A Equação v = u + at: Aceleração Constante em Física HSC

Um carro desloca-se a \(12\ \text{m s}^{-1}\). Três segundos depois, desloca-se a \(21\ \text{m s}^{-1}\). Poderias tratar estes valores como duas medições de velocidade sem relação entre si. Mas, se a aceleração se manteve constante entre elas, podes prever todas as velocidades intermédias com uma única equação simples:

\[
v = u + at
\]

Antes de te preocupares com as letras, faz uma previsão. Se o carro ganhar \(3\ \text{m s}^{-1}\) de velocidade por segundo, o que deverá acontecer ao fim de 3 segundos?

Deverá ganhar \(9\ \text{m s}^{-1}\). Partindo de \(12\ \text{m s}^{-1}\), isso dá \(21\ \text{m s}^{-1}\).

É apenas isto que \(v = u + at\) faz. A equação parte de uma velocidade inicial e soma-lhe a variação de velocidade produzida por uma aceleração constante.

01Começa pela variação da velocidade

A aceleração indica a rapidez com que a velocidade varia.

Se um objeto tiver uma aceleração de \(2\ \text{m s}^{-2}\), a sua velocidade varia \(2\ \text{m s}^{-1}\) a cada segundo.

Assim, se começar a \(5\ \text{m s}^{-1}\):

O padrão é:

\[
\text{nova velocidade} = \text{velocidade inicial} + \text{variação da velocidade}
\]

Para uma aceleração constante, a variação da velocidade é:

\[
\Delta v = at
\]

em que:

• \(\Delta v\) é a variação da velocidade, medida em \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) é a aceleração constante, medida em \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) é o tempo decorrido, medido em segundos

Se a velocidade inicial for \(u\) e a velocidade final for \(v\), então:

\[
v = u + at
\]

Aqui:

• \(u\) é a velocidade inicial, em \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) é a velocidade final, em \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) é a aceleração constante, em \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) é o tempo decorrido, em segundos

As letras são menos importantes do que a estrutura:

\[
\boxed{\text{velocidade final} = \text{velocidade inicial} + \text{variação da velocidade}}
\]

02Porque é que \(at\) representa uma variação da velocidade?

As unidades mostram porquê.

A aceleração tem unidades de \(\text{m s}^{-2}\). Multiplicando pelo tempo:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Portanto, \(at\) tem unidades de velocidade.

Por exemplo, uma aceleração de \(4\ \text{m s}^{-2}\) a atuar durante \(2.5\ \text{s}\) produz:

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

Isso não significa que a velocidade final seja automaticamente \(10\ \text{m s}^{-1}\). Significa que a velocidade variou \(10\ \text{m s}^{-1}\).

Se o objeto tiver começado a \(6\ \text{m s}^{-1}\), termina a \(16\ \text{m s}^{-1}\).

Se tiver começado a \(-8\ \text{m s}^{-1}\), termina a \(2\ \text{m s}^{-1}\).

Esta distinção entre velocidade e variação da velocidade é um dos principais pontos em que os alunos perdem de vista aquilo que a equação está a dizer.

03De onde vem a equação

A aceleração média num intervalo de tempo é definida por:

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

Se a aceleração for constante, esse mesmo valor de \(a\) aplica-se durante todo o intervalo.

Multiplica ambos os membros por \(t\):

\[
at = v-u
\]

Depois soma \(u\) a ambos os membros:

\[
v = u+at
\]

Portanto, \(v=u+at\) não é uma regra separada que tenha de ser memorizada sem se compreender o seu significado. É a definição de aceleração constante, reorganizada.

Isto também mostra a sua limitação: só a podes usar diretamente quando a aceleração é constante ao longo do intervalo de tempo que estás a considerar.

Se a aceleração variar com o tempo, o produto simples \(at\) deixa de representar necessariamente a variação da velocidade. Nessa situação, é necessário considerar a área sob um gráfico aceleração-tempo. Este tema é desenvolvido mais detalhadamente no guia da tutorgum sobre gráficos aceleração-tempo.

04A decisão mais importante na preparação: escolhe um sentido positivo

Imagina que um ciclista se desloca para leste e está a abrandar.

Um erro comum é dizer:

“Está a abrandar, por isso a sua velocidade tem de ser negativa.”

Não necessariamente.

O sinal da velocidade indica a direção. Não indica se o objeto está a acelerar ou a abrandar em termos de rapidez.

Antes de fazeres o cálculo, escolhes qual será o sentido positivo.

Por exemplo, escolhe leste como sentido positivo. Nesse caso, um ciclista que se desloca para leste tem velocidade positiva. Se estiver a abrandar enquanto continua a deslocar-se para leste, a aceleração aponta para oeste, por isso a aceleração é negativa.

Poderias ter:

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Após \(3.0\ \text{s}\):

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

A velocidade final positiva indica que o ciclista continua a deslocar-se para leste. O menor módulo indica que o ciclista abrandou.

Se ainda não te sentes à vontade com velocidades com sinal, vale a pena esclarecer primeiro a diferença entre rapidez e velocidade. Consulta Rapidez e velocidade: Física HSC explicada de forma clara.

05Um método de preparação fiável

Quando encontrares uma questão de aceleração constante que envolva velocidade inicial, velocidade final, aceleração e tempo, segue esta sequência.

1. Escolhe um sentido positivo.
2. Escreve as grandezas conhecidas com os respetivos sinais e unidades.
3. Identifica a incógnita.
4. Usa \(v=u+at\), ou reorganiza a equação se necessário.
5. Substitui os valores apenas depois de a equação estar organizada.
6. Interpreta fisicamente o sinal da resposta.

O último passo não é apenas um detalhe. Em questões de velocidade, o sinal pode indicar se o objeto inverteu o sentido do movimento.

06Uma aceleração negativa nem sempre significa que o objeto está a abrandar

Imagina duas pessoas a caminhar uma em direção à outra num corredor. Decides que a direita é positiva.

Uma pessoa desloca-se para a direita, por isso a sua velocidade é positiva. A outra desloca-se para a esquerda, por isso a sua velocidade é negativa. Nada nesses sinais te diz qual delas está a aumentar a rapidez.

Com a aceleração acontece o mesmo.

Um objeto aumenta a rapidez quando a sua aceleração aponta no mesmo sentido da sua velocidade.

Abranda quando a aceleração aponta no sentido oposto ao da velocidade.

Assim, as quatro combinações são possíveis:

A terceira linha costuma parecer estranha. Se tanto a velocidade como a aceleração forem negativas, o objeto está a deslocar-se no sentido negativo e a acelerar ainda mais nesse mesmo sentido. A sua velocidade pode passar de \(-3\ \text{m s}^{-1}\) para \(-7\ \text{m s}^{-1}\). O número tornou-se “mais negativo”, mas a rapidez aumentou de \(3\ \text{m s}^{-1}\) para \(7\ \text{m s}^{-1}\).

O sinal negativo indica direção, não algo necessariamente mau.

07Reorganizar \(v=u+at\)

Nem sempre te será pedido que determines \(v\).

A mesma equação pode ser usada para determinar qualquer uma das suas quatro grandezas, desde que as outras três sejam conhecidas.

Partindo de:

\[
v=u+at
\]

podes obter:

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

e:

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

Não tentes memorizar quatro equações separadas. Parte de \(v=u+at\) e reorganiza-a.

Há também uma verificação física útil escondida na última forma:

\[
t=\frac{\text{variação da velocidade}}{\text{variação da velocidade por segundo}}
\]

É exatamente o que seria de esperar que o tempo representasse.

08A armadilha escondida em “fica em repouso”

Imagina que uma questão diz que um objeto “fica em repouso”.

Isso dá-te:

\[
v=0
\]

Não significa automaticamente:

\[
a=0
\]

Um objeto pode ter velocidade zero num determinado instante e continuar a ter aceleração.

Uma bola lançada verticalmente para cima é o exemplo clássico. No ponto mais alto da sua trajetória, a sua velocidade vertical é momentaneamente zero, mas a aceleração devida à gravidade continua dirigida para baixo.

Da mesma forma, o carrinho do exemplo anterior tinha \(v=0\) após \(2.5\ \text{s}\), mas a sua aceleração continuava a ser \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\).

A velocidade descreve o movimento num determinado instante. A aceleração descreve como a velocidade está a variar nesse instante. São grandezas diferentes.

09Quando não deves usar \(v=u+at\)

A equação pressupõe aceleração constante.

Considera um carro cuja aceleração é:

• \(1\ \text{m s}^{-2}\) durante o primeiro segundo,
• \(4\ \text{m s}^{-2}\) durante o segundo segundo,
• \(0\ \text{m s}^{-2}\) durante o terceiro segundo.

Não existe um único valor constante de \(a\) que descreva todo o intervalo de três segundos.

Por isso, seria incorreto escolher uma dessas acelerações e escrever:

\[
v=u+at
\]

para o intervalo completo.

Poderias usar a equação separadamente em cada intervalo em que a aceleração é constante? Sim. Poderias calcular a variação da velocidade, secção a secção.

Em alternativa, a variação total da velocidade corresponde à área sob o gráfico aceleração-tempo.

Isto mostra algo mais profundo sobre \(v=u+at\). Num gráfico aceleração-tempo com aceleração constante, o gráfico é uma linha horizontal. A área por baixo é um retângulo:

\[
\text{área}=a\times t
\]

e essa área é:

\[
\Delta v=at
\]

Portanto, a equação é, na verdade, um caso particular de uma ideia mais geral sobre acumulação.

10Questões e soluções

Questão 1

Uma praticante de skate desloca-se para leste a \(4.0\ \text{m s}^{-1}\). Acelera uniformemente para leste a \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) durante \(6.0\ \text{s}\). Determina a sua velocidade final.

Solução 1

A velocidade final da praticante de skate é \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ para leste}}\).

Escolhe leste como sentido positivo:

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

Usando:

\[
v=u+at
\]

obtém-se:

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

O sinal positivo significa que a praticante de skate se desloca para leste. A sua velocidade aumentou \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) durante os seis segundos.

Questão 2

Um robô desloca-se ao longo de uma trajetória retilínea a \(11\ \text{m s}^{-1}\) para a direita. Fica sujeito a uma aceleração constante de \(2.5\ \text{m s}^{-2}\) para a esquerda.

Quanto tempo demora o robô a ficar momentaneamente em repouso?

Solução 2

O robô fica em repouso após \(\boxed{4.4\ \text{s}}\).

Escolhe a direita como sentido positivo. Então:

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

“Fica em repouso” significa que a velocidade final nesse instante é:

\[
v=0
\]

Usando:

\[
v=u+at
\]

obtemos:

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

O ponto importante é que a aceleração do robô não é zero quando ele para. A sua velocidade é zero por um instante, mas a aceleração para a esquerda mantém-se, pelo que começaria depois a deslocar-se para a esquerda se a aceleração continuasse.

Questão 3

Um objeto tem uma velocidade inicial de \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) e uma aceleração constante de \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Um aluno afirma: “A aceleração negativa significa que o objeto tem de estar a abrandar.”

Determina a velocidade do objeto após \(2.0\ \text{s}\) e avalia a afirmação do aluno.

Solução 3

A velocidade final é \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\), e o aluno está incorreto porque o objeto está a aumentar a rapidez.

Usando:

\[
v=u+at
\]

obtém-se:

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

A rapidez inicial era \(7.0\ \text{m s}^{-1}\). A rapidez final é \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Tanto a velocidade como a aceleração são negativas, por isso apontam no mesmo sentido. A aceleração aumenta, portanto, o módulo da velocidade.

A ideia errada que pode surgir é interpretar uma aceleração negativa como “desaceleração”. Um sinal negativo apenas especifica a direção relativamente ao sistema de coordenadas escolhido.

Questão 4

Um carrinho desloca-se para a direita a \(8.0\ \text{m s}^{-1}\). Uma aceleração constante atua para a esquerda. Após \(3.0\ \text{s}\), o carrinho desloca-se para a esquerda a \(1.0\ \text{m s}^{-1}\).

Determina a aceleração do carrinho. Depois, determina em que instante, durante o intervalo de \(3.0\ \text{s}\), ele mudou de sentido.

Solução 4

A aceleração do carrinho é \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\), e ele muda de sentido após aproximadamente \(\boxed{2.7\ \text{s}}\).

Escolhe a direita como sentido positivo:

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

Primeiro, determina a aceleração:

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

O sinal negativo significa que a aceleração aponta para a esquerda.

Para determinar quando o carrinho muda de sentido, repara que primeiro tem de passar por uma velocidade nula. Faz \(v=0\):

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

Portanto, o carrinho fica momentaneamente em repouso aproximadamente em:

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

Depois, passa os restantes \(0.33\ \text{s}\) a deslocar-se para a esquerda.

O ponto menos evidente é que uma velocidade final negativa diz mais do que “o objeto abrandou”. Prova que o objeto passou por \(v=0\) e inverteu o sentido, desde que a velocidade tenha variado continuamente.

Questão 5

Dois carrinhos idênticos começam com a mesma velocidade de \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) para a direita.

O carrinho A tem uma aceleração constante de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) durante \(4.0\ \text{s}\).

O carrinho B tem uma aceleração de \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) durante os primeiros \(2.0\ \text{s}\), seguida de \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) durante os \(2.0\ \text{s}\) seguintes.

Um aluno aplica \(v=u+at\) aos dois carrinhos usando \(t=4.0\ \text{s}\). Explica por que razão essa abordagem funciona diretamente para o carrinho A, mas não para o carrinho B. Depois, calcula a velocidade final de cada carrinho.

Solução 5

O carrinho A termina a \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\), enquanto o carrinho B termina a \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\). Uma única aplicação de \(v=u+at\) funciona diretamente para o carrinho A porque a sua aceleração é constante durante os \(4.0\ \text{s}\) completos, mas a aceleração do carrinho B varia.

Para o carrinho A:

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

portanto:

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Para o carrinho B, calcula separadamente cada intervalo de aceleração constante.

Durante os primeiros \(2.0\ \text{s}\):

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Esse valor passa a ser a velocidade inicial do segundo intervalo.

Durante os \(2.0\ \text{s}\) seguintes:

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

Portanto:

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

A armadilha consiste em tratar a aceleração como se fosse sempre um único número fixo sempre que uma equação contém o símbolo \(a\). A equação \(v=u+at\) pressupõe que o valor escolhido de \(a\) permanece constante durante todo o intervalo.

Para o carrinho B, as duas fases de aceleração produzem variações da velocidade de:

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

e:

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

o que dá uma variação total da velocidade de:

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Esse mesmo raciocínio conduz naturalmente aos gráficos aceleração-tempo, nos quais a variação da velocidade é determinada pela área algébrica total sob o gráfico, em vez de um único retângulo \(at\).