Pêndulos cónicos: decomposição da tensão e do peso em Física HSC

Uma massa oscila presa a um fio, descrevendo um círculo perfeitamente horizontal. A sua altura permanece constante, embora a gravidade a puxe para baixo durante todo o movimento.

Então surge a questão: se a massa não tem aceleração vertical, o que a impede de cair? E, se o fio está inclinado, que força é que realmente faz a massa descrever um círculo?

Antes de continuar a leitura, faça esta previsão: a tensão no fio é igual à força centrípeta?

Não é. Essa ideia tentadora está na origem da maioria dos erros neste modelo.

01Uma força de tensão desempenha duas funções

Imagine a massa vista de lado. O fio estende-se diagonalmente desde a massa até ao ponto de suspensão fixo.

Existem apenas duas forças a atuar sobre a massa:

• o seu peso, \(mg\), verticalmente para baixo
• a tensão, \(F_T\), ao longo do fio em direção ao ponto de suspensão

Não existe uma força separada chamada “força centrípeta”. Força centrípeta é o nome dado à força resultante dirigida para o centro de uma trajetória circular. Se esta distinção não estiver clara, consulte Força centrípeta: como identificar a força real em Física HSC.

Suponha que o fio faz um ângulo \(\theta\) com a vertical.

A tensão aponta numa direção diagonal, por isso podemos decompô-la em duas componentes perpendiculares:

• \(F_T\cos\theta\) verticalmente para cima
• \(F_T\sin\theta\) horizontalmente em direção ao centro do círculo

A componente vertical impede a massa de cair. A componente horizontal faz com que ela descreva a curva.

Isto é um pouco como puxar uma mala com rodas usando uma pega inclinada para cima. Uma única força de tração pode ter uma componente para cima e uma componente para a frente. A analogia termina aí, porque a mala também está sujeita a forças exercidas pelo chão, enquanto a nossa massa está sujeita apenas à tensão e ao peso.

02Comece pelas acelerações, não pelas forças

A expressão “círculo horizontal” diz-lhe algo essencial sobre a aceleração.

A massa não se desloca para cima nem para baixo. Portanto, a sua aceleração vertical é zero.

Mas a sua velocidade horizontal está constantemente a mudar de direção, pelo que existe uma aceleração centrípeta em direção ao centro:

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

onde:

• \(a_c\) é a aceleração centrípeta em \(\text{m s}^{-2}\)
• \(v\) é a rapidez em \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) é o raio do círculo horizontal em metros

Agora, a segunda lei de Newton pode ser aplicada separadamente nas direções vertical e horizontal.

Este par de equações constitui a base do modelo.

Repare no que elas significam fisicamente. Não é a tensão total que produz a aceleração centrípeta. Apenas a sua componente horizontal o faz.

03Porque é que a tensão é maior do que a força centrípeta

Uma primeira tentativa comum é

\[ F_T=\frac{mv^2}{r} \]

mas isto não pode estar correto para o fio inclinado mostrado acima.

Se toda a tensão fosse utilizada horizontalmente, não existiria nenhuma força para cima que equilibrasse \(mg\). A massa aceleraria para baixo, pelo que a sua trajetória não poderia permanecer num único plano horizontal.

Em vez disso,

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

e

\[ F_T\cos\theta=mg \]

Como \(F_T\) tem de fornecer ambas as componentes,

\[ F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2} \]

Portanto, \(F_T\) é maior tanto do que \(mg\) como do que a força centrípeta horizontal necessária.

Existe outra relação útil. Divida a equação horizontal pela equação vertical:

\[ \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

logo,

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

A massa cancela-se. Para uma determinada rapidez e um determinado raio, alterar a massa não altera o ângulo necessário. No entanto, altera a tensão.

04O raio normalmente não é igual ao comprimento do fio

Suponha agora que o fio tem comprimento \(L\).

É tentador escrever \(r=L\). Isso só seria verdade se o fio estivesse na horizontal.

Num pêndulo cónico, o raio horizontal é a componente horizontal do comprimento do fio:

\[ r=L\sin\theta \]

A distância vertical entre o ponto de suspensão e o plano do círculo é

\[ L\cos\theta \]

Esta geometria torna-se importante sempre que uma questão fornece o comprimento do fio em vez do raio.

05Uma relação útil para um pêndulo cónico

Existe outra forma de descrever o movimento recorrendo à velocidade angular.

A velocidade angular é

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

onde \(\omega\) é medida em \(\text{rad s}^{-1}\).

A equação da força horizontal torna-se

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

e, como \(r=L\sin\theta\),

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta \]

Para uma verdadeira órbita circular, \(\sin\theta\neq0\), portanto

\[ F_T=m\omega^2L \]

Combine isto com

\[ F_T\cos\theta=mg \]

para obter

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

e, portanto,

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

Como \(P=2\pi/\omega\),

\[ P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \]

Esta relação contém um resultado ligeiramente surpreendente: o período depende da distância vertical \(L\cos\theta\) entre o ponto de suspensão e a trajetória circular, e não diretamente do raio.

Esta observação torna-se importante na última questão abaixo.

06Uma regra de decisão compacta

Quando vir uma massa a mover-se num círculo horizontal presa a um fio inclinado:

1. Desenhe apenas as forças reais: tensão e peso.
2. Escolha as direções vertical e horizontal para dentro.
3. Use aceleração vertical nula:

\[   F_T\cos\theta=mg \]

1. Use a aceleração centrípeta na horizontal:

\[   F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

1. Se for dado o comprimento do fio, relacione o modelo de forças com a geometria:

\[   r=L\sin\theta \]

Estas equações pressupõem que \(\theta\) é medido a partir da vertical. Se uma questão medir o ângulo a partir da horizontal, as componentes de seno e cosseno trocam de lugar. Volte a desenhar o triângulo, em vez de tentar memorizar um segundo conjunto de equações.

07Questões e soluções

Questão 1

Uma massa de \(0.30\ \text{kg}\) move-se a \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) num círculo horizontal de raio \(0.80\ \text{m}\). Determine:

a. a componente horizontal da tensão
b. a componente vertical da tensão
c. a tensão total
d. o ângulo do fio em relação à vertical

Use \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solução 1

As componentes horizontal e vertical são \(3.38\ \text{N}\) e \(2.94\ \text{N}\), respetivamente, resultando numa tensão total de \(4.48\ \text{N}\) a \(48.9^\circ\) da vertical.

Na direção horizontal,

\[ F_{T,x} = \frac{mv^2}{r} = \frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80} = 3.375\ \text{N} \]

portanto,

\[ F_{T,x}=3.38\ \text{N} \]

Na vertical, a aceleração é zero:

\[ F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N} \]

A tensão total é o módulo do vetor:

\[ F_T = \sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2} = 4.48\ \text{N} \]

Por fim,

\[ \tan\theta=\frac{3.375}{2.94} \]

logo,

\[ \theta=48.9^\circ \]

Um atalho tentador é considerar \(3.38\ \text{N}\) como sendo a tensão, porque esse valor é igual a \(mv^2/r\). Mas trata-se apenas da componente horizontal da tensão. O mesmo vetor tensão também tem de fornecer a componente de \(2.94\ \text{N}\) para cima que equilibra o peso.

Questão 2

Uma massa de \(0.20\ \text{kg}\) está suspensa por um fio de \(1.00\ \text{m}\) e move-se como um pêndulo cónico. O fio está a \(50^\circ\) da vertical.

Calcule:

a. o raio da trajetória circular
b. a tensão no fio
c. a rapidez da massa
d. o período

Use \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solução 2

O raio é \(0.766\ \text{m}\), a tensão é \(3.05\ \text{N}\), a rapidez é \(2.99\ \text{m s}^{-1}\) e o período é \(1.61\ \text{s}\).

Comece por usar a geometria do fio:

\[ r=L\sin\theta =(1.00)\sin50^\circ =0.766\ \text{m} \]

Na vertical,

\[ F_T\cos50^\circ=mg \]

logo,

\[ F_T = \frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ} = 3.05\ \text{N} \]

A sua componente horizontal é

\[ F_T\sin50^\circ = (3.05)\sin50^\circ = 2.34\ \text{N} \]

Portanto,

\[ 2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766} \]

o que dá

\[ v = \sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}} = 2.99\ \text{m s}^{-1} \]

O período é

\[ P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi(0.766)}{2.99} = 1.61\ \text{s} \]

O erro tentador é usar \(r=1.00\ \text{m}\). O comprimento do fio é a hipotenusa do triângulo geométrico; o raio do círculo é a sua componente horizontal, \(L\sin\theta\).

Questão 3

Uma massa move-se como um pêndulo cónico com um período de \(1.80\ \text{s}\).

Inicialmente, o seu fio tem \(1.00\ \text{m}\) de comprimento.

a. Determine o ângulo do fio em relação à vertical e o raio do círculo.

Em seguida, o fio é encurtado para \(0.70\ \text{m}\), enquanto um mecanismo tenta manter o período exatamente em \(1.80\ \text{s}\).

b. Pode a massa estabilizar num pêndulo cónico de raio diferente de zero com esse período? Justifique a sua resposta física e matematicamente.

Use \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solução 3

Inicialmente, o ângulo é \(36.5^\circ\) e o raio é \(0.594\ \text{m}\). Depois de o fio ser encurtado para \(0.70\ \text{m}\), não é possível existir um estado de pêndulo cónico com raio diferente de zero e período de \(1.80\ \text{s}\).

A velocidade angular correspondente ao período é

\[ \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{1.80} = 3.49\ \text{rad s}^{-1} \]

Para um pêndulo cónico,

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

logo,

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

Para \(L=1.00\ \text{m}\),

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)} = 0.804 \]

Portanto,

\[ \theta=36.5^\circ \]

e

\[ r=L\sin\theta = (1.00)\sin36.5^\circ = 0.594\ \text{m} \]

Agora, encurte o fio para \(0.70\ \text{m}\), mantendo o mesmo \(\omega\):

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)} = 1.15 \]

Mas nenhum ângulo real pode ter \(\cos\theta>1\).

Logo, o movimento circular estacionário pedido é impossível.

A ideia tentadora é pensar que o sistema poderia simplesmente aumentar a tensão até o fio mais curto funcionar. A tensão não pode corrigir livremente todas as restrições de forma independente. O equilíbrio vertical, a aceleração centrípeta horizontal, a velocidade angular especificada e a geometria fixa do fio têm de ser satisfeitos simultaneamente. Neste caso, exigem um valor impossível de \(\cos\theta\).

De forma equivalente, para esta velocidade angular existe um comprimento mínimo possível do fio:

\[ L_{\min}=\frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{(3.49)^2} = 0.804\ \text{m} \]

O fio proposto, de \(0.70\ \text{m}\), é mais curto do que este limite.

Questão 4

Uma massa de \(0.40\ \text{kg}\) move-se como um pêndulo cónico presa a um fio de \(1.00\ \text{m}\). A sua trajetória circular encontra-se \(1.25\ \text{m}\) acima de um piso horizontal.

O fio parte-se subitamente. Ignore a resistência do ar. A massa atinge o chão a \(1.10\ \text{m}\), horizontalmente, do ponto do chão diretamente abaixo da posição em que o fio se partiu.

Determine:

a. a rapidez imediatamente antes de o fio se partir
b. o ângulo que o fio fazia com a vertical
c. a tensão no fio imediatamente antes de se partir

Use \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solução 4

Imediatamente antes de o fio se partir, a massa deslocava-se a \(2.18\ \text{m s}^{-1}\), o fio estava a \(38.1^\circ\) da vertical e a sua tensão era \(4.98\ \text{N}\).

No instante em que o fio se parte, a massa mantém a sua velocidade instantânea. Essa velocidade é horizontal e tangente à trajetória circular.

A sua velocidade vertical inicial é, portanto, zero.

Para a queda de \(1.25\ \text{m}\),

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

logo,

\[ 1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2 \]

e

\[ t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} = 0.505\ \text{s} \]

Na horizontal,

\[ v=\frac{d}{t} = \frac{1.10}{0.505} = 2.18\ \text{m s}^{-1} \]

Antes de o fio se partir, a relação do pêndulo cónico era

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

mas o raio ainda não é conhecido. Como o fio tem comprimento \(L=1.00\ \text{m}\),

\[ r=L\sin\theta \]

Portanto,

\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta = gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

Seja \(c=\cos\theta\). Como \(\sin^2\theta=1-c^2\),

\[ \frac{v^2}{gL} = \frac{1-c^2}{c} \]

Usando \(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\),

\[ \frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)} = 0.484 \]

logo,

\[ 0.484=\frac{1-c^2}{c} \]

e, portanto,

\[ c^2+0.484c-1=0 \]

A raiz fisicamente válida é

\[ c=0.787 \]

logo,

\[ \cos\theta=0.787 \]

e

\[ \theta=38.1^\circ \]

Por fim, o equilíbrio vertical antes de o fio se partir dá

\[ F_T\cos\theta=mg \]

logo,

\[ F_T = \frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ} = 4.98\ \text{N} \]

Uma abordagem tentadora é tratar o deslocamento de projétil de \(1.10\ \text{m}\) como se fosse o raio do círculo original. Não é. Depois de o fio se partir, a massa desloca-se inicialmente ao longo de uma tangente à sua antiga trajetória. O movimento de projétil permite determinar a rapidez tangencial; o raio original tem depois de ser obtido a partir da geometria do fio e das equações do movimento circular.

Questão 5

Dois pêndulos cónicos diferentes têm os seus pontos de suspensão no mesmo nível horizontal.

No pêndulo A, o comprimento do fio é \(1.20\ \text{m}\). No pêndulo B, o comprimento do fio é \(0.80\ \text{m}\).

Em ambos os casos, a trajetória circular horizontal encontra-se exatamente \(0.60\ \text{m}\) verticalmente abaixo do ponto de suspensão. As massas não têm de ser iguais.

Um estudante argumenta:

O pêndulo A tem o maior raio circular, por isso deve demorar mais tempo a completar cada volta.

Determine se os períodos são realmente diferentes. Em seguida, calcule o raio e a rapidez linear de cada massa.

Use \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Solução 5

Os dois pêndulos têm exatamente o mesmo período, \(1.55\ \text{s}\), embora o pêndulo A tenha o maior raio e se desloque com maior rapidez linear.

Seja \(h\) a distância vertical entre o ponto de suspensão e o plano do círculo.

Pela geometria,

\[ h=L\cos\theta \]

Para o equilíbrio das forças,

\[ F_T\cos\theta=mg \]

e

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

Divida a equação horizontal pela equação vertical:

\[ \tan\theta=\frac{\omega^2r}{g} \]

Mas a geometria do fio também dá

\[ \tan\theta=\frac{r}{h} \]

Portanto,

\[ \frac{r}{h} = \frac{\omega^2r}{g} \]

Ambos os pêndulos têm raios diferentes de zero, pelo que \(r\) se cancela:

\[ \omega^2=\frac{g}{h} \]

Esta é a restrição fundamental. O raio parece importante, mas, quando se exige simultaneamente o cumprimento das equações das forças e da geometria do fio, ele desaparece da expressão da velocidade angular.

Com \(h=0.60\ \text{m}\),

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.60}} = 4.04\ \text{rad s}^{-1} \]

Assim,

\[ P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4.04} = 1.55\ \text{s} \]

para ambos os pêndulos.

Determine agora os raios.

Para o pêndulo A,

\[ r_A = \sqrt{L_A^2-h^2} = \sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2} = 1.04\ \text{m} \]

Para o pêndulo B,

\[ r_B = \sqrt{L_B^2-h^2} = \sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2} = 0.529\ \text{m} \]

A rapidez linear é \(v=\omega r\).

Portanto,

\[ v_A = (4.04)(1.04) = 4.20\ \text{m s}^{-1} \]

e

\[ v_B = (4.04)(0.529) = 2.14\ \text{m s}^{-1} \]

O pêndulo A percorre de facto uma circunferência maior, mas também se desloca mais depressa exatamente na medida necessária para manter o período inalterado.

O argumento do estudante trata o raio e a rapidez como se um pudesse variar enquanto o outro permanecesse fixo. Num pêndulo cónico, ambos estão relacionados pelo equilíbrio das forças e pela geometria. Quando a distância vertical \(h=L\cos\theta\) é a mesma, a velocidade angular é determinada por

\[ \omega=\sqrt{\frac{g}{h}} \]

independentemente da massa ou do raio.

08O que este modelo lhe permite fazer a seguir

O hábito importante aqui não é memorizar duas equações de componentes. É decidir em que direção existe realmente aceleração.

Para uma trajetória circular horizontal, a aceleração vertical é zero, por isso as forças verticais equilibram-se. Horizontalmente, existe uma aceleração para dentro, pelo que as componentes horizontais das forças reais têm de produzir \(mv^2/r\).

A mesma abordagem aplica-se a problemas mais difíceis de movimento circular. Se o círculo estiver inclinado, for vertical ou estiver sujeito a mais do que uma força de suporte, as equações das componentes mudam, mas o método mantém-se: escolha a direção radial, identifique as forças reais, decomponha-as e só depois escreva a segunda lei de Newton.