Lei de Coulomb para Física HSC: força e direção

Dois pequenos objetos carregados são mantidos a 20 cm de distância um do outro. Duplica-se a carga de um dos objetos, mas, ao mesmo tempo, duplica-se a distância entre eles. A força elétrica aumenta, diminui ou mantém-se igual?

Uma resposta tentadora é pensar que «as alterações se anulam». Não se anulam. A carga e a distância afetam a força elétrica de formas diferentes. A força é diretamente proporcional à carga, mas segue uma relação de inverso do quadrado com a distância. Duplicar uma das cargas multiplica a força por 2, enquanto duplicar a distância a divide por \(2^2 = 4\). Assim, a força final fica reduzida a metade.

Esta relação é a lei de Coulomb. O cálculo em si é normalmente simples. A competência mais exigente no HSC é saber o que o número significa: em que sentido aponta a força, que sinais devem entrar no cálculo e o que muda quando estão presentes mais de duas cargas?

01Comece pela situação física

Imagine duas pequenas esferas carregadas suficientemente afastadas uma da outra para podermos tratar cada esfera como se toda a sua carga estivesse concentrada num único ponto.

Existem apenas duas possibilidades:

• cargas com o mesmo sinal repelem-se
• cargas com sinais opostos atraem-se

Assim, duas cargas positivas afastam-se uma da outra. Duas cargas negativas também se afastam uma da outra. Uma carga positiva e uma carga negativa atraem-se.

Antes de fazer qualquer cálculo, preveja o sentido.

Suponha que uma carga positiva se encontra à esquerda e uma carga negativa à direita.

Em que sentido atua a força sobre a carga positiva?

Em direção à carga negativa, portanto para a direita.

Em que sentido atua a força sobre a carga negativa?

Em direção à carga positiva, portanto para a esquerda.

As forças apontam em sentidos opostos, mas têm módulos iguais. Isto é consistente com a terceira lei de Newton.

Esta primeira representação assume que as cargas se comportam como cargas pontuais. Os objetos carregados reais têm dimensões. A lei de Coulomb, na sua forma simples, aplica-se exatamente a cargas pontuais e também pode ser utilizada para distribuições de carga com simetria esférica quando a separação é medida entre os seus centros.

02O que determina o módulo da força?

Há três fatores importantes:

1. o módulo da primeira carga
2. o módulo da segunda carga
3. a distância entre elas

Se qualquer uma das cargas aumentar, a força aumenta.

Se as cargas se afastarem, a força diminui.

No entanto, a distância tem um efeito mais acentuado porque aparece elevada ao quadrado.

Por exemplo:

Vale a pena compreender este comportamento de inverso do quadrado, em vez de o memorizar como uma regra estranha.

Se duas cargas estiverem duas vezes mais afastadas, a sua interação elétrica distribui-se por uma região geometricamente maior. O resultado não é uma simples redução da força para metade. A força diminui por um fator de quatro.

03Lei de Coulomb

O módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais é

\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]

onde:

• \(F\) é o módulo da força eletrostática, medido em newtons (N)
• \(q_1\) e \(q_2\) são as cargas, medidas em coulombs (C)
• \(r\) é a separação entre as cargas, medida em metros (m)
• \(k\) é a constante de Coulomb

Para cargas no vácuo, e aproximadamente no ar,

\[ k = 8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2} \]

Os sinais de valor absoluto em torno de \(q_1q_2\) aparecem porque esta versão da equação calcula um módulo. Um módulo não pode ser negativo.

Os sinais das cargas continuam a ser importantes, mas são utilizados para determinar o sentido da força.

Esta separação de funções é útil:

• os módulos entram na lei de Coulomb
• os sinais das cargas indicam se a força é atrativa ou repulsiva
• o diagrama ou o sistema de coordenadas indica se esse sentido é positivo ou negativo

04A armadilha da conversão de unidades

Nas questões do HSC, as cargas raramente são apresentadas como vários coulombs inteiros. Um coulomb representa uma quantidade de carga muito grande à escala de objetos pequenos.

É frequente encontrar:

\[ 1\ \text{mC} = 1\times10^{-3}\ \text{C} \]

\[ 1\ \mu\text{C} = 1\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ 1\ \text{nC} = 1\times10^{-9}\ \text{C} \]

Também é necessário converter centímetros em metros antes de utilizar a lei de Coulomb.

Por exemplo,

\[ 25\ \text{cm} = 0.25\ \text{m} \]

Um erro comum é substituir \(25\) em \(r^2\). Isso indicaria à equação que as cargas estão separadas por 25 metros.

06Porque não deve utilizar uma força negativa para representar atração

Suponha que substitui diretamente os valores com sinal \(q_1 = +3.0\ \mu\text{C}\) e \(q_2 = -5.0\ \mu\text{C}\) em

\[ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} \]

Obteria um número negativo.

É tentador dizer: «força negativa significa atração».

Esse atalho não é fiável.

Uma componente vetorial negativa significa que a força aponta no sentido negativo do eixo de coordenadas escolhido. A atração não corresponde automaticamente à esquerda, à direita, ao positivo ou ao negativo. Depende da posição da outra carga.

Por exemplo, imagine uma carga de teste positiva.

• Se uma carga negativa estiver à sua direita, a atração produz uma força para a direita.
• Se a mesma carga negativa for deslocada para a sua esquerda, a atração produz uma força para a esquerda.

A interação é atrativa em ambos os casos, mas o sinal da coordenada muda.

Para a maioria dos cálculos unidimensionais do HSC, um método mais seguro é:

1. utilizar os módulos das cargas na lei de Coulomb
2. decidir se existe atração ou repulsão
3. determinar o sentido físico
4. aplicar um sinal positivo ou negativo apenas depois de escolher o eixo

07O sentido faz parte da resposta

Suponha que duas cargas se encontram sobre um eixo \(x\).

Decide que a direita é positiva.

Então:

• uma força para a direita tem uma componente \(x\) positiva
• uma força para a esquerda tem uma componente \(x\) negativa

A escolha do sentido positivo é arbitrária. A física não prefere a direita à esquerda.

Pense no sinal como a escolha de qual extremidade de um corredor será chamada de «positiva». O corredor não muda quando se trocam os rótulos. Apenas mudam os números utilizados para descrever posições e sentidos.

Esta analogia tem um limite. A atração e a repulsão elétricas são interações físicas, enquanto os sentidos positivo e negativo das coordenadas são apenas convenções para organizar os cálculos.

09O que acontece quando atua mais de uma carga?

A lei de Coulomb fornece a força exercida por uma carga sobre outra carga.

Se uma carga for afetada por várias outras cargas, calcule cada força separadamente e depois some as forças como vetores.

Este é o princípio da sobreposição.

Para uma carga sujeita às forças \(\vec F_1\), \(\vec F_2\) e \(\vec F_3\),

\[ \vec F_{\text{net}} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 \]

Não some automaticamente os módulos das forças. O sentido é importante.

Imagine que está entre duas pessoas que tentam puxá-lo, cada uma para o seu lado. Dizer «uma puxa com 80 N e a outra com 60 N, por isso o total é 140 N» ignora o detalhe inconveniente de estarem a puxar em sentidos opostos. A força resultante é de 20 N no sentido da força maior.

As forças elétricas funcionam da mesma forma quando atuam ao longo da mesma linha.

A analogia deixa de funcionar quando as forças não são colineares. Nesse caso, é necessário somar verdadeiros vetores bidimensionais, em vez de simplesmente subtrair módulos.

10Exemplo resolvido: Força resultante de duas outras cargas

Três cargas pontuais encontram-se numa linha horizontal.

• Carga \(A = +4.0\ \mu\text{C}\)
• Carga \(B = +2.0\ \mu\text{C}\)
• Carga \(C = -3.0\ \mu\text{C}\)

A carga \(A\) está \(0.20\ \text{m}\) à esquerda de \(B\). A carga \(C\) está \(0.30\ \text{m}\) à direita de \(B\).

Calcule a força eletrostática resultante sobre \(B\). Considere a direita como positiva.

Passo 1

\(A\) e \(B\) são ambas positivas, portanto repelem-se.

Como \(A\) está à esquerda de \(B\), empurra \(B\) para a direita.

Portanto,

\[ F_{AB} > 0 \]

Passo 2

\[ \begin{aligned} F_{AB} &= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(4.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\ &= 1.80\ \text{N} \end{aligned} \]

Assim,

\[ F_{AB} = +1.80\ \text{N} \]

Passo 3

\(B\) é positiva e \(C\) é negativa, portanto atraem-se.

Como \(C\) está à direita, \(B\) é puxada para a direita.

Portanto,

\[ F_{CB} > 0 \]

Passo 4

\[ \begin{aligned} F_{CB} &= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.30)^2} \\ &= 0.599\ \text{N} \end{aligned} \]

Assim,

\[ F_{CB} = +0.599\ \text{N} \]

Passo 5

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= F_{AB} + F_{CB} \\ &= 1.80 + 0.599 \\ &= 2.40\ \text{N} \end{aligned} \]

A força resultante sobre \(B\) é, portanto,

\[ \boxed{F_{\text{net}} = +2.40\ \text{N}} \]

ou \(2.40\ \text{N}\) para a direita.

Ambas as interações empurram ou puxam \(B\) no mesmo sentido, apesar de uma interação ser repulsiva e a outra atrativa.

É exatamente por isso que «atrativa significa negativa» é uma regra inadequada.

11Um método fiável para questões sobre a lei de Coulomb

Quando uma questão envolve forças elétricas, utilize esta sequência.

1. Desenhe as cargas nas posições corretas

Inclua os respetivos sinais e separações.

Faça isto mesmo que a disposição pareça óbvia. A maioria dos erros de sentido começa antes de se tocar na calculadora.

2. Escolha a carga cuja força pretende determinar

Pergunte: Que forças atuam sobre esta carga?

Ignore as forças que atuam sobre outras cargas, a menos que a questão as peça.

3. Preveja o sentido de cada força

Para cada par que interage:

• mesmo sinal significa repulsão
• sinais opostos significam atração

Desenhe uma seta que represente a força sobre a carga em estudo.

4. Converta todas as grandezas para unidades SI

Utilize:

• coulombs para a carga
• metros para a distância
• newtons para a força

5. Calcule separadamente o módulo de cada força

Utilize

\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]

6. Atribua sinais vetoriais às forças

Só agora aplique a sua convenção de coordenadas.

Por exemplo, se a direita for positiva:

• força para a direita: positiva
• força para a esquerda: negativa

7. Some as forças

Para problemas unidimensionais,

\[ F_{\text{net}} = F_1 + F_2 + \cdots \]

Para disposições bidimensionais, decomponha as forças em componentes antes de as somar.

12Os equívocos mais tentadores

«Carga negativa significa força negativa»

Não necessariamente.

O sinal da carga descreve o tipo de carga. O sinal da força descreve o sentido relativamente a um sistema de coordenadas.

São ideias diferentes.

«Cargas opostas dão sempre uma resposta negativa»

Cargas opostas atraem-se sempre. O facto de a componente da força ser positiva ou negativa depende da posição das cargas e do sentido que escolheu como positivo.

«Se a distância duplicar, a força reduz-se a metade»

A lei de Coulomb contém \(r^2\), não \(r\).

Duplicar a distância dá

\[ F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{2^2} = \frac{F_{\text{old}}}{4} \]

«A carga maior sofre a força maior»

Suponha que uma carga de \(+1\ \mu\text{C}\) interage com uma carga de \(+100\ \mu\text{C}\).

Pode parecer razoável pensar que a carga de \(100\ \mu\text{C}\) deveria, de algum modo, «vencer» e exercer a força maior.

Não exerce.

A lei de Coulomb fornece o mesmo produto \(q_1q_2\), independentemente de qual carga é designada por \(q_1\) ou \(q_2\). A força da carga 1 sobre a carga 2 tem o mesmo módulo que a força da carga 2 sobre a carga 1.

As acelerações podem, ainda assim, ser diferentes se os objetos tiverem massas diferentes, porque

\[ \vec a = \frac{\vec F}{m} \]

Forças iguais não significam acelerações iguais.

«Uma força resultante nula significa que não existem forças elétricas»

Também é falso.

Duas ou mais forças não nulas podem anular-se.

Uma carga poderia sofrer uma força de \(3\ \text{N}\) para a esquerda e outra de \(3\ \text{N}\) para a direita. A sua força resultante é zero, apesar de estarem a atuar duas forças eletrostáticas.

Esta distinção torna-se especialmente importante quando estudar campos elétricos e equilíbrio.

13Questões e soluções

Questão 1

Duas cargas pontuais, \(+2.5\ \mu\text{C}\) e \(+4.0\ \mu\text{C}\), estão separadas por \(0.50\ \text{m}\).

Calcule o módulo da força eletrostática entre elas e indique se a interação é atrativa ou repulsiva.

Solução 1

As cargas repelem-se com um módulo de força de \(0.360\ \text{N}\).

Ambas as cargas são positivas, portanto a interação é repulsiva.

Converta as cargas em coulombs:

\[ q_1 = 2.5\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ q_2 = 4.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

A separação é

\[ r = 0.50\ \text{m} \]

Utilizando a lei de Coulomb,

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(2.5\times10^{-6})(4.0\times10^{-6})}{(0.50)^2} \\ &= 0.3596\ \text{N} \end{aligned} \]

Portanto,

\[ \boxed{F = 0.360\ \text{N}} \]

Cada carga sofre este mesmo módulo de força, dirigido para longe da outra carga. Um erro comum neste caso é afirmar que a carga maior, de \(+4.0\ \mu\text{C}\), sofre uma força maior. A terceira lei de Newton diz-nos que as duas forças de interação têm módulos iguais.

Questão 2

Uma carga de \(+6.0\ \text{nC}\) encontra-se em \(x = 0\), e uma carga de \(-8.0\ \text{nC}\) encontra-se em \(x = -0.12\ \text{m}\).

Considere a direita como positiva. Calcule a força sobre a carga de \(+6.0\ \text{nC}\).

Solução 2

A força sobre a carga positiva é aproximadamente \(-3.00\times10^{-5}\ \text{N}\), o que significa que aponta para a esquerda.

As cargas têm sinais opostos, portanto atraem-se. A carga negativa está à esquerda da carga positiva, pelo que a força sobre a carga positiva também tem de apontar para a esquerda.

Converta as cargas:

\[ |q_1| = 6.0\times10^{-9}\ \text{C} \]

\[ |q_2| = 8.0\times10^{-9}\ \text{C} \]

Calcule o módulo:

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(6.0\times10^{-9})(8.0\times10^{-9})}{(0.12)^2} \\ &= 2.997\times10^{-5}\ \text{N} \end{aligned} \]

Com três algarismos significativos,

\[ F = 3.00\times10^{-5}\ \text{N} \]

Como a esquerda é o sentido negativo do eixo \(x\),

\[ \boxed{F_x = -3.00\times10^{-5}\ \text{N}} \]

O sinal negativo resulta do sentido escolhido para as coordenadas, e não simplesmente do facto de uma das cargas ser negativa.

Questão 3

Uma carga de \(+1.0\ \mu\text{C}\) sofre uma força de módulo \(0.90\ \text{N}\) devida a uma segunda carga pontual.

A separação entre elas é duplicada, enquanto os módulos de ambas as cargas permanecem inalterados.

Qual é o novo módulo da força? Explique sem repetir desde o início todo o cálculo da lei de Coulomb.

Solução 3

O novo módulo da força é \(0.225\ \text{N}\).

A lei de Coulomb fornece a relação

\[ F \propto \frac{1}{r^2} \]

Se a distância passar de \(r\) para \(2r\), então

\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{r^2}{(2r)^2} = \frac{1}{4} \]

Portanto,

\[ \begin{aligned} F_{\text{new}} &= \frac{0.90}{4} \\ &= 0.225\ \text{N} \end{aligned} \]

Assim,

\[ \boxed{F_{\text{new}} = 0.225\ \text{N}} \]

A principal armadilha é tratar a relação como inversa, em vez de inversamente proporcional ao quadrado. Duplicar a separação não reduz a força a metade. Reduz a força a um quarto.

Questão 4

Três cargas pontuais encontram-se sobre o eixo \(x\).

• \(A = +3.0\ \mu\text{C}\) em \(x = -0.20\ \text{m}\)
• \(B = +1.0\ \mu\text{C}\) em \(x = 0\)
• \(C = +12.0\ \mu\text{C}\) em \(x = +0.40\ \text{m}\)

Considere a direita como positiva.

Calcule a força eletrostática resultante sobre \(B\).

Solução 4

A força resultante sobre \(B\) é zero, apesar de duas forças eletrostáticas não nulas atuarem sobre ela.

Considere primeiro a força exercida por \(A\).

Tanto \(A\) como \(B\) são positivas, portanto \(A\) repele \(B\). Como \(A\) está à esquerda, esta força aponta para a direita.

O seu módulo é

\[ \begin{aligned} F_{AB} &= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\ &= 0.674\ \text{N} \end{aligned} \]

Portanto,

\[ F_{AB} = +0.674\ \text{N} \]

Considere agora a força exercida por \(C\).

\(B\) e \(C\) também são ambas positivas, portanto \(C\) repele \(B\). Como \(C\) está à direita, esta força aponta para a esquerda.

O seu módulo é

\[ \begin{aligned} F_{CB} &= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(12.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.40)^2} \\ &= 0.674\ \text{N} \end{aligned} \]

Portanto,

\[ F_{CB} = -0.674\ \text{N} \]

Some as componentes vetoriais:

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= F_{AB} + F_{CB} \\ &= 0.674 - 0.674 \\ &= 0 \end{aligned} \]

Assim,

\[ \boxed{F_{\text{net}} = 0\ \text{N}} \]

A característica interessante é que a carga \(C\) está quatro vezes mais afastada de \(B\) do que \(A\)? Verifique cuidadosamente as distâncias reais: \(C\) está a \(0.40\ \text{m}\) de distância, enquanto \(A\) está a \(0.20\ \text{m}\), portanto \(C\) está duas vezes mais afastada. Como a distância é elevada ao quadrado, estar duas vezes mais longe reduz a força por um fator de quatro. A carga de \(C\) é quatro vezes maior, compensando exatamente essa redução.

Uma força resultante nula não significa, portanto, ausência de interação eletrostática. Significa que as forças vetoriais individuais se anulam.

Questão 5

Duas cargas pontuais positivas fixas encontram-se sobre uma linha reta.

• \(Q_1 = +4.0\ \mu\text{C}\) em \(x = 0\)
• \(Q_2 = +9.0\ \mu\text{C}\) em \(x = 1.00\ \text{m}\)

Uma pequena carga de teste positiva é colocada algures sobre a mesma linha.

Determine a posição entre \(Q_1\) e \(Q_2\) onde a força eletrostática resultante sobre a carga de teste é zero. Explique por que razão não é necessário conhecer a carga da própria carga de teste.

Solução 5

A carga de teste deve ser colocada em \(x = 0.400\ \text{m}\), medidos a partir de \(Q_1\).

Como a carga de teste é positiva, ambas as cargas positivas fixas a repelem.

Entre \(Q_1\) e \(Q_2\):

• \(Q_1\) empurra a carga de teste para a direita
• \(Q_2\) empurra a carga de teste para a esquerda

Para que a força resultante seja zero, os módulos destas forças têm de ser iguais.

Seja a posição desconhecida \(x\) metros a partir de \(Q_1\).

A distância até \(Q_2\) é, portanto,

\[ 1.00-x \]

Seja \(q\) a carga de teste. Igualando os módulos das duas forças, obtém-se

\[ k\frac{|Q_1q|}{x^2} = k\frac{|Q_2q|}{(1.00-x)^2} \]

Os fatores \(k\) e \(|q|\) aparecem em ambos os lados, portanto cancelam-se:

\[ \frac{Q_1}{x^2} = \frac{Q_2}{(1.00-x)^2} \]

Substitua os módulos das cargas:

\[ \frac{4.0}{x^2} = \frac{9.0}{(1.00-x)^2} \]

É apropriado tomar a raiz quadrada positiva porque tanto \(x\) como \(1.00-x\) representam distâncias positivas:

\[ \frac{2}{x} = \frac{3}{1.00-x} \]

Multiplicando em cruz,

\[ \begin{aligned} 2(1.00-x) &= 3x \\ 2.00-2x &= 3x \\ 2.00 &= 5x \\ x &= 0.400\ \text{m} \end{aligned} \]

Portanto,

\[ \boxed{x = 0.400\ \text{m}} \]

Não é necessário conhecer o módulo da carga de teste porque este multiplica igualmente as duas forças concorrentes e cancela-se quando as forças são igualadas.

A posição também faz sentido fisicamente. A carga de \(+9.0\ \mu\text{C}\) é mais forte, portanto o ponto de equilíbrio tem de estar mais próximo da carga mais fraca, de \(+4.0\ \mu\text{C}\). Em \(x=0.400\ \text{m}\), a carga de teste está a \(0.400\ \text{m}\) de \(Q_1\), mas a \(0.600\ \text{m}\) da carga mais forte \(Q_2\).

Uma abordagem tentadora é procurar o ponto médio. Isso só funcionaria se as duas cargas fixas tivessem módulos iguais.

14Da força ao campo elétrico

A lei de Coulomb indica a força entre cargas específicas. O passo seguinte útil é separar a origem da interação do objeto colocado nesse local.

Se uma carga \(Q\) produz uma influência elétrica à sua volta, podemos descrever essa influência utilizando o campo elétrico. Uma segunda carga colocada nesse campo sofre então uma força.

Esta mudança transforma

\[ F = k\frac{|Qq|}{r^2} \]

na ideia estreitamente relacionada

\[ E = k\frac{|Q|}{r^2} \]

onde \(E\) é a intensidade do campo elétrico.

Assim, o raciocínio sobre o sentido desenvolvido aqui transfere-se diretamente: primeiro determine em que sentido seria empurrada uma carga de teste positiva e, depois, atribua o sentido vetorial. Esta é a ponte entre a lei de Coulomb e os campos elétricos, os diagramas de campo, o potencial elétrico e, por fim, o movimento de partículas carregadas em campos elétricos.