Quantidade de Movimento ou Energia Cinética? Um Guia para Problemas de Colisão
Aprende a escolher as equações corretas para problemas de colisão, identificando o sistema, avaliando os impulsos externos e distinguindo colisões elásticas de inelásticas. Inclui exemplos resolvidos e cinco questões de prática com resoluções detalhadas.
Um carrinho de 2.0 kg, que se desloca a \(+4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), colide com um carrinho de 1.0 kg em repouso. O par começa com uma quantidade de movimento total de \(+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\). Consegues determinar ambas as velocidades finais apenas com essa informação?
Antes de escolheres uma equação, considera três possibilidades: conservar a quantidade de movimento, conservar a energia cinética ou conservar ambas. A escolha correta depende do sistema que estás a estudar, das forças externas que atuam durante a colisão e do que sabes sobre a própria colisão.
Mesmo início, diferentes resultados de colisão
| Estado inicial | m₁ = 2.0 kg, u₁ = +4.0 m/s; m₂ = 1.0 kg, u₂ = 0 Quantidade de movimento total = +8.0 kg·m/s |
|---|---|
| Ficam unidos | v₁ = v₂ = +2.67 m/s A conservação da quantidade de movimento determina a velocidade final comum. |
| Separam-se após o impacto | 2.0v₁ + 1.0v₂ = 8.0 Velocidades em m/s; a quantidade de movimento, por si só, permite vários resultados. Se a colisão for elástica: v₁ = +1.33 m/s, v₂ = +5.33 m/s. |
O essencial é começar pela quantidade de movimento, desde que o impulso externo resultante seja desprezável. A energia cinética é uma condição adicional, não uma grandeza que se conserva automaticamente sempre que os objetos colidem.
01Escolhe o sistema antes de escolheres a equação
Um sistema é o conjunto de objetos cujo movimento estás a analisar. Numa colisão, a decisão sobre quais os objetos que pertencem ao sistema altera quais as forças que são consideradas externas.
Imagina dois carrinhos a colidir numa pista.
Se o teu sistema incluir ambos os carrinhos, as forças que exercem um sobre o outro são forças internas. De acordo com a terceira lei de Newton, estas forças têm a mesma intensidade e sentidos opostos. Por isso, os impulsos correspondentes anulam-se quando consideras a quantidade de movimento total do par.
No entanto, se o teu sistema incluir apenas o primeiro carrinho, a força exercida pelo segundo carrinho é externa ao sistema. A quantidade de movimento do primeiro carrinho altera-se durante a colisão.
O sistema determina quais forças são externas
| Sistema: A e B | F(B on A) = −F(A on B) Ambas as forças são internas ao sistema. A sua soma é zero; a quantidade de movimento total não se altera se o impulso externo resultante for desprezável. |
|---|---|
| Sistema: apenas A | Δp(A) = J(B on A) A força exercida por B é externa a este sistema. Altera a quantidade de movimento de A durante a colisão. |
Uma força externa significa automaticamente que a quantidade de movimento não se conserva?
Não necessariamente. É preciso considerar o impulso externo durante a colisão.
O impulso mede o efeito de uma força que atua durante um intervalo de tempo. Para um sistema, o impulso externo resultante é igual à variação da sua quantidade de movimento total:
\[ J_{\text{ext}}=\Delta p_{\text{sistema}} =p_f-p_i \]
Aqui:
- \(J_{\text{ext}}\) é o impulso externo resultante, medido em newton-segundos (\(\mathrm{N\,s}\)).
- \(p_i\) é a quantidade de movimento total do sistema antes da colisão.
- \(p_f\) é a quantidade de movimento total do sistema após a colisão.
Se o impulso externo resultante for nulo, ou desprezável em comparação com as variações da quantidade de movimento que estás a investigar, a quantidade de movimento total conserva-se:
\[ p_i\approx p_f \]
Se o impulso externo for significativo, utiliza a relação mais geral:
\[ p_f=p_i+J_{\text{ext}} \]
Esta distinção é útil nas questões do HSC. Uma força de colisão de grande intensidade pode atuar entre dois objetos enquanto a quantidade de movimento total do par se mantém constante, porque essa força é interna ao sistema constituído pelos dois objetos. Entretanto, o atrito exercido pela pista é uma força externa e pode alterar a quantidade de movimento total do par.
A questão importante não é simplesmente saber se existem forças externas. É saber se o seu impulso resultante durante a colisão pode ser desprezado.
02A quantidade de movimento é o ponto de partida para os problemas de colisão
A quantidade de movimento combina a massa e a velocidade de um objeto:
\[ p=mv \]
em que \(p\) é a quantidade de movimento, \(m\) é a massa em quilogramas e \(v\) é a velocidade em metros por segundo. A quantidade de movimento é uma grandeza vetorial, pelo que o sentido do movimento é importante.
Para uma colisão unidimensional entre dois objetos, a conservação da quantidade de movimento dá-nos:
\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]
Aqui:
- \(m_1\) e \(m_2\) são as massas dos objetos.
- \(u_1\) e \(u_2\) são as velocidades iniciais dos objetos.
- \(v_1\) e \(v_2\) são as velocidades finais dos objetos.
Escolhe um sentido positivo antes de substituíres os valores. Se o sentido para a direita for positivo, um objeto que se desloque para a esquerda terá uma velocidade negativa.
Esta equação aplica-se tanto a colisões elásticas como a colisões inelásticas, desde que o impulso externo resultante sobre o sistema escolhido seja desprezável.
Esta é uma distinção importante. A conservação da quantidade de movimento não exige que os objetos ressaltem perfeitamente, mantenham as velocidades iniciais ou conservem toda a sua energia cinética. Exige que a quantidade de movimento total do sistema permaneça inalterada.
No entanto, a quantidade de movimento, por si só, pode não permitir determinar todas as incógnitas. Se houver duas velocidades finais desconhecidas para dois objetos, a equação da quantidade de movimento fornece apenas uma relação entre elas. Precisarás de outra condição para determinar ambas as velocidades.
É aqui que o comportamento energético da colisão se torna importante.
03A energia cinética é uma condição adicional
A energia cinética descreve a energia que um objeto possui devido ao seu movimento:
\[ E_k=\frac12mv^2 \]
Ao contrário da quantidade de movimento, a energia cinética é uma grandeza escalar. Como a velocidade está elevada ao quadrado, o sentido do movimento não afeta o seu valor.
Para um sistema constituído por dois objetos, a energia cinética total antes da colisão é:
\[ E_{k,i}=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2 \]
A expressão correspondente após a colisão é:
\[ E_{k,f}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2 \]
A igualdade ou não destas duas grandezas depende do tipo de colisão.
Colisões elásticas
Uma colisão elástica conserva a energia cinética total dos objetos em colisão:
\[ E_{k,i}=E_{k,f} \]
Se o impulso externo resultante também for desprezável, podes utilizar tanto a conservação da quantidade de movimento como a conservação da energia cinética.
Estas duas leis fornecem duas relações independentes, que podem ser suficientes para determinar duas velocidades finais desconhecidas.
Colisões inelásticas
Numa colisão inelástica, a energia cinética total não se conserva. Parte da energia cinética é transferida para outras formas, como energia de deformação, energia sonora, energia térmica ou energia interna.
A quantidade de movimento pode, ainda assim, conservar-se simultaneamente.
Se dois objetos ficarem unidos após a colisão, esta é designada por colisão perfeitamente inelástica. Ambos os objetos terão a mesma velocidade final:
\[ v_1=v_2=v_f \]
Essa velocidade comum fornece uma condição adicional. Podes calculá-la utilizando a conservação da quantidade de movimento, sem presumir que a energia cinética se conserva.
A energia cinética dos objetos será, em geral, inferior após ficarem unidos, embora a energia total do sistema completo se conserve.
O que se conserva numa colisão?
| Colisão elástica | pᵢ = pᶠ; Eₖ,ᵢ = Eₖ,ᶠ A quantidade de movimento total e a energia cinética total mantêm-se inalteradas. |
|---|---|
| Colisão inelástica | pᵢ = pᶠ; Eₖ,ᶠ < Eₖ,ᵢ A energia cinética diminui; a diferença é transferida para outras formas, como energia sonora, energia térmica ou energia de deformação. |
Há uma ressalva que convém recordar em questões mais exigentes: se uma mola ou outra reserva interna de energia libertar energia durante uma colisão, a energia cinética total dos objetos pode, na realidade, aumentar. Isso não significa que a colisão seja elástica. A natureza elástica da colisão é determinada pelo facto de a energia cinética total se manter ou não inalterada.
04Uma sequência prática de decisão
Utiliza a sequência seguinte sempre que uma questão sobre colisões te pedir para calcular velocidades finais, variações de energia ou ambas.
Escolhe as equações certas para a colisão
- Define o sistema
Identifica os objetos incluídos.
- Verifica o impulso externo
pᶠ = pᵢ + Jₑₓₜ
Impulso desprezável: conserva a quantidade de movimento. Caso contrário, inclui o impulso externo resultante.
- Verifica se a colisão é elástica
Se for explicitamente elástica, conserva também a energia cinética total. Caso contrário, não pressuponhas essa conservação.
- Verifica se os objetos ficam unidos
v₁ = v₂ = vᶠ
Utiliza uma velocidade final comum e a equação adequada entre o impulso e a quantidade de movimento.
- Verifica se falta informação
Conta as equações independentes e as incógnitas. Se necessário, obtém outra condição válida.
Tabela de seleção do método
| Informação fornecida | Equações a utilizar | Erro comum |
|---|---|---|
| O impulso externo resultante é desprezável, mas o tipo de colisão é desconhecido | Conservação da quantidade de movimento | Presumir que a energia cinética se conserva |
| A colisão é explicitamente elástica | Conservação da quantidade de movimento e da energia cinética | Esquecer os sinais das velocidades na equação da quantidade de movimento |
| Os objetos ficam unidos | Conservação da quantidade de movimento e uma velocidade final comum | Conservar também a energia cinética |
| É fornecido um impulso externo significativo | \(p_f=p_i+J_{\text{ext}}\) | Igualar a quantidade de movimento inicial à final |
| São desconhecidas duas velocidades finais, mas só existe informação sobre a quantidade de movimento | A quantidade de movimento fornece uma relação | Presumir que uma equação pode determinar duas incógnitas independentes |
Quatro perguntas a fazer antes de calcular
- Que objetos fazem parte do meu sistema?
- O impulso externo resultante durante a colisão é desprezável?
- O enunciado afirma que a colisão é elástica, que os objetos ficam unidos ou fornece outra condição?
- Depois de escrever as equações que posso utilizar legitimamente, tenho relações independentes suficientes para determinar todas as incógnitas?
Se não conseguires justificar a conservação da energia cinética, não a utilizes. Se tiveres mais incógnitas do que equações independentes, precisas de mais informação física. Nenhuma manipulação algébrica consegue fornecer uma condição em falta.
05Exemplo resolvido: dois carrinhos ficam unidos
Um carrinho de 2.0 kg desloca-se para a direita a \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) e colide com um carrinho de 1.0 kg em repouso. Os carrinhos ficam unidos. O impulso horizontal externo resultante sobre o par é desprezável.
Calcula a velocidade final comum e a diminuição da energia cinética total.
Passo 1
Considera ambos os carrinhos como um único sistema. Como o impulso horizontal externo resultante é desprezável, a quantidade de movimento total conserva-se.
Como os carrinhos ficam unidos, partilham uma única velocidade final, \(v_f\). Não presumimos que a energia cinética se conserva.
Passo 2
\[ m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v_f \]
Substitui os valores conhecidos, considerando positivo o sentido para a direita:
\[ (2.0)(+4.0)+(1.0)(0)=(3.0)v_f \]
Portanto,
\[ v_f=\frac{8.0}{3.0} =+2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
Os carrinhos deslocam-se juntos para a direita a \(2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
Passo 3
Antes da colisão, apenas o primeiro carrinho está em movimento:
\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]
Após a colisão, a massa combinada é \(3.0\ \mathrm{kg}\):
\[ E_{k,f}=\frac12(3.0) \left(\frac83\right)^2 =10.67\ \mathrm J \]
A diminuição da energia cinética é:
\[ \begin{aligned} E_{k,\text{decréscimo}} &=E_{k,i}-E_{k,f}\\ &=16.0-10.67\\ &=5.33\ \mathrm J \end{aligned} \]
Passo 4
A quantidade de movimento total dos carrinhos conserva-se, mas a energia cinética total diminui \(5.33\ \mathrm J\).
Essa energia não desapareceu. Foi transferida para outras formas, como energia de deformação, energia sonora ou energia interna. O facto de os carrinhos ficarem unidos indica que não devemos utilizar a conservação da energia cinética como equação para determinar o seu movimento final.
06Exemplo resolvido: os mesmos carrinhos colidem elasticamente
O mesmo carrinho de 2.0 kg, que se desloca a \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), colide com um carrinho de 1.0 kg em repouso. Desta vez, a colisão é explicitamente elástica e os carrinhos separam-se após o impacto. O impulso horizontal externo resultante é desprezável.
Determina a velocidade final de cada carrinho.
Passo 1
Ambos os carrinhos constituem o sistema e o impulso externo é desprezável. Podemos, por isso, aplicar a conservação da quantidade de movimento total.
A colisão é explicitamente elástica, pelo que também podemos aplicar a conservação da energia cinética total. Estas duas equações permitirão determinar as velocidades finais.
Passo 2
Sejam \(v_1\) e \(v_2\) as velocidades finais dos carrinhos de 2.0 kg e 1.0 kg, respetivamente.
\[ (2.0)(4.0)+(1.0)(0) =2.0v_1+1.0v_2 \]
Utilizando velocidades em \(\mathrm{m\,s^{-1}}\), esta expressão simplifica-se para:
\[ 2v_1+v_2=8 \]
Reorganiza a equação para expressar uma incógnita em função da outra:
\[ v_2=8-2v_1 \]
Passo 3
A energia cinética total inicial é \(16.0\ \mathrm J\). Como a colisão é elástica, a energia cinética total final também tem de ser \(16.0\ \mathrm J\).
\[ \frac12(2.0)v_1^2+ \frac12(1.0)v_2^2=16 \]
Simplificando os coeficientes numéricos, com as velocidades medidas em \(\mathrm{m\,s^{-1}}\):
\[ v_1^2+\frac12v_2^2=16 \]
Passo 4
Substitui \(v_2=8-2v_1\) na equação da energia cinética:
\[ v_1^2+\frac12(8-2v_1)^2=16 \]
Desenvolvendo e simplificando, obtém-se:
\[ 3v_1^2-16v_1+16=0 \]
Fatorizando:
\[ (3v_1-4)(v_1-4)=0 \]
Portanto,
\[ v_1=\frac43 \quad\text{ou}\quad v_1=4 \]
A solução \(v_1=4\) dá \(v_2=0\). Este é o estado inicial inalterado, não a colisão descrita, na qual os carrinhos interagem e se separam após o impacto. Por isso, rejeitamos esta solução.
A solução física é:
\[ v_1=\frac43=+1.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
Em seguida,
\[ v_2=8-2\left(\frac43\right) =\frac{16}{3} =+5.33\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
Passo 5
A quantidade de movimento final é:
\[ \begin{aligned} p_f &=(2.0)\left(\frac43\right) +(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)\\ &=8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
A energia cinética final é:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)\left(\frac43\right)^2\\ &\quad+\frac12(1.0)\left(\frac{16}{3}\right)^2\\ &=16.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
Ambas as grandezas coincidem com os respetivos valores iniciais, como é necessário nesta colisão elástica de um sistema isolado.
Repara que os dados iniciais eram idênticos nos dois exemplos resolvidos. A primeira colisão produziu uma velocidade final comum e uma diminuição da energia cinética. A segunda produziu duas velocidades finais diferentes, conservando tanto a quantidade de movimento como a energia cinética.
Foram as condições da colisão que determinaram quais as equações que podiam ser utilizadas.
- Energia cinética total
07Questões e resoluções
Questão 1
Um carrinho de 1.5 kg desloca-se para a direita a \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) e colide com um carrinho de 2.5 kg em repouso. Os carrinhos ficam unidos e o impulso horizontal externo resultante é desprezável.
Calcula a velocidade final comum e a diminuição da energia cinética total.
Resolução 1
Os carrinhos deslocam-se juntos a \(+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), e a energia cinética total diminui aproximadamente \(16.9\ \mathrm J\).
Como os carrinhos ficam unidos, têm uma única velocidade final. A conservação da quantidade de movimento dá:
\[ \begin{aligned} (1.5)(6.0)+(2.5)(0)&=(1.5+2.5)v_f\\ 9.0&=4.0v_f\\ v_f&=+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
Calcula agora a energia cinética inicial:
\[ E_{k,i}=\frac12(1.5)(6.0)^2 =27.0\ \mathrm J \]
A energia cinética final é:
\[ E_{k,f}=\frac12(4.0)(2.25)^2 =10.125\ \mathrm J \]
Portanto,
\[ \begin{aligned} E_{k,\text{decréscimo}} &=27.0-10.125\\ &=16.875\ \mathrm J\\ &\approx16.9\ \mathrm J \end{aligned} \]
A diminuição ocorre porque a colisão é perfeitamente inelástica. O cálculo da quantidade de movimento é válido, mas a conservação da energia cinética produziria um resultado incorreto.
Questão 2
Uma bola de \(0.40\ \mathrm{kg}\) desloca-se para a direita a \(12\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) e colide com uma bola de \(0.60\ \mathrm{kg}\) que se desloca para a esquerda a \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Após a colisão, a primeira bola desloca-se para a esquerda a \(3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Considera que o impulso externo resultante sobre o sistema constituído pelas duas bolas é desprezável.
Calcula a velocidade final da segunda bola. Determina se a colisão é elástica.
Resolução 2
A segunda bola desloca-se para a direita a \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), e a colisão é inelástica, porque a energia cinética total diminui \(9.0\ \mathrm J\).
Considera positivo o sentido para a direita. A conservação da quantidade de movimento dá:
\[ \begin{aligned} p_i&=(0.40)(+12)+(0.60)(-2.0)\\ &=3.6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
Seja \(v_2\) a velocidade final da segunda bola. Então:
\[ \begin{aligned} 3.6&=(0.40)(-3.0)+(0.60)v_2\\ 3.6&=-1.2+0.60v_2\\ v_2&=\frac{4.8}{0.60}\\ &=+8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
Compara agora as energias cinéticas totais.
Antes da colisão:
\[ \begin{aligned} E_{k,i} &=\frac12(0.40)(12)^2 +\frac12(0.60)(2.0)^2\\ &=28.8+1.2\\ &=30.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
Após a colisão:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(0.40)(3.0)^2 +\frac12(0.60)(8.0)^2\\ &=1.8+19.2\\ &=21.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
A diminuição é:
\[ 30.0-21.0=9.0\ \mathrm J \]
A colisão não é elástica, porque a energia cinética total se altera. A quantidade de movimento continua a conservar-se porque o impulso externo resultante é desprezável. Estas são condições distintas, e satisfazer uma não implica automaticamente satisfazer a outra.
Questão 3
Um disco de \(1.0\ \mathrm{kg}\) desloca-se para a direita a \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) e colide com um disco de \(2.0\ \mathrm{kg}\) em repouso. Os discos ficam unidos.
Durante a colisão, que dura \(0.20\ \mathrm s\), a força horizontal externa resultante média sobre o sistema constituído pelos dois discos é de \(5.0\ \mathrm N\), dirigida para a esquerda.
Calcula a velocidade final dos discos unidos. Explica o erro de um cálculo que pressupõe que a quantidade de movimento total se conserva.
Resolução 3
Os discos unidos deslocam-se para a direita a \(1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Presumir que a quantidade de movimento se conserva daria incorretamente \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), porque o impulso externo não é desprezável.
A quantidade de movimento total inicial é:
\[ p_i=(1.0)(6.0)+(2.0)(0) =6.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]
O impulso externo é:
\[ \begin{aligned} J_{\text{ext}} &=F_{\text{média}}\Delta t\\ &=(-5.0)(0.20)\\ &=-1.0\ \mathrm{N\,s} \end{aligned} \]
Utiliza a relação entre o impulso e a quantidade de movimento:
\[ \begin{aligned} p_f&=p_i+J_{\text{ext}}\\ &=6.0-1.0\\ &=5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
A massa combinada é \(3.0\ \mathrm{kg}\), pelo que:
\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m_1+m_2}\\ &=\frac{5.0}{3.0}\\ &=+1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
Se igualasses incorretamente \(p_f=p_i\), obterias:
\[ v_f=\frac{6.0}{3.0} =2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
Esse resultado ignora o impulso de \(-1.0\ \mathrm{N\,s}\) exercido pelo meio envolvente. As forças internas da colisão anulam-se no balanço da quantidade de movimento total, mas a força externa exercida pelo meio envolvente altera a quantidade de movimento do sistema.
Questão 4
Durante uma colisão, as medições indicam as seguintes quantidades de movimento:
- O objeto A passa de \(+10\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) para \(+2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).
- O objeto B passa de \(-4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) para \(+4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).
Um aluno afirma que a quantidade de movimento não se conservou porque o objeto A perdeu quantidade de movimento. Outro afirma que se conservou porque a quantidade de movimento total do par permaneceu constante.
Determina qual dos alunos tem razão para o sistema constituído pelos dois objetos e para o objeto A isoladamente. Calcula o impulso externo resultante sobre o par e explica se os dados permitem estabelecer que a colisão foi elástica.
Resolução 4
O segundo aluno tem razão para o sistema constituído pelos dois objetos, mas a quantidade de movimento não se conserva para o objeto A isoladamente. O impulso externo resultante sobre o par é nulo, e as medições não permitem estabelecer se a colisão foi elástica.
Para o sistema constituído pelos dois objetos, a quantidade de movimento total inicial é:
\[ \begin{aligned} p_i&=+10+(-4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
A quantidade de movimento total final é:
\[ \begin{aligned} p_f&=+2+(+4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
Portanto,
\[ J_{\text{ext}}=p_f-p_i=0\ \mathrm{N\,s} \]
A quantidade de movimento total do par não se altera. A quantidade de movimento do objeto A diminui \(8\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\), enquanto a do objeto B aumenta a mesma quantidade. As variações anulam-se.
No entanto, para o objeto A isoladamente, a força exercida pelo objeto B é externa. Por isso, a quantidade de movimento do objeto A não se conserva durante a colisão.
Por fim, as medições da quantidade de movimento, por si só, não permitem estabelecer se a colisão foi elástica. Precisarias de informação suficiente sobre as massas e as velocidades dos objetos para comparar as respetivas energias cinéticas totais antes e depois da colisão. Quantidades de movimento totais iguais não implicam energias cinéticas totais iguais.
Questão 5
Um carrinho A de \(2.0\ \mathrm{kg}\) desloca-se para a direita a \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) e colide com um carrinho B de \(1.0\ \mathrm{kg}\) em repouso. O impulso horizontal externo resultante sobre o sistema constituído pelos dois carrinhos é desprezável.
Imediatamente após a colisão, as medições indicam:
- Carrinho A: \(+1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
- Carrinho B: \(+6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
Os carrinhos contêm um mecanismo de mola pré-carregado que liberta energia armazenada durante o contacto. Considera que o mecanismo pertence ao sistema e que todas as outras reservas de energia permanecem inalteradas.
Um aluno afirma que as medições são impossíveis: «Se o sistema está isolado, tanto a quantidade de movimento como a energia cinética têm de se conservar.»
Avalia esta afirmação. Calcula a quantidade de movimento total e a energia cinética total antes e depois da colisão e, em seguida, determina a variação da energia armazenada na mola.
Resolução 5
As medições são compatíveis com a conservação da quantidade de movimento, mas a energia cinética total aumenta \(3.0\ \mathrm J\). A colisão não é elástica: a mola liberta \(3.0\ \mathrm J\) de energia armazenada, que se transforma em energia cinética adicional.
Primeiro, verifica a conservação da quantidade de movimento.
Antes da colisão:
\[ \begin{aligned} p_i&=(2.0)(+4.0)+(1.0)(0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
Após a colisão:
\[ \begin{aligned} p_f&=(2.0)(+1.0)+(1.0)(+6.0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]
A quantidade de movimento total não se altera. As forças internas entre os carrinhos, incluindo as associadas ao mecanismo de mola, podem redistribuir a quantidade de movimento entre os objetos sem alterar a quantidade de movimento total do sistema.
Compara agora as energias cinéticas.
Inicialmente:
\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]
Finalmente:
\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)(1.0)^2 +\frac12(1.0)(6.0)^2\\ &=1.0+18.0\\ &=19.0\ \mathrm J \end{aligned} \]
O aumento da energia cinética é:
\[ \Delta E_k=19.0-16.0=+3.0\ \mathrm J \]
Como a mola é a única outra reserva de energia que se altera, a sua energia armazenada tem de diminuir \(3.0\ \mathrm J\). A energia cinética adicional provém dessa reserva interna de energia.
O erro do aluno consiste em confundir a conservação da energia total com a conservação da energia cinética. Um sistema isolado conserva a sua energia total, mas a energia pode passar entre a energia cinética, a energia potencial elástica, a energia térmica e outras formas.
A colisão não é elástica porque a energia cinética total se altera. O facto de a quantidade de movimento se conservar não obriga a que a energia cinética também se conserve.
Esta é a regra fundamental: a conservação da quantidade de movimento depende do impulso externo resultante sobre um sistema, enquanto a conservação da energia cinética depende da natureza da interação e das transferências de energia no interior desse sistema.
O próximo conceito útil é a relação entre o impulso e a quantidade de movimento. Quando uma questão sobre colisões apresenta um gráfico força-tempo, a área sob o gráfico fornece o impulso, que indica quanto varia a quantidade de movimento total do sistema. Este é o método a utilizar quando deixa de ser válida a hipótese de que o impulso externo é desprezável.