각속도, 속력, 주기 및 진동수: 연습 시험

이 자료는 등속 원운동의 각운동 및 선운동 표현 사이의 연관성을 다루는 tutorgum의 자체 연습 시험지입니다. 각속도, 속력, 주기 및 진동수에 관한 제공된 Physics 2017년판의 범위를 평가합니다. 특정 주제에 집중한 시험지이며, 전체 교육과정 모의고사가 아닙니다. 또한 NESA의 공식 시험지, 승인된 시험지, 기출 시험지 또는 예상 시험지가 아닙니다.

01시험 안내

• 권장 풀이 시간: 50분.
• 문제 읽기 시간: 5분.
• 총점: 36점.
• 사용 가능 도구: 공학용 계산기, 펜 및 연필. 필기 자료는 사용할 수 없습니다.
• 시험 조건: 이 조건은 연습 시험지에 적용되는 것이며, NESA의 공식 시험 규칙에 관한 주장이 아닙니다.

평가 범위

이 시험지는 다음 내용을 다룹니다.

• 회전수, 라디안, 진동수 및 주기 사이의 변환.
• 각변위와 경과 시간을 이용한 각속도 계산.
• 각속도와 진동수, 주기 및 선속력 사이의 관계.
• 동일한 회전체에서 반지름이 서로 다른 지점들의 비교.
• 각속도가 같은 경우와 선속력이 같은 경우의 구분.
• 등속 원운동에 관한 수치 데이터의 해석.

이 시험지에서는 구심가속도와 구심력, 돌림힘, 각가속도, 비등속 원운동 및 다른 교육과정 판본에 포함된 내용을 다루지 않습니다.

기호 및 단위

시험지 전체에서 다음 기호를 사용합니다.

• 각변위 \(\Delta\theta\)는 각위치의 변화량이며, 라디안(rad)으로 측정합니다.
• 각속도 \(\omega\)는 각변위의 변화율을 나타내며, 초당 라디안(\(\text{rad s}^{-1}\))으로 측정합니다.
• 반지름 \(r\)은 미터(m)로 측정합니다.
• 선속력 \(v\)는 초당 미터(\(\text{m s}^{-1}\))로 측정합니다.
• 경과 시간 \(t\)는 초(s)로 측정합니다.
• 주기 \(T\)는 한 번의 완전한 회전에 걸리는 시간이며, 초(s)로 측정합니다.
• 진동수 \(f\)는 초당 회전수이며, 헤르츠(Hz)로 측정합니다.

회전이 등속이라고 명시된 경우에는 등속 원운동을 가정합니다. \(\pi\) 또는 계산기에 표시되는 값을 사용하고, 단위를 포함하며, 제공된 데이터가 더 적은 유효숫자만 뒷받침하는 경우가 아니라면 답을 유효숫자 세 자리로 나타내세요.

모든 문제는 풀이 예시보다 먼저 제시되어 있습니다. 채점 기준을 확인하기 전에 시간을 정해 두고 시험지를 풀어 보세요.

02문제

문제 1 (4점)

턴테이블이 10.0 s 동안 15회전합니다.

(a) 진동수와 주기를 구하세요. (2점)

(b) 10.0 s 동안 턴테이블의 각변위를 라디안 단위로 구하세요. (1점)

(c) 이 시간 구간 동안의 평균 각속도를 계산하세요. (1점)

문제 2 (5점)

구동축이 분당 120.0회전(rpm)의 일정한 회전율로 회전합니다.

(a) 이 회전율을 헤르츠 단위의 진동수로 변환하세요. (1점)

(b) 축의 각속도를 초당 라디안 단위로 계산하세요. (2점)

(c) 3.50 s 동안 축의 각변위를 계산하세요. (2점)

문제 3 (5점)

회전 플랫폼 위의 표식이 반지름 0.400 m인 경로를 따라 등속 원운동을 합니다. 이 표식은 1.60 s마다 한 번씩 회전합니다.

(a) 표식의 선속력을 계산하세요. (2점)

(b) 표식의 각속도를 계산하세요. (1점)

(c) 12.0 s 동안 표식이 이동한 거리를 계산하세요. (2점)

문제 4 (5점)

강체 턴테이블이 일정한 각속도 \(0.80\ \text{rad s}^{-1}\)로 회전합니다.

점 A는 중심에서 0.10 m 떨어져 있고, 점 B는 중심에서 0.30 m 떨어져 있습니다.

(a) 점 A와 점 B의 각속도를 비교하고 그 이유를 설명하세요. (2점)

(b) 각 점의 선속력을 계산하세요. (2점)

(c) 점 B의 선속력을 점 A의 선속력으로 나눈 비율을 구하세요. (1점)

문제 5 (6점)

두 물체 X와 Y가 등속 원운동을 합니다. 물체 X는 반지름 0.200 m인 원을 따라 움직이며, 0.500 s마다 한 번씩 회전합니다. 물체 Y는 반지름 0.350 m인 원을 따라 움직입니다.

두 물체의 선속력은 같습니다.

(a) 물체 X의 선속력을 계산하세요. (2점)

(b) 물체 Y의 주기를 구하세요. (2점)

(c) 어느 물체의 각속도가 더 큰가요? 선속력, 반지름 및 각속도 사이의 관계를 이용하여 답을 정당화하세요. (2점)

문제 6 (5점)

회전 센서가 여러 시간에서 출발 위치로부터의 각변위를 기록합니다. 측정하는 동안 회전은 계속 등속으로 유지됩니다.

(a) 0.00 s부터 1.50 s까지의 측정값을 이용하여 각속도를 계산하세요. (2점)

(b) 6.0 s 후의 각변위를 계산하세요. 이 변위를 회전수로 나타내세요. (2점)

(c) 센서 위의 한 점이 회전축에서 0.250 m 떨어져 있습니다. 이 점의 선속력을 계산하세요. (1점)

문제 7 (6점)

회전 검사 플랫폼이 45.0 rpm으로 작동합니다. 센서 A는 중심에서 0.120 m 떨어진 곳에 설치되어 있고, 센서 B는 중심에서 0.280 m 떨어진 곳에 설치되어 있습니다.

(a) 플랫폼의 회전율을 초당 라디안 단위의 각속도로 변환하세요. (2점)

(b) 각 센서의 선속력을 계산하세요. (2점)

(c) 센서 B를 반지름 0.200 m인 위치로 이동합니다. 센서의 선속력이 원래 값과 같게 유지되도록 플랫폼의 회전율을 조정합니다. 새로운 각속도를 초당 라디안 단위로 계산하고, 새로운 회전율을 rpm으로 나타내세요. (2점)

03풀이 예시 및 채점 기준

아래에 제시된 풀이 과정을 보여 준 경우 해당 점수를 부여하세요. 수학적으로 동등한 풀이 방법과 적절한 반올림을 인정합니다. 앞선 수치 결과에 오류가 있더라도 학생이 그 값을 이후 계산에 올바르게 사용했다면 후속 계산 점수를 부여해야 합니다.

풀이 1

(a) 진동수와 주기를 구하세요. (2점)

진동수는 1초 동안 완료하는 회전수입니다. 턴테이블은 10.0 s 동안 15회전하므로,

\[ f=\frac{15}{10.0}=1.50\ \text{Hz} \]

주기는 한 번의 회전에 걸리는 시간입니다. 주기는 진동수의 역수이므로,

\[ T=\frac{1}{f}=\frac{1}{1.50}=0.667\ \text{s} \]

정답: \(f=1.50\ \text{Hz}\), \(T=0.667\ \text{s}\).

채점 기준:

• 올바른 진동수에 1점.
• 올바른 주기에 1점.

(b) 각변위를 구하세요. (1점)

한 번의 완전한 회전은 \(2\pi\) 라디안에 해당합니다. 따라서 15회전은 다음과 같습니다.

\[ \Delta\theta=15(2\pi)=30\pi \]

\[ \Delta\theta=94.2\ \text{rad} \]

채점 기준:

• 라디안 단위로 올바른 각변위를 구하면 1점.

(c) 평균 각속도를 계산하세요. (1점)

각속도는 각변위를 경과 시간으로 나눈 값입니다.

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}\\ &=\frac{30\pi}{10.0}\\ &=9.42\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

채점 기준:

• 단위를 포함하여 올바른 각속도를 구하면 1점.

총점: 4점.

풀이 2

(a) rpm을 진동수로 변환하세요. (1점)

1분은 60초입니다. 분당 회전수를 60으로 나누면 초당 회전수를 구할 수 있습니다.

\[ f=\frac{120.0}{60}=2.00\ \text{Hz} \]

채점 기준:

• 헤르츠 단위로 올바른 진동수를 구하면 1점.

(b) 각속도를 계산하세요. (2점)

한 번의 회전은 \(2\pi\) 라디안의 각변위에 해당합니다. 축이 초당 \(f\)회전하므로 각속도는 다음과 같습니다.

\[ \omega=2\pi f \]

진동수를 대입하면,

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi(2.00)\\ &=4\pi\\ &=12.6\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

채점 기준:

• 각속도와 진동수 사이의 올바른 관계식을 제시하면 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 수치 답을 구하면 1점.

(c) 3.50 s 동안의 각변위를 계산하세요. (2점)

등속 회전에서는 각변위가 각속도와 경과 시간의 곱과 같습니다.

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(4\pi)(3.50)\\ &=14\pi\\ &=44.0\ \text{rad} \end{aligned} \]

채점 기준:

• 올바른 각변위 관계식을 사용하면 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 수치 답을 구하면 1점.

총점: 5점.

풀이 3

(a) 선속력을 계산하세요. (2점)

표식은 한 주기 \(T\) 동안 원의 둘레인 \(2\pi r\)만큼 이동합니다. 선속력은 이동 거리를 시간으로 나눈 값이므로,

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

\(r=0.400\ \text{m}\), \(T=1.60\ \text{s}\)를 대입하면,

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi(0.400)}{1.60}\\ &=1.57\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

정답: \(1.57\ \text{m s}^{-1}\).

채점 기준:

• 올바른 공식을 제시하면 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 수치 답을 구하면 1점.

(b) 각속도를 계산하세요. (1점)

한 번의 회전은 \(2\pi\) 라디안에 해당하므로 각속도는 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{2\pi}{T}\\ &=\frac{2\pi}{1.60}\\ &=3.93\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

채점 기준:

• 단위를 포함하여 올바른 각속도를 구하면 1점.

(c) 12.0 s 동안 이동한 거리를 계산하세요. (2점)

표식은 일정한 선속력으로 이동합니다. 따라서 이동 거리는 선속력과 경과 시간의 곱입니다.

\[ \begin{aligned} d&=vt\\ &=(1.5708)(12.0)\\ &=18.8\ \text{m} \end{aligned} \]

정답: \(18.8\ \text{m}\).

채점 기준:

• \(d=vt\)를 사용하면 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 이동 거리를 구하면 1점.

총점: 5점.

풀이 4

(a) 각속도를 비교하세요. (2점)

두 점은 모두 동일한 강체 턴테이블에 속해 있습니다. 어떤 시간 구간에서든 턴테이블의 모든 지점은 동일한 각변위만큼 회전합니다.

따라서,

\[ \omega_A=\omega_B=0.80\ \text{rad s}^{-1} \]

두 점은 서로 다른 반지름에 위치하지만 각속도는 같습니다.

채점 기준:

• 두 점의 각속도가 같다고 명시하면 1점.
• 두 점이 같은 시간 동안 동일한 각변위를 겪는다고 설명하면 1점.

(b) 선속력을 계산하세요. (2점)

각속도와 선속력 사이의 관계는 다음과 같습니다.

\[ v=\omega r \]

점 A의 경우,

\[ \begin{aligned} v_A&=(0.80)(0.10)\\ &=0.080\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

점 B의 경우,

\[ \begin{aligned} v_B&=(0.80)(0.30)\\ &=0.24\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

점 B는 회전축에서 더 멀리 떨어져 있으므로 더 빠르게 이동합니다. 같은 시간 동안 동일한 각변위를 완료하면서 더 긴 원호를 이동하기 때문입니다.

채점 기준:

• 점 A의 올바른 선속력을 구하면 1점.
• 점 B의 올바른 선속력을 구하면 1점.

(c) 선속력의 비율을 구하세요. (1점)

\[ \frac{v_B}{v_A}=\frac{0.24}{0.080}=3.0 \]

따라서,

\[ v_B:v_A=3:1 \]

채점 기준:

• 올바른 비율을 구하면 1점.

총점: 5점.

풀이 5

(a) 물체 X의 선속력을 계산하세요. (2점)

물체 X의 반지름은 \(r_X=0.200\ \text{m}\)이고 주기는 \(T_X=0.500\ \text{s}\)입니다.

한 번의 회전 동안 이동하는 원둘레를 이용하면,

\[ v_X=\frac{2\pi r_X}{T_X} \]

값을 대입하면,

\[ \begin{aligned} v_X&=\frac{2\pi(0.200)}{0.500}\\ &=2.51\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

채점 기준:

• 올바른 공식과 값의 대입에 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 선속력을 구하면 1점.

(b) 물체 Y의 주기를 구하세요. (2점)

두 물체의 선속력은 같으므로,

\[ v_Y=v_X=2.513\ \text{m s}^{-1} \]

물체 Y의 선속력은 원둘레를 주기로 나눈 값입니다.

\[ v_Y=\frac{2\pi r_Y}{T_Y} \]

주기 \(T_Y\)를 구하도록 식을 정리하면,

\[ T_Y=\frac{2\pi r_Y}{v_Y} \]

값을 대입하면,

\[ \begin{aligned} T_Y&=\frac{2\pi(0.350)}{2.513}\\ &=0.875\ \text{s} \end{aligned} \]

정답: \(T_Y=0.875\ \text{s}\).

채점 기준:

• 올바른 식의 변형과 값의 대입에 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 주기를 구하면 1점.

(c) 각속도를 비교하세요. (2점)

선속력과 각속도 사이의 관계는 다음과 같습니다.

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

물체 X의 경우,

\[ \omega_X=\frac{2.513}{0.200}=12.6\ \text{rad s}^{-1} \]

물체 Y의 경우,

\[ \omega_Y=\frac{2.513}{0.350}=7.18\ \text{rad s}^{-1} \]

물체 X의 각속도가 더 큽니다. 두 물체의 선속력은 같지만 X의 반지름이 더 작습니다. 따라서 동일한 선속력을 내기 위해 X는 더 큰 각속도를 가져야 합니다.

채점 기준:

• 선속력, 반지름 및 각속도 사이의 관계를 올바르게 적용하면 1점.
• 각속도가 더 큰 물체로 X를 올바르게 선택하면 1점.

총점: 6점.

풀이 6

(a) 측정값으로 각속도를 계산하세요. (2점)

각속도는 각변위의 변화량을 경과 시간으로 나눈 값입니다.

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

0.00 s와 1.50 s에서의 측정값을 사용하면,

\[ \begin{aligned} \omega&=\frac{3.60-0.00}{1.50-0.00}\\ &=2.40\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

정답: \(2.40\ \text{rad s}^{-1}\).

채점 기준:

• 올바른 관계식을 사용하고 데이터를 적용하면 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 각속도를 구하면 1점.

(b) 각변위를 계산하고 회전수로 변환하세요. (2점)

회전은 등속이므로 6.0 s 후의 각변위는 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} \Delta\theta&=\omega t\\ &=(2.40)(6.0)\\ &=14.4\ \text{rad} \end{aligned} \]

한 번의 회전은 \(2\pi\) 라디안입니다. 따라서 회전수는 다음과 같습니다.

\[ \begin{aligned} N&=\frac{\Delta\theta}{2\pi}\\ &=\frac{14.4}{2\pi}\\ &=2.29\ \text{revolutions} \end{aligned} \]

여기서 \(N\)은 회전수를 나타냅니다.

정답: \(14.4\ \text{rad}\), 즉 \(2.29\)회전.

채점 기준:

• 올바른 각변위를 구하면 1점.
• 회전수로 올바르게 변환하면 1점.

(c) 선속력을 계산하세요. (1점)

이 점은 회전축에서 \(0.250\ \text{m}\) 떨어져 있습니다. \(v=\omega r\)을 사용하면,

\[ \begin{aligned} v&=(2.40)(0.250)\\ &=0.600\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

채점 기준:

• 단위를 포함하여 올바른 선속력을 구하면 1점.

총점: 5점.

• 기울기 = ω = 2.40 rad s⁻¹

풀이 7

(a) 회전율을 각속도로 변환하세요. (2점)

플랫폼은 분당 \(45.0\)회전합니다. 이를 초당 회전수로 변환하면,

\[ f=\frac{45.0}{60}=0.750\ \text{Hz} \]

한 번의 회전은 \(2\pi\) 라디안에 해당하므로,

\[ \begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ &=2\pi(0.750)\\ &=4.71\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

정답: \(4.71\ \text{rad s}^{-1}\).

채점 기준:

• rpm을 진동수로 올바르게 변환하면 1점.
• 단위를 포함하여 올바른 각속도를 구하면 1점.

(b) 두 센서의 선속력을 계산하세요. (2점)

회전체 위 한 점의 선속력은 다음과 같습니다.

\[ v=\omega r \]

센서 A의 경우,

\[ \begin{aligned} v_A&=(4.712)(0.120)\\ &=0.565\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

센서 B의 경우,

\[ \begin{aligned} v_B&=(4.712)(0.280)\\ &=1.32\ \text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

센서 B는 회전축에서 더 멀리 떨어져 있으므로 선속력이 더 큽니다. 두 센서는 동일한 강체 플랫폼에 장착되어 있는 동안 같은 각속도를 가집니다.

채점 기준:

• 센서 A의 올바른 선속력을 구하면 1점.
• 센서 B의 올바른 선속력을 구하면 1점.

(c) 새로운 각속도와 회전율을 계산하세요. (2점)

센서 B의 선속력은 원래 값인 약 \(1.319\ \text{m s}^{-1}\)로 유지되어야 합니다. 새로운 반지름은 \(0.200\ \text{m}\)입니다.

\(v=\omega r\)을 정리하면,

\[ \begin{aligned} \omega_{\text{new}}&=\frac{v}{r_{\text{new}}}\\ &=\frac{1.319}{0.200}\\ &=6.60\ \text{rad s}^{-1} \end{aligned} \]

새로운 각속도를 분당 회전수로 변환하려면 먼저 초당 라디안을 초당 회전수로 변환한 다음 60을 곱합니다.

\[ \begin{aligned} f_{\text{new}}&=\frac{\omega_{\text{new}}}{2\pi}\\ &=\frac{6.596}{2\pi}\\ &=1.05\ \text{Hz} \end{aligned} \]

\[ \text{회전율}=1.05(60)=63.0\ \text{rpm} \]

정답: \(\omega_{\text{new}}=6.60\ \text{rad s}^{-1}\), 회전율은 \(63.0\ \text{rpm}\)입니다.

센서가 회전축에 더 가까워졌기 때문에 새로운 회전율은 더 높습니다. 반지름이 작아진 상태에서 동일한 선속력을 유지하려면 플랫폼이 더 빠르게 회전해야 합니다.

채점 기준:

• 변하지 않은 선속력을 이용하여 새로운 각속도를 올바르게 계산하면 1점.
• 각속도를 rpm으로 올바르게 변환하면 1점.

총점: 6점.

최종 배점 확인

이 시험지 전반을 관통하는 핵심 관계는 각속도가 각위치의 변화 속도를 나타내고, 선속력은 원형 경로를 따라 이동하는 거리의 변화 속도를 나타낸다는 것입니다. 등속 원운동에서는 두 물리량이 다음과 같이 연결됩니다.

\[ v=\omega r=\frac{2\pi r}{T} \]

동일한 강체 회전체 위의 점들은 각속도가 같지만, 선속력은 회전축으로부터의 거리에 따라 달라집니다. 반대로 두 물체의 선속력이 같다면, 반지름이 더 작은 물체의 각속도가 더 큽니다.