가속도-시간 그래프: 넓이와 속도 변화

자동차가 4초 동안 \(3.0\ \text{m s}^{-2}\)의 가속도로 가속한 뒤, 가속도가 0으로 감소한다. 이 4초 후에 확실히 변한 것은 무엇일까? 위치, 속도, 아니면 둘 다일까?

위치는 변했지만, 가속도-시간 그래프는 그 변화를 직접 알려 주지 않는다. 이 그래프가 직접 알려 주는 것은 속도 변화량이다. 이 경우,

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

방금 무엇을 계산했는지 주목해 보자. 가속도에 시간을 곱했다. 가속도-시간 그래프에서는 이 곱셈이 넓이로 나타난다.

이것이 이 가이드의 핵심 개념이다.

가속도-시간 그래프와 시간축 사이의 부호를 고려한 넓이는 속도 변화량을 나타낸다.

여기서 부호를 고려한이라는 말이 중요하다. 시간축 위의 넓이는 양수이고, 시간축 아래의 넓이는 음수이다.

01가속도-시간 그래프가 실제로 보여 주는 것

가속도-시간 그래프의 축은 다음과 같다.

• 가로축에는 초(s)로 측정한 시간 \(t\)
• 세로축에는 초 제곱당 미터(\(\text{m s}^{-2}\))로 측정한 가속도 \(a\)

그래프가 \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\)에서 수평선이라고 하자.

더 진행하기 전에 예측해 보자. 이것은 물체가 일정한 속도로 움직인다는 뜻일까?

아니다. 이는 물체의 속도가 일정한 비율로 변하고 있다는 뜻이다.

가속도가 \(2.0\ \text{m s}^{-2}\)라는 것은 매초 속도가 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)씩 변한다는 뜻이다.

따라서 처음 속도가 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)라면,

• 1 s 후에는 \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• 2 s 후에는 \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• 3 s 후에는 \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

이것이 가속도-시간 그래프가 속도-시간 그래프와 밀접하게 연결되는 이유이다. 가속도는 속도 그래프가 어떻게 변하고 있는지를 알려 준다.

02넓이가 속도 변화량을 나타내는 이유

등가속도 운동에서 익숙한 식부터 시작해 보자.

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

여기서,

• \(a\)는 \(\text{m s}^{-2}\) 단위의 가속도
• \(\Delta v\)는 \(\text{m s}^{-1}\) 단위의 속도 변화량
• \(\Delta t\)는 초 단위의 경과 시간

식을 정리하면,

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

이제 가속도-시간 그래프에서 일정한 가속도를 생각해 보자. 그 아래 영역은 직사각형이다.

이 직사각형의

• 높이는 \(a\)
• 너비는 \(\Delta t\)

따라서 넓이는

\[
\text{넓이} = a\Delta t
\]

이다.

그런데 \(a\Delta t = \Delta v\)이다.

따라서 넓이를 이용하는 것은 단순히 편리한 그래프 요령이 아니다. 이는 가속도의 정의에서 직접 나온 결과이다.

단위를 확인해도 알 수 있다.

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

이는 속도의 단위이다.

03그래프가 알려 주는 것은 변화량이지, 자동으로 최종 속도가 아니다

이 부분은 쉽게 점수를 잃을 수 있는 지점이다.

가속도-시간 그래프 아래의 넓이가 \(+8\ \text{m s}^{-1}\)이라고 하자. 어떤 학생이 다음과 같이 썼다.

최종 속도 \(= 8\ \text{m s}^{-1}\).

이는 물체가 정지 상태에서 출발한 경우에만 맞다.

그래프가 알려 준 것은

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

이지, 반드시 \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\)라는 뜻은 아니다.

일반적으로,

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

이다.

예를 들어 \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\)라면,

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

가속도에 의해 속도가 \(+8\ \text{m s}^{-1}\)만큼 변했고, 이 경우에는 그 변화가 충분히 커서 물체의 운동 방향까지 반대로 바뀌었다.

04시간축 아래의 넓이는 음수이다

가속도 그래프가

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

에서 2.0 s 동안 유지된다고 생각해 보자.

부호를 고려한 넓이는

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

따라서 속도는 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)만큼 감소한다.

다만 “속도가 감소한다”는 표현에 주의해야 한다. 이것이 항상 물체가 느려진다는 뜻은 아니다.

어떤 물체의 초기 속도가

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이고, 속도 변화량이

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이라고 하자.

그러면

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

속도는 더 큰 음수가 되었지만, 속력은 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(13\ \text{m s}^{-1}\)로 증가했다.

음의 가속도가 곧 감속을 의미하는 것은 아니다.

물체의 속력이 증가하는지 감소하는지는 속도와 가속도의 부호를 모두 살펴봐야 한다. 이 차이를 다시 확인하고 싶다면 Speed and Velocity: HSC Physics Explained Clearly를 참고하자.

05속력이 증가하는지 감소하는지 판단하는 유용한 규칙

속도와 가속도의 부호를 비교하자.

왜 그럴까?

속도는 물체가 어느 방향으로 움직이고 있는지를 알려 준다. 가속도는 속도가 어느 방향으로 변하도록 작용하고 있는지를 알려 준다.

속도와 가속도를 어디로 갈지 의견을 나누는 두 사람이라고 생각해 보자. 둘이 같은 방향에 동의하면 속도의 크기가 커진다. 서로 반대 방향을 주장하면 속도의 크기는 처음에는 작아진다.

하지만 속도가 0에 도달하면 이 비유가 더 이상 그대로 적용되지는 않는다. 이후 물체는 운동 방향을 반대로 바꿀 수 있고, 그러면 같은 가속도가 다시 물체의 속력을 증가시킬 수 있다.

06가속도가 변하면 넓이의 모양도 달라진다

가속도가 반드시 일정할 필요는 없다.

가속도가 4.0 s 동안 \(0\)에서 \(6.0\ \text{m s}^{-2}\)까지 일정한 비율로 증가한다고 하자.

그래프 아래 영역은 삼각형이므로,

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

이다.

여기서 \(b\)는 시간 간격이고 \(h\)는 최대 가속도이다.

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

가속도가 계속 변하고 있었더라도 넓이는 여전히 전체 속도 변화량을 나타낸다.

더 일반적으로,

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

이다.

적분 기호는 “시간 구간 전체에서 아주 작은 \(a\,dt\)의 기여를 모두 더한다”는 뜻이다. 직선 구간으로 이루어진 HSC 그래프 문제에서는 보통 미적분을 직접 수행하는 대신 직사각형, 삼각형, 사다리꼴의 넓이를 이용해 계산할 수 있다.

07양의 넓이와 음의 넓이는 서로 상쇄될 수 있다

이제 어떤 물체의 가속도 변화가 다음과 같다고 하자.

• \(0\)에서 \(4.0\ \text{s}\)까지 가속도가 \(0\)에서 \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)까지 일정하게 증가한다
• \(4.0\)에서 \(6.0\ \text{s}\)까지 가속도는 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)이다

전체 6.0 s 동안 속도에 어떤 일이 일어날지 예측해 보자. 속도가 증가할까, 감소할까, 아니면 처음 값으로 돌아올까?

부호를 고려한 넓이를 계산하자.

\(0\)에서 \(4.0\ \text{s}\)까지의 양의 삼각형 넓이는

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

\(4.0\)에서 \(6.0\ \text{s}\)까지의 음의 직사각형 넓이는

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

따라서,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

최종 속도는 처음보다 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) 더 크다.

음의 구간이 “운동을 없앤” 것은 아니다. 앞서 증가했던 속도의 일부를 감소시킨 것이다.

08가속도가 0이라고 해서 속도도 0인 것은 아니다

\(a = 0\)인 가속도-시간 그래프의 수평 구간은 언뜻 보면 “아무 일도 일어나지 않는다”고 생각하기 쉽다.

하지만 실제로는 물체가 계속 움직이고 있을 수 있다.

만약

\[
a = 0
\]

이라면 속도가 변하지 않는다는 뜻이다.

따라서 1차원 운동 모델이 적용된다고 할 때, \(18\ \text{m s}^{-1}\)로 움직이는 물체의 가속도가 0이면 계속 \(18\ \text{m s}^{-1}\)로 움직인다.

이미 정지해 있는 물체라면 계속 정지해 있다.

가속도 그래프만으로는 어떤 경우인지 알 수 없다. 물체의 어느 시점에서의 속도도 함께 알아야 한다.

09가속도-시간 그래프는 변위를 직접 알려 주지 않는다

학생들이 자주 혼동하는 서로 다른 두 가지 “넓이 규칙”이 있다.

왜 가속도-시간 그래프 아래의 넓이는 변위를 나타낼 수 없을까?

단위를 확인해 보자.

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

이는 변위가 아니라 속도의 단위이다.

가속도 변화로부터 변위를 구하려면 먼저 시간에 따른 속도를 결정할 수 있을 만큼 충분한 정보가 필요하다. 그런 다음 해당 속도-시간 그래프 아래의 넓이를 구한다.

이것이 초기 속도가 중요한 이유이기도 하다. 두 물체가 완전히 동일한 가속도-시간 그래프를 갖더라도 초기 속도가 다르면 변위는 완전히 달라질 수 있다.

10가속도-시간 그래프와 속도-시간 그래프 사이를 연결하는 방법

가속도-시간 그래프는 속도-시간 그래프의 기울기 변화 양상을 알려 준다.

다음을 기억하자.

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

따라서 가속도는 속도-시간 그래프의 기울기이다.

이로부터 다음 관계를 얻을 수 있다.

여기에는 한 가지 미묘한 점이 있다. 가속도-시간 그래프의 높이는 속도-시간 그래프의 기울기를 알려 준다. 가속도-시간 그래프의 넓이는 속도 자체가 얼마나 변했는지를 알려 준다.

이 둘은 서로 다른 역할을 한다.

11HSC 그래프 문제를 푸는 확실한 방법

가속도-시간 그래프가 주어졌다면 다음 순서로 풀이하자.

1. 양의 방향을 정한다. 보통 그래프의 부호를 통해 이미 정해져 있다.
2. 초기 속도를 기록한다. 주어지지 않았다면 실제로 무엇까지 결정할 수 있는지 주의해야 한다.
3. 그래프를 단순한 영역으로 나눈다. 적절한 경우 직사각형, 삼각형 또는 사다리꼴을 사용한다.
4. 각 넓이에 부호를 붙인다. 시간축 위는 양수, 아래는 음수이다.
5. 부호를 고려한 넓이를 더한다. 이것이 \(\Delta v\)를 준다.
6. \(v_f = v_i + \Delta v\)를 사용한다.
7. 속력이나 방향을 묻는 경우, 가속도만 보지 말고 속도를 확인한다.
8. 단위를 확인한다. 가속도-시간 그래프 아래 넓이의 단위는 반드시 \(\text{m s}^{-1}\)이어야 한다.

마지막 단위 확인만으로도 의외로 많은 실수를 잡아낼 수 있다.

12문제와 해설

문제 1

한 자전거 운전자의 가속도가 4.0 s 동안 \(1.5\ \text{m s}^{-2}\)이다. 이 구간이 시작될 때 자전거 운전자의 속도는 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)이다.

4.0 s 후의 속도를 구하여라.

해설 1

자전거 운전자의 최종 속도는 \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\)이다.

가속도-시간 그래프 아래의 넓이는 속도 변화량을 나타낸다.

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이제 이 변화량을 초기 속도에 더한다.

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

흔한 실수는 넓이인 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)를 최종 속도로 답하는 것이다. 이것은 속도의 변화량일 뿐이다.

문제 2

어떤 물체가 처음에 \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 움직인다. 이후 5.0 s 동안 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\)의 일정한 가속도를 받는다.

최종 속도를 계산하고 운동 방향이 바뀌었는지 밝혀라.

해설 2

최종 속도는 \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\)이므로, 물체의 운동 방향은 바뀌었다.

속도 변화량은

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

따라서,

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

속도가 음수에서 양수로 변했으므로, 이 시간 구간 중 반드시 0을 지나야 했다. 그 순간 물체는 잠깐 정지한 뒤 운동 방향을 반대로 바꾸었다.

쉽게 빠지는 함정은 양의 가속도이므로 물체가 5.0 s 내내 양의 방향으로 움직였다고 생각하는 것이다. 가속도는 속도가 어떻게 변하는지를 나타내며, 반드시 현재의 운동 방향을 나타내는 것은 아니다.

문제 3

어떤 물체의 가속도가 \(t=0\)에서 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\)이고, \(t=4.0\ \text{s}\)에서 \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\)가 되도록 일정하게 변한다.

초기 속도는 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)이다.

\(t=4.0\ \text{s}\)에서의 속도를 구하여라.

해설 3

\(4.0\ \text{s}\)에서 물체의 속도는 \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\)이다.

가속도가 선형적으로 변하므로 그래프 아래의 영역은 사다리꼴이다. 그 넓이는

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

이다.

여기서 \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\), \(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\), \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\)이다.

대입하면,

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

그러면

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

가속도가 계속 \(6.0\ \text{m s}^{-2}\)인 것은 아니므로, \(6.0\)에 전체 4.0 s를 곱하면 속도 변화량을 실제보다 크게 계산하게 된다.

문제 4

한 로봇이 곧은 레일을 따라 움직인다. \(t=0\)에서 \(t=3.0\ \text{s}\)까지 가속도는 \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\)이다. \(t=3.0\)에서 \(t=7.0\ \text{s}\)까지 가속도는 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)이다.

한 학생이 다음과 같이 말한다.

“양의 부분과 음의 부분은 \(4\times3 = 3\times4\)이므로 효과가 서로 같다. 따라서 로봇은 반드시 출발한 위치에서 끝나야 한다.”

로봇의 초기 속도는 \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\)이다.

로봇의 최종 속도를 구하고, 최종 위치에 대한 학생의 결론을 평가하여라.

해설 4

로봇의 최종 속도는 \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\)이지만, 반드시 출발한 위치에서 끝난다는 주장은 틀렸다.

첫 번째 구간에서,

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

두 번째 구간에서,

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

따라서,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

이고,

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

따라서 속도가 초기값으로 돌아온다는 점에서는 학생의 말이 맞다.

하지만 순 속도 변화량이 0이라고 해서 변위도 0이라는 뜻은 아니다. 로봇은 이 시간 동안 계속 움직였으며, 운동의 상당 부분에서 속도가 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)보다 컸다.

가속도-시간 그래프 아래의 넓이는 변위가 아니라 속도 변화량을 나타낸다. 로봇의 위치 변화를 구하려면 속도-시간 관계를 구성하거나 이를 계산해야 한다.

문제 5

카트 A와 B가 서로 평행한 직선 트랙을 따라 움직인다.

두 카트는 \(t=0\)에서 \(t=8.0\ \text{s}\)까지 정확히 같은 가속도-시간 그래프를 갖는다. 이 그래프 아래의 전체 부호 있는 넓이는 \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\)이다.

카트 A는 \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 출발하고, 카트 B는 \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 출발한다.

한 학생은 두 카트의 가속도 그래프가 같으므로 최종 속도도 같고 이동한 변위도 같아야 한다고 주장한다.

이 주장의 두 부분을 각각 평가하여라.

해설 5

두 주장 모두 옳지 않다. 카트 A의 최종 속도는 \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\), 카트 B의 최종 속도는 \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\)이며, 8.0 s 동안 두 카트의 변위도 서로 같지 않다.

동일한 가속도 변화는 두 카트에 동일한 속도 변화량을 준다.

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

카트 A의 경우,

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

카트 B의 경우,

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이다.

따라서 초기 속도까지 같지 않다면, 동일한 가속도 변화가 동일한 최종 속도를 만들어 내는 것은 아니다.

두 카트의 변위도 서로 다르다. 두 카트는 처음부터 속도가 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) 차이 나며 이후 정확히 같은 가속도를 받으므로, 모든 순간에 카트 B의 속도는 카트 A보다 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) 더 크다.

8.0 s 동안 이 일정한 속도 차이는 다음과 같은 변위 차이를 만든다.

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

따라서 이 구간 동안 카트 B는 카트 A보다 양의 방향으로 \(64\ \text{m}\) 더 멀리 이동한다.

더 중요한 핵심은 가속도-시간 그래프가 속도가 어떻게 변하는지를 알려 준다는 점이다. 실제 속도를 알려면 초기 속도도 필요하다. 속도의 시간에 따른 변화를 알게 되면, 그 그래프의 넓이를 이용해 변위를 구할 수 있다. 가속도에서 속도로, 다시 위치로 이어지는 이 관계는 운동 그래프를 해석할 때 다음으로 익혀야 할 중요한 연결이다.