HSC Physicsで s = ut + 1/2 at² を使う方法

ある車が東向きに \(12\text{ m s}^{-1}\) で走っています。運転手は \(3.0\text{ s}\) にわたって一定の割合でブレーキをかけます。初速度、加速度、時間は分かっていますが、車がどれだけ移動するかは分かっていません。

\(12 \times 3 = 36\text{ m}\) と計算したくなるかもしれません。しかし、それでは車が3秒間ずっと \(12\text{ m s}^{-1}\) で走り続けると仮定していることになります。実際にはそうではありません。車は減速しています。

式

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

は、加速度が一定である限り、まさにこの問題を解決します。

HSCの問題で難しいのは、通常、この式に数値を代入することではありません。そもそもその式を使える状況なのかを判断し、\(u\)、\(a\)、\(s\) の符号を正しく決めることです。

01この式はどのような問題を解くのか？

ある物体が速度 \(u\) で運動を始め、その後、一定の加速度 \(a\) で加速するとします。

この運動は、2つの部分に分けてイメージできます。

まず、物体が時間 \(t\) の間ずっと初速度のまま動き続けたと考えてみましょう。その場合、変位は

\[
ut.
\]

となります。

しかし、加速度があると、物体が動いている間に速度が変化します。この変化によって追加の変位が生じます。また、加速度が初めの運動と反対向きの場合には、変位がその分だけ小さくなります。

この加速度による寄与は

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

です。

したがって、全変位は

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

となります。

ここで、

• \(s\) は変位で、単位はメートル（\(\text{m}\)）
• \(u\) は初速度で、単位はメートル毎秒（\(\text{m s}^{-1}\)）
• \(a\) は一定の加速度で、単位はメートル毎秒毎秒（\(\text{m s}^{-2}\)）
• \(t\) は経過時間で、単位は秒（\(\text{s}\)）

です。

\(s\) は変位であって、移動距離ではないことに注意してください。この違いは、物体が向きを変えるときに重要になります。この区別がまだ曖昧なら、先に HSC Physicsにおける距離と変位 を復習してから先へ進みましょう。

02なぜ \(\frac{1}{2}\) があるのか？

\(\frac{1}{2}\) という係数は、ただ暗記しなければならない数字のように見えるかもしれません。しかし、これは適当に決められたものではありません。

ある物体が静止状態から出発し、\(2\text{ m s}^{-2}\) の一定加速度で \(4\text{ s}\) 間加速するとします。

速度は次のように増加します。

• \(0\text{ s}\) のとき：\(0\text{ m s}^{-1}\)
• \(1\text{ s}\) のとき：\(2\text{ m s}^{-1}\)
• \(2\text{ s}\) のとき：\(4\text{ m s}^{-1}\)
• \(3\text{ s}\) のとき：\(6\text{ m s}^{-1}\)
• \(4\text{ s}\) のとき：\(8\text{ m s}^{-1}\)

変位を予想してみてください。\(8 \times 4 = 32\text{ m}\) でしょうか？

いいえ。物体が \(8\text{ m s}^{-1}\) に達するのは最後だけです。4秒間の大部分では、それより遅い速度で動いています。

速度は \(0\) から \(8\text{ m s}^{-1}\) まで一様に増加するため、平均速度は

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

です。

したがって、変位は

\[
s = v_{\text{av}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

となります。

\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\) を使っても同じ結果が得られます。

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

\(\frac{1}{2}\) が現れるのは、一定加速度のもとでは、速度が最終値へ瞬間的に跳び上がるのではなく、一定の割合で変化するからです。

これを理解する別の方法は、速度-時間グラフを見ることです。\(ut\) の項は初速度によってできる長方形の面積で、\(\frac{1}{2}at^2\) の項は速度の変化によってできる三角形の面積です。

この図式は便利ですが、限界があります。きれいな三角形になるのは、加速度が一定の場合だけです。加速度が時間とともに変化する場合、速度-時間グラフは一般に直線にはならず、この式を区間全体にそのまま使うことはできません。

03生徒が忘れやすい条件：加速度は一定でなければならない

この式は、等加速度運動の式の1つです。

つまり、解析している時間区間全体で \(a\) が同じ値に保たれていなければなりません。

たとえば、問題文でそのように扱うよう指定されていれば、次のような状況は一定加速度として妥当にモデル化できます。

• 空気抵抗を無視した、地表付近での物体の自由落下
• 直線道路上を一様に加速する車
• 一定の割合でブレーキをかける列車
• 軌道上で一定加速度を受ける台車

一方、ある車が最初の2秒間は \(2\text{ m s}^{-2}\) で加速し、その後の2秒間は \(5\text{ m s}^{-2}\) で加速するとします。

何か都合のよい単一の \(a\) の値を使って、

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

に \(t = 4\text{ s}\) を代入してよいでしょうか？

その値が4秒間全体を通して本当に一定の加速度を表しているのでない限り、使えません。この例では、その条件を満たしていません。

代わりに、運動を区間に分けます。最初の一定加速度区間での変位を求め、新しい速度を求めてから、2つ目の区間を解析します。

加速度-時間グラフ を使うと、加速度が一定である場合と、運動を複数の区間に分ける必要がある場合を見分けやすくなります。

04符号の決め方：まず正の向きを決める

ここで、本来は正しいはずの解答が崩れてしまうことがよくあります。

速度と加速度はベクトルです。一次元運動では、それらの符号が向きを表します。

数値を代入する前に、まず正の向きを決めてください。

水平方向の運動では、たとえば

\[
\text{東} = +
\]

と決めることができます。その場合、自動的に

\[
\text{西} = -.
\]

となります。

鉛直方向の運動では、たとえば

\[
\text{上} = +
\]

と決めることができます。その場合、

\[
\text{下} = -.
\]

となります。

逆の約束を選んでも、正しい物理的結果を得ることはできます。重要なのは、一貫していることです。

正の向きを選ぶことは、廊下のどちら側から部屋番号を正の値にするか決めるようなものだと考えてください。物理学にとって、どちら側を選ぶかは問題ではありません。廊下の途中で考えを変えないことが重要です。

符号は「良い」「悪い」「速くなる」「遅くなる」を意味しない

負の加速度だからといって、物体が必ず減速しているとは限りません。

負の加速度とは、加速度が負の向きを向いているという意味です。

東を正とします。

車が東向きに走っているなら、\(u > 0\) です。

加速度が西向きなら、\(a < 0\) です。加速度は速度と反対向きなので、車は減速します。

しかし、車が西向きに走っている場合を考えてみましょう。このとき \(u < 0\) です。加速度も西向きなら \(a < 0\) となり、車は速くなります。

したがって、役立つルールは次のとおりです。

符号がまず表すのは向きです。速さが増えるか減るかは、速度と加速度の向きを比較することで分かります。

05確実に符号を決める方法

式を使う前に、正の向きを書き出してください。

次に、すべてのベクトル量をその約束に従って表します。

あるボールを \(15\text{ m s}^{-1}\) で上向きに投げ、上向きを正とするとします。

すると、

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

であり、重力加速度は下向きなので、

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

となります。

計算された変位が \(s = +6.0\text{ m}\) なら、ボールは出発位置より \(6.0\text{ m}\) 上で運動を終えています。

\(s = -6.0\text{ m}\) なら、出発位置より \(6.0\text{ m}\) 下で運動を終えています。

物体が「減速している」というだけの理由で、加速度に負の符号を付けてはいけません。符号は向きに基づいて付けてください。

08なぜ \(t^2\) が重要なのか

生徒はときどき、「初めの運動＋加速度による運動」という構造は覚えていても、時間を2乗することを忘れます。

単位を確認してみましょう。

第1項の単位は

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

第2項の単位は

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

です。

したがって、どちらの項も変位を表しています。

もし誤って \(\frac{1}{2}at\) を使った場合、その単位は

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

となり、これは変位ではなく速度です。

単位の確認ですべての物理のミスを見つけられるわけではありませんが、多くの代数的なミスを手軽に見つけることができます。

10最も起こりやすい誤解：負の変位は後ろ向きに動いていることを意味する

必ずしもそうではありません。

東を正とします。ある物体について

\[
s = -5\text{ m},
\]

であるなら、そこから分かるのは、最終位置が出発位置より \(5\text{ m}\) 西にあるということだけです。

その物体は現在、西向きに動いているかもしれません。

一方で、いったん西へ移動した後に向きを変え、現在は東向きに動いているものの、まだ出発位置より \(5\text{ m}\) 西にいる可能性もあります。

変位は位置の変化を表します。速度は、その瞬間に位置がどのくらいの速さで、どの向きに変化しているかを表します。

これらは関連する考え方ですが、同じものではありません。

11HSC問題のための簡潔な判断ルール

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

を使う前に、4つの点を確認してください。

1. 解析している区間で、運動は一次元か？
   1本の軸を選び、その正の向きを定義します。

2. 加速度は一定か？
   一定でない場合、この式を加速度が変化する区間全体に適用することはできません。

3. \(u\)、\(a\)、\(t\) が分かっているか、または求められるか？
   この式は、終速度が含まれていないため特に便利です。

4. 向きに基づいて符号を付けたか？
   代入した後ではなく、代入する前に行ってください。

鉛直運動を計算するときには、計算を始める前に

\[
\text{上向きを正}
\]

のような一行を書く習慣を付けるとよいでしょう。数秒しかかからず、符号ミスのかなりの割合を防ぐことができます。

12問題と解答

問題1

あるスケートボーダーが北向きに \(3.0\text{ m s}^{-1}\) で進み、北向きに \(0.80\text{ m s}^{-2}\) の一定加速度で \(5.0\text{ s}\) 間加速します。この区間でのスケートボーダーの変位を求めてください。

解答1

スケートボーダーの変位は \(\boxed{25\text{ m 北}}\) です。

北を正とします。すると、

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

です。

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

を使うと、

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

となります。

結果が正なので、変位は北向きです。\(u\) と \(a\) はどちらも、選んだ正の向きを向いているため正です。

問題2

あるエレベーターが上向きに \(2.4\text{ m s}^{-1}\) で動いています。その後、下向きに \(0.60\text{ m s}^{-2}\) の一定加速度で \(3.0\text{ s}\) 間加速します。

この \(3.0\text{ s}\) の区間での変位を求めてください。

解答2

エレベーターの変位は \(\boxed{+4.5\text{ m}}\) なので、最終的に初めの位置より \(4.5\text{ m}\) 上にあります。

上向きを正とします。すると、

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

です。

したがって、

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

加速度が負なのは、それが下向きだからであり、単にエレベーターが減速しているからではありません。

この3秒間では、上向きの速度と下向きの加速度が反対向きなので、エレベーターの速さは減少します。

問題3

小さなボールを地面の高さから鉛直上向きに \(14.0\text{ m s}^{-1}\) で投げ上げます。空気抵抗を無視し、\(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\) とします。

ある生徒は、\(3.00\text{ s}\) 後の変位を

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

と計算し、\(86.1\text{ m}\) を得ました。

誤りを指摘し、正しい変位を計算し、その結果の符号が何を意味するか説明してください。

解答3

この生徒の誤りは、重力加速度の符号を間違えていることです。正しい変位は \(\boxed{-2.1\text{ m}}\) であり、これは、運動が障害物に妨げられずそのまま続くと仮定した場合、\(3.00\text{ s}\) 後にボールが投げた高さより \(2.1\text{ m}\) 下にあることを意味します。

上向きを正とすると、

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

ですが、重力は下向きなので、

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

です。

したがって、

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

この計算には、もう1つ重要な物理的仮定が隠れています。問題では、ボールは地面の高さから投げられたとされています。実際のボールなら、投げた地点の下に穴や崖がない限り、地面より \(2.1\text{ m}\) 下の位置に到達する前に地面に衝突します。

したがって、この式は数学的な等加速度運動の軌道を正しく記述しますが、実際の物理的状況は、ボールが地面に接触した時点で終了する可能性があります。方程式が障害物の存在を自動的に考慮してくれるわけではありません。

問題4

ある試験車両の初速度は \(+6.0\text{ m s}^{-1}\) で、東を正とします。

最初の \(2.0\text{ s}\) では、一定加速度 \(-2.0\text{ m s}^{-2}\) です。次の \(3.0\text{ s}\) では、加速度は一定で \(+1.0\text{ m s}^{-2}\) です。

ある生徒は、

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

を \(5.0\text{ s}\) 全体に1回だけ使い、\(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\)、加速度には \(-2.0\) と \(+1.0\) の平均を使うことを提案しました。

この方法が正しくない理由を説明し、その後、車両の全変位を求めてください。

解答4

1つの式を区間全体に使う方法は正しくありません。なぜなら、\(5.0\text{ s}\) 全体を通して加速度が一定ではないからです。正しい全変位は \(\boxed{19.5\text{ m 東}}\) です。

運動は、加速度が一定である2つの区間に分ける必要があります。

最初の区間では、

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

です。

変位は

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

となります。

また、この区間の最後の速度も必要です。これは2つ目の区間の初速度になるからです。

\[
v = u + at,
\]

を使うと、

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

となります。

2つ目の区間では、

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

です。

したがって、

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

全変位は

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

です。

したがって、

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m 東}}.
\]

重要なのは、2つの加速度の値を平均しても、実際の運動を再現することにはならないという点です。それぞれの加速度が作用するタイミングが重要です。最初の区間によって速度が変化し、その速度が2つ目の区間に入るときの初速度になるからです。

13この式を学ぶことで次につながること

式

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

は、単なる数値代入の公式ではありません。この式は、3つの考え方を結び付けています。物体の初めの運動、一定加速度によってその運動がどのように変化するか、そして時間の経過とともに蓄積される変位です。

符号の意味が理解できれば、他の等加速度運動の式も整理しやすくなります。同じ約束がそのまま使えます。正の向きを選び、速度と加速度を符号付きの量として扱い、計算結果が物理的に何を意味するのかを考えます。

次に役立つステップは、これらの式と運動グラフの間を行き来できるようになることです。グラフを見ると、加速度が一定なのはいつか、物体がいつ向きを変えるか、そして1つの等加速度運動の式がどこから使えなくなるかをすぐに確認できます。