운동량일까, 운동 에너지일까? 충돌 문제 풀이 가이드

\(+4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직이는 질량 \(2.0\ \mathrm{kg}\)의 수레가 정지해 있는 질량 \(1.0\ \mathrm{kg}\)의 수레와 충돌한다. 두 수레의 충돌 전 전체 운동량은 \(+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)이다. 이 정보만으로 두 수레의 충돌 후 속도를 모두 구할 수 있을까?

방정식을 선택하기 전에 세 가지 가능성을 생각해 보자. 운동량을 보존할 것인지, 운동 에너지를 보존할 것인지, 아니면 두 가지 모두를 보존할 것인지 결정해야 한다. 올바른 선택은 분석하려는 계, 충돌 중 작용하는 외력, 그리고 충돌 자체에 대해 주어진 정보에 따라 달라진다.

핵심은 알짜 외부 충격량을 무시할 수 있다면 운동량부터 고려하는 것이다. 운동 에너지는 추가적인 조건이지, 물체들이 충돌할 때마다 자동으로 보존되는 양이 아니다.

01방정식을 선택하기 전에 계부터 정하라

*계(system)*란 운동을 분석하는 대상 물체들의 집합이다. 충돌 문제에서 어떤 물체들을 계에 포함할지 결정하면 어떤 힘이 외력으로 취급되는지도 달라진다.

선로 위에서 두 수레가 충돌하는 상황을 생각해 보자.

계에 두 수레를 모두 포함하면 두 수레가 서로에게 작용하는 힘은 내력이다. 뉴턴의 제3법칙에 따라 이 힘들은 크기가 같고 방향이 반대이다. 따라서 두 수레를 하나의 계로 보았을 때 전체 운동량을 고려하면, 두 힘에 의한 충격량은 서로 상쇄된다.

반면 계에 첫 번째 수레만 포함하면 두 번째 수레가 첫 번째 수레에 가하는 힘은 계의 외력이 된다. 충돌하는 동안 첫 번째 수레의 운동량은 변한다.

외력이 존재하면 운동량은 반드시 보존되지 않을까?

반드시 그런 것은 아니다. 충돌하는 동안 작용하는 외부 충격량을 고려해야 한다.

충격량은 일정한 시간 동안 힘이 작용한 효과를 나타낸다. 계에 작용하는 알짜 외부 충격량은 계의 전체 운동량 변화와 같다.

\[ J_{\text{ext}}=\Delta p_{\text{system}} =p_f-p_i \]

여기서 다음과 같다.

• \(J_{\text{ext}}\)는 알짜 외부 충격량이며, 뉴턴초(\(\mathrm{N\,s}\)) 단위로 측정한다.
• \(p_i\)는 충돌 전 계의 전체 운동량이다.
• \(p_f\)는 충돌 후 계의 전체 운동량이다.

알짜 외부 충격량이 0이거나 조사하려는 운동량 변화에 비해 무시할 수 있을 정도로 작다면 전체 운동량은 보존된다.

\[ p_i\approx p_f \]

외부 충격량이 무시할 수 없을 정도로 크다면 다음과 같은 일반적인 관계식을 사용한다.

\[ p_f=p_i+J_{\text{ext}} \]

이 구분은 HSC 시험 문제에서 유용하다. 두 물체가 서로에게 큰 충돌력을 가하더라도 두 물체 전체의 운동량은 보존될 수 있다. 그 힘은 두 물체로 이루어진 계 내부에서 작용하는 내력이기 때문이다. 반면 선로와의 마찰력은 외력이므로 두 수레의 전체 운동량을 변화시킬 수 있다.

중요한 것은 단순히 외력이 존재하는지 여부가 아니다. 충돌하는 동안 작용하는 알짜 외부 충격량을 무시할 수 있는지가 핵심이다.

02충돌 문제는 운동량에서 시작한다

운동량은 물체의 질량과 속도를 함께 나타내는 물리량이다.

\[ p=mv \]

여기서 \(p\)는 운동량, \(m\)은 킬로그램 단위의 질량, \(v\)는 초당 미터 단위의 속도이다. 운동량은 벡터량이므로 방향이 중요하다.

일차원에서 두 물체가 충돌할 때 운동량 보존 법칙은 다음과 같다.

\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]

여기서 다음과 같다.

• \(m_1\)과 \(m_2\)는 두 물체의 질량이다.
• \(u_1\)과 \(u_2\)는 두 물체의 충돌 전 속도이다.
• \(v_1\)과 \(v_2\)는 두 물체의 충돌 후 속도이다.

값을 대입하기 전에 양의 방향을 정하라. 오른쪽을 양의 방향으로 정했다면 왼쪽으로 움직이는 물체의 속도는 음수이다.

이 식은 선택한 계에 작용하는 알짜 외부 충격량을 무시할 수 있다면 탄성 충돌과 비탄성 충돌 모두에 적용된다.

이 점은 중요하다. 운동량 보존을 위해서는 물체들이 완벽하게 튕겨 나가거나, 원래의 속력을 유지하거나, 운동 에너지를 전부 보존할 필요가 없다. 필요한 조건은 계의 전체 운동량이 변하지 않는다는 것이다.

그러나 운동량만으로 모든 미지수를 구할 수 있는 것은 아니다. 두 물체의 충돌 후 속도가 모두 미지수라면 운동량 방정식은 두 속도 사이의 관계식 하나만 제공한다. 두 속도를 모두 구하려면 추가 조건이 필요하다.

이때 충돌 과정에서 운동 에너지가 어떻게 변하는지가 중요해진다.

03운동 에너지는 추가적인 조건이다

운동 에너지는 물체가 운동하기 때문에 가지는 에너지이다.

\[ E_k=\frac12mv^2 \]

운동량과 달리 운동 에너지는 스칼라량이다. 속도를 제곱하므로 운동 방향은 운동 에너지의 크기에 영향을 주지 않는다.

두 물체로 이루어진 계의 충돌 전 전체 운동 에너지는 다음과 같다.

\[ E_{k,i}=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2 \]

충돌 후에는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[ E_{k,f}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2 \]

이 두 값이 같은지는 충돌의 종류에 따라 달라진다.

탄성 충돌

*탄성 충돌(elastic collision)*에서는 충돌하는 물체들의 전체 운동 에너지가 보존된다.

\[ E_{k,i}=E_{k,f} \]

알짜 외부 충격량도 무시할 수 있다면 운동량 보존 법칙과 운동 에너지 보존 법칙을 모두 사용할 수 있다.

이 두 법칙은 서로 독립적인 관계식 두 개를 제공하므로, 미지의 충돌 후 속도가 두 개일 때 두 속도를 구하기에 충분할 수 있다.

비탄성 충돌

*비탄성 충돌(inelastic collision)*에서는 전체 운동 에너지가 보존되지 않는다. 운동 에너지의 일부가 변형 에너지, 소리, 열에너지 또는 내부 에너지와 같은 다른 형태로 전환된다.

이 경우에도 운동량은 보존될 수 있다.

두 물체가 충돌한 후 서로 붙어 함께 움직인다면 이를 *완전 비탄성 충돌(perfectly inelastic collision)*이라고 한다. 두 물체의 충돌 후 속도는 같다.

\[ v_1=v_2=v_f \]

공통된 속도라는 조건이 추가되므로, 운동 에너지가 보존된다고 가정하지 않고도 운동량 보존 법칙을 이용해 그 속도를 계산할 수 있다.

두 물체가 서로 붙은 후에는 일반적으로 두 물체의 운동 에너지가 감소한다. 그렇더라도 전체 계의 에너지는 보존된다.

더 까다로운 문제에서는 한 가지 추가 사항을 기억할 필요가 있다. 충돌 중 스프링이나 다른 내부 에너지 저장 장치가 에너지를 방출하면 물체들의 전체 운동 에너지가 오히려 증가할 수도 있다. 그렇다고 그 충돌이 탄성 충돌이 되는 것은 아니다. 탄성 여부는 전체 운동 에너지가 변하지 않는지에 따라 결정된다.

04실용적인 문제 해결 순서

충돌 문제에서 충돌 후 속도, 에너지 변화 또는 두 가지 모두를 구하라고 하면 다음 순서에 따라 판단하라.

방정식 선택 표

계산하기 전에 스스로 물어볼 네 가지 질문

• 내 계에는 어떤 물체들이 포함되는가?
• 충돌하는 동안 알짜 외부 충격량을 무시할 수 있는가?
• 문제에서 탄성 충돌이라고 명시했는가, 물체들이 서로 붙는다고 했는가, 아니면 다른 조건을 제시했는가?
• 정당하게 사용할 수 있는 방정식들을 세운 뒤, 모든 미지수를 구하기에 충분한 독립적인 관계식이 있는가?

운동 에너지 보존을 정당화할 수 없다면 그 법칙을 사용하지 마라. 미지수의 개수보다 독립적인 방정식의 개수가 적다면 추가적인 물리적 정보가 필요하다. 식을 아무리 변형해도 주어지지 않은 조건을 만들어 낼 수는 없다.

• 전체 운동 에너지

07문제와 풀이

문제 1

질량 \(1.5\ \mathrm{kg}\)의 수레가 오른쪽으로 \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직이다가 정지해 있는 질량 \(2.5\ \mathrm{kg}\)의 수레와 충돌한다. 두 수레는 서로 결합하여 함께 움직이며, 알짜 수평 외부 충격량은 무시할 수 있다.

두 수레의 공통된 충돌 후 속도와 전체 운동 에너지 감소량을 계산하라.

풀이 1

두 수레는 \(+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 함께 움직이며, 전체 운동 에너지는 약 \(16.9\ \mathrm J\) 감소한다.

두 수레는 서로 붙으므로 충돌 후 속도가 같다. 운동량 보존 법칙을 적용하면 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} (1.5)(6.0)+(2.5)(0)&=(1.5+2.5)v_f\\ 9.0&=4.0v_f\\ v_f&=+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

이제 충돌 전 운동 에너지를 계산한다.

\[ E_{k,i}=\frac12(1.5)(6.0)^2 =27.0\ \mathrm J \]

충돌 후 운동 에너지는 다음과 같다.

\[ E_{k,f}=\frac12(4.0)(2.25)^2 =10.125\ \mathrm J \]

따라서,

\[ \begin{aligned} E_{k,\text{decrease}} &=27.0-10.125\\ &=16.875\ \mathrm J\\ &\approx16.9\ \mathrm J \end{aligned} \]

충돌이 완전 비탄성 충돌이므로 운동 에너지가 감소한다. 운동량 계산은 타당하지만 운동 에너지가 보존된다고 가정하면 잘못된 결과를 얻게 된다.

문제 2

질량 \(0.40\ \mathrm{kg}\)인 공이 오른쪽으로 \(12\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직이다가 왼쪽으로 \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직이는 질량 \(0.60\ \mathrm{kg}\)인 공과 충돌한다. 충돌 후 첫 번째 공은 왼쪽으로 \(3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직인다. 두 공으로 이루어진 계에 작용하는 알짜 외부 충격량은 무시할 수 있다고 가정하라.

두 번째 공의 충돌 후 속도를 계산하라. 이 충돌이 탄성 충돌인지 판별하라.

풀이 2

두 번째 공은 오른쪽으로 \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직인다. 전체 운동 에너지가 \(9.0\ \mathrm J\) 감소하므로 이 충돌은 비탄성 충돌이다.

오른쪽을 양의 방향으로 정한다. 운동량 보존 법칙에 따라 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} p_i&=(0.40)(+12)+(0.60)(-2.0)\\ &=3.6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

\(v_2\)를 두 번째 공의 충돌 후 속도라고 하자. 그러면 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} 3.6&=(0.40)(-3.0)+(0.60)v_2\\ 3.6&=-1.2+0.60v_2\\ v_2&=\frac{4.8}{0.60}\\ &=+8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

이제 전체 운동 에너지를 비교한다.

충돌 전에는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} E_{k,i} &=\frac12(0.40)(12)^2 +\frac12(0.60)(2.0)^2\\ &=28.8+1.2\\ &=30.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

충돌 후에는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(0.40)(3.0)^2 +\frac12(0.60)(8.0)^2\\ &=1.8+19.2\\ &=21.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

운동 에너지 감소량은 다음과 같다.

\[ 30.0-21.0=9.0\ \mathrm J \]

전체 운동 에너지가 변하므로 이 충돌은 탄성 충돌이 아니다. 알짜 외부 충격량을 무시할 수 있기 때문에 운동량은 여전히 보존된다. 이 두 조건은 서로 별개이며, 한 조건이 충족된다고 해서 다른 조건도 자동으로 충족되는 것은 아니다.

문제 3

질량 \(1.0\ \mathrm{kg}\)인 퍽이 오른쪽으로 \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직이다가 정지해 있는 질량 \(2.0\ \mathrm{kg}\)인 퍽과 충돌한다. 두 퍽은 서로 붙는다.

\(0.20\ \mathrm s\) 동안 지속된 충돌에서 두 퍽으로 이루어진 계에 작용하는 평균 알짜 수평 외력은 왼쪽으로 \(5.0\ \mathrm N\)이다.

결합한 두 퍽의 충돌 후 속도를 계산하라. 전체 운동량이 보존된다고 가정한 계산에서 어떤 오류가 발생하는지 설명하라.

풀이 3

결합한 두 퍽은 오른쪽으로 \(1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직인다. 운동량이 보존된다고 가정하면 \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)라는 잘못된 결과를 얻게 된다. 외부 충격량을 무시할 수 없기 때문이다.

충돌 전 전체 운동량은 다음과 같다.

\[ p_i=(1.0)(6.0)+(2.0)(0) =6.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]

외부 충격량은 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} J_{\text{ext}} &=F_{\text{avg}}\Delta t\\ &=(-5.0)(0.20)\\ &=-1.0\ \mathrm{N\,s} \end{aligned} \]

충격량-운동량 관계식을 사용한다.

\[ \begin{aligned} p_f&=p_i+J_{\text{ext}}\\ &=6.0-1.0\\ &=5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

두 퍽의 합산 질량은 \(3.0\ \mathrm{kg}\)이므로 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m_1+m_2}\\ &=\frac{5.0}{3.0}\\ &=+1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

잘못하여 \(p_f=p_i\)라고 놓으면 다음과 같은 결과를 얻게 된다.

\[ v_f=\frac{6.0}{3.0} =2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

이 결과는 주변 환경이 가한 \(-1.0\ \mathrm{N\,s}\)의 충격량을 무시한다. 두 퍽 사이의 내력은 전체 운동량 계산에서 서로 상쇄되지만, 주변 환경이 가하는 외력은 계의 운동량을 변화시킨다.

문제 4

충돌 중 측정한 운동량이 다음과 같다고 하자.

• 물체 A의 운동량은 \(+10\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)에서 \(+2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)로 변한다.
• 물체 B의 운동량은 \(-4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)에서 \(+4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)로 변한다.

한 학생은 물체 A의 운동량이 감소했으므로 운동량이 보존되지 않았다고 주장한다. 다른 학생은 두 물체의 전체 운동량이 일정하게 유지되었으므로 운동량이 보존되었다고 주장한다.

두 물체로 이루어진 계와 물체 A만을 대상으로 각각 어느 학생이 옳은지 판별하라. 두 물체 전체에 작용하는 알짜 외부 충격량을 계산하고, 주어진 데이터만으로 충돌이 탄성 충돌이었는지 판단할 수 있는지 설명하라.

풀이 4

두 물체로 이루어진 계에 대해서는 두 번째 학생이 옳지만, 물체 A만을 대상으로 하면 운동량은 보존되지 않는다. 두 물체 전체에 작용하는 알짜 외부 충격량은 0이며, 측정값만으로 충돌이 탄성 충돌이었는지는 판단할 수 없다.

두 물체로 이루어진 계의 충돌 전 전체 운동량은 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} p_i&=+10+(-4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

충돌 후 전체 운동량은 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} p_f&=+2+(+4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

따라서,

\[ J_{\text{ext}}=p_f-p_i=0\ \mathrm{N\,s} \]

두 물체의 전체 운동량은 변하지 않는다. 물체 A의 운동량은 \(8\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)만큼 감소하고, 물체 B의 운동량은 같은 크기만큼 증가한다. 두 변화는 서로 상쇄된다.

그러나 물체 A만을 계로 보면 물체 B가 가하는 힘은 외력이다. 따라서 충돌하는 동안 물체 A의 운동량은 보존되지 않는다.

마지막으로, 운동량 측정값만으로는 충돌이 탄성 충돌인지 판단할 수 없다. 충돌 전후의 전체 운동 에너지를 비교하려면 두 물체의 질량과 속도에 관한 충분한 정보가 필요하다. 전체 운동량이 같다고 해서 전체 운동 에너지도 같다는 뜻은 아니다.

문제 5

질량 \(2.0\ \mathrm{kg}\)인 수레 A가 오른쪽으로 \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)의 속도로 움직이다가 정지해 있는 질량 \(1.0\ \mathrm{kg}\)인 수레 B와 충돌한다. 두 수레로 이루어진 계에 작용하는 알짜 수평 외부 충격량은 무시할 수 있다.

충돌 직후 측정한 값은 다음과 같다.

• 수레 A: \(+1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
• 수레 B: \(+6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

두 수레에는 접촉 중 저장된 에너지를 방출하는 미리 압축된 스프링 장치가 있다. 이 장치도 계에 포함되며 다른 모든 에너지 저장량은 변하지 않는다고 가정하라.

한 학생은 다음과 같이 주장한다. “계가 고립되어 있다면 운동량과 운동 에너지가 모두 보존되어야 하므로 측정값은 불가능하다.”

이 주장을 평가하라. 충돌 전후의 전체 운동량과 운동 에너지를 계산한 다음, 스프링에 저장된 에너지의 변화를 구하라.

풀이 5

측정값은 운동량 보존 법칙과 일치하지만 전체 운동 에너지는 \(3.0\ \mathrm J\) 증가한다. 이 충돌은 탄성 충돌이 아니다. 스프링이 저장된 에너지 \(3.0\ \mathrm J\)를 방출하고, 그 에너지가 추가적인 운동 에너지로 전환된다.

먼저 운동량 보존 여부를 확인한다.

충돌 전에는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} p_i&=(2.0)(+4.0)+(1.0)(0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

충돌 후에는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} p_f&=(2.0)(+1.0)+(1.0)(+6.0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

전체 운동량은 변하지 않는다. 스프링 장치와 관련된 힘을 포함하여 두 수레 사이에 작용하는 내력은 계 전체의 운동량을 변화시키지 않으면서 두 물체 사이의 운동량을 재분배할 수 있다.

이제 운동 에너지를 비교한다.

충돌 전에는 다음과 같다.

\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]

충돌 후에는 다음과 같다.

\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)(1.0)^2 +\frac12(1.0)(6.0)^2\\ &=1.0+18.0\\ &=19.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

운동 에너지 증가량은 다음과 같다.

\[ \Delta E_k=19.0-16.0=+3.0\ \mathrm J \]

변화하는 다른 에너지 저장 장치가 스프링뿐이므로 스프링에 저장된 에너지는 \(3.0\ \mathrm J\) 감소해야 한다. 추가된 운동 에너지는 스프링에 저장되어 있던 내부 에너지에서 나온다.

학생의 실수는 전체 에너지 보존과 운동 에너지 보존을 혼동한 것이다. 고립된 계에서는 전체 에너지가 보존되지만, 에너지는 운동 에너지, 탄성 위치 에너지, 열에너지 및 다른 형태 사이에서 전환될 수 있다.

전체 운동 에너지가 변하므로 이 충돌은 탄성 충돌이 아니다. 운동량이 보존된다고 해서 운동 에너지까지 보존되어야 하는 것은 아니다.

이것이 더 근본적인 원칙이다. 운동량 보존은 계에 작용하는 알짜 외부 충격량과 관련이 있는 반면, 운동 에너지 보존은 상호작용의 성격과 계 내부에서 일어나는 에너지 전달에 따라 결정된다.

다음으로 알아두면 유용한 개념은 충격량-운동량 관계이다. 충돌 문제에서 힘-시간 그래프가 주어지면 그래프 아래의 넓이가 충격량을 나타내며, 이를 통해 계의 전체 운동량이 얼마나 변하는지 알 수 있다. 알짜 외부 충격량을 무시할 수 없을 때는 이 방법을 사용해야 한다.