HSC 물리에서 s = ut + 1/2 at² 사용하기

자동차 한 대가 동쪽으로 \(12\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 주행하고 있다. 운전자가 \(3.0\text{ s}\) 동안 일정하게 제동한다. 초기 속도, 가속도, 시간은 알고 있지만 자동차가 얼마나 이동하는지는 모른다.

\(12 \times 3 = 36\text{ m}\)라고 계산하고 싶을 수 있다. 하지만 이 계산은 자동차가 3초 내내 \(12\text{ m s}^{-1}\)로 계속 주행한다고 가정한다. 실제로는 그렇지 않다. 자동차는 감속하고 있다.

다음 식은

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

가속도가 일정하다는 조건에서 바로 이 문제를 해결한다.

HSC 문제에서 더 어려운 부분은 보통 식에 값을 대입하는 것이 아니다. 이 식을 애초에 적용할 수 있는지 판단하고, \(u\), \(a\), \(s\)의 부호를 올바르게 정하는 것이다.

01이 식은 어떤 문제를 해결하는가?

물체가 속도 \(u\)로 출발한 뒤 일정한 비율 \(a\)로 가속한다고 하자.

이 운동은 두 부분으로 나누어 생각할 수 있다.

먼저 물체가 시간 \(t\) 동안 초기 속도를 그대로 유지했다고 상상해 보자. 그러면 물체의 변위는

\[
ut.
\]

가 된다.

하지만 물체가 이동하는 동안 가속도는 속도를 변화시킨다. 이 변화는 추가적인 변위를 만들어 내거나, 가속도가 초기 운동 방향과 반대라면 변위를 줄인다.

가속도로 인한 이 기여는

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

이다.

따라서 전체 변위는

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

이다.

여기서:

• \(s\)는 변위이며, 단위는 미터(\(\text{m}\))이다.
• \(u\)는 초기 속도이며, 단위는 초당 미터(\(\text{m s}^{-1}\))이다.
• \(a\)는 일정한 가속도이며, 단위는 초 제곱당 미터(\(\text{m s}^{-2}\))이다.
• \(t\)는 경과 시간이며, 단위는 초(\(\text{s}\))이다.

\(s\)는 거리가 아니라 변위라는 점에 주목하자. 이 차이는 물체가 방향을 바꿀 때 특히 중요해진다. 이 구분이 아직 헷갈린다면 더 진행하기 전에 HSC 물리의 거리와 변위를 복습하자.

02왜 \(\frac{1}{2}\)이 들어가는가?

\(\frac{1}{2}\)이라는 계수는 그냥 외워야 하는 것처럼 보일 수 있다. 하지만 임의로 정해진 값이 아니다.

물체가 정지 상태에서 출발해 \(2\text{ m s}^{-2}\)의 일정한 가속도로 \(4\text{ s}\) 동안 가속한다고 하자.

속도는 다음과 같이 증가한다.

• \(0\text{ s}\)일 때: \(0\text{ m s}^{-1}\)
• \(1\text{ s}\)일 때: \(2\text{ m s}^{-1}\)
• \(2\text{ s}\)일 때: \(4\text{ m s}^{-1}\)
• \(3\text{ s}\)일 때: \(6\text{ m s}^{-1}\)
• \(4\text{ s}\)일 때: \(8\text{ m s}^{-1}\)

변위를 예상해 보자. \(8 \times 4 = 32\text{ m}\)일까?

아니다. 물체는 마지막 순간에야 \(8\text{ m s}^{-1}\)에 도달한다. 4초 중 대부분의 시간에는 그보다 더 느린 속도로 움직인다.

속도가 \(0\)에서 \(8\text{ m s}^{-1}\)까지 일정하게 증가하므로 평균 속도는

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

이다.

따라서 변위는

\[
s = v_{\text{av}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

이다.

\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)를 사용해도 같은 결과를 얻는다.

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

\(\frac{1}{2}\)이 나타나는 이유는 일정한 가속도에서 속도가 최종값으로 순간적으로 뛰어오르는 것이 아니라 꾸준히 변화하기 때문이다.

이를 속도-시간 그래프로 이해할 수도 있다. \(ut\) 항은 초기 속도로 인해 생기는 직사각형 넓이에 해당한다. \(\frac{1}{2}at^2\) 항은 속도가 변하면서 생기는 삼각형 넓이에 해당한다.

이 그림은 유용하지만 한계가 있다. 깔끔한 삼각형은 가속도가 일정할 때만 나타난다. 가속도가 시간에 따라 변하면 속도-시간 그래프는 일반적으로 직선이 아니며, 이 식을 전체 시간 구간에 단순히 적용할 수 없다.

03학생들이 자주 잊는 조건: 가속도는 일정해야 한다

이 식은 등가속도 운동 방정식에 속한다.

즉, 분석하는 시간 구간 전체에서 \(a\)가 변하지 않아야 한다.

예를 들어 문제에서 그렇게 모델링하라고 주어진다면 다음과 같은 상황은 일정한 가속도로 합리적으로 모델링할 수 있다.

• 공기 저항을 무시한, 지표면 근처에서의 자유 낙하
• 직선 도로에서 일정하게 가속하는 자동차
• 일정한 비율로 제동하는 기차
• 선로를 따라 일정한 가속도를 받는 카트

하지만 자동차가 처음 2초 동안 \(2\text{ m s}^{-2}\)로 가속한 뒤, 다음 2초 동안 \(5\text{ m s}^{-2}\)로 가속한다고 하자.

어떤 편리한 하나의 \(a\) 값을 사용해

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

에 \(t = 4\text{ s}\)를 넣어도 될까?

그 값이 전체 시간 구간에서 실제로 일정한 가속도를 나타내는 경우가 아니라면 안 된다. 이 예에서는 그렇지 않다.

대신 운동을 여러 구간으로 나누어야 한다. 첫 번째 등가속도 구간에서의 변위를 구하고, 새로운 속도를 계산한 뒤, 두 번째 구간을 분석한다.

가속도-시간 그래프를 이용하면 가속도가 언제 일정한지, 그리고 언제 운동을 여러 구간으로 나누어야 하는지 알아보는 데 도움이 된다.

04부호 정하기: 먼저 양의 방향을 정하라

바로 이 부분에서 다른 계산은 모두 맞았던 풀이가 무너지는 경우가 많다.

속도와 가속도는 벡터이다. 1차원 운동에서 이들의 부호는 어느 방향을 가리키는지를 나타낸다.

값을 대입하기 전에 먼저 양의 방향을 정하자.

수평 운동에서는 다음과 같이 정할 수 있다.

\[
\text{동쪽} = +
\]

그러면 자동으로

\[
\text{서쪽} = -.
\]

가 된다.

수직 운동에서는 다음과 같이 정할 수 있다.

\[
\text{위쪽} = +
\]

그러면

\[
\text{아래쪽} = -.
\]

가 된다.

반대의 기준을 선택해도 물리적으로 올바른 답을 얻을 수 있다. 중요한 것은 일관성이다.

양의 방향을 정하는 것은 복도 어느 쪽 끝에서부터 방 번호를 양수로 매길지 결정하는 것과 비슷하다. 물리학은 어느 쪽 끝을 선택했는지는 신경 쓰지 않는다. 중요한 것은 복도 중간에서 기준을 바꾸지 않는 것이다.

부호는 “좋다”, “나쁘다”, “빨라진다”, “느려진다”를 뜻하지 않는다

음의 가속도가 있다고 해서 물체가 자동으로 느려지는 것은 아니다.

이는 가속도가 음의 방향을 가리킨다는 뜻이다.

동쪽을 양의 방향으로 정했다고 하자.

자동차가 동쪽으로 이동하고 있다면 \(u > 0\)이다.

가속도가 서쪽을 가리킨다면 \(a < 0\)이다. 가속도와 속도의 방향이 반대이므로 자동차는 느려진다.

하지만 자동차가 서쪽으로 이동하고 있다고 하자. 그러면 \(u < 0\)이다. 가속도도 서쪽을 가리킨다면 \(a < 0\)이고, 자동차의 속력은 증가한다.

따라서 유용한 규칙은 다음과 같다.

부호는 먼저 방향을 알려 준다. 속력이 증가하는지 감소하는지는 속도와 가속도의 방향을 비교해 판단한다.

05신뢰할 수 있는 부호 설정 방법

식을 사용하기 전에 양의 방향을 적어 둔다.

그다음 모든 벡터량을 그 기준에 맞게 표현한다.

공을 \(15\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 위쪽으로 던지고, 위쪽을 양의 방향으로 정했다고 하자.

그러면

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

이고, 중력 가속도는 아래쪽이므로

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

이다.

계산된 변위가 \(s = +6.0\text{ m}\)라면 공은 출발점보다 \(6.0\text{ m}\) 위에서 끝난다.

\(s = -6.0\text{ m}\)라면 출발점보다 \(6.0\text{ m}\) 아래에서 끝난다.

물체가 “감속하고 있다”는 이유만으로 가속도에 음의 부호를 붙이지 말자. 부호는 방향에 따라 붙여야 한다.

08왜 \(t^2\)가 중요한가?

학생들은 식의 구조를 “초기 운동 + 가속으로 인한 운동”으로 기억하면서도 시간을 제곱하는 것을 잊는 경우가 있다.

단위를 확인해 보자.

첫 번째 항의 단위는

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

이다.

두 번째 항의 단위는

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

이다.

따라서 두 항 모두 변위를 나타낸다.

실수로 \(\frac{1}{2}at\)를 사용한다면 단위는

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

가 되는데, 이는 변위가 아니라 속도이다.

단위 확인으로 모든 물리 오류를 잡아낼 수 있는 것은 아니지만, 많은 대수적 실수를 간단하게 찾아낼 수 있다.

09왜 변위는 \(t^2\)에 따라 증가하는가?

물체가 정지 상태에서 일정한 가속도로 출발한다고 하자.

그러면 \(u = 0\)이므로

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

이다.

시간을 두 배로 늘리면 변위는 어떻게 될까?

변위도 두 배가 될 것이라고 생각하기 쉽다. 하지만

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

이므로 변위는 네 배가 된다.

예를 들어 정지 상태에서 \(3.0\text{ m s}^{-2}\)의 가속도로 출발한 물체는 \(2.0\text{ s}\) 동안

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}
\]

를 이동한다.

\(4.0\text{ s}\) 후에는

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

이다.

시간이 두 배가 되면 변위는 네 배가 된다.

왜 그럴까? 물체는 더 오랜 시간 동안 움직일 뿐 아니라, 그 더 긴 시간 구간의 후반부에는 더 빠른 속도로 움직이기 때문이다.

10가장 빠지기 쉬운 오개념: 음의 변위는 뒤로 움직인다는 뜻이다

반드시 그렇지는 않다.

동쪽을 양의 방향으로 정했다고 하자. 물체의 변위가

\[
s = -5\text{ m},
\]

라면 이는 최종 위치가 출발점보다 서쪽으로 \(5\text{ m}\) 떨어져 있다는 사실만 알려 준다.

그 물체는 현재 서쪽으로 움직이고 있을 수도 있다.

또는 서쪽으로 이동한 뒤 방향을 바꾸어 현재는 동쪽으로 움직이고 있지만, 여전히 출발점보다 서쪽으로 \(5\text{ m}\) 떨어져 있을 수도 있다.

변위는 위치의 변화를 나타낸다. 속도는 그 순간 위치가 어느 방향으로, 얼마나 빠르게 변하고 있는지를 나타낸다.

이 둘은 서로 연결된 개념이지만 서로 바꾸어 쓸 수는 없다.

11HSC 문제를 위한 간단한 판단 규칙

다음 식을 사용하기 전에

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

네 가지를 확인하자.

1. 분석하는 구간에서 운동이 1차원인가?
   하나의 축을 정하고 그 축의 양의 방향을 정의한다.

2. 가속도가 일정한가?
   그렇지 않다면 이 식을 가속도가 변하는 전체 구간에 적용할 수 없다.

3. \(u\), \(a\), \(t\)를 알고 있거나 구할 수 있는가?
   이 식은 최종 속도가 등장하지 않는다는 점에서 특히 유용하다.

4. 방향에 따라 부호를 정했는가?
   값에 대입한 뒤가 아니라 대입하기 전에 해야 한다.

수직 운동을 계산하기 전에

\[
\text{위쪽을 양의 방향으로 설정}
\]

과 같은 한 줄을 적는 습관이 유용하다. 몇 초밖에 걸리지 않으며 많은 부호 오류를 방지할 수 있다.

12문제와 풀이

문제 1

스케이트보더가 북쪽으로 \(3.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 이동하면서 북쪽으로 \(0.80\text{ m s}^{-2}\)의 일정한 가속도로 \(5.0\text{ s}\) 동안 가속한다. 이 시간 구간 동안 스케이트보더의 변위를 계산하라.

풀이 1

스케이트보더는 \(\boxed{25\text{ m 북쪽}}\)으로 이동한다.

북쪽을 양의 방향으로 정한다. 그러면

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

이다.

다음 식을 사용하면

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

을 얻는다.

양의 결과는 변위가 북쪽이라는 뜻이다. \(u\)와 \(a\)가 모두 선택한 양의 방향을 가리키므로 둘 다 양수이다.

문제 2

엘리베이터가 위쪽으로 \(2.4\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있다. 엘리베이터가 아래쪽으로 \(0.60\text{ m s}^{-2}\)의 일정한 가속도로 \(3.0\text{ s}\) 동안 가속한다.

이 \(3.0\text{ s}\) 구간 동안의 변위를 계산하라.

풀이 2

엘리베이터의 변위는 \(\boxed{+4.5\text{ m}}\)이므로, 최종 위치는 초기 위치보다 \(4.5\text{ m}\) 위이다.

위쪽을 양의 방향으로 정한다. 그러면

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

이다.

따라서

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

가속도가 음수인 이유는 아래쪽을 향하기 때문이지, 단순히 엘리베이터가 느려지고 있기 때문이 아니다.

이 3초 동안 위쪽 속도와 아래쪽 가속도가 서로 반대 방향을 가리키므로 엘리베이터의 속력은 감소한다.

문제 3

작은 공을 지면에서 수직 위쪽으로 \(14.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)를 사용한다.

한 학생이 \(3.00\text{ s}\) 후 공의 변위를 다음과 같이 계산했다.

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

그리고 \(86.1\text{ m}\)를 얻었다.

오류를 찾아내고, 올바른 변위를 계산한 뒤, 결과의 부호가 무엇을 의미하는지 설명하라.

풀이 3

학생의 오류는 중력 가속도의 부호를 잘못 사용한 것이다. 올바른 변위는 \(\boxed{-2.1\text{ m}}\)이며, 이는 운동이 장애물 없이 계속될 수 있다고 가정할 경우 \(3.00\text{ s}\) 후 공이 발사 높이보다 \(2.1\text{ m}\) 아래에 있게 된다는 뜻이다.

위쪽을 양의 방향으로 정하면

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

이지만 중력은 아래쪽을 향하므로

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

이다.

따라서

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

이 계산에는 중요한 물리적 가정도 숨어 있다. 문제에서는 공이 지면에서 발사되었다고 했다. 실제 공이라면 발사 지점 아래에 구멍이나 낭떠러지가 있지 않는 한 \(2.1\text{ m}\) 아래 위치에 도달하기 전에 지면에 부딪힌다.

따라서 이 식은 수학적인 등가속도 궤적을 올바르게 설명하지만, 실제 물리적 상황은 공이 지면에 닿는 순간 끝날 수 있다. 방정식은 장애물이 있다는 사실을 자동으로 알지 못한다.

문제 4

시험 차량의 초기 속도는 \(+6.0\text{ m s}^{-1}\)이며, 동쪽을 양의 방향으로 정한다.

처음 \(2.0\text{ s}\) 동안 차량의 일정한 가속도는 \(-2.0\text{ m s}^{-2}\)이다. 다음 \(3.0\text{ s}\) 동안에는 가속도가 \(+1.0\text{ m s}^{-2}\)로 일정하다.

한 학생이 전체 \(5.0\text{ s}\)에 대해

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

를 한 번만 사용하고, \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\)와 \(-2.0\) 및 \(+1.0\)을 평균하여 얻은 가속도를 사용하자고 제안한다.

이 방법이 왜 타당하지 않은지 설명한 뒤 차량의 전체 변위를 계산하라.

풀이 4

전체 \(5.0\text{ s}\) 동안 가속도가 일정하지 않으므로 하나의 식만 사용하는 방법은 타당하지 않다. 올바른 전체 변위는 \(\boxed{19.5\text{ m 동쪽}}\)이다.

운동은 가속도가 일정한 두 구간으로 나누어야 한다.

첫 번째 구간에서는

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

이다.

변위는

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

이다.

또한 이 구간 끝에서의 속도가 두 번째 구간의 초기 속도가 되므로 이 속도도 구해야 한다.

다음 식을 사용하면

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

이다.

두 번째 구간에서는

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

이다.

따라서

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

전체 변위는

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

이다.

따라서

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m 동쪽}}.
\]

이다.

중요한 점은 두 가속도 값을 평균 내는 것만으로는 실제 운동을 재현할 수 없다는 것이다. 첫 번째 구간의 가속도가 두 번째 구간에 들어갈 때의 속도를 변화시키므로 각 가속도가 작용한 시간이 중요하다.

13이 식을 익히면 다음에 무엇을 배울 수 있는가

다음 식은

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

단순히 값을 대입하는 공식 이상의 의미가 있다. 이 식은 세 가지 개념을 연결한다. 물체의 초기 운동, 일정한 가속도가 그 운동을 변화시키는 방식, 그리고 시간이 지나면서 누적되는 변위이다.

부호의 의미를 이해하면 다른 등가속도 운동 방정식도 더 쉽게 정리할 수 있다. 같은 기준이 계속 적용된다. 양의 방향을 정하고, 속도와 가속도를 부호가 있는 양으로 다루며, 계산 결과가 물리적으로 무엇을 의미하는지 생각해야 한다.

그다음으로 유용한 단계는 이러한 방정식과 운동 그래프 사이를 오가는 방법을 배우는 것이다. 그래프를 보면 언제 가속도가 일정한지, 언제 물체가 방향을 바꾸는지, 그리고 언제 하나의 등가속도 운동 방정식을 더 이상 적용할 수 없는지를 즉시 파악할 수 있다.