同位体組成から求める相対原子質量

自然界に存在する塩素原子は、すべてが同じ質量をもつわけではありません。中性子を18個含む塩素原子もあれば、20個含む塩素原子もあります。それでも、周期表では塩素の相対原子質量は約35.45と示されています。

では、質量が35.45の塩素原子とはどのような原子なのでしょうか。実は、そのような原子は存在しません。

この数値は平均ですが、すべての値を同じ重みで扱う通常の平均ではありません。存在量の多い同位体は、存在量の少ない同位体よりも平均に大きく寄与する必要があります。ここで身につけるべき技能は、同位体の質量と天然存在比から、この加重された相対原子質量を計算することです。

先を読む前に、次のことを予想してみましょう。ある元素に質量20と22の2種類の同位体があり、その原子の90%が軽い方の同位体だとします。この元素の相対原子質量は、20、21、22のうちどれに最も近くなるでしょうか。

20に近くなるはずです。加重平均は、より多く存在する値の方へ引き寄せられます。

01公式ではなく、まず原子から考える

ある元素の原子を100個集めたと想像してください。

次のような組成だとします。

• 80個の原子の同位体質量が10
• 20個の原子の同位体質量が11

100個すべての原子からの寄与を足し合わせれば、その平均質量を求められます。

\[
\frac{(80)(10)+(20)(11)}{100}
=
\frac{1020}{100}
=
10.2
\]

したがって、相対原子質量は10.2です。

ここで何が起きたかに注目してください。単純に次のように計算したわけではありません。

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

この計算では、2種類の同位体が同じ割合で存在すると誤って仮定してしまいます。

中心となる考え方は次のとおりです。

同位体が相対原子質量にどれだけ寄与するかは、その質量と存在量の両方によって決まる。

そもそも同位体が何によって異なるのかを復習したい場合は、HSC化学のための安定同位体と放射性同位体の解説を参照してください。

02相対原子質量が実際に意味するもの

元素の相対原子質量 \(A_r\) とは、天然に存在するその元素の原子の質量を、炭素12原子1個の質量の12分の1を基準として表した加重平均です。

この定義には、重要な考え方が2つ含まれています。

第一に、異なる同位体は天然存在比が異なることがあるため、これは加重平均です。

第二に、これは相対的な値です。相対原子質量は比なので、単位はありません。

HSCの多くの計算で重要になる式は次のとおりです。

\[
A_r=\sum (\text{同位体質量})(\text{存在割合})
\]

ここで、

• \(A_r\) は相対原子質量
• 同位体質量は、特定の同位体の相対質量
• 存在割合は、その同位体である原子が全体に占める割合を小数で表したもの

です。

たとえば、72%は次のようになります。

\[
72\% = 0.72
\]

存在比が百分率で与えられている場合は、次のように計算することもできます。

\[
A_r=
\frac{\sum(\text{同位体質量})(\text{存在百分率})}{100}
\]

どちらの方法も同じ結果になります。

03答えが通常は整数にならない理由

周期表を見て、原子には整数個の陽子と中性子が含まれているのに、なぜ24.305や63.546のような原子質量が示されているのか疑問に思う生徒もいます。

理由は2つあります。

1つは、異なる同位体を加重平均していることです。

もう1つは、実際の同位体質量そのものも、一般には正確な整数ではないことです。たとえばマグネシウム24原子の同位体質量は24に近いですが、正確に24ではありません。

HSCの多くの問題では、24、25、26のような質量数が与えられ、それらを近似的な同位体質量として使うことがあります。より精密な同位体質量が与えられている場合は、そちらを使用してください。

どの程度の精度で扱うべきかは、問題によって決まります。

04加重平均をイメージする方法

2人がシーソーの両端に座っているところを想像してください。一方の同位体が左側に、もう一方の同位体が右側にあるとします。

相対原子質量は、その2つの間のどこかに位置します。

ただし、存在比は少し「影響力が増す」ように働きます。ある同位体が原子の95%を占めていれば、平均はその同位体の質量の方へ強く引き寄せられます。

このたとえは厳密なものではありません。実際に力やシーソーが関係しているわけではありません。平均がなぜ存在量の多い同位体に近くなるのかをイメージするための方法にすぎません。

ここから、非常に役立つ確認方法が得られます。

相対原子質量は、最も小さい同位体質量と最も大きい同位体質量の間になければならず、通常は存在量が多い同位体の質量により近くなります。

ある元素に質量35と37の同位体しか含まれていないなら、38.1という答えはあり得ません。

21という答えも同様にあり得ません。

06最もよくある間違い：同位体質量をそのまま平均する

ある元素が、同位体X-10を99%、同位体X-11を1%含むとします。

生徒は次のように計算してしまうかもしれません。

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

なぜこの計算がもっともらしく感じられるのでしょうか。それは、「平均」と聞くと、私たちはしばしば「値を足して、値の個数で割る」と考えるからです。

しかし、この方法は別の問いに答えています。これは、2つの同位体質量を、両方の同位体が同じ割合で存在するとみなして平均した値です。

実際の計算は次のとおりです。

\[
A_r=(10)(0.99)+(11)(0.01)=10.01
\]

これは物理的にも納得できます。100個の原子のうち99個が軽い方の同位体なら、平均は10に非常に近くなるはずです。

判断の目安として、次の表が役立ちます。

08存在比が1つ不足している場合

すべての存在比が明示されていなくても、求められることはよくあります。

ある元素に天然に存在する同位体が2種類しかなく、一方の存在比が73%なら、もう一方は次の値でなければなりません。

\[
100\%-73\%=27\%
\]

同位体が3種類以上の場合にも、同じ考え方が使えます。問題に試料中のすべての同位体が含まれていると仮定すれば、天然存在比の合計は100%でなければなりません。

ただし、この仮定には注意が必要です。問題文に、挙げられた3種類の同位体が天然に存在する唯一の同位体であると書かれていれば、100%から差し引いて安全に求められます。一方、一覧が不完全なら、それはできません。

こうした隠れた仮定は、より難しい問題で重要になります。

09相対存在量は、必ずしも百分率で与えられるとは限らない

質量スペクトルでは、同位体のピークが相対強度で示されることがあります。

2つの同位体ピークの相対強度が3と1だとします。これは3%と1%という意味ではありません。

存在量の比が次のようになっているという意味です。

\[
3:1
\]

合計は4つ分なので、それぞれの存在割合は、

\[
\frac{3}{4}=0.75
\]

および

\[
\frac{1}{4}=0.25
\]

です。

同位体質量が34と36であれば、加重された相対原子質量は次のようになります。

\[
A_r=(34)(0.75)+(36)(0.25)=34.5
\]

重要なのは、「常に100で割る」ことではありません。「それぞれの存在量を、全体に占める割合に変換する」ことです。

10逆算することもできる

同位体質量と相対原子質量は分かっているものの、存在比が1つ不明な場合もあります。

ある元素に質量79と81の2種類の同位体があり、その相対原子質量が79.6だとします。

質量79の同位体の存在割合を \(x\) とします。

同位体は2種類しかないので、質量81の同位体の存在割合は \(1-x\) でなければなりません。

すると、

\[
79x+81(1-x)=79.6
\]

展開すると、

\[
79x+81-81x=79.6
\]

\[
-2x=-1.4
\]

\[
x=0.70
\]

したがって、存在比は次のとおりです。

• 質量79の同位体：70%
• 質量81の同位体：30%

ここでも、結果は物理的な確認を満たしています。平均の79.6は81より79に近いため、質量79の同位体の方が多く存在するはずです。

11相対原子質量と質量数の違い

これらの量は混同しやすいものです。

たとえば、塩素35は、原子核に合計35個の核子が含まれているため、質量数は35です。

だからといって、塩素の相対原子質量が35でなければならないわけではありません。塩素は天然に複数の同位体として存在するため、周期表に示される値は加重平均です。

電子配置は別の概念です。中性子の数が変わると別の同位体になり、電子の数が変わるとイオンになります。この違いを復習したい場合は、HSC化学のための電子配置：原子とイオンが次に役立つ教材です。

12問題と解答

問題1

ある元素には、質量50.0と52.0の2種類の同位体があります。それぞれの天然存在比は84.0%と16.0%です。この元素の相対原子質量を求めなさい。

解答1

相対原子質量は \(\boxed{50.32}\) です。

相対原子質量は加重平均なので、各同位体質量にその存在割合を掛ける必要があります。

百分率を変換します。

\[
84.0\%=0.840,\qquad16.0\%=0.160
\]

すると、

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(50.0)(0.840)+(52.0)(0.160)\\
&=42.0+8.32\\
&=50.32
\end{aligned}
\]

質量50の同位体の方がはるかに多く存在するため、答えは50.0に近くなります。

50.0と52.0を単純に平均して51.0とすると、2種類の同位体が同じ割合で存在すると誤って扱うことになります。

問題2

ある元素には、次の組成をもつ3種類の同位体が含まれています。

相対原子質量を求めなさい。

解答2

相対原子質量はおよそ \(\boxed{70.03}\) です。

存在比を小数に変換します。

\[
0.600,\qquad0.250,\qquad0.150
\]

合計は1.000なので、存在比のデータは内部的に整合しています。

次に、加重平均を計算します。

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(68.93)(0.600)+(70.92)(0.250)+(71.92)(0.150)\\
&=41.358+17.730+10.788\\
&=69.876
\end{aligned}
\]

したがって、

\[
\boxed{A_r=69.88}
\]

となります。

最も軽い同位体が試料の60%を占めているため、平均は他のどちらの重い同位体よりも68.93に近くなります。

問題3

ある元素には、天然に存在する同位体がちょうど2種類あります。一方の同位体の質量は106.9、存在比は51.8%です。もう一方の同位体の質量は108.9です。

相対原子質量を求めなさい。

解答3

相対原子質量はおよそ \(\boxed{107.86}\) です。

同位体がちょうど2種類なので、存在比の合計は100%でなければなりません。したがって、2つ目の同位体の存在比は、

\[
100.0\%-51.8\%=48.2\%
\]

です。

両方の存在比を小数に変換します。

\[
0.518,\qquad0.482
\]

次に計算します。

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(106.9)(0.518)+(108.9)(0.482)\\
&=55.3742+52.4898\\
&=107.864
\end{aligned}
\]

したがって、

\[
\boxed{A_r\approx107.86}
\]

となります。

2つの同位体の存在比がかなり似ているため、答えは2つの同位体質量のほぼ中間にあります。質量106.9の同位体の方がわずかに多いため、答えも106.9の方にわずかに近くなります。

問題4

ある元素の質量スペクトルには、質量84と86の位置に2つの同位体ピークが現れています。それぞれの相対強度は5と3です。

この元素の相対原子質量を求めなさい。

解答4

相対原子質量は \(\boxed{84.75}\) です。

5と3という数値は百分率ではなく、比を表しています。合わせると、

\[
5+3=8
\]

等分の存在量に相当します。

したがって、それぞれの存在割合は、

\[
\frac{5}{8}=0.625
\]

および

\[
\frac{3}{8}=0.375
\]

です。

次に加重平均を計算します。

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(84)(0.625)+(86)(0.375)\\
&=52.5+32.25\\
&=84.75
\end{aligned}
\]

ありがちな間違いは、5と3を5%と3%として扱うことです。これらは相対強度なので、まず合計に対する割合へ変換する必要があります。

問題5

ある元素には、同位体質量112.0と115.0の、天然に存在する同位体がちょうど2種類あります。測定された相対原子質量は114.1です。

各同位体の存在百分率を求めなさい。

解答5

質量112.0の同位体の存在比は \(\boxed{30.0\%}\)、質量115.0の同位体の存在比は \(\boxed{70.0\%}\) です。

質量112の同位体の存在割合を \(x\) とします。

同位体は2種類しかないので、質量115の同位体の存在割合は \(1-x\) です。

加重平均の式を使います。

\[
112.0x+115.0(1-x)=114.1
\]

展開して解きます。

\[
\begin{aligned}
112.0x+115.0-115.0x&=114.1\\
-3.0x&=-0.9\\
x&=0.300
\end{aligned}
\]

したがって、

\[
112.0:\quad0.300\times100\%=30.0\%
\]

そして、

\[
115.0:\quad100.0\%-30.0\%=70.0\%
\]

となります。

代数計算をする前でも、この結果が妥当であることは分かります。相対原子質量114.1は112.0よりも115.0にはるかに近いため、重い方の同位体の存在比が高いはずです。

問題6

ある元素には、質量40、42、44の3種類の天然に存在する同位体があると生徒に伝えられました。測定された2つの存在比は、質量40が70%、質量42が20%です。

その生徒は、質量44の同位体の存在比を10%と計算し、次の結果を得ました。

\[
A_r=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(44)(0.10)=40.8
\]

その後、2回目の実験によって、試料には元のデータから除かれていた質量43の第4の同位体も少量含まれていることが分かりました。

算術計算そのものは正しいにもかかわらず、生徒の数値計算をもはや採用できない理由を説明しなさい。

解答6

10%という存在比を求めるために使った仮定が、もはや成立しないため、この計算は採用できません。

生徒は次のように考えました。

\[
100\%-70\%-20\%=10\%
\]

この計算が正しいのは、質量40、42、44が試料中に存在するすべての同位体を表している場合に限られます。

質量43の同位体も存在することが分かった以上、残り10%の存在量の一部はその同位体に割り当てられなければなりません。そのため、質量44に割り当てられる存在比は不明になります。

たとえば、質量43の存在比が2%であれば、質量44の存在比は次のように8%しかありません。

\[
100\%-70\%-20\%-2\%=8\%
\]

この場合、加重平均は次のようになります。

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(43)(0.02)+(44)(0.08)\\
&=40.78
\end{aligned}
\]

修正後の正確な値は、質量43の同位体の存在比によって決まります。

重要な落とし穴は、算術計算が正しくても、その数値の背後にある仮定が間違っていれば、科学的な結論は無効になり得るということです。

13この計算から次につながること

加重された相対原子質量は、同位体という微視的な考え方を、化学全体で使う数値へと結び付けます。

同位体質量、存在比、\(A_r\) の間を自信をもって相互に変換できるようになると、質量スペクトルの解釈はずっと容易になります。ピークの位置から同位体質量を特定し、ピークの大きさから相対存在比を推定し、その両方の情報を組み合わせることで、周期表に示される元素の原子質量がなぜその値になるのかを説明できます。

同じ原子構造の考え方は、その後、電子配置、結合、周期的傾向へとつながっていきます。原子核によってどの元素であるかが決まり、同位体によって中性子数と質量が変化し、電子によってその化学的性質の多くが決まります。