중력과 핵융합은 주계열성을 어떻게 안정적으로 유지할까

태양은 끊임없이 우주 공간으로 에너지를 방출하지만, 자체 중력 때문에 붕괴하지는 않는다. 중력이 태양의 모든 층을 안쪽으로 끌어당긴다면, 무엇이 태양의 수축을 막을까?

핵융합이 로켓 엔진처럼 작용하여 별의 물질을 바깥쪽으로 밀어낸다고 예상할 수도 있다. 합리적인 추측이지만, 여기에는 중요한 차이가 있다. 핵융합은 에너지를 공급하고, 뜨거운 내부의 압력 기울기는 중력과 균형을 이루는 바깥쪽 힘을 제공한다.

이 차이를 이해하면 주계열성이 우주 공간으로 에너지를 계속 방출하면서도 수십억 년 동안 비교적 일정한 크기를 유지할 수 있는 이유를 설명할 수 있다.

01별이 붕괴하는 것을 막는 것은 무엇인가?

먼저 서로 경쟁하는 두 가지 효과를 살펴보자.

• 중력은 별의 물질을 중심을 향해 끌어당긴다.
• 별의 뜨거운 내부에서 발생하는 압력은 물질의 각 층에 알짜 바깥쪽 힘을 만들어 낸다.

별 내부의 어딘가에 있는 얇은 층을 생각해 보자. 중력은 그 층을 안쪽으로 끌어당긴다. 한편, 압력은 그 층의 바깥쪽 면보다 안쪽 면에서 더 높다. 층의 양쪽 면에 작용하는 압력에 의한 힘을 합하면 알짜 바깥쪽 힘이 발생한다.

이 힘들이 균형을 이루면, 그 층에는 안쪽이나 바깥쪽으로 가속시키는 알짜힘이 없다.

이러한 상태를 정역학적 평형이라고 한다.

정역학적 평형 상태에 있는 층에서는 서로 반대 방향으로 작용하는 힘의 크기가 같다.

\[ F_{\text{압력}}=F_{\text{중력}} \]

여기서 \(F_{\text{압력}}\)은 압력으로 인해 발생하는 알짜 바깥쪽 힘으로, 뉴턴(N) 단위로 측정한다. \(F_{\text{중력}}\)은 안쪽으로 작용하는 중력이며, 역시 뉴턴 단위로 측정한다.

이는 한 힘이 영구적으로 승리하는 싸움이 아니라 힘의 균형이다. 균형이 깨지면 별의 물질이 움직이고, 별은 다시 균형을 맞추기 시작한다.

압력 기울기가 중요한 이유

압력은 단위 면적당 힘이다. 압력은 바깥쪽뿐만 아니라 모든 방향으로 작용한다.

여기서 흔히 생기는 오해가 있다. 별 중심부의 엄청난 압력만으로도 별 전체를 바깥쪽으로 밀어낼 수 있지 않을까?

그 자체만으로는 그렇지 않다. 압력이 모든 곳에서 균일하다면, 닫힌 층의 표면 전체에 작용하는 압력력은 서로 상쇄된다. 균일한 압력장에서는 알짜 바깥쪽 압력력이 발생하지 않는다.

중요한 것은 압력 기울기이다. 즉, 중심으로부터의 거리에 따라 압력이 어떻게 변하는지가 중요하다.

일반적인 주계열성에서는 바깥쪽으로 이동할수록 압력이 감소한다. 이러한 압력의 변화가 중력에 대항하는 데 필요한 알짜 바깥쪽 압력력을 만들어 낸다.

정역학적 평형을 더 정확하게 나타내면 다음과 같다.

\[ \frac{dP}{dr} = -\frac{GM(r)\rho(r)}{r^2} \]

여기서 각 기호의 의미는 다음과 같다.

• \(P\)는 압력으로, 파스칼(Pa) 단위로 측정한다.
• \(r\)은 별의 중심으로부터의 거리로, 미터(m) 단위로 측정한다.
• \(G\)는 중력 상수이다.
• \(M(r)\)은 반지름 \(r\) 안에 포함된 질량으로, 킬로그램(kg) 단위로 측정한다.
• \(\rho(r)\)은 반지름 \(r\)에서의 밀도로, 세제곱미터당 킬로그램(\(\text{kg m}^{-3}\)) 단위로 측정한다.

음의 부호는 반지름이 증가할수록 압력이 감소한다는 것을 나타낸다. 이 방정식은 정역학적 평형에 필요한 압력 기울기와 중력 사이의 정확한 관계를 표현한다.

유용한 비유로 책을 쌓아 놓은 모습을 생각해 보자. 중력은 각 책을 아래로 끌어당기고, 아래쪽 책들이 가하는 접촉력은 책 더미를 지탱한다. 별에서는 단단한 지지대 대신 뜨거운 플라스마가 압력을 제공한다. 다만 이 비유에는 한계가 있다. 별의 압력은 모든 방향으로 작용하며, 별 전체에서 압력 기울기가 중력과 균형을 이루어야 한다.

02압력은 어디에서 발생하는가?

별의 내부는 매우 뜨겁다. 이러한 온도에서 물질은 대부분 자유롭게 움직이는 전하 입자들을 포함하는 플라스마 상태로 존재한다.

이 입자들은 빠르게 움직이며 주변 물질과 충돌한다. 입자들의 운동은 열운동에 의한 기체 압력을 만들어 낸다. 복사도 압력에 기여하며, 특히 질량이 매우 큰 별에서 중요하다. 그러나 태양과 비슷한 별에서는 기체 압력이 지배적이다.

하지만 한 가지 문제가 있다. 별은 표면에서 끊임없이 에너지를 잃는다. 에너지를 보충할 방법이 없다면, 별은 내부 조건을 무한정 유지할 수 없다.

바로 여기서 핵융합이 중요한 역할을 한다.

핵융합은 에너지를 공급하지만, 직접 바깥쪽으로 미는 힘은 아니다

주계열성에서는 핵에서 수소 원자핵들이 핵융합 반응을 일으킨다. 일련의 반응을 거쳐 수소가 헬륨으로 바뀌면서 에너지가 방출된다.

반응 생성물의 질량이 원래 반응물의 질량보다 약간 작기 때문에 에너지가 방출된다. 이 질량 차이는 다음 관계에 따라 에너지로 전환된다.

\[ E=\Delta mc^2 \]

여기서 \(E\)는 방출된 에너지로, 줄(J) 단위로 측정한다. \(\Delta m\)은 질량 차이로, 킬로그램 단위로 측정한다. \(c\)는 빛의 속도로, 초당 미터(m/s) 단위로 측정한다.

핵에서 방출되는 에너지는 별의 높은 내부 온도를 유지하는 데 도움이 된다. 이러한 온도는 중력에 대항하는 데 필요한 압력을 유지한다.

그 과정은 다음과 같다.

핵융합은 별의 바깥층을 바깥쪽으로 밀어내는 추가적인 기계적 힘처럼 작용하지 않는다. 대신, 뜨거운 내부와 그 압력 기울기를 유지하는 데 필요한 에너지를 공급한다.

이것이 핵심적인 관계이다.

중력은 압력에 의해 상쇄되며, 핵융합은 이러한 압력 지지가 지속될 수 있는 조건을 유지하는 데 도움을 준다.

두 가지 서로 다른 평형

관련된 두 가지 균형을 구분하면 이해하기 쉽다.

별의 표면에서 매초 방출되는 에너지의 양을 광도 \(L\)이라고 하며, 와트(W) 단위로 측정한다. 1와트는 초당 1줄이다.

긴 시간 규모에서 보면, 핵융합으로 별에 공급되는 에너지는 별의 표면에서 방출되는 에너지와 대략 일치한다.

정역학적 평형과 열적 평형은 서로 관련되어 있지만 같은 개념은 아니다. 별은 에너지 공급량과 에너지 손실량이 서로 다르더라도 일시적으로 힘의 균형을 유지할 수 있다.

이러한 구분은 별이 변화에 어떻게 반응하는지 살펴볼 때 중요해진다.

03별은 교란을 어떻게 바로잡는가?

주계열성의 핵융합 속도가 완벽하게 일정하게 유지될 필요는 없다. 핵의 조건이 조금만 변해도 에너지 생성 속도가 달라질 수 있다.

중요한 점은 별이 균형을 회복하는 방향으로 조정될 수 있다는 것이다.

핵융합이 너무 느려지면 어떻게 될까?

핵융합으로 공급되는 에너지가 별의 표면에서 방출되는 에너지보다 적어진다고 가정해 보자.

이제 별에는 에너지 부족이 발생한다. 별이 다시 조정되는 과정에서 중력은 별을 수축시킬 수 있다. 이러한 수축은 중력 위치 에너지를 방출하며, 그중 일부는 내부를 가열한다.

핵의 온도가 상승하면 일반적인 주계열성 조건에서는 핵융합 속도가 증가하는 경향이 있다. 이는 에너지 균형을 회복하는 데 도움이 된다.

여기에는 미묘하지만 중요한 점이 있다. 별은 전체 에너지를 잃으면서도 핵이 가열될 수 있다. 수축하는 자기중력 기체는 에너지를 잃을 때마다 단순히 식기만 하는 일반적인 물체처럼 행동하지 않는다. 중력 에너지가 열에너지로 전환되기 때문이다.

핵융합이 너무 빨라지면 어떻게 될까?

이번에는 상황을 반대로 생각해 보자. 핵융합이 일시적으로 별이 잃는 에너지보다 더 많은 에너지를 공급한다고 가정하자.

추가 에너지는 내부를 가열한다. 압력이 증가하고 별은 팽창한다. 팽창하면 핵의 온도와 밀도가 낮아지는 경향이 있어 핵융합 반응이 느려진다.

따라서 별은 한계 없이 팽창하는 대신 다시 균형에 가까워진다.

이러한 반응은 음의 피드백의 한 예이다. 음의 피드백이란 교란이 발생했을 때, 그 교란을 억제하는 방향으로 변화가 일어나는 현상을 말한다.

정확한 반응은 별의 질량과 지배적인 핵융합 반응에 따라 달라지지만, 핵심 원리는 동일하다.

안정된 별이 정지해 있다는 뜻은 아니다. 입자들은 움직이고, 에너지는 내부를 이동하며, 별은 수소를 서서히 소모한다. 비교적 일정하게 유지되는 것은 별의 거시적 구조이다. 이는 압력 지지와 에너지 공급이 변화하는 조건에 맞춰 조정될 수 있기 때문이다.

05안정성과 수명은 서로 다른 개념이다

주계열성은 수소 연료를 계속 소모하면서도 정역학적 평형과 열적 평형에 가까운 상태를 유지할 수 있다.

그렇다면 이러한 상태를 얼마나 오랫동안 유지할 수 있을까?

주계열성의 수명을 대략적으로 추정하는 관계식은 다음과 같다.

\[ t_{\text{주계열}}\sim\frac{E_{\text{가용}}}{L} \]

여기서 \(t_{\text{주계열}}\)은 주계열 수명이고, \(E_{\text{가용}}\)은 핵융합으로 얻을 수 있는 총 가용 에너지이며, \(L\)은 평균 광도이다.

이 관계식에는 서로 경쟁하는 두 가지 요인이 반영되어 있다.

• 핵융합으로 사용할 수 있는 에너지가 많을수록 별이 이용할 수 있는 에너지 공급량이 커진다.
• 광도가 클수록 별은 에너지를 더 빠르게 방출하므로, 에너지를 더 빠른 속도로 생성해야 한다.

질량이 더 큰 주계열성은 일반적으로 핵융합에 사용할 수 있는 수소가 더 많다. 그러나 광도는 질량 증가에 따라 훨씬 더 큰 폭으로 증가한다. 따라서 더 무거운 별은 가용 핵에너지를 더 빠르게 소모하며, 주계열 수명이 더 짧을 수 있다.

이것이 별의 안정성을 설명하는 방식과 별의 수명을 설명하는 방식이 서로 다른 이유이다. 안정성은 힘과 에너지의 균형에 관한 문제이다. 반면 수명은 사용할 수 있는 핵에너지가 얼마나 많으며, 그 에너지가 얼마나 빠르게 소모되는지에 관한 문제이다.

두 번째 질문을 더 자세히 살펴보려면 질량이 더 큰 주계열성의 수명이 더 짧은 이유를 참조하라.

06문제와 해설

문제 1

이상화된 별 물질의 한 층의 질량은 \(2.0\times10^{20}\,\text{kg}\)이다. 이 층에 작용하는 중력은 안쪽 방향으로 \(5.0\times10^{21}\,\text{N}\)이며, 알짜 압력력은 바깥쪽 방향으로 \(5.4\times10^{21}\,\text{N}\)이다.

바깥쪽을 양의 방향으로 하여 알짜힘과 가속도를 계산하라. 이 층은 정역학적 평형 상태인가?

해설 1

알짜힘은 바깥쪽 방향으로 \(4.0\times10^{20}\,\text{N}\)이며, 가속도는 바깥쪽 방향으로 \(2.0\,\text{m s}^{-2}\)이다. 이 층은 정역학적 평형 상태가 아니다.

1단계: 알짜힘을 계산한다.

바깥쪽을 양의 방향으로 정하면,

\[ \begin{aligned} F_{\text{알짜}}&=F_{\text{압력}}-F_{\text{중력}}\\ &=5.4\times10^{21}-5.0\times10^{21}\\ &=4.0\times10^{20}\,\text{N} \end{aligned} \]

2단계: 뉴턴의 제2법칙을 적용한다.

\[ F_{\text{알짜}}=ma \]

따라서,

\[ \begin{aligned} a&=\frac{F_{\text{알짜}}}{m}\\ &=\frac{4.0\times10^{20}}{2.0\times10^{20}}\\ &=2.0\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

양의 가속도는 바깥쪽 방향을 의미한다. 힘의 크기가 서로 다르므로 이 층에는 알짜힘이 작용하고 가속도가 발생한다. 반면 정역학적 평형 상태에 있는 층의 알짜힘은 0이어야 한다.

이 수치는 단순화한 모형을 나타내며, 실제 별의 층을 현실적으로 묘사한 값은 아니다.

문제 2

한 학생이 다음과 같이 썼다.

“별의 중심부 압력은 엄청나게 크므로 별 전체를 바깥쪽으로 밀어낸다. 핵융합은 중력의 균형을 맞추는 또 하나의 바깥쪽 힘을 더한다.”

두 가지 오류를 찾아 설명하라. 그런 다음 중력, 압력, 핵융합 사이의 올바른 관계를 서술하라.

해설 2

이 학생은 압력이 크다는 사실과 알짜힘이 발생한다는 사실을 혼동하고 있으며, 에너지원과 별을 지탱하는 힘도 혼동하고 있다.

첫째, 압력은 모든 방향으로 작용한다. 압력이 크다고 해서 자동으로 알짜힘이 발생하는 것은 아니다. 압력이 바깥쪽으로 갈수록 감소해야 압력 기울기가 각 층에 알짜 바깥쪽 힘을 만들어 내고, 이 힘이 안쪽으로 작용하는 중력과 균형을 이룬다.

둘째, 핵융합은 별의 층을 직접 바깥쪽으로 밀어내는 별도의 기계적 힘이 아니다. 핵융합은 핵에서 에너지를 방출한다. 이 에너지는 압력 지지에 필요한 높은 내부 온도와 압력을 유지하는 데 도움이 된다.

올바른 관계는 다음과 같다.

• 중력은 별의 물질을 안쪽으로 끌어당긴다.
• 압력 기울기는 알짜 바깥쪽 힘을 만들어 낸다.
• 핵융합은 뜨거운 내부와 그 압력 기울기를 유지하는 데 도움이 되는 에너지를 공급한다.

별 전체에서 바깥쪽 압력력이 중력과 균형을 이루면 별은 정역학적 평형 상태에 있다.

문제 3

주계열성 X와 Y는 모두 정역학적 평형과 열적 평형에 가까운 상태에 있다.

별 Y가 핵융합으로 사용할 수 있는 에너지는 별 X의 \(2.5\)배이지만, 평균 광도는 \(8.0\)배 더 크다.

비교하는 수명 동안 두 별의 평균 광도가 일정하게 유지된다고 가정하고, 비율 \(t_Y/t_X\)를 추정하라. 별 Y가 더 많은 가용 연료를 가지고도 주계열 수명이 더 짧을 수 있는 이유를 설명하라.

해설 3

별 Y의 추정 주계열 수명은 별 X의 \(0.3125\)배이며, 이는 별 X 수명의 약 31%에 해당한다.

대략적인 수명 관계식은 다음과 같다.

\[ t_{\text{주계열}}\sim\frac{E_{\text{가용}}}{L} \]

두 별의 수명 비율을 구하면,

\[ \frac{t_Y}{t_X} = \frac{E_Y/E_X}{L_Y/L_X} \]

주어진 비율을 대입하면,

\[ \begin{aligned} \frac{t_Y}{t_X} &=\frac{2.5}{8.0}\\ &=0.3125 \end{aligned} \]

따라서 별 Y의 추정 수명은 약 \(0.31t_X\)이다. 달리 말하면 별 X는 약 \(3.2\)배 더 오래 지속된다.

중요한 점은 가용 연료가 설명의 절반에 불과하다는 것이다. 별 Y는 사용할 수 있는 핵융합 에너지가 더 많지만, 훨씬 더 빠른 속도로 에너지를 방출한다. 따라서 에너지 공급원이 더 빨리 소모된다.

두 별은 주계열 단계에서 안정된 구조를 유지할 수 있다. 그러나 두 별이 안정적이라는 사실이 같은 속도로 연료를 소모한다는 뜻은 아니다.

문제 4

두 가지 가상의 별 모형을 생각해 보자.

• 모형 A에서는 모든 층에서 압력 기울기에 의한 힘이 중력과 균형을 이루지만, 핵융합은 표면에서 방출되는 에너지의 90%만 공급한다.
• 모형 B에서는 핵융합이 에너지를 방출하는 속도와 정확히 같은 속도로 에너지를 생성하지만, 한 층에서는 중력이 알짜 바깥쪽 압력력보다 크다.

어느 모형이 정역학적 평형을 만족하는가? 어느 모형이 열적 평형을 만족하는가? 어느 모형이라도 장기적인 주계열 평형 상태에 있는가? 각 별에서 어떤 반응이 일어날 가능성이 있는지 설명하라.

해설 4

모형 A는 정역학적 평형을 만족하지만 열적 평형은 만족하지 않는다. 모형 B는 열적 평형을 만족하지만 정역학적 평형은 만족하지 않는다. 두 모형 모두 장기적인 주계열 평형에 필요한 두 조건을 모두 만족하지는 않는다.

모형 A에서는 힘의 균형이 이루어져 있으므로, 그 순간 각 층이 안쪽이나 바깥쪽으로 가속될 필요는 없다. 그러나 핵융합은 방출되는 에너지의 90%만 공급한다. 에너지 수지에 지속적인 부족분이 발생하므로 별의 구조는 조정되어야 한다. 중력 수축은 에너지를 방출하고 핵을 가열하여 별이 다시 균형을 맞추는 데 도움을 줄 수 있다.

모형 B에서는 에너지 수지가 균형을 이루지만, 한 층에서 압력력이 중력을 완전히 상쇄하지 못한다. 그 층에는 알짜 안쪽 힘이 작용하여 안쪽으로 가속되기 시작한다. 정역학적 평형이 회복되려면 별의 구조가 변해야 한다.

여기서 빠지기 쉬운 함정은 어느 한 가지 평형 조건을 만족하는 것만으로 완전한 안정성이 보장된다고 가정하는 것이다. 정역학적 평형은 힘의 균형을 설명하고, 열적 평형은 에너지의 균형을 설명한다. 주계열성이 오랜 기간 대략적으로 안정된 상태를 유지하려면 두 조건이 모두 필요하다.

문제 5

이상화된 주계열성이 처음에는 정역학적 평형과 열적 평형을 모두 만족하고 있다. 시간 \(t=0\)에 핵에서 일어나는 수소 핵융합이 중단되고, 이후에도 무시할 수 있을 정도로 낮은 수준에 머문다.

핵융합이 중단된 직후에도 내부는 여전히 뜨겁고, 압력 기울기는 여전히 중력과 균형을 이루며, 표면은 계속 에너지를 방출한다. 다른 핵에너지원은 활성화되지 않고, 별은 질량을 잃지 않으며, 별의 힘의 균형은 에너지 총량이 변하는 것보다 훨씬 빠르게 조정될 수 있다고 가정하자.

두 학생의 의견이 서로 다르다.

• 학생 A는 핵융합이 더 이상 바깥쪽으로 밀어내지 않으므로 별이 즉시 붕괴해야 한다고 주장한다.
• 학생 B는 압력이 여전히 중력과 균형을 이루므로 별이 계속 안정된 상태를 유지해야 한다고 주장한다.

누구의 주장이 옳은가? 별이 즉시 보이는 반응과 장기적인 조정 과정을 순서대로 설명하라. 설명에서는 힘의 균형, 에너지의 균형, 중력 수축의 역할을 구분하라. 이 별은 안정된 주계열성으로 남을 수 있는가?

해설 5

두 학생 모두 완전히 옳지는 않다. 학생 A는 핵융합을 별을 지탱하는 힘으로 잘못 이해하고 있으며, 학생 B는 처음에 힘의 균형이 이루어져 있다는 사실을 장기적인 주계열 평형과 혼동하고 있다.

핵융합이 중단된 직후, 별의 내부가 즉시 온도나 압력을 잃는 것은 아니다. 기존의 압력 기울기는 여전히 중력과 균형을 이룰 수 있으므로, 핵융합이 중단되었다는 이유만으로 별이 순간적으로 붕괴해야 할 필요는 없다.

그러나 에너지 균형은 달라졌다. 핵융합은 더 이상 에너지를 공급하지 않지만, 표면에서는 계속 에너지가 방출된다. 따라서 열적 평형은 깨진다.

별이 다시 조정되는 과정에서는 에너지 부족이 별의 구조적 변화를 유발한다. 별은 새로운 구조를 향해 조정되면서 수축할 수 있다. 수축하는 동안 중력 위치 에너지가 방출되고, 그 에너지의 일부가 내부를 가열하여 핵의 온도를 높인다.

별의 역학적 조정은 에너지 총량의 변화보다 훨씬 빠르게 일어날 수 있으므로, 반지름과 내부 조건이 변하는 동안에도 정역학적 평형에 가까운 상태를 유지할 수 있다. 힘의 균형이 이루어진다고 해서 별의 반지름이 완벽하게 일정하게 유지되어야 하는 것은 아니다.

그러나 주어진 가정에서 중력 수축은 일시적인 에너지원일 뿐이다. 별이 계속 에너지를 방출하는 동안 중력 수축만으로 지속적인 핵에너지 생성을 무한정 대체할 수는 없다.

따라서 이 별은 안정된 주계열성으로 남지 않는다. 조정 과정의 일부 동안 정역학적 평형에 가까운 상태를 유지할 수는 있지만, 주계열성을 특징짓는 지속적인 핵의 수소 핵융합과 장기적인 에너지 균형은 더 이상 유지되지 않는다. 별이 최종적으로 어떤 상태에 도달하는지는 이 문제의 가정을 넘어서는 추가적인 항성 물리학에 따라 달라진다.

핵심은 힘의 균형과 에너지의 균형이 서로 다른 질문에 답한다는 것이다. 압력 지지는 별이 중력 때문에 단순히 붕괴하지 않는 이유를 설명하고, 핵융합으로 공급되는 에너지는 그러한 지지가 오랜 기간 지속될 수 있는 이유를 설명한다. 다음 단계에서는 핵의 수소가 고갈되어 별이 더 이상 주계열 구조를 유지할 수 없게 될 때 어떤 일이 일어나는지 살펴보아야 한다.