Đồ thị gia tốc-thời gian: Diện tích và độ biến thiên vận tốc

Một chiếc ô tô tăng tốc với gia tốc \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) trong 4 giây, sau đó gia tốc giảm xuống bằng không. Sau 4 giây đó, đại lượng nào chắc chắn đã thay đổi: vị trí, vận tốc, hay cả hai?

Vị trí của xe đã thay đổi, nhưng đồ thị gia tốc-thời gian không trực tiếp cho bạn biết độ thay đổi đó. Đại lượng mà đồ thị trực tiếp cho biết là độ biến thiên vận tốc. Trong trường hợp này,

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Hãy chú ý điều chúng ta vừa tính: gia tốc nhân với thời gian. Trên đồ thị gia tốc-thời gian, phép nhân đó xuất hiện dưới dạng một diện tích.

Đó là ý tưởng cốt lõi của hướng dẫn này:

Diện tích có dấu giữa đồ thị gia tốc-thời gian và trục thời gian cho biết độ biến thiên vận tốc.

Từ có dấu rất quan trọng. Diện tích phía trên trục thời gian là dương. Diện tích phía dưới là âm.

01Đồ thị gia tốc-thời gian thực sự biểu diễn điều gì

Một đồ thị gia tốc-thời gian có:

• thời gian \(t\), đo bằng giây (s), trên trục ngang
• gia tốc \(a\), đo bằng mét trên giây bình phương (\(\text{m s}^{-2}\)), trên trục dọc

Giả sử đồ thị là một đường nằm ngang tại \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\).

Trước khi đọc tiếp, hãy thử dự đoán. Điều đó có nghĩa là vật đang chuyển động với vận tốc không đổi không?

Không. Điều đó có nghĩa là vận tốc của vật đang thay đổi với tốc độ không đổi.

Gia tốc \(2.0\ \text{m s}^{-2}\) có nghĩa là mỗi giây, vận tốc thay đổi \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Vì vậy, nếu vận tốc ban đầu là \(5.0\ \text{m s}^{-1}\):

• sau 1 s, vận tốc là \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• sau 2 s, vận tốc là \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• sau 3 s, vận tốc là \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

Đó là lý do đồ thị gia tốc-thời gian có liên hệ rất chặt chẽ với đồ thị vận tốc-thời gian. Gia tốc cho bạn biết đồ thị vận tốc đang thay đổi như thế nào.

02Vì sao diện tích cho biết độ biến thiên vận tốc

Bắt đầu với phương trình quen thuộc cho gia tốc không đổi:

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

Trong đó:

• \(a\) là gia tốc, đơn vị \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) là độ biến thiên vận tốc, đơn vị \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) là khoảng thời gian đã trôi qua, tính bằng giây

Biến đổi phương trình,

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

Bây giờ hãy hình dung một gia tốc không đổi trên đồ thị gia tốc-thời gian. Phần diện tích bên dưới đồ thị là một hình chữ nhật.

Hình chữ nhật có:

• chiều cao \(a\)
• chiều rộng \(\Delta t\)

Do đó diện tích của nó là

\[
\text{diện tích} = a\Delta t
\]

Nhưng \(a\Delta t = \Delta v\).

Vì vậy, việc dùng diện tích không chỉ là một mẹo thuận tiện khi đọc đồ thị. Nó xuất phát trực tiếp từ định nghĩa của gia tốc.

Các đơn vị cũng xác nhận điều này:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Đó là đơn vị của vận tốc.

03Đồ thị cho biết độ biến thiên, không tự động cho biết vận tốc cuối

Đây là một chỗ rất dễ mất điểm.

Giả sử diện tích dưới một đồ thị gia tốc-thời gian là \(+8\ \text{m s}^{-1}\). Một học sinh viết:

Vận tốc cuối \(= 8\ \text{m s}^{-1}\).

Điều đó chỉ đúng nếu vật bắt đầu từ trạng thái đứng yên.

Đồ thị đã cho chúng ta biết

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

chứ không nhất thiết là \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\).

Nói chung,

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

Ví dụ, nếu \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\),

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

Quá trình gia tốc đã làm vận tốc thay đổi \(+8\ \text{m s}^{-1}\), và trong trường hợp này mức thay đổi đó đủ để vật đổi chiều chuyển động.

04Diện tích phía dưới trục thời gian là âm

Hãy tưởng tượng đồ thị gia tốc nằm tại

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

trong 2.0 s.

Diện tích có dấu của nó là

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Vì vậy, vận tốc giảm \(8.0\ \text{m s}^{-1}\).

Hãy cẩn thận với cụm từ “vận tốc giảm”. Điều đó không phải lúc nào cũng có nghĩa là vật chậm lại.

Giả sử một vật bắt đầu với

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

và có độ biến thiên vận tốc là

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Khi đó,

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

Vận tốc đã trở nên âm hơn, nhưng tốc độ của vật đã tăng từ \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) lên \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Gia tốc âm không có nghĩa là vật đang chậm lại.

Một vật tăng tốc hay chậm lại phụ thuộc vào dấu của cả vận tốc và gia tốc. Nếu bạn cần ôn lại sự khác biệt này, hãy xem Tốc độ và Vận tốc: Giải thích rõ ràng cho HSC Physics.

05Quy tắc hữu ích để xác định vật đang tăng tốc hay chậm lại

So sánh dấu của vận tốc và gia tốc.

Tại sao?

Vận tốc cho bạn biết vật đang chuyển động theo hướng nào. Gia tốc cho bạn biết vận tốc đang bị thay đổi theo hướng nào.

Hãy hình dung vận tốc và gia tốc như hai người đang tranh luận xem nên đi theo hướng nào. Nếu họ đồng ý về hướng, độ lớn của vận tốc tăng. Nếu họ không đồng ý, ban đầu độ lớn của vận tốc giảm.

Phép so sánh này không còn đúng theo cách đó khi vận tốc đạt đến không. Khi ấy vật có thể đổi chiều, và sau đó cùng một gia tốc có thể làm vật tăng tốc trở lại.

06Gia tốc thay đổi tạo ra các hình dạng diện tích khác nhau

Gia tốc không nhất thiết phải không đổi.

Giả sử gia tốc tăng đều từ \(0\) lên \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) trong 4.0 s.

Vùng bên dưới đồ thị là một tam giác, vì vậy

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

trong đó \(b\) là khoảng thời gian và \(h\) là gia tốc cực đại.

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Mặc dù gia tốc thay đổi liên tục, diện tích vẫn cho biết tổng độ biến thiên vận tốc.

Tổng quát hơn,

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

Ký hiệu tích phân có nghĩa là “cộng tất cả những đóng góp rất nhỏ \(a\,dt\) trên toàn khoảng thời gian”. Đối với các bài toán đồ thị HSC có các đoạn thẳng, bạn thường có thể tìm diện tích đó bằng hình chữ nhật, tam giác và hình thang thay vì thực hiện phép tính vi phân tích phân.

07Diện tích dương và âm có thể triệt tiêu nhau

Bây giờ hãy xét một vật có quá trình gia tốc như sau:

• từ \(0\) đến \(4.0\ \text{s}\), gia tốc tăng đều từ \(0\) đến \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• từ \(4.0\) đến \(6.0\ \text{s}\), gia tốc là \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

Hãy dự đoán điều gì xảy ra với vận tốc trong toàn bộ 6.0 s. Nó tăng, giảm hay trở về giá trị ban đầu?

Hãy tính bằng các diện tích có dấu.

Từ \(0\) đến \(4.0\ \text{s}\), diện tích tam giác dương là

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Từ \(4.0\) đến \(6.0\ \text{s}\), diện tích hình chữ nhật âm là

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Do đó,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Vận tốc cuối cùng cao hơn vận tốc ban đầu \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Phần âm không “xóa bỏ chuyển động”. Nó chỉ làm giảm bớt phần tăng vận tốc trước đó.

08Gia tốc bằng không không có nghĩa là vận tốc bằng không

Một đoạn nằm ngang của đồ thị gia tốc-thời gian tại \(a = 0\) có thể trông như thể “không có gì xảy ra”.

Nhưng vẫn có thể có chuyển động. Vật vẫn có thể đang di chuyển.

Nếu

\[
a = 0
\]

thì vận tốc không thay đổi.

Vì vậy, một vật đang chuyển động với \(18\ \text{m s}^{-1}\) và có gia tốc bằng không sẽ tiếp tục chuyển động với \(18\ \text{m s}^{-1}\), giả sử mô hình một chiều được áp dụng.

Một vật vốn đã đứng yên cũng sẽ tiếp tục đứng yên.

Chỉ riêng đồ thị gia tốc không thể cho bạn biết đang xảy ra trường hợp nào trong hai trường hợp đó, trừ khi bạn còn biết vận tốc của vật tại một thời điểm nào đó.

09Đồ thị gia tốc-thời gian không trực tiếp cho biết độ dời

Có hai “quy tắc diện tích” khác nhau mà học sinh thường nhầm lẫn:

Tại sao diện tích dưới đồ thị gia tốc-thời gian không thể cho biết độ dời?

Hãy kiểm tra đơn vị:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Đó là vận tốc, không phải độ dời.

Để tìm độ dời từ một quá trình gia tốc, trước tiên bạn cần đủ thông tin để xác định vận tốc dưới dạng hàm theo thời gian. Sau đó, bạn tìm diện tích dưới đồ thị vận tốc-thời gian tương ứng.

Đây cũng là lý do vận tốc ban đầu rất quan trọng. Hai vật có thể có đồ thị gia tốc-thời gian giống hệt nhau nhưng có độ dời hoàn toàn khác nhau vì chúng bắt đầu với các vận tốc khác nhau.

10Cách chuyển đổi giữa đồ thị gia tốc-thời gian và vận tốc-thời gian

Đồ thị gia tốc-thời gian cho bạn biết đặc điểm độ dốc của đồ thị vận tốc-thời gian.

Hãy nhớ rằng

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

nên gia tốc là gradient của đồ thị vận tốc-thời gian.

Từ đó ta có các mối liên hệ sau:

Có một điểm tinh tế ở đây. Độ cao của đồ thị gia tốc-thời gian cho bạn biết độ dốc của đồ thị vận tốc-thời gian. Diện tích của đồ thị gia tốc-thời gian cho bạn biết bản thân vận tốc đã thay đổi bao nhiêu.

Đó là hai vai trò khác nhau.

11Phương pháp đáng tin cậy cho các câu hỏi đồ thị HSC

Khi được cho một đồ thị gia tốc-thời gian, hãy làm theo thứ tự sau:

1. Chọn chiều dương. Thông thường, các dấu trên đồ thị đã xác định điều này.
2. Ghi lại vận tốc ban đầu. Nếu không được cho, hãy cẩn thận về những gì thực sự có thể xác định.
3. Chia đồ thị thành các vùng đơn giản. Dùng hình chữ nhật, tam giác hoặc hình thang khi phù hợp.
4. Gán dấu cho từng diện tích. Phía trên trục thời gian là dương. Phía dưới là âm.
5. Cộng các diện tích có dấu. Kết quả là \(\Delta v\).
6. Dùng \(v_f = v_i + \Delta v\).
7. Nếu được hỏi về tốc độ hoặc chiều chuyển động, hãy xét vận tốc chứ không chỉ xét riêng gia tốc.
8. Kiểm tra đơn vị. Diện tích dưới đồ thị gia tốc-thời gian phải có đơn vị \(\text{m s}^{-1}\).

Bước kiểm tra đơn vị cuối cùng này giúp phát hiện rất nhiều lỗi.

12Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một người đi xe đạp có gia tốc \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) trong 4.0 s. Vận tốc của người đi xe đạp ở đầu khoảng thời gian là \(6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Hãy tìm vận tốc của người đi xe đạp sau 4.0 s.

Lời giải 1

Vận tốc cuối của người đi xe đạp là \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\).

Diện tích dưới đồ thị gia tốc-thời gian cho biết độ biến thiên vận tốc:

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Bây giờ cộng độ thay đổi đó vào vận tốc ban đầu:

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Lỗi thường gặp là báo \(6.0\ \text{m s}^{-1}\), tức giá trị của diện tích, là vận tốc cuối. Đó chỉ là độ biến thiên vận tốc.

Câu hỏi 2

Một vật ban đầu chuyển động với vận tốc \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\). Sau đó, vật chịu gia tốc không đổi \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) trong 5.0 s.

Hãy tính vận tốc cuối và cho biết chiều chuyển động của vật có thay đổi hay không.

Lời giải 2

Vận tốc cuối là \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\), vì vậy vật đã đổi chiều.

Độ biến thiên vận tốc là

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

Do đó,

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Vì vận tốc thay đổi từ âm sang dương, nó hẳn đã đi qua giá trị không trong khoảng thời gian đó. Tại thời điểm ấy, vật đứng yên trong chốc lát rồi đổi chiều.

Một sai lầm dễ mắc là cho rằng gia tốc dương có nghĩa là vật chuyển động theo chiều dương trong toàn bộ 5.0 s. Gia tốc mô tả vận tốc thay đổi như thế nào, không nhất thiết cho biết chiều chuyển động hiện tại.

Câu hỏi 3

Gia tốc của một vật thay đổi đều từ \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) tại \(t=0\) đến \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\) tại \(t=4.0\ \text{s}\).

Vận tốc ban đầu của vật là \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Hãy tìm vận tốc của vật tại \(t=4.0\ \text{s}\).

Lời giải 3

Vận tốc của vật tại \(4.0\ \text{s}\) là \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\).

Vì gia tốc thay đổi tuyến tính, diện tích dưới đồ thị là một hình thang. Diện tích của nó là

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

trong đó \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\), \(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\), và \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\).

Thay các giá trị vào,

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

Sau đó,

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

Gia tốc không phải lúc nào cũng bằng \(6.0\ \text{m s}^{-2}\), vì vậy nếu nhân \(6.0\) với toàn bộ 4.0 s thì sẽ đánh giá quá cao độ biến thiên vận tốc.

Câu hỏi 4

Một robot chuyển động dọc theo một đường ray thẳng. Từ \(t=0\) đến \(t=3.0\ \text{s}\), gia tốc của nó là \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\). Từ \(t=3.0\) đến \(t=7.0\ \text{s}\), gia tốc của nó là \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Một học sinh nói:

“Phần dương và phần âm có tác dụng bằng nhau vì \(4\times3 = 3\times4\), nên robot chắc chắn phải kết thúc ở đúng vị trí ban đầu.”

Vận tốc ban đầu của robot là \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Hãy xác định vận tốc cuối của robot và đánh giá kết luận của học sinh về vị trí cuối của nó.

Lời giải 4

Vận tốc cuối của robot là \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\), nhưng nhận định rằng nó chắc chắn phải kết thúc ở vị trí ban đầu là không đúng.

Trong khoảng đầu tiên,

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

Trong khoảng thứ hai,

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

Do đó,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

và

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Vì vậy, học sinh đúng khi nói rằng vận tốc trở về giá trị ban đầu.

Tuy nhiên, độ biến thiên vận tốc tổng cộng bằng không không có nghĩa là độ dời bằng không. Robot đã chuyển động trong suốt khoảng thời gian đó, và trong phần lớn quá trình, vận tốc của nó lớn hơn \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Diện tích dưới đồ thị gia tốc-thời gian cho biết độ biến thiên vận tốc, không phải độ dời. Để xác định độ thay đổi vị trí của robot, chúng ta cần dựng hoặc tính toán từ đặc điểm vận tốc-thời gian của nó.

Câu hỏi 5

Hai xe đẩy, A và B, chuyển động dọc theo hai đường ray thẳng song song.

Cả hai xe có đồ thị gia tốc-thời gian hoàn toàn giống nhau từ \(t=0\) đến \(t=8.0\ \text{s}\). Tổng diện tích có dấu dưới đồ thị đó là \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Xe A bắt đầu với vận tốc \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\), trong khi xe B bắt đầu với vận tốc \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\).

Một học sinh cho rằng vì cả hai xe có cùng đồ thị gia tốc, chúng phải có cùng vận tốc cuối và đi được cùng một độ dời.

Hãy đánh giá cả hai phần của nhận định này.

Lời giải 5

Cả hai phần của nhận định đều không đúng. Xe A kết thúc với \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\), xe B kết thúc với \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\), và độ dời của chúng trong 8.0 s không bằng nhau.

Quá trình gia tốc giống nhau làm cho cả hai xe có cùng độ biến thiên vận tốc:

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Đối với xe A,

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Đối với xe B,

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Vì vậy, các quá trình gia tốc giống hệt nhau không tạo ra vận tốc cuối giống hệt nhau trừ khi vận tốc ban đầu cũng giống nhau.

Độ dời của chúng cũng khác nhau. Tại mọi thời điểm, vận tốc của xe B lớn hơn vận tốc của xe A \(8.0\ \text{m s}^{-1}\), vì ban đầu vận tốc của chúng chênh nhau \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) và sau đó chúng chịu chính xác cùng một gia tốc.

Trong 8.0 s, độ chênh lệch vận tốc không đổi đó tạo ra độ chênh lệch độ dời là

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

Vì vậy, trong khoảng thời gian đó, xe B đi xa hơn xe A \(64\ \text{m}\) theo chiều dương.

Điểm sâu hơn ở đây là đồ thị gia tốc-thời gian cho bạn biết vận tốc thay đổi như thế nào. Để biết vận tốc thực tế, bạn cũng cần vận tốc ban đầu. Khi đã biết quá trình vận tốc theo thời gian, diện tích dưới đồ thị vận tốc có thể cho bạn biết độ dời. Chuỗi liên hệ từ gia tốc đến vận tốc rồi đến vị trí là mối liên hệ hữu ích tiếp theo cần nắm vững khi diễn giải các đồ thị chuyển động.