동위원소 조성으로부터 상대 원자 질량 구하기

자연에 존재하는 염소 원자가 항상 같은 질량을 갖는 것은 아니다. 어떤 염소 원자는 중성자 18개를 포함하고, 다른 염소 원자는 20개를 포함한다. 그런데 주기율표에는 염소의 상대 원자 질량이 약 35.45로 표시되어 있다.

그렇다면 질량이 35.45인 염소 원자는 무엇일까? 그런 원자는 존재하지 않는다.

이 수치는 평균이지만, 모든 값이 똑같이 반영되는 일반적인 평균은 아니다. 더 흔한 동위원소는 드문 동위원소보다 평균에 더 크게 기여해야 한다. 핵심은 동위원소의 질량과 자연 존재비를 이용해 이러한 가중 상대 원자 질량을 계산하는 방법을 익히는 것이다.

더 읽기 전에 다음을 예측해 보자. 어떤 원소에 질량이 20과 22인 두 동위원소가 있다. 그 원자의 90%가 더 가벼운 동위원소라면 상대 원자 질량은 20, 21, 22 중 어느 값에 더 가까울까?

20에 더 가까워야 한다. 가중 평균은 더 자주 나타나는 값 쪽으로 끌려간다.

01공식보다 원자에서 시작하기

어떤 원소의 원자 100개를 모았다고 상상해 보자.

다음과 같다고 하자.

• 원자 80개의 동위원소 질량은 10이다.
• 원자 20개의 동위원소 질량은 11이다.

100개 원자 전체의 기여를 더하면 평균 질량을 구할 수 있다.

\[
\frac{(80)(10)+(20)(11)}{100}
=
\frac{1020}{100}
=
10.2
\]

따라서 상대 원자 질량은 10.2이다.

무슨 일이 일어났는지 주목하자. 단순히 다음과 같이 계산하지 않았다.

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

이 계산은 두 동위원소가 똑같이 흔하다고 잘못 가정한 것이다.

핵심 개념은 다음과 같다.

동위원소가 상대 원자 질량에 기여하는 정도는 그 질량과 얼마나 흔한지에 모두 좌우된다.

동위원소가 애초에 무엇 때문에 서로 달라지는지 다시 확인하고 싶다면 HSC 화학을 위한 안정 동위원소와 불안정 동위원소 설명을 참고하자.

02상대 원자 질량이 실제로 의미하는 것

원소의 상대 원자 질량, \(A_r\)은 자연적으로 존재하는 그 원소 원자들의 질량을 탄소-12 원자 질량의 12분의 1과 비교하여 구한 가중 평균값이다.

이 정의에는 두 가지 중요한 개념이 들어 있다.

첫째, 서로 다른 동위원소의 자연 존재비가 다를 수 있으므로 가중 평균이다.

둘째, 상대적인 값이다. 상대 원자 질량은 비율이므로 단위가 없다.

대부분의 HSC 계산에서 중요한 식은 다음과 같다.

\[
A_r=\sum (\text{동위원소 질량})(\text{분율 존재비})
\]

여기서:

• \(A_r\)은 상대 원자 질량이다.
• 동위원소 질량은 특정 동위원소의 상대적인 질량이다.
• 분율 존재비는 전체 원자 중 해당 동위원소가 차지하는 비율을 소수로 나타낸 것이다.

예를 들어 72%는 다음과 같이 바뀐다.

\[
72\% = 0.72
\]

존재비가 백분율로 주어졌다면 다음과 같이 계산할 수도 있다.

\[
A_r=
\frac{\sum(\text{동위원소 질량})(\text{백분율 존재비})}{100}
\]

두 방법은 서로 동등하다.

03답이 보통 정수가 아닌 이유

학생들은 때때로 원자가 양성자와 중성자를 정수 개수로 포함하는데도 주기율표에 24.305나 63.546 같은 원자 질량이 나타나는 이유를 궁금해한다.

그 이유는 두 가지다.

하나는 서로 다른 동위원소들을 가중 평균하기 때문이다.

다른 하나는 실제 동위원소 질량 자체도 일반적으로 정확한 정수가 아니기 때문이다. 예를 들어 마그네슘-24 원자의 동위원소 질량은 24에 가깝지만 정확히 24는 아니다.

많은 HSC 문제에서는 24, 25, 26과 같은 질량수가 주어지고 이를 근사적인 동위원소 질량으로 사용할 수 있다. 더 정밀한 동위원소 질량이 주어졌다면 그 값을 사용해야 한다.

어느 정도의 정밀도로 계산할지는 문제에서 결정된다.

04가중 평균을 이해하는 유용한 그림

두 사람이 시소의 양쪽 끝에 앉아 있다고 생각해 보자. 한 동위원소는 왼쪽에 있고, 다른 동위원소는 오른쪽에 있다.

상대 원자 질량은 그 둘 사이 어딘가에 위치한다.

하지만 존재비는 일종의 추가적인 영향력처럼 작용한다. 한 동위원소가 전체 원자의 95%를 차지한다면 평균은 그 동위원소의 질량 쪽으로 강하게 끌려간다.

이 비유가 완전히 정확한 것은 아니다. 실제로 힘이나 시소가 작용하는 것은 아니다. 단지 평균값이 왜 더 풍부한 동위원소의 질량에 더 가까워지는지를 이해하기 위한 그림일 뿐이다.

이를 이용하면 강력한 오류 검사를 할 수 있다.

상대 원자 질량은 가장 작은 동위원소 질량과 가장 큰 동위원소 질량 사이에 있어야 하며, 일반적으로 더 풍부한 동위원소의 질량에 더 가까워야 한다.

어떤 원소가 질량 35와 37인 동위원소만 포함한다면 38.1이라는 답은 불가능하다.

21이라는 답도 마찬가지다.

06가장 흔한 실수: 동위원소 질량을 직접 평균하기

어떤 원소가 X-10 동위원소 99%와 X-11 동위원소 1%로 이루어져 있다고 하자.

학생은 다음과 같이 계산할 수 있다.

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

왜 이 방법이 그럴듯해 보일까? 우리가 “평균”이라는 말을 들으면 흔히 “값을 모두 더한 뒤 값의 개수로 나눈다”고 생각하기 때문이다.

하지만 이 방법은 잘못된 질문에 답하고 있다. 이는 두 동위원소 질량의 평균을 구하면서 두 동위원소가 똑같이 흔하다고 취급한다.

실제 계산은 다음과 같다.

\[
A_r=(10)(0.99)+(11)(0.01)=10.01
\]

이는 물리적으로도 타당하다. 원자 100개 중 99개가 더 가벼운 동위원소라면 평균은 10에 매우 가까워야 한다.

유용한 판단 규칙은 다음과 같다.

08존재비 하나가 빠져 있을 때

모든 존재비가 명시적으로 주어질 필요는 없는 경우가 많다.

어떤 원소에 자연적으로 존재하는 동위원소가 두 개뿐이고 그중 하나의 존재비가 73%라면 다른 하나는 다음과 같아야 한다.

\[
100\%-73\%=27\%
\]

동위원소가 세 개 이상이어도 같은 원리가 적용된다. 문제에 시료에 존재하는 모든 동위원소가 포함되어 있다고 가정하면 자연 존재비의 합은 100%가 되어야 한다.

이 가정에는 주의해야 한다. 문제에서 나열된 세 동위원소가 자연적으로 존재하는 유일한 동위원소라고 명시했다면 100%에서 빼는 방법을 안전하게 사용할 수 있다. 목록이 불완전하다면 그렇게 할 수 없다.

이런 숨은 가정은 더 어려운 문제에서 중요해진다.

09상대 존재비가 항상 백분율로 주어지는 것은 아니다

질량 스펙트럼에서는 동위원소 피크가 대신 상대 세기로 표시될 수 있다.

두 동위원소 피크의 상대 세기가 3과 1이라고 하자. 이것이 3%와 1%라는 뜻은 아니다.

그들의 존재비 비율이 다음과 같다는 뜻이다.

\[
3:1
\]

전체는 네 부분이므로 분율 존재비는 다음과 같다.

\[
\frac{3}{4}=0.75
\]

그리고

\[
\frac{1}{4}=0.25
\]

동위원소 질량이 34와 36이라면 가중 상대 원자 질량은 다음과 같다.

\[
A_r=(34)(0.75)+(36)(0.25)=34.5
\]

중요한 개념은 “항상 100으로 나눈다”가 아니다. “각 존재비를 전체에서 차지하는 분율로 바꾼다”는 것이다.

10거꾸로 계산할 수도 있다

때로는 동위원소 질량과 상대 원자 질량은 알려져 있지만 존재비 하나가 빠져 있을 수 있다.

어떤 원소에 질량 79와 81인 두 동위원소가 있고 상대 원자 질량이 79.6이라고 하자.

질량 79 동위원소의 분율을 \(x\)라고 하자.

동위원소가 두 개뿐이므로 질량 81 동위원소의 분율은 \(1-x\)여야 한다.

그러면:

\[
79x+81(1-x)=79.6
\]

전개하면:

\[
79x+81-81x=79.6
\]

\[
-2x=-1.4
\]

\[
x=0.70
\]

따라서 존재비는 다음과 같다.

• 질량 79 동위원소: 70%
• 질량 81 동위원소: 30%

이 결과도 다시 물리적 검사를 통과한다. 평균 79.6은 79에 더 가까우므로 질량 79 동위원소가 더 풍부해야 한다.

11상대 원자 질량과 질량수의 차이

이 양들은 혼동하기 쉽다.

예를 들어 염소-35의 질량수는 원자핵에 총 35개의 핵자가 들어 있기 때문에 35이다.

그렇다고 해서 염소의 상대 원자 질량이 반드시 35여야 하는 것은 아니다. 염소는 자연적으로 두 가지 이상의 동위원소로 존재하므로 주기율표의 값은 가중 평균이다.

전자 배열은 별개의 개념이다. 중성자 수가 달라지면 다른 동위원소가 되고, 전자 수가 달라지면 이온이 된다. 이 차이를 다시 복습하고 싶다면 HSC 화학을 위한 전자 배치: 원자와 이온이 유용한 다음 학습 자료다.

12문제와 해설

문제 1

어떤 원소에는 질량이 50.0과 52.0인 두 동위원소가 있다. 각각의 자연 존재비는 84.0%와 16.0%이다. 상대 원자 질량을 계산하라.

해설 1

상대 원자 질량은 \(\boxed{50.32}\)이다.

상대 원자 질량은 가중 평균이므로 각 동위원소 질량에 그 분율 존재비를 곱해야 한다.

백분율을 변환하면:

\[
84.0\%=0.840,\qquad16.0\%=0.160
\]

그러면:

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(50.0)(0.840)+(52.0)(0.160)\\
&=42.0+8.32\\
&=50.32
\end{aligned}
\]

질량 50 동위원소가 훨씬 더 풍부하므로 답은 50.0에 더 가깝다.

50.0과 52.0을 단순히 평균하여 51.0을 얻는 것은 두 동위원소의 존재비가 같다고 잘못 취급하는 것이다.

문제 2

어떤 원소는 다음과 같은 조성을 가진 세 동위원소를 포함한다.

상대 원자 질량을 계산하라.

해설 2

상대 원자 질량은 약 \(\boxed{70.03}\)이다.

존재비를 분율로 바꾸면:

\[
0.600,\qquad0.250,\qquad0.150
\]

합이 1.000이므로 존재비 자료는 내부적으로 일관된다.

이제 가중 평균을 계산한다.

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(68.93)(0.600)+(70.92)(0.250)+(71.92)(0.150)\\
&=41.358+17.730+10.788\\
&=69.876
\end{aligned}
\]

따라서:

\[
\boxed{A_r=69.88}
\]

가장 가벼운 동위원소가 시료의 60%를 차지하므로 평균은 두 무거운 동위원소보다 68.93에 더 가깝다.

문제 3

어떤 원소에는 자연적으로 존재하는 동위원소가 정확히 두 개 있다. 한 동위원소의 질량은 106.9이고 존재비는 51.8%이다. 두 번째 동위원소의 질량은 108.9이다.

상대 원자 질량을 계산하라.

해설 3

상대 원자 질량은 약 \(\boxed{107.86}\)이다.

동위원소가 정확히 두 개이므로 두 존재비의 합은 100%여야 한다. 따라서 두 번째 동위원소의 존재비는:

\[
100.0\%-51.8\%=48.2\%
\]

두 존재비를 분율로 바꾸면:

\[
0.518,\qquad0.482
\]

이제 계산하면:

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(106.9)(0.518)+(108.9)(0.482)\\
&=55.3742+52.4898\\
&=107.864
\end{aligned}
\]

따라서:

\[
\boxed{A_r\approx107.86}
\]

두 동위원소의 존재비가 상당히 비슷하므로 답은 두 동위원소 질량의 거의 중간에 있다. 106.9인 동위원소가 약간 더 풍부하므로 값은 106.9 쪽에 조금 더 가깝다.

문제 4

어떤 원소의 질량 스펙트럼에서 질량 84와 86 위치에 두 동위원소 피크가 나타난다. 각각의 상대 세기는 5와 3이다.

이 원소의 상대 원자 질량을 계산하라.

해설 4

상대 원자 질량은 \(\boxed{84.75}\)이다.

5와 3이라는 수는 백분율이 아니라 비율이다. 둘을 합하면:

\[
5+3=8
\]

개의 동일한 존재비 부분을 나타낸다.

따라서 분율 존재비는:

\[
\frac{5}{8}=0.625
\]

그리고

\[
\frac{3}{8}=0.375
\]

이제 가중 평균을 계산한다.

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(84)(0.625)+(86)(0.375)\\
&=52.5+32.25\\
&=84.75
\end{aligned}
\]

흔히 할 수 있는 실수는 5와 3을 5%와 3%로 취급하는 것이다. 이 값들은 상대 세기이므로 먼저 전체에 대한 분율로 변환해야 한다.

문제 5

어떤 원소에는 동위원소 질량이 112.0과 115.0인 자연 동위원소가 정확히 두 개 있다. 측정된 상대 원자 질량은 114.1이다.

각 동위원소의 백분율 존재비를 구하라.

해설 5

질량 112.0 동위원소의 존재비는 \(\boxed{30.0\%}\)이고, 질량 115.0 동위원소의 존재비는 \(\boxed{70.0\%}\)이다.

질량 112 동위원소의 분율 존재비를 \(x\)라고 하자.

동위원소가 두 개뿐이므로 질량 115 동위원소의 분율 존재비는 \(1-x\)이다.

가중 평균 식을 사용하면:

\[
112.0x+115.0(1-x)=114.1
\]

전개하여 풀면:

\[
\begin{aligned}
112.0x+115.0-115.0x&=114.1\\
-3.0x&=-0.9\\
x&=0.300
\end{aligned}
\]

따라서:

\[
112.0:\quad0.300\times100\%=30.0\%
\]

그리고:

\[
115.0:\quad100.0\%-30.0\%=70.0\%
\]

대수 계산을 하기 전에도 이 결과가 타당하다는 것을 알 수 있다. 상대 원자 질량 114.1은 112.0보다 115.0에 훨씬 가까우므로 더 무거운 동위원소가 더 풍부해야 한다.

문제 6

한 학생이 어떤 원소에는 질량 40, 42, 44인 자연 동위원소가 세 개 있다고 들었다. 측정된 두 존재비는 질량 40이 70%, 질량 42가 20%이다.

학생은 질량 44 동위원소의 존재비를 10%로 계산한 뒤 다음을 구했다.

\[
A_r=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(44)(0.10)=40.8
\]

이후 두 번째 실험에서 원래 자료에서 빠져 있었던 질량 43의 네 번째 동위원소가 시료에 소량 포함되어 있음이 밝혀졌다.

산술 계산 자체는 맞는데도 학생의 수치 계산 결과를 더 이상 받아들일 수 없는 이유를 설명하라.

해설 6

10%라는 존재비를 구할 때 사용한 가정이 더 이상 유효하지 않으므로 이 계산은 받아들일 수 없다.

학생은 다음과 같이 추론했다.

\[
100\%-70\%-20\%=10\%
\]

이는 질량 40, 42, 44가 시료에 존재하는 모든 동위원소일 때만 옳다.

질량 43인 동위원소도 존재한다는 사실이 확인되면 남아 있는 10% 중 일부는 그 동위원소에 해당해야 한다. 따라서 질량 44에 배정할 존재비는 알 수 없게 된다.

예를 들어 질량 43의 존재비가 2%라면 질량 44의 존재비는 다음과 같이 8%에 불과하다.

\[
100\%-70\%-20\%-2\%=8\%
\]

그러면 가중 평균은:

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(43)(0.02)+(44)(0.08)\\
&=40.78
\end{aligned}
\]

정확히 수정된 값은 질량 43 동위원소의 존재비에 따라 달라진다.

중요한 함정은 산술 계산이 정확하더라도 그 수치의 바탕이 되는 가정이 잘못되었다면 과학적으로 잘못된 결론에 이를 수 있다는 것이다.

13이 계산이 다음에 이어지는 내용

가중 상대 원자 질량은 동위원소라는 미시적인 개념을 화학 전반에서 사용하는 수치와 연결해 준다.

동위원소 질량, 존재비, \(A_r\) 사이를 자신 있게 변환할 수 있게 되면 질량 스펙트럼을 해석하기가 훨씬 쉬워진다. 피크의 위치를 이용해 동위원소 질량을 알아내고, 피크의 크기를 이용해 상대 존재비를 추론하며, 이 두 정보를 함께 사용해 주기율표에 원소의 원자 질량이 왜 해당 값으로 표시되는지 설명할 수 있다.

이와 같은 원자 구조는 이어서 전자 배치, 결합, 주기적 경향과 연결된다. 원자핵은 어떤 원소인지를 결정하고, 동위원소는 중성자 수와 질량을 변화시키며, 전자는 그 원소의 화학적 성질 상당 부분을 결정한다.