Động lượng hay động năng? Hướng dẫn giải bài toán va chạm

Một xe lăn khối lượng 2.0 kg đang chuyển động với vận tốc \(+4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) va chạm với một xe lăn khối lượng 1.0 kg đang đứng yên. Tổng động lượng của hai xe trước va chạm là \(+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\). Bạn có thể xác định cả hai vận tốc cuối chỉ từ thông tin đó không?

Trước khi chọn phương trình, hãy xem xét ba khả năng: bảo toàn động lượng, bảo toàn động năng hoặc bảo toàn cả hai. Lựa chọn đúng phụ thuộc vào hệ mà bạn đang nghiên cứu, các ngoại lực tác dụng trong quá trình va chạm và những thông tin bạn biết về bản chất của va chạm.

Điều quan trọng là bắt đầu từ động lượng, với điều kiện xung lượng tổng hợp của ngoại lực không đáng kể. Động năng là một điều kiện bổ sung, chứ không phải đại lượng mặc nhiên được bảo toàn mỗi khi các vật va chạm.

01Xác định hệ trước khi chọn phương trình

Hệ là tập hợp các vật có chuyển động mà bạn đang phân tích. Trong một vụ va chạm, việc quyết định những vật nào thuộc hệ sẽ ảnh hưởng đến việc xác định lực nào được xem là ngoại lực.

Hãy tưởng tượng hai xe lăn va chạm trên một đường ray.

Nếu hệ của bạn bao gồm cả hai xe lăn, các lực mà chúng tác dụng lên nhau là nội lực. Theo định luật III Newton, các lực này có độ lớn bằng nhau và ngược chiều nhau. Vì vậy, khi xét tổng động lượng của cả hai xe, các xung lượng do những lực này gây ra sẽ triệt tiêu nhau.

Tuy nhiên, nếu hệ của bạn chỉ bao gồm xe lăn thứ nhất, lực do xe lăn thứ hai tác dụng là ngoại lực đối với hệ đã chọn. Động lượng của xe lăn thứ nhất sẽ thay đổi trong quá trình va chạm.

Ngoại lực có tự động đồng nghĩa với việc động lượng không được bảo toàn không?

Không nhất thiết. Bạn cần xem xét xung lượng của ngoại lực trong quá trình va chạm.

Xung lượng đo lường tác dụng của một lực trong một khoảng thời gian. Đối với một hệ, xung lượng tổng hợp của ngoại lực bằng độ biến thiên tổng động lượng của hệ:

\[ J_{\text{ext}}=\Delta p_{\text{system}} =p_f-p_i \]

Trong đó:

• \(J_{\text{ext}}\) là xung lượng tổng hợp của ngoại lực, được đo bằng niutơn giây (\(\mathrm{N\,s}\)).
• \(p_i\) là tổng động lượng của hệ trước va chạm.
• \(p_f\) là tổng động lượng của hệ sau va chạm.

Nếu xung lượng tổng hợp của ngoại lực bằng không, hoặc không đáng kể so với độ biến thiên động lượng mà bạn đang nghiên cứu, tổng động lượng được bảo toàn:

\[ p_i\approx p_f \]

Nếu xung lượng của ngoại lực đáng kể, hãy sử dụng hệ thức tổng quát hơn:

\[ p_f=p_i+J_{\text{ext}} \]

Sự phân biệt này rất hữu ích trong các câu hỏi HSC. Một lực va chạm lớn có thể tác dụng giữa hai vật trong khi tổng động lượng của cả hai vật vẫn được bảo toàn, vì lực đó là nội lực đối với hệ gồm hai vật. Trong khi đó, lực ma sát từ đường ray là ngoại lực và có thể làm thay đổi tổng động lượng của cả hai vật.

Điều quan trọng không chỉ đơn giản là có tồn tại ngoại lực hay không, mà là liệu có thể bỏ qua xung lượng tổng hợp của ngoại lực trong quá trình va chạm hay không.

02Động lượng là điểm khởi đầu của các bài toán va chạm

Động lượng kết hợp khối lượng và vận tốc của một vật:

\[ p=mv \]

Trong đó, \(p\) là động lượng, \(m\) là khối lượng tính bằng kilôgam và \(v\) là vận tốc tính bằng mét trên giây. Động lượng là một đại lượng vectơ, vì vậy chiều chuyển động rất quan trọng.

Đối với va chạm một chiều giữa hai vật, định luật bảo toàn động lượng cho ta:

\[ m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2 \]

Trong đó:

• \(m_1\) và \(m_2\) là khối lượng của hai vật.
• \(u_1\) và \(u_2\) là vận tốc ban đầu của hai vật.
• \(v_1\) và \(v_2\) là vận tốc cuối của hai vật.

Hãy chọn chiều dương trước khi thay các giá trị vào phương trình. Nếu chiều sang phải là chiều dương, một vật chuyển động sang trái sẽ có vận tốc âm.

Phương trình này áp dụng cho cả va chạm đàn hồi và va chạm không đàn hồi, với điều kiện xung lượng tổng hợp của ngoại lực tác dụng lên hệ đã chọn không đáng kể.

Đây là một điểm phân biệt quan trọng. Định luật bảo toàn động lượng không yêu cầu các vật phải bật nảy hoàn hảo, giữ nguyên tốc độ ban đầu hay bảo toàn toàn bộ động năng. Điều kiện cần là tổng động lượng của hệ không thay đổi.

Tuy nhiên, chỉ riêng động lượng có thể không đủ để xác định mọi đại lượng chưa biết. Nếu có hai vật với hai vận tốc cuối chưa biết, phương trình động lượng chỉ cung cấp một mối quan hệ giữa chúng. Bạn sẽ cần thêm một điều kiện để xác định cả hai vận tốc.

Đó là lúc tính chất năng lượng của va chạm trở nên quan trọng.

03Động năng là một điều kiện bổ sung

Động năng là năng lượng mà một vật có được do chuyển động của nó:

\[ E_k=\frac12mv^2 \]

Khác với động lượng, động năng là một đại lượng vô hướng. Vì vận tốc được bình phương nên chiều chuyển động không ảnh hưởng đến giá trị động năng.

Đối với hệ gồm hai vật, tổng động năng trước va chạm là:

\[ E_{k,i}=\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2 \]

Biểu thức tương ứng sau va chạm là:

\[ E_{k,f}=\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2 \]

Hai đại lượng này có bằng nhau hay không phụ thuộc vào loại va chạm.

Va chạm đàn hồi

Một va chạm đàn hồi bảo toàn tổng động năng của các vật va chạm:

\[ E_{k,i}=E_{k,f} \]

Nếu xung lượng tổng hợp của ngoại lực cũng không đáng kể, bạn có thể áp dụng cả định luật bảo toàn động lượng và định luật bảo toàn động năng.

Hai định luật này cung cấp hai mối quan hệ độc lập, có thể đủ để xác định hai vận tốc cuối chưa biết.

Va chạm không đàn hồi

Trong một va chạm không đàn hồi, tổng động năng không được bảo toàn. Một phần động năng được chuyển thành các dạng năng lượng khác, chẳng hạn như năng lượng biến dạng, âm thanh, nhiệt năng hoặc nội năng.

Động lượng vẫn có thể được bảo toàn đồng thời.

Nếu hai vật dính vào nhau sau va chạm, đó được gọi là va chạm mềm hoàn toàn (va chạm không đàn hồi hoàn toàn). Hai vật có cùng vận tốc cuối:

\[ v_1=v_2=v_f \]

Vận tốc chung này cung cấp một điều kiện bổ sung. Bạn có thể tính vận tốc đó bằng định luật bảo toàn động lượng mà không cần giả định rằng động năng được bảo toàn.

Động năng của các vật nhìn chung sẽ giảm sau khi chúng dính vào nhau, mặc dù tổng năng lượng của toàn hệ vẫn được bảo toàn.

Có một điểm cần lưu ý đối với những câu hỏi nâng cao hơn: nếu lò xo hoặc một nguồn dự trữ năng lượng nội tại khác giải phóng năng lượng trong quá trình va chạm, tổng động năng của các vật thực sự có thể tăng lên. Điều đó vẫn không khiến va chạm trở thành va chạm đàn hồi. Tính đàn hồi được xác định dựa trên việc tổng động năng có giữ nguyên hay không.

04Trình tự lựa chọn phương pháp thực hành

Hãy sử dụng trình tự sau mỗi khi một bài toán va chạm yêu cầu bạn tính vận tốc cuối, độ biến thiên năng lượng hoặc cả hai.

Bảng lựa chọn phương pháp

Bốn câu hỏi cần tự đặt ra trước khi tính toán

• Những vật nào thuộc hệ của tôi?
• Xung lượng tổng hợp của ngoại lực trong quá trình va chạm có không đáng kể không?
• Đề bài có nêu rõ va chạm là đàn hồi, các vật dính vào nhau hay cung cấp một điều kiện khác không?
• Sau khi viết các phương trình mà tôi có cơ sở hợp lý để sử dụng, tôi đã có đủ các mối quan hệ độc lập để tìm tất cả đại lượng chưa biết chưa?

Nếu bạn không thể giải thích vì sao động năng được bảo toàn, đừng sử dụng định luật đó. Nếu số đại lượng chưa biết nhiều hơn số phương trình độc lập, bạn cần thêm thông tin vật lý. Dù biến đổi phương trình bao nhiêu lần, bạn cũng không thể tạo ra một điều kiện còn thiếu.

• Tổng động năng

07Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một xe lăn khối lượng 1.5 kg chuyển động sang phải với vận tốc \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) và va chạm với một xe lăn khối lượng 2.5 kg đang đứng yên. Hai xe khóa chặt vào nhau, và xung lượng ngang tổng hợp của ngoại lực không đáng kể.

Hãy tính vận tốc cuối chung của hai xe và độ giảm tổng động năng.

Lời giải 1

Hai xe lăn chuyển động cùng nhau với vận tốc \(+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), và tổng động năng của chúng giảm khoảng \(16.9\ \mathrm J\).

Vì hai xe dính vào nhau nên chúng có cùng một vận tốc cuối. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:

\[ \begin{aligned} (1.5)(6.0)+(2.5)(0)&=(1.5+2.5)v_f\\ 9.0&=4.0v_f\\ v_f&=+2.25\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Bây giờ, hãy tính động năng ban đầu:

\[ E_{k,i}=\frac12(1.5)(6.0)^2 =27.0\ \mathrm J \]

Động năng cuối là:

\[ E_{k,f}=\frac12(4.0)(2.25)^2 =10.125\ \mathrm J \]

Do đó,

\[ \begin{aligned} E_{k,\text{decrease}} &=27.0-10.125\\ &=16.875\ \mathrm J\\ &\approx16.9\ \mathrm J \end{aligned} \]

Động năng giảm vì va chạm là va chạm mềm hoàn toàn. Phép tính dựa trên định luật bảo toàn động lượng là hợp lệ, nhưng nếu bảo toàn động năng thì kết quả sẽ sai.

Câu hỏi 2

Một quả bóng khối lượng \(0.40\ \mathrm{kg}\) chuyển động sang phải với vận tốc \(12\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), va chạm với một quả bóng khối lượng \(0.60\ \mathrm{kg}\) đang chuyển động sang trái với vận tốc \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Sau va chạm, quả bóng thứ nhất chuyển động sang trái với vận tốc \(3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Giả sử xung lượng tổng hợp của ngoại lực tác dụng lên hệ gồm hai quả bóng không đáng kể.

Hãy tính vận tốc cuối của quả bóng thứ hai. Xác định xem va chạm có đàn hồi hay không.

Lời giải 2

Quả bóng thứ hai chuyển động sang phải với vận tốc \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), và va chạm là không đàn hồi vì tổng động năng giảm \(9.0\ \mathrm J\).

Chọn chiều sang phải là chiều dương. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:

\[ \begin{aligned} p_i&=(0.40)(+12)+(0.60)(-2.0)\\ &=3.6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Gọi \(v_2\) là vận tốc cuối của quả bóng thứ hai. Khi đó:

\[ \begin{aligned} 3.6&=(0.40)(-3.0)+(0.60)v_2\\ 3.6&=-1.2+0.60v_2\\ v_2&=\frac{4.8}{0.60}\\ &=+8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Bây giờ, hãy so sánh tổng động năng trước và sau va chạm.

Trước va chạm:

\[ \begin{aligned} E_{k,i} &=\frac12(0.40)(12)^2 +\frac12(0.60)(2.0)^2\\ &=28.8+1.2\\ &=30.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

Sau va chạm:

\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(0.40)(3.0)^2 +\frac12(0.60)(8.0)^2\\ &=1.8+19.2\\ &=21.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

Độ giảm động năng là:

\[ 30.0-21.0=9.0\ \mathrm J \]

Va chạm không đàn hồi vì tổng động năng thay đổi. Động lượng vẫn được bảo toàn vì xung lượng tổng hợp của ngoại lực không đáng kể. Đây là hai điều kiện riêng biệt, và việc thỏa mãn điều kiện này không tự động đồng nghĩa với việc thỏa mãn điều kiện kia.

Câu hỏi 3

Một đĩa trượt khối lượng \(1.0\ \mathrm{kg}\) chuyển động sang phải với vận tốc \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) và va chạm với một đĩa trượt khối lượng \(2.0\ \mathrm{kg}\) đang đứng yên. Hai đĩa dính vào nhau.

Trong khoảng thời gian va chạm \(0.20\ \mathrm s\), lực ngang tổng hợp trung bình của ngoại lực tác dụng lên hệ gồm hai đĩa trượt là \(5.0\ \mathrm N\), hướng sang trái.

Hãy tính vận tốc cuối của hai đĩa sau khi kết hợp. Giải thích sai lầm trong phép tính giả định rằng tổng động lượng được bảo toàn.

Lời giải 3

Hai đĩa trượt kết hợp chuyển động sang phải với vận tốc \(1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Giả định rằng động lượng được bảo toàn sẽ cho kết quả sai là \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), vì xung lượng của ngoại lực không thể bỏ qua.

Tổng động lượng ban đầu là:

\[ p_i=(1.0)(6.0)+(2.0)(0) =6.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]

Xung lượng của ngoại lực là:

\[ \begin{aligned} J_{\text{ext}} &=F_{\text{avg}}\Delta t\\ &=(-5.0)(0.20)\\ &=-1.0\ \mathrm{N\,s} \end{aligned} \]

Sử dụng hệ thức xung lượng – động lượng:

\[ \begin{aligned} p_f&=p_i+J_{\text{ext}}\\ &=6.0-1.0\\ &=5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Tổng khối lượng của hai đĩa là \(3.0\ \mathrm{kg}\), nên:

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{p_f}{m_1+m_2}\\ &=\frac{5.0}{3.0}\\ &=+1.67\ \mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Nếu bạn sai lầm khi đặt \(p_f=p_i\), kết quả sẽ là:

\[ v_f=\frac{6.0}{3.0} =2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

Kết quả đó bỏ qua xung lượng \(-1.0\ \mathrm{N\,s}\) do môi trường xung quanh tác dụng lên hệ. Các nội lực va chạm triệt tiêu nhau trong phương trình tổng động lượng, nhưng ngoại lực từ môi trường xung quanh làm thay đổi động lượng của hệ.

Câu hỏi 4

Trong một vụ va chạm, các phép đo cho thấy động lượng của hai vật thay đổi như sau:

• Vật A thay đổi từ \(+10\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) thành \(+2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).
• Vật B thay đổi từ \(-4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\) thành \(+4\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).

Một học sinh cho rằng động lượng không được bảo toàn vì vật A mất động lượng. Một học sinh khác cho rằng động lượng được bảo toàn vì tổng động lượng của hai vật không thay đổi.

Hãy xác định học sinh nào đúng đối với hệ gồm hai vật và đối với riêng vật A. Tính xung lượng tổng hợp của ngoại lực tác dụng lên cả hai vật và giải thích liệu các dữ liệu có chứng minh được rằng va chạm là đàn hồi hay không.

Lời giải 4

Học sinh thứ hai đúng đối với hệ gồm hai vật, nhưng động lượng không được bảo toàn đối với riêng vật A. Xung lượng tổng hợp của ngoại lực tác dụng lên cả hai vật bằng không, và các phép đo không đủ để xác định va chạm có đàn hồi hay không.

Đối với hệ gồm hai vật, tổng động lượng ban đầu là:

\[ \begin{aligned} p_i&=+10+(-4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Tổng động lượng cuối là:

\[ \begin{aligned} p_f&=+2+(+4)\\ &=+6\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Do đó,

\[ J_{\text{ext}}=p_f-p_i=0\ \mathrm{N\,s} \]

Tổng động lượng của cả hai vật không thay đổi. Động lượng của vật A giảm \(8\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\), trong khi động lượng của vật B tăng một lượng tương đương. Hai độ biến thiên này triệt tiêu nhau.

Tuy nhiên, đối với riêng vật A, lực do vật B tác dụng là ngoại lực. Vì vậy, động lượng của vật A không được bảo toàn trong quá trình va chạm.

Cuối cùng, chỉ dựa vào các phép đo động lượng thì không thể xác định va chạm có đàn hồi hay không. Bạn cần có đủ thông tin về khối lượng và vận tốc của các vật để so sánh tổng động năng trước và sau va chạm. Tổng động lượng bằng nhau không có nghĩa là tổng động năng cũng bằng nhau.

Câu hỏi 5

Một xe lăn A khối lượng \(2.0\ \mathrm{kg}\) chuyển động sang phải với vận tốc \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) và va chạm với một xe lăn B khối lượng \(1.0\ \mathrm{kg}\) đang đứng yên. Xung lượng ngang tổng hợp của ngoại lực tác dụng lên hệ gồm hai xe lăn không đáng kể.

Ngay sau va chạm, các phép đo cho kết quả:

• Xe lăn A: \(+1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
• Xe lăn B: \(+6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Hai xe lăn có một cơ cấu lò xo được nạp sẵn năng lượng và giải phóng năng lượng dự trữ trong quá trình tiếp xúc. Giả sử cơ cấu này thuộc hệ đang xét và tất cả các nguồn dự trữ năng lượng khác không thay đổi.

Một học sinh khẳng định rằng các phép đo trên là không thể xảy ra: “Nếu hệ cô lập thì cả động lượng và động năng đều phải được bảo toàn.”

Hãy đánh giá khẳng định này. Tính tổng động lượng và tổng động năng trước và sau va chạm, sau đó xác định độ biến thiên năng lượng dự trữ trong lò xo.

Lời giải 5

Các phép đo phù hợp với định luật bảo toàn động lượng, nhưng tổng động năng tăng \(3.0\ \mathrm J\). Va chạm không đàn hồi: lò xo giải phóng \(3.0\ \mathrm J\) năng lượng dự trữ, chuyển thành động năng bổ sung.

Trước tiên, hãy kiểm tra định luật bảo toàn động lượng.

Trước va chạm:

\[ \begin{aligned} p_i&=(2.0)(+4.0)+(1.0)(0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Sau va chạm:

\[ \begin{aligned} p_f&=(2.0)(+1.0)+(1.0)(+6.0)\\ &=+8.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Tổng động lượng không thay đổi. Các nội lực giữa hai xe lăn, bao gồm cả những lực liên quan đến cơ cấu lò xo, có thể phân phối lại động lượng giữa các vật mà không làm thay đổi tổng động lượng của hệ.

Bây giờ, hãy so sánh động năng.

Ban đầu:

\[ E_{k,i}=\frac12(2.0)(4.0)^2 =16.0\ \mathrm J \]

Cuối cùng:

\[ \begin{aligned} E_{k,f} &=\frac12(2.0)(1.0)^2 +\frac12(1.0)(6.0)^2\\ &=1.0+18.0\\ &=19.0\ \mathrm J \end{aligned} \]

Độ tăng động năng là:

\[ \Delta E_k=19.0-16.0=+3.0\ \mathrm J \]

Vì lò xo là nguồn dự trữ năng lượng duy nhất khác có sự thay đổi, năng lượng dự trữ của nó phải giảm \(3.0\ \mathrm J\). Phần động năng tăng thêm đến từ nguồn năng lượng nội tại đó.

Sai lầm của học sinh là nhầm lẫn giữa sự bảo toàn tổng năng lượng và sự bảo toàn động năng. Một hệ cô lập bảo toàn tổng năng lượng, nhưng năng lượng có thể chuyển đổi giữa động năng, thế năng đàn hồi, nhiệt năng và các dạng năng lượng khác.

Va chạm không đàn hồi vì tổng động năng thay đổi. Việc động lượng được bảo toàn không bắt buộc động năng cũng phải được bảo toàn.

Đây là nguyên tắc cốt lõi: định luật bảo toàn động lượng liên quan đến xung lượng tổng hợp của ngoại lực tác dụng lên hệ, trong khi sự bảo toàn động năng phụ thuộc vào bản chất của tương tác và sự truyền năng lượng bên trong hệ đó.

Khái niệm hữu ích tiếp theo là xung lượng – động lượng. Khi đề bài về va chạm cung cấp đồ thị lực – thời gian, diện tích dưới đồ thị cho biết xung lượng, từ đó xác định mức thay đổi tổng động lượng của hệ. Đây là phương pháp cần sử dụng khi không còn có thể giả định rằng xung lượng của ngoại lực không đáng kể.