HSC 물리: 거울의 반사와 상 형성

평평한 욕실 거울, 휘어진 화장 거울, 자동차의 사이드미러는 모두 같은 반사의 법칙을 따르지만, 크기가 같거나 더 크거나 더 작고, 똑바로 서 있거나 거꾸로 된 상을 만들 수 있습니다. 그렇다면 거울은 실제로 무엇을 다르게 하고 있는 걸까요?

계속 읽기 전에 먼저 예측해 보세요. 반사된 광선이 거울을 떠난 뒤 서로 벌어진다면, 그래도 상을 만들 수 있을까요? 광선들이 서로 만나지 않으므로 답은 ‘아니오’일 것처럼 보입니다. 하지만 눈은 그 광선들을 뒤로 연장하여, 마치 한 점에서 나온 것처럼 인식할 수 있습니다. 이것이 허상을 이해하는 핵심입니다.

01광선도가 실제로 찾으려는 것

물체의 꼭대기에서 나온 빛이 거울에 닿는다고 가정해 봅시다. 광선 하나만으로는 상이 어디에 생기는지 알 수 없습니다. 물체의 같은 점에서 출발한 광선을 적어도 두 개 따라가면서 반사 후에 어떻게 진행하는지 살펴봐야 합니다.

두 가지 가능성이 있습니다.

• 반사된 광선들이 실제로 만납니다. 그 교점에 생기는 상이 실상입니다.
• 반사된 광선들은 서로 벌어지지만, 그 광선들을 뒤로 연장한 선들이 만납니다. 이 겉보기 교점에 생기는 상이 허상입니다.

눈이 일종의 탐정 역할을 한다고 생각해 보세요. 눈은 반사된 광선을 받아들이고, 그 빛이 직선으로 눈을 향해 진행해 왔다고 가정합니다. 그리고 그 광선을 머릿속에서 뒤로 추적합니다. 여러 반사 광선이 모두 같은 장소에서 온 것처럼 보인다면, 바로 그곳에서 상을 보게 됩니다.

다만 이 비유에는 한계가 있습니다. 뇌가 실제로 점선 형태의 작도선을 그리는 것은 아닙니다. 광선도는 빛의 겉보기 출발점을 예측하는 모형입니다.

실상과 허상

이 구분이 중요한 이유는 실상만 스크린에 직접 투영할 수 있기 때문입니다.

상 위치에 놓인 종이에 반사 광선이 실제로 도달한다면, 빛은 그곳에 눈에 보이는 무늬를 만들 수 있습니다. 반면 상이 허상이라면 겉보기 상 위치를 실제로 통과하는 빛은 없으므로, 그곳에 스크린을 놓아도 상을 받아낼 수 없습니다.

따라서 다음과 같은 유용한 판별 기준을 사용할 수 있습니다.

02반사의 법칙에서 시작하기

모든 거울 광선도는 하나의 법칙에서 출발합니다.

\[ \theta_i = \theta_r \]

여기서 \(\theta_i\)는 입사각이고 \(\theta_r\)은 반사각입니다.

두 각은 모두 거울 표면이 아니라 법선을 기준으로 측정합니다.

법선은 광선이 거울에 닿는 지점에서 거울에 수직으로 그은 가상의 선입니다.

흔한 실수는 각도를 거울 자체를 기준으로 측정하는 것입니다. 예를 들어 어떤 광선이 거울 표면과 \(20^\circ\)의 각을 이룬다면, 법선과는 \(70^\circ\)의 각을 이룹니다. 따라서 입사각은 \(20^\circ\)가 아니라 \(70^\circ\)입니다.

03평면거울: 상이 유리 뒤에 있는 것처럼 보이는 이유

평평한 거울 앞에 서서 자신의 모습을 바라보세요. 얼굴에서 나온 빛은 거울을 향해 진행하고, 거울에서 반사된 뒤 눈으로 들어옵니다.

반사된 빛은 거울에서 멀어지는 방향으로 진행합니다. 실제로 유리 뒤에 또 다른 당신이 앉아 있는 것은 아닙니다.

그럼에도 눈은 반사 광선을 뒤로 추적합니다. 반사 광선의 뒤쪽 연장선들이 거울 뒤에서 교차하기 때문에 상이 그곳에 있는 것처럼 보입니다.

평면거울에서 상은 다음과 같습니다.

• 물체와 크기가 같습니다.
• 똑바로 서 있습니다.
• 허상입니다.
• 물체가 거울 앞에 있는 수직거리와 같은 수직거리만큼 거울 뒤에 있습니다.

또한 좌우가 바뀐 것처럼 보입니다. 오른손을 들면 상은 상의 반대쪽에 있는 손을 드는 것처럼 보입니다.

더 정확히 말하면, 거울은 거울 표면에 수직인 방향을 반전시킵니다. 흔히 말하는 ‘좌우 반전’은 우리와 마주 보는 것처럼 보이는 상과 자기 자신을 비교하는 방식에서 비롯됩니다.

04곡면거울은 반사 광선의 진행 방향을 바꾼다

평면거울은 모든 지점에서 방향이 같습니다. 곡면거울은 그렇지 않습니다.

따라서 서로 평행한 두 광선이 거울의 서로 다른 부분에 닿으면, 그 지점의 법선은 서로 다른 방향을 가리킬 수 있습니다. 광선들은 여전히 \(\theta_i=\theta_r\)을 따르지만, 서로 다른 방향으로 반사됩니다.

이 때문에 곡면거울은 광선을 수렴시키거나 발산시킬 수 있습니다.

중요한 종류는 두 가지입니다.

오목거울은 숟가락의 안쪽처럼 반사면이 안쪽으로 휘어 있습니다.

볼록거울은 숟가락의 뒷면처럼 물체 쪽으로 바깥쪽에 볼록하게 튀어나와 있습니다.

구면거울에서는 여러 기준점을 사용합니다.

• 주축은 거울의 중심을 지나는 직선입니다.
• 꼭짓점은 주축이 거울과 만나는 지점입니다.
• 곡률 중심 \(C\)는 거울 표면이 잘려 나왔다고 볼 수 있는 구의 중심입니다.
• 초점 \(F\)는 주축과 평행하게 진행하는 광선과 관련된 점입니다.
• 초점거리 \(f\)는 꼭짓점에서 \(F\)까지의 거리입니다.

주축 가까이의 광선을 사용하는 구면거울에서는

\[ f \approx \frac{R}{2} \]

이며, 여기서 \(R\)은 곡률반지름입니다.

‘주축 가까이의 광선’이라는 조건은 중요합니다. 완전한 구면거울이라 하더라도 서로 멀리 떨어진 모든 평행 광선을 정확히 같은 한 점에 모으지는 못합니다. 표준 HSC 광선 모형은 근축 광선을 사용하며, 이는 주축에 충분히 가까운 광선을 뜻합니다.

05오목거울의 주요 광선

곡면거울의 모든 지점에 각각 반사의 법칙을 적용할 수도 있습니다. 그렇게 해도 되지만 매우 번거롭습니다.

대신 광선도에서는 경로를 쉽게 예측할 수 있는 몇 가지 광선을 사용합니다.

오목거울에서는 다음과 같습니다.

\(C\)를 지나는 광선이 같은 경로로 되돌아오는 이유는 구면에 반지름 방향으로 입사하기 때문입니다. 반지름은 표면에 대한 법선이므로 입사각은 \(0^\circ\)입니다.

보통 상의 위치를 찾는 데는 이 광선 중 두 개만 있으면 충분합니다. 세 번째 광선은 결과를 확인하는 데 유용합니다.

06오목거울 광선도를 그리는 방법

광선들은 같은 점, 보통 물체의 꼭대기에서 출발하도록 그립니다.

먼저 주축과 평행한 광선 하나를 그립니다. 반사된 뒤에는 \(F\)를 지나도록 그립니다.

그다음 \(F\)를 향해 가는 광선처럼 그리기 편한 또 하나의 주요 광선을 그립니다. 이 광선은 반사된 뒤 주축과 평행하게 진행합니다.

반사 광선이 만나는 곳이 상의 꼭대기입니다.

반사 광선들이 실제로 만나지 않는다면, 점선을 사용해 반사 광선들을 뒤로 연장합니다. 그 연장선들이 만나는 곳에 허상이 생깁니다.

입사 광선을 거울 뒤쪽으로 연장하면 안 됩니다. 눈이 받아들이고 뒤로 추적하는 것은 반사 이후의 빛의 경로입니다.

07오목거울은 여러 종류의 상을 만들 수 있다

다음은 무작정 외우기보다 이해해야 할 중요한 특성입니다.

이 표에는 일정한 패턴이 숨어 있습니다.

물체가 초점 바깥쪽에 있으면 반사 광선들이 거울 앞에서 실제로 수렴할 수 있습니다. 상은 실상이며 도립입니다.

물체가 초점거리 안쪽으로 이동하면 반사 광선들은 거울에서 나온 뒤 발산합니다. 그 광선의 뒤쪽 연장선은 거울 뒤에서 만나므로 상은 허상이 되고 정립합니다.

이것이 오목한 화장 거울이나 면도 거울에 얼굴을 충분히 가까이 대면 얼굴이 확대되어 보이는 이유입니다.

08초점은 경계이지 마법의 벽이 아니다

이제 물체가 초점거리 바깥쪽에서 \(F\)에 가까워질 때 어떤 일이 일어나는지 예측해 봅시다.

상이 거울 쪽으로 가까워질 것이라고 예상할 수 있습니다. 하지만 실제로는 그 반대입니다.

반사 광선들의 수렴 정도가 점점 약해지므로 서로 만나는 지점은 점점 더 멀어집니다. 이상적인 모형에서 물체가 정확히 \(F\)에 있을 때, 축 위의 한 점에서 나온 광선들은 반사된 뒤 서로 평행하게 나갑니다. 평행한 광선은 유한한 거리에서는 만나지 않습니다.

이때 상은 무한대에 있다고 표현합니다.

이제 물체를 \(F\)보다 약간 안쪽으로 이동해 봅시다. 반사 광선들은 이제 발산합니다. 그 광선의 뒤쪽 연장선이 거울 뒤에서 만나 정립된 허상을 만듭니다.

이러한 변화 때문에 초점은 광선도에서 매우 중요한 경계가 됩니다.

09볼록거울은 항상 발산하는 반사 광선을 만든다

볼록거울은 다르게 작용합니다.

주축과 평행하게 진행하는 광선은 반사된 뒤 주축에서 멀어지는 방향으로 진행합니다. 반사 광선을 뒤로 연장하면, 그 광선은 거울 뒤의 초점에서 나온 것처럼 보입니다.

볼록거울에서는 다음과 같습니다.

• 주축과 평행한 광선은 \(F\)에서 나온 것처럼 반사됩니다.
• 거울 뒤의 \(F\)를 향하는 광선은 반사된 뒤 주축과 평행하게 진행합니다.
• 거울 뒤의 \(C\)를 향하는 광선은 원래 경로를 따라 되돌아갑니다.

\(F\)와 \(C\)는 모두 거울 뒤에 있습니다.

일반적인 실물체를 볼록거울 앞 어디에 놓더라도 상은 다음과 같습니다.

• 허상
• 정립
• 물체보다 작음
• 거울 뒤에 있음
• 거울과 \(F\) 사이에 있음

이것은 넓은 시야가 중요한 경우에 볼록거울이 유용한 이유를 설명합니다. 각 상을 더 작게 만들면 더 넓은 범위의 방향에서 오는 빛을 거울 안에 담을 수 있습니다.

하지만 중요한 대가가 있습니다. 물체가 더 작게 보이기 때문에 겉보기 크기만으로 거리를 판단하면 잘못 판단할 수 있습니다.

10모든 거울상을 신뢰성 있게 설명하는 방법

광선을 그린 뒤에는 네 가지 특징을 이용해 상을 설명하세요.

1. 크기: 확대, 축소 또는 같은 크기.
2. 방향: 정립 또는 도립.
3. 위치: \(F\), \(C\), 거울을 기준으로 어디에 형성되는지.
4. 종류: 실상 또는 허상.

일부 학생들은 이를 SALT, 즉 size, attitude, location, type으로 기억합니다. 이 약어는 유용하지만, 답은 여전히 광선도로 정당화해야 합니다.

단순히 선들이 교차하도록 그렸다는 이유만으로 상이 실상이라고 판단하지 마세요. 어떤 종류의 선이 교차하는지 확인해야 합니다.

실선으로 그린 반사 광선이 교차하면 상은 실상입니다.

뒤쪽 연장선만 교차하면 상은 허상입니다.

11광선도에서 가장 하기 쉬운 실수

실수 1: 모든 상을 거울 앞에 억지로 그리기

학생들이 상은 빛이 실제로 가는 곳에 있어야 한다고 생각하기 때문에 이런 실수가 자주 생깁니다.

허상은 이러한 직관과 다릅니다. 실제 반사광이 그곳을 지나가지 않더라도 상의 위치가 거울 뒤에 있을 수 있습니다.

실수 2: 잘못된 광선을 연장하기

허상의 경우 반사 광선을 뒤로 연장해야 합니다.

입사 광선을 그대로 거울 너머까지 직선으로 이어 그리면 안 됩니다. 겉보기 상은 반사된 빛이 어느 방향에서 오는 것처럼 보이는지와 일치해야 합니다.

실수 3: 광선 하나를 그리고 나머지는 추측하기

광선 하나는 방향만 알려 줄 뿐, 하나의 고유한 상 위치를 정해 주지는 못합니다.

같은 물체의 한 점에서 나온 광선 두 개를 올바르게 그리면 두 광선의 교점으로 상의 위치를 찾을 수 있습니다.

실수 4: 모든 광선이 초점을 지나야 한다고 생각하기

그렇게 행동하는 것은 특정한 주요 광선뿐입니다.

오목거울에서는 주축과 평행한 광선이 반사된 뒤 \(F\)를 통과합니다. 임의의 입사 광선이 자동으로 초점을 지나도록 반사되는 것은 아닙니다.

실수 5: 물리적으로 불가능한 그림을 그려 놓고 방정식만 믿기

거울 방정식은 유용하지만, 광선도는 부호와 계산 결과가 물리적으로 무엇을 의미하는지 알려 줍니다.

계산 결과가 \(d_i<0\)인데 거울 앞에서 실선으로 그린 반사 광선들이 만나는 것으로 그렸다면 서로 모순됩니다. 광선도와 부호 규약을 다시 확인하세요.

12문제와 풀이

문제 1

장난감 자동차가 평면거울 앞 \(45\ \text{cm}\)에 놓여 있습니다.

상의 위치, 크기, 방향, 종류를 말하세요. 또한 자동차와 상 사이의 거리를 구하세요.

풀이 1

상은 거울 뒤 \(45\ \text{cm}\)에 있으며, 자동차와 같은 크기이고, 정립이며, 허상이고, 자동차와 상 사이의 거리는 \(90\ \text{cm}\)입니다.

평면거울은 물체가 거울 앞에 있는 수직거리와 같은 수직거리만큼 거울 뒤에 상을 만듭니다.

따라서

\[ \text{간격}=45\ \text{cm}+45\ \text{cm}=90\ \text{cm} \]

상은 허상입니다. 반사 광선이 실제로 거울 뒤의 그 지점을 통과하지 않고, 반사 광선의 뒤쪽 연장선이 그곳에서 만나기 때문입니다.

문제 2

한 학생이 볼록거울의 광선도를 그립니다. 반사 광선들이 서로 벌어지는 것을 보고 학생은 “광선이 서로 만나지 않으므로 상이 생기지 않는다.”라고 결론 내립니다.

이 오류를 설명하고 실제로 생기는 상의 특성을 설명하세요.

풀이 2

상은 생기며, 허상이고, 정립이며, 축소되어 있고, 거울 뒤에서 거울과 \(F\) 사이에 있습니다.

학생의 실수는 상이 생기려면 광선이 반드시 실제로 만나야 한다고 생각한 것입니다.

볼록거울에서 반사된 후 광선들은 발산합니다. 그러나 관찰자는 그 광선들을 직선으로 뒤쪽으로 추적합니다. 뒤쪽 연장선들이 거울 뒤에서 교차하여 빛이 그곳에서 나온 것처럼 보이게 합니다.

그곳에서 만나는 것은 반사 광선 자체가 아니라 그 연장선뿐이므로 상은 실상이 아니라 허상입니다.

문제 3

오목거울의 초점거리가 \(f=8.0\ \text{cm}\)입니다. 물체가 거울 앞 \(24\ \text{cm}\)에 놓여 있습니다.

상의 위치와 배율을 계산하고, 상의 특성을 설명하세요.

풀이 3

상은 거울 앞 \(12\ \text{cm}\)에 형성되며, 실상이고, 도립이며, 물체 높이의 절반입니다.

다음을 사용합니다.

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} \]

\(f=8.0\ \text{cm}\), \(d_o=24\ \text{cm}\)를 대입하면

\[ \frac{1}{8.0}=\frac{1}{24}+\frac{1}{d_i} \]

\[ \frac{1}{d_i} =\frac{1}{8}-\frac{1}{24} =\frac{3-1}{24} =\frac{1}{12} \]

따라서

\[ d_i=12\ \text{cm} \]

상거리가 양수이므로 거울 앞에 실상이 생깁니다.

이제 배율을 계산합니다.

\[ m=-\frac{d_i}{d_o} =-\frac{12}{24} =-0.50 \]

음의 부호는 도립을 의미하고, \(|m|=0.50\)은 상이 절반 크기라는 뜻입니다.

광선도를 이용해서도 유용하게 확인할 수 있습니다. \(C=2f=16\ \text{cm}\)이므로 \(24\ \text{cm}\) 지점의 물체는 \(C\) 바깥쪽에 있습니다. 따라서 오목거울은 \(C\)와 \(F\) 사이에 더 작은 실상을 만들어야 합니다. 계산된 위치인 \(12\ \text{cm}\)는 정확히 그 구간에 있습니다.

문제 4

물체를 오목거울 쪽으로 천천히 이동시킵니다. 물체는 처음에는 \(C\) 바깥쪽에 있다가 \(C\)를 지나 \(F\) 쪽으로 계속 이동하지만, \(F\) 안쪽으로 들어가지는 않습니다.

한 학생은 물체가 거울 쪽으로 이동하므로 상도 계속 거울 쪽으로 이동해야 한다고 주장합니다.

이 예측은 맞습니까? 상이 실제로 어떻게 변하는지 설명하세요.

풀이 4

이 예측은 틀렸습니다. 물체가 \(C\) 바깥쪽에서 \(F\) 쪽으로 이동함에 따라 실상은 대체로 거울에서 멀어지며, 크기는 커집니다.

물체가 \(C\) 바깥쪽에 있을 때 상은 \(F\)와 \(C\) 사이에 있으며 축소되어 있습니다.

물체가 \(C\)에 도달하면 상도 \(C\)에 생기며 물체와 크기가 같습니다.

물체가 \(C\)와 \(F\) 사이로 이동하면 상은 \(C\) 바깥쪽으로 이동하며 확대됩니다.

물체가 \(F\)에 가까워질수록 반사 광선들은 점점 더 평행에 가까워지므로 그 교점은 더 멀어집니다. 이상적인 모형에서는 물체거리가 초점거리에 가까워질수록 상거리는 무한대로 가까워집니다.

흔히 하기 쉬운 실수는 물체의 이동 방향과 상의 이동 방향이 반드시 같아야 한다고 생각하는 것입니다. 상의 위치는 물체의 움직임을 기계적으로 따라가는 것이 아니라, 반사 광선의 방향 변화에 의해 결정됩니다.

문제 5

작은 물체가 이상적인 오목거울의 초점에 정확히 놓여 있습니다.

한 학생은 “초점은 반사 광선이 만나는 곳”이므로 \(F\)에 실상이 생긴다고 말합니다. 다른 학생은 거울이 상을 만들 수 없으므로 반사가 일어나지 않는다고 말합니다.

두 주장을 평가하고 광선 모형이 무엇을 예측하는지 말하세요.

풀이 5

두 주장 모두 틀렸습니다. 거울은 여전히 빛을 반사하지만, 이상적인 광선 모형에서는 유한한 거리 어디에도 상이 생기지 않습니다.

물체의 한 점에서 출발하는 광선들을 생각해 봅시다. 거울에 닿기 전에 \(F\)를 통과하는 주요 광선은 반사된 뒤 주축과 평행하게 진행합니다. 더 일반적으로, 초점면에 있는 물체에서 나온 광선들은 근축 모형에서 대응하는 상이 사실상 무한대에 생기도록 반사됩니다.

첫 번째 학생의 실수는 \(F\)를 모든 반사 광선이 항상 만나는 보편적인 점으로 생각한 것입니다. 초점에는 특정한 의미가 있습니다. 오목거울에서 주축과 평행하게 입사하는 광선이 반사된 뒤 \(F\)를 통과한다는 뜻입니다. 모든 반사 광선이 언제나 \(F\)로 향한다는 뜻은 아닙니다.

두 번째 학생의 실수는 ‘유한한 거리에서 상이 생기지 않는다’는 사실과 ‘반사가 일어나지 않는다’는 것을 혼동한 것입니다. 거울 표면에서는 여전히 반사의 법칙이 정상적으로 적용됩니다.

거울 방정식은 이 극한 거동을 보여 줍니다.

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i} \]

\(d_o=f\)이면

\[ \frac{1}{f}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d_i} \]

따라서

\[ \frac{1}{d_i}=0 \]

이며, 이는 \(d_i\)가 무한대로 향하는 것에 해당합니다.

따라서 흥미로운 물리적 의미는 빛이 사라지는 것이 아니라, 반사 광선들이 유한한 어떤 위치에서도 수렴하지 않는다는 것입니다.

13이 개념은 다음에 어디로 이어지는가

광선도는 반사의 법칙을 관찰자가 실제로 무엇을 보게 되는지에 대한 예측으로 바꾸어 줍니다. 반사 광선이 실제로 어디에서 만나는지, 또는 어디에서 만나는 것처럼 보이는지 판단할 수 있게 되면, 같은 추론을 자연스럽게 굴절과 렌즈에도 적용할 수 있습니다.

빛이 서로 다른 물질 사이를 통과할 때에는 반사되는 대신 굴절될 수 있기 때문에 기하학적 관계가 달라지지만, 핵심 질문은 그대로입니다. 빛의 방향이 바뀐 뒤 광선들은 실제로 어디로 가며, 관찰자는 그 광선들이 어디에서 온 것으로 뒤로 추적하게 되는가?