Thay đổi năng lượng khi vệ tinh đổi quỹ đạo: Vật lý HSC

Một lần đốt động cơ đưa một vệ tinh lên quỹ đạo tròn cao hơn. Khi vệ tinh đã ổn định ở đó, nó chuyển động chậm hơn trước. Vậy động cơ đã cung cấp thêm năng lượng hay lấy bớt năng lượng đi?

Hãy dự đoán trước khi đọc tiếp. Rất dễ cho rằng vệ tinh đã mất năng lượng vì động năng của nó giảm. Thực tế thì ngược lại. Một vệ tinh ở quỹ đạo tròn cao hơn có tổng năng lượng quỹ đạo lớn hơn, mặc dù động năng của nó nhỏ hơn.

Để hiểu vì sao, cần phân biệt rõ ba đại lượng năng lượng: thế năng hấp dẫn, động năng và cơ năng toàn phần.

01Vì sao quỹ đạo cao hơn có thể có tốc độ thấp hơn

Hãy hình dung Trái Đất nằm ở đáy của một giếng hấp dẫn. Một vệ tinh ở gần Trái Đất nằm sâu hơn trong giếng đó. Khi đưa vệ tinh ra xa hơn, nó đi lên vùng nông hơn của giếng, nên thế năng hấp dẫn của nó tăng.

Hình dung này rất hữu ích, nhưng Trái Đất không thực sự được bao quanh bởi một cái bát. Thế năng hấp dẫn chính xác của một vệ tinh có khối lượng \(m\), ở khoảng cách \(r\) tính từ tâm của một thiên thể lớn hơn nhiều có khối lượng \(M\), là

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

trong đó:

• \(U\) là thế năng hấp dẫn, tính bằng joule, \(\mathrm{J}\),
• \(G\) là hằng số hấp dẫn phổ quát, \(6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\),
• \(M\) là khối lượng của thiên thể trung tâm, tính bằng kilogram,
• \(m\) là khối lượng của vệ tinh, tính bằng kilogram, và
• \(r\) là khoảng cách giữa tâm của hai vật, tính bằng mét.

Dấu âm thường gây nhầm lẫn. Thế năng hấp dẫn bằng không được quy ước tại khoảng cách vô hạn. Vì vậy, một vệ tinh bị liên kết với Trái Đất có \(U<0\).

Hãy hình dung giống như một tài khoản ngân hàng bị thấu chi. Việc chuyển từ \(-100\) đô la lên \(-60\) đô la là tăng \(40\) đô la, mặc dù số dư vẫn âm. Tương tự, khi đi xa Trái Đất hơn, \(U\) trở nên ít âm hơn, tức là \(U\) đã tăng. Phép so sánh với tài khoản ngân hàng chỉ giúp hiểu dấu; thế năng hấp dẫn vẫn tuân theo chính xác phương trình tỉ lệ nghịch với \(r\) ở trên.

Để tìm hiểu đầy đủ hơn về dấu âm và cách chọn mốc bằng không, xem thế năng hấp dẫn trong trường xuyên tâm.

Bây giờ hãy xét tốc độ của vệ tinh.

Đối với quỹ đạo tròn, lực hấp dẫn cung cấp lực hướng tâm cần thiết:

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

Rút gọn \(m\) và một thừa số \(r\),

\[ v^2=\frac{GM}{r} \]

nên

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

Điều này cho ta một kết luận quan trọng trước cả khi thực hiện bất kỳ phép tính năng lượng nào: khi bán kính quỹ đạo tròn tăng, tốc độ quỹ đạo giảm.

Kết quả này được trình bày chi tiết hơn trong vận tốc quỹ đạo: suy ra công thức và tính toán.

02Tổng năng lượng của một quỹ đạo tròn

Động năng là

\[ K=\frac{1}{2}mv^2 \]

Đối với quỹ đạo tròn, thay \(v^2=GM/r\):

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

Cơ năng quỹ đạo toàn phần là

\[ E=K+U \]

nên

\[ E=\frac{GMm}{2r}-\frac{GMm}{r} =-\frac{GMm}{2r} \]

Từ đó ta có ba hệ thức hữu ích cho mọi quỹ đạo tròn:

\[ U=-\frac{GMm}{r},\qquad K=\frac{GMm}{2r},\qquad E=-\frac{GMm}{2r} \]

Do đó,

\[ U=-2K \]

và

\[ E=-K=\frac{U}{2} \]

Các hệ thức này chỉ được đảm bảo đúng đối với quỹ đạo tròn. Không được tự động sử dụng chúng tại một điểm bất kỳ trên quỹ đạo chuyển tiếp hình elip.

Mối quan hệ đối với các quỹ đạo tròn nên được học như một ý tưởng thống nhất, thay vì bốn sự kiện tách rời.

Vậy khi một vệ tinh được đưa lên cao hơn, năng lượng được cung cấp đi đâu?

Đối với hai quỹ đạo tròn, \(U=-2K\). Độ tăng của thế năng hấp dẫn lớn gấp hai lần độ giảm của động năng. Phần còn lại làm tăng cơ năng toàn phần.

Đây chính là phần mà lập luận chỉ dựa vào tốc độ bỏ sót.

03Tính độ biến thiên năng lượng giữa các quỹ đạo tròn

Giả sử một vệ tinh bắt đầu trên quỹ đạo tròn có bán kính \(r_i\) và kết thúc trên một quỹ đạo tròn khác có bán kính \(r_f\).

Năng lượng ban đầu của nó là

\[ E_i=-\frac{GMm}{2r_i} \]

và năng lượng cuối là

\[ E_f=-\frac{GMm}{2r_f} \]

Do đó,

\[ \Delta E=E_f-E_i \]

suy ra

\[ \Delta E = \frac{GMm}{2} \left( \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f} \right) \]

Dấu của kết quả cho biết chiều truyền năng lượng.

• Nếu \(r_f>r_i\), thì \(\Delta E>0\). Năng lượng quỹ đạo đã được cung cấp thêm.
• Nếu \(r_f<r_i\), thì \(\Delta E<0\). Năng lượng quỹ đạo đã bị lấy bớt.

Ở đây, một “mức năng lượng” quỹ đạo đơn giản là cơ năng gắn với một quỹ đạo. Đây không phải là các mức năng lượng lượng tử rời rạc.

Không được dùng độ cao làm \(r\)

Đây là một trong những cách dễ mất điểm nhất.

Nếu một vệ tinh ở độ cao \(400\,\mathrm{km}\) so với bề mặt Trái Đất, bán kính quỹ đạo của nó không phải là \(400\,\mathrm{km}\). Ta cần khoảng cách tính từ tâm Trái Đất:

\[ r=R_E+h \]

trong đó \(R_E\) là bán kính Trái Đất và \(h\) là độ cao của vệ tinh.

Trong các ví dụ dưới đây, ta sẽ sử dụng

\[ R_E=6.37\times10^6\,\mathrm{m} \]

và

\[ GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}} \]

trong đó \(M_E\) là khối lượng Trái Đất.

04Điều gì thực sự xảy ra khi quỹ đạo thay đổi?

Phương trình cho \(\Delta E\) so sánh trạng thái tròn ban đầu và trạng thái tròn cuối cùng. Nó không có nghĩa là vệ tinh bằng cách nào đó nhảy trực tiếp từ quỹ đạo tròn này sang quỹ đạo tròn khác.

Hãy xét một quá trình chuyển tiếp hai lần đốt động cơ thường gặp, từ quỹ đạo tròn thấp lên quỹ đạo tròn cao hơn.

Tại quỹ đạo thấp, vệ tinh trước tiên đốt động cơ theo hướng mà nó đang chuyển động. Đây là một lần đốt thuận chiều.

Trong một lần đốt ngắn, ta thường gần đúng rằng vị trí của vệ tinh không thay đổi. Điều đó có nghĩa là \(r\), và do đó \(U\), hầu như không thay đổi trong lúc đốt. Tác động tức thời là tốc độ, động năng và cơ năng toàn phần đều tăng.

Lúc này vệ tinh đang chuyển động quá nhanh để tiếp tục nằm trên quỹ đạo tròn ban đầu. Nó đi vào một quỹ đạo chuyển tiếp và bắt đầu di chuyển ra xa Trái Đất.

Điều gì xảy ra trong khi động cơ tắt?

Hãy dự đoán trước khi đọc tiếp. Tổng năng lượng của nó có tiếp tục tăng vì nó đang lên cao hơn không?

Không. Trong giai đoạn bay theo quán tính khi động cơ tắt, lực hấp dẫn là lực bảo toàn nên cơ năng toàn phần không đổi. Khi vệ tinh chuyển động ra ngoài:

• \(U\) tăng,
• \(K\) giảm,
• \(E\) không đổi, và
• vệ tinh chậm lại.

Ở điểm cao nhất của quỹ đạo chuyển tiếp, một lần đốt thuận chiều khác có thể tăng tốc độ đủ để tròn hóa quỹ đạo. Lần đốt thứ hai này lại làm tăng \(K\) và \(E\).

Đây là nghịch lý bề ngoài:

Vệ tinh tăng tốc trong cả hai lần đốt, nhưng tốc độ cuối của nó trên quỹ đạo tròn cao hơn vẫn có thể thấp hơn tốc độ ban đầu trên quỹ đạo tròn thấp hơn.

Không có mâu thuẫn nào cả. Các lần đốt động cơ và các trạng thái cuối là những phép so sánh khác nhau.

05Hạ thấp quỹ đạo tạo ra một nghịch lý có vẻ ngược lại

Giả sử thay vào đó, một vệ tinh chuyển từ quỹ đạo tròn cao xuống quỹ đạo tròn thấp hơn.

Tốc độ tròn cuối cùng của nó sẽ lớn hơn:

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

\(r\) nhỏ hơn đồng nghĩa với \(v\) lớn hơn.

Tuy nhiên, cơ năng toàn phần của vệ tinh phải giảm vì

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

trở nên âm hơn khi \(r\) giảm.

Một quá trình chuyển tiếp điển hình bắt đầu bằng một lần đốt ngược chiều, nghĩa là động cơ làm giảm tốc độ của vệ tinh. Điều đó làm giảm động năng và cơ năng toàn phần.

Sau đó vệ tinh rơi vào trong. Trong giai đoạn động cơ tắt này, tổng năng lượng không đổi, nhưng thế năng hấp dẫn giảm còn động năng tăng. Lực hấp dẫn làm vệ tinh tăng tốc.

Một lần đốt ngược chiều thứ hai sau đó có thể tròn hóa quỹ đạo thấp hơn.

Vì vậy, một vệ tinh có thể kết thúc với tốc độ lớn hơn mặc dù tổng thể các động cơ của nó đã lấy bớt cơ năng quỹ đạo.

06Năng lượng của quỹ đạo tròn không phải là công thức cho mọi điểm trên một quỹ đạo

Phương trình

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

có chứa \(r\), nhưng điều đó không có nghĩa là bạn có thể sử dụng nó bất cứ khi nào vệ tinh tình cờ ở cách tâm một khoảng \(r\).

Phương trình này được suy ra bằng điều kiện quỹ đạo tròn

\[ v^2=\frac{GM}{r} \]

nên nó chỉ áp dụng khi vệ tinh thực sự nằm trên quỹ đạo tròn bán kính \(r\).

Trên quỹ đạo chuyển tiếp hình elip, nếu biết tốc độ và vị trí của vệ tinh, hãy dùng biểu thức cơ năng tổng quát:

\[ E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} \]

Sự khác biệt này đặc biệt quan trọng tại điểm cao nhất và thấp nhất của một quỹ đạo chuyển tiếp. Một vệ tinh có thể tức thời nằm đúng ở cùng bán kính với một quỹ đạo tròn nhưng lại chuyển động với tốc độ không phù hợp với quỹ đạo tròn đó.

Chỉ riêng bán kính không xác định được quỹ đạo.

07Một quy tắc quyết định thực tế

Khi gặp một bài toán năng lượng quỹ đạo, trước tiên hãy xác định vệ tinh thực sự đang ở trạng thái nào.

Còn một điểm phân biệt nữa đáng chú ý. Độ biến thiên cơ năng quỹ đạo của vệ tinh không giống với năng lượng hóa học mà tên lửa tiêu thụ.

Ví dụ, nếu

\[ \Delta E=+3.0\times10^9\,\mathrm{J} \]

thì hệ vệ tinh-Trái Đất đã tăng \(3.0\,\mathrm{GJ}\) cơ năng. Một hệ thống đẩy thực tế còn truyền năng lượng vào khí phụt, nhiệt và các dạng khác. Không thể suy trực tiếp lượng nhiên liệu tiêu thụ từ \(\Delta E\).

Mô hình HSC thông thường cũng giả định khối lượng của thiên thể trung tâm lớn hơn nhiều so với khối lượng vệ tinh, bỏ qua lực cản khí quyển và các thiên thể khác, đồng thời coi các lần đốt ngắn là gần như tức thời.

08Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một vệ tinh \(600\,\mathrm{kg}\) được đưa từ quỹ đạo tròn ở độ cao \(400\,\mathrm{km}\) so với bề mặt Trái Đất lên một quỹ đạo tròn khác ở độ cao \(1000\,\mathrm{km}\).

Sử dụng \(R_E=6.37\times10^6\,\mathrm{m}\) và \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\).

Hãy tính độ biến thiên cơ năng quỹ đạo toàn phần của vệ tinh và cho biết năng lượng đã được cung cấp thêm hay bị lấy bớt.

Lời giải 1

Cơ năng quỹ đạo toàn phần của vệ tinh tăng \(1.44\times10^9\,\mathrm{J}\), nên năng lượng quỹ đạo đã được cung cấp thêm.

Trước tiên, chuyển độ cao thành khoảng cách tính từ tâm Trái Đất:

\[ \begin{aligned} r_i&=6.37\times10^6+0.400\times10^6 =6.77\times10^6\,\mathrm{m}\\ r_f&=6.37\times10^6+1.00\times10^6 =7.37\times10^6\,\mathrm{m} \end{aligned} \]

Đối với hai trạng thái đầu và cuối đều là quỹ đạo tròn,

\[ \Delta E = \frac{GM_Em}{2} \left( \frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f} \right) \]

Thay số,

\[ \begin{aligned} \Delta E &= \frac{(3.99\times10^{14})(600)}{2} \left( \frac{1}{6.77\times10^6} - \frac{1}{7.37\times10^6} \right)\\ &=1.44\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Một sai lầm dễ mắc là sử dụng trực tiếp \(400\,\mathrm{km}\) và \(1000\,\mathrm{km}\) làm \(r\). Các phương trình hấp dẫn yêu cầu khoảng cách tính từ tâm Trái Đất, không phải độ cao so với bề mặt.

Tốc độ tròn cuối thấp hơn tốc độ ban đầu, nhưng độ tăng thế năng hấp dẫn của vệ tinh lớn hơn độ giảm động năng. Vì vậy, cơ năng toàn phần của nó tăng.

Câu hỏi 2

Một vệ tinh \(1000\,\mathrm{kg}\) ban đầu nằm trên quỹ đạo tròn quanh Trái Đất có bán kính \(8.00\times10^6\,\mathrm{m}\). Một lần đốt thuận chiều ngắn làm tốc độ của nó tăng \(5.0\%\) trong khi khoảng cách đến tâm Trái Đất về cơ bản không đổi.

Sử dụng \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\).

Hãy xác định:

• tốc độ của vệ tinh trước và ngay sau lần đốt,
• độ biến thiên cơ năng quỹ đạo trong lần đốt,
• liệu vệ tinh có còn bị liên kết hấp dẫn ngay sau lần đốt hay không, và
• điều gì xảy ra với \(K\), \(U\) và \(E\) khi sau đó nó bay ra ngoài với động cơ tắt.

Lời giải 2

Tốc độ tăng từ \(7.06\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) lên \(7.42\,\mathrm{km\,s^{-1}}\), lần đốt làm tăng \(2.56\times10^9\,\mathrm{J}\) cơ năng quỹ đạo, và vệ tinh vẫn bị liên kết. Trong giai đoạn bay ra ngoài, \(K\) giảm, \(U\) tăng và \(E\) không đổi.

Tốc độ tròn ban đầu là

\[ \begin{aligned} v_i &=\sqrt{\frac{GM_E}{r}}\\ &=\sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{8.00\times10^6}}\\ &=7.06\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Tăng \(5.0\%\) cho

\[ v_f=1.05v_i =7.42\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Vì lần đốt diễn ra trong thời gian ngắn nên \(r\) về cơ bản không đổi. Do đó, thế năng hấp dẫn không thay đổi đáng kể trong lần đốt, nên

\[ \Delta E=\Delta K \]

và

\[ \begin{aligned} \Delta E &=\frac12m(v_f^2-v_i^2)\\ &=\frac12(1000) \left[ (7.415\times10^3)^2-(7.062\times10^3)^2 \right]\\ &=2.56\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Trước lần đốt, năng lượng quỹ đạo tròn là

\[ E_i = -\frac{GM_Em}{2r} = -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {2(8.00\times10^6)} = -2.49\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

Do đó,

\[ E_{\text{sau}} = -2.49\times10^{10} + 2.56\times10^9 = -2.24\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

Tổng năng lượng vẫn âm, nên vệ tinh vẫn bị liên kết hấp dẫn.

Một lập luận dễ mắc phải là cho rằng vệ tinh phải tiếp tục tăng năng lượng khi nó đi lên vì thế năng của nó đang tăng. Điều còn thiếu là động cơ lúc này đã tắt. Lực hấp dẫn là lực bảo toàn, nên cơ năng toàn phần giữ nguyên. Độ tăng của \(U\) đến từ độ giảm của \(K\).

Câu hỏi 3

Một vệ tinh \(900\,\mathrm{kg}\) chuyển từ quỹ đạo tròn quanh Trái Đất có bán kính \(1.20\times10^7\,\mathrm{m}\) xuống một quỹ đạo tròn thấp hơn có bán kính \(7.00\times10^6\,\mathrm{m}\).

Sử dụng \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\).

Hãy tính:

• \(\Delta U\),
• \(\Delta K\),
• \(\Delta E\), và
• tốc độ tròn ban đầu và cuối cùng.

Một báo cáo nhiệm vụ cho biết hệ thống đẩy đã lấy bớt cơ năng quỹ đạo trong quá trình cơ động, mặc dù vệ tinh kết thúc với tốc độ lớn hơn. Hãy giải thích vì sao cả hai phát biểu đều có thể đúng.

Lời giải 3

Vệ tinh mất \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\) tổng cơ năng quỹ đạo, trong khi động năng của nó tăng đúng bằng độ lớn đó. Tốc độ tăng từ \(5.77\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) lên \(7.55\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) vì thế năng hấp dẫn giảm \(2.14\times10^{10}\,\mathrm{J}\).

Đối với thế năng hấp dẫn,

\[ \begin{aligned} \Delta U &= -\frac{GM_Em}{r_f} +\frac{GM_Em}{r_i}\\ &= (3.99\times10^{14})(900) \left( \frac{1}{1.20\times10^7} - \frac{1}{7.00\times10^6} \right)\\ &=-2.14\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Đối với quỹ đạo tròn,

\[ K=\frac{GMm}{2r} \]

nên

\[ \begin{aligned} \Delta K &= \frac{GM_Em}{2} \left( \frac{1}{r_f}-\frac{1}{r_i} \right)\\ &=+1.07\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Do đó,

\[ \begin{aligned} \Delta E &=\Delta K+\Delta U\\ &= 1.07\times10^{10} - 2.14\times10^{10}\\ &=-1.07\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Bây giờ so sánh các tốc độ tròn:

\[ \begin{aligned} v_i &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.20\times10^7}} = 5.77\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\ v_f &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{7.00\times10^6}} = 7.55\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Cách suy luận dễ mắc sai lầm là coi động năng như toàn bộ “tài khoản năng lượng” của vệ tinh. Không phải như vậy.

Khi vệ tinh đi vào trong, thế năng hấp dẫn của nó giảm \(2.14\times10^{10}\,\mathrm{J}\). Động năng chỉ tăng \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\). Phần \(1.07\times10^{10}\,\mathrm{J}\) còn lại tương ứng với độ giảm của cơ năng toàn phần.

Vì vậy, một quỹ đạo tròn thấp hơn có thể vừa có động năng lớn hơn vừa có cơ năng toàn phần nhỏ hơn.

Câu hỏi 4

Một vệ tinh \(1000\,\mathrm{kg}\) đạt tới điểm cao nhất của một quỹ đạo chuyển tiếp hình elip, ở khoảng cách \(1.40\times10^7\,\mathrm{m}\) tính từ tâm Trái Đất. Tại thời điểm đó, vận tốc của nó theo phương tiếp tuyến và có độ lớn \(4.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\).

Một học sinh thay \(r=1.40\times10^7\,\mathrm{m}\) vào

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

và cho rằng kết quả là tổng năng lượng hiện tại của vệ tinh.

Sử dụng \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\) để:

• tính cơ năng toàn phần thực tế của vệ tinh,
• tính tổng năng lượng của một quỹ đạo tròn tại cùng bán kính,
• xác định hướng đốt động cơ cần thiết để tròn hóa quỹ đạo tại đó, và
• tính độ tăng cơ năng quỹ đạo cần thiết.

Lời giải 4

Phương pháp của học sinh là không hợp lệ: năng lượng thực tế của vệ tinh là \(-2.05\times10^{10}\,\mathrm{J}\), trong khi một quỹ đạo tròn tại bán kính đó có năng lượng \(-1.43\times10^{10}\,\mathrm{J}\). Vì vậy, một lần đốt tròn hóa theo chiều thuận phải bổ sung \(6.25\times10^9\,\mathrm{J}\) cơ năng quỹ đạo.

Vệ tinh chưa nằm trên quỹ đạo tròn, nên dùng biểu thức tổng quát

\[ E=\frac12mv^2-\frac{GMm}{r} \]

Động năng của nó là

\[ \begin{aligned} K &=\frac12(1000)(4.00\times10^3)^2\\ &=8.00\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Thế năng hấp dẫn của nó là

\[ \begin{aligned} U &= -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {1.40\times10^7}\\ &=-2.85\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Do đó,

\[ E_{\text{chuyển tiếp}} = 8.00\times10^9-2.85\times10^{10} = -2.05\times10^{10}\,\mathrm{J} \]

Đối với một quỹ đạo tròn tại bán kính này,

\[ \begin{aligned} E_{\text{tròn}} &= -\frac{GM_Em}{2r}\\ &= -\frac{(3.99\times10^{14})(1000)} {2(1.40\times10^7)}\\ &=-1.425\times10^{10}\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Tốc độ của quỹ đạo tròn sẽ là

\[ \begin{aligned} v_{\text{tròn}} &= \sqrt{\frac{GM_E}{r}}\\ &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.40\times10^7}}\\ &=5.34\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Vệ tinh chỉ đang chuyển động với \(4.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\), nên nó phải tăng tốc. Lần đốt cần thiết là đốt thuận chiều.

Độ tăng cơ năng cần thiết là

\[ \begin{aligned} \Delta E &= E_{\text{tròn}}-E_{\text{chuyển tiếp}}\\ &= -1.425\times10^{10} - (-2.05\times10^{10})\\ &=6.25\times10^9\,\mathrm{J} \end{aligned} \]

Cách suy luận dễ mắc sai lầm là cho rằng chỉ cần biết \(r\) thì tự động xác định được năng lượng quỹ đạo. Điều đó chỉ đúng sau khi bạn còn biết rằng quỹ đạo là tròn. Phương trình năng lượng quỹ đạo tròn chứa một điều kiện ngầm: tốc độ phải thỏa mãn \(v^2=GM/r\).

Tại điểm cao nhất của quỹ đạo chuyển tiếp này, vệ tinh đang ở đúng bán kính nhưng chuyển động quá chậm để duy trì một đường tròn. Đó là lý do cần thêm một lần đốt động cơ.

Câu hỏi 5

Tại khoảng cách

\[ r=1.00\times10^7\,\mathrm{m} \]

tính từ tâm Trái Đất, một vệ tinh được đo có tổng cơ năng quỹ đạo đúng bằng năng lượng của một quỹ đạo tròn tại bán kính đó:

\[ E=-\frac{GM_Em}{2r} \]

Tuy nhiên, dữ liệu theo dõi cho thấy vận tốc của nó có một thành phần hướng ra ngoài theo phương xuyên tâm bằng

\[ v_r=2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Sử dụng \(GM_E=3.99\times10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}\).

Hãy xác định:

• tổng tốc độ của vệ tinh,
• tốc độ tiếp tuyến của nó,
• liệu nó có thực sự nằm trên quỹ đạo tròn hay không,
• độ lớn của độ biến thiên vận tốc tức thời lý tưởng cần thiết để đưa nó vào quỹ đạo tròn tại chính bán kính đó, và
• độ biến thiên cơ năng quỹ đạo tương ứng.

Hãy giải thích làm thế nào có thể có một độ biến thiên vận tốc khác không ngay cả khi cơ năng quỹ đạo không thay đổi.

Lời giải 5

Vệ tinh không nằm trên quỹ đạo tròn. Tổng tốc độ của nó là \(6.32\,\mathrm{km\,s^{-1}}\), thành phần tiếp tuyến là \(5.99\,\mathrm{km\,s^{-1}}\), và một độ biến thiên vận tốc lý tưởng khoảng \(2.03\,\mathrm{km\,s^{-1}}\) có thể tròn hóa quỹ đạo mà không tạo ra độ biến thiên ròng nào trong cơ năng quỹ đạo.

Bắt đầu từ năng lượng đã đo:

\[ \frac12mv^2-\frac{GM_Em}{r} = -\frac{GM_Em}{2r} \]

Chuyển số hạng thế năng sang vế kia:

\[ \frac12mv^2 = \frac{GM_Em}{2r} \]

nên

\[ v^2=\frac{GM_E}{r} \]

Do đó,

\[ \begin{aligned} v &= \sqrt{\frac{3.99\times10^{14}}{1.00\times10^7}}\\ &=6.32\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Đây chính xác là độ lớn của tốc độ quỹ đạo tròn tại bán kính này.

Đây là lúc xuất hiện lập luận có vẻ hợp lý: đúng bán kính, đúng tổng năng lượng và đúng độ lớn tốc độ dường như đảm bảo rằng quỹ đạo là tròn.

Nhưng không phải vậy.

Một quỹ đạo tròn còn yêu cầu vận tốc hoàn toàn theo phương tiếp tuyến. Vệ tinh này có một thành phần vận tốc hướng ra ngoài theo phương xuyên tâm bằng \(2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}}\).

Các thành phần xuyên tâm và tiếp tuyến vuông góc với nhau, nên

\[ v^2=v_r^2+v_t^2 \]

Do đó,

\[ \begin{aligned} v_t &= \sqrt{v^2-v_r^2}\\ &= \sqrt{ (6.316\times10^3)^2 - (2.00\times10^3)^2 }\\ &=5.99\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Để tròn hóa ngay lập tức tại bán kính này, vận tốc cuối phải có

\[ v_{r,f}=0 \]

và

\[ v_{t,f}=6.316\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Do đó, các độ biến thiên cần thiết của hai thành phần là

\[ \Delta v_r=-2.00\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

và

\[ \Delta v_t = 6.316\times10^3-5.992\times10^3 = 0.325\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \]

Độ lớn của độ biến thiên vận tốc cần thiết là

\[ \begin{aligned} |\Delta\vec v| &= \sqrt{(\Delta v_r)^2+(\Delta v_t)^2}\\ &= \sqrt{ (2.00\times10^3)^2 + (0.325\times10^3)^2 }\\ &=2.03\times10^3\,\mathrm{m\,s^{-1}} \end{aligned} \]

Tuy nhiên, độ biến thiên cơ năng quỹ đạo là

\[ \Delta E=0 \]

Tại sao?

Vệ tinh bắt đầu và kết thúc lần đốt lý tưởng hóa tại cùng một bán kính, nên thế năng hấp dẫn không đổi. Độ lớn tốc độ ban đầu và cuối cùng cũng bằng nhau, nên động năng không đổi.

Lần đốt làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc chứ không làm thay đổi độ lớn tổng thể của nó.

Điều này cho thấy một hạn chế quan trọng của việc chỉ sử dụng năng lượng. Cơ năng là một đại lượng vô hướng. Nó có thể cho biết một trạng thái có bao nhiêu năng lượng, nhưng không chứa thông tin về hướng chuyển động. Hai trạng thái quỹ đạo có thể có cùng \(r\), cùng độ lớn tốc độ và cùng tổng năng lượng nhưng có hướng vận tốc khác nhau, vì vậy chúng có các quỹ đạo khác nhau.

Một tên lửa thực tế vẫn phải tiêu thụ nhiên liệu để tạo ra xung lực cần thiết. Độ biến thiên cơ năng quỹ đạo của vệ tinh bằng không không có nghĩa là lượng nhiên liệu tiêu thụ bằng không.

09Ý tưởng này giúp bạn làm gì tiếp theo

Khi đã có thể phân biệt \(K\), \(U\) và \(E\), việc suy luận về các quá trình chuyển quỹ đạo trở nên dễ dàng hơn nhiều.

Đối với quỹ đạo tròn, hệ thức then chốt là

\[ E=-\frac{GMm}{2r} \]

Một quỹ đạo tròn cao hơn có tổng năng lượng lớn hơn nhưng động năng nhỏ hơn. Một quỹ đạo tròn thấp hơn có tổng năng lượng nhỏ hơn nhưng động năng lớn hơn. Trong một quá trình chuyển tiếp khi động cơ tắt, cơ năng toàn phần giữ nguyên trong khi động năng và thế năng hấp dẫn chuyển hóa qua lại.

Ranh giới hữu ích tiếp theo là \(E=0\). Các quỹ đạo tròn và elip bị liên kết có tổng năng lượng âm. Nếu cung cấp đủ năng lượng để tổng năng lượng đạt tới không, vệ tinh sẽ ở ngưỡng thoát khỏi trường hấp dẫn của thiên thể trung tâm thay vì chuyển sang một mức năng lượng quỹ đạo liên kết khác.