentukan perpindahan. Hubungan berantai dari percepatan ke kecepatan lalu ke posisi adalah konsep berikutnya yang berguna untuk dikuasai saat menafsirkan grafik gerak.