Giải thích các giả định về chuyển động ném trong Vật lý HSC

Một chiếc máy tính có thể tính hoàn toàn đúng nhưng vẫn dự đoán sai điểm rơi. Hãy phóng một quả bóng, sử dụng các phương trình chuyển động ném và bạn có thể tính được tầm xa là 50 m. Trong thực tế, quả bóng có thể rơi ngắn hơn vài mét.

Vậy phần nào đã sai: phép biến đổi đại số, phương trình hay mô hình vật lý nằm phía sau?

Trước khi đọc tiếp, hãy thử dự đoán. Nếu bạn phóng cùng một quả bóng với tốc độ lớn hơn nhiều, mô hình chuyển động ném đơn giản thường sẽ chính xác hơn hay kém chính xác hơn? Với một vật chuyển động trong không khí, thường là kém chính xác hơn. Vật chuyển động càng nhanh thì lực cản không khí thường càng trở nên đáng kể.

Đó chính là ý nghĩa của các giả định trong chuyển động ném. Các phương trình không khẳng định rằng trong thực tế, vật ném thật sự chịu trọng lực không đổi và lực cản không khí bằng không. Chúng mô tả một mô hình vật lý được đơn giản hóa. Nhiệm vụ của bạn trong Vật lý HSC là hiểu mô hình đó dự đoán điều gì, tại sao nó hoạt động rất tốt trong nhiều tình huống và khi nào bạn nên ngừng tin cậy nó.

01Mô hình chuyển động ném tiêu chuẩn đang giả định điều gì

Sau khi một vật đã được phóng đi và không còn được thiết bị phóng tác dụng lực đẩy, mô hình đơn giản nhất cho rằng trọng lực là lực đáng kể duy nhất tác dụng lên vật.

Điều đó cho chúng ta hai giả định chính:

Thông thường, chúng ta cũng coi mặt đất là phẳng trong phạm vi cục bộ và coi vật ném như một chất điểm, tức kích thước của nó không ảnh hưởng đến bài toán.

Chính những giả định này làm cho các phương trình chuyển động ném quen thuộc trở nên khả dụng. Nếu loại bỏ chúng, các phương trình có thể không còn mô tả đúng chuyển động nữa.

02Xây dựng mô hình từ hai chuyển động xảy ra đồng thời

Hãy tưởng tượng bạn quay phim một vật ném và đánh dấu vị trí của nó sau mỗi 0.1 s.

Theo phương ngang, các dấu sẽ cách đều nhau nếu không có lực cản không khí. Điều đó cho thấy vận tốc ngang là không đổi.

Theo phương thẳng đứng, khoảng cách giữa các dấu thay đổi vì trọng lực liên tục làm thay đổi vận tốc thẳng đứng.

Mẹo hữu ích là xem chúng như hai thành phần của cùng một chuyển động:

• chuyển động ngang với gia tốc bằng không,
• chuyển động thẳng đứng với gia tốc hướng xuống không đổi.

Hai chuyển động này dùng chung một đồng hồ. Nếu vật đã chuyển động theo phương ngang trong 2 s thì nó cũng đã chịu tác dụng của trọng lực theo phương thẳng đứng trong đúng 2 s.

Điều này hơi giống hai học sinh làm hai môn khác nhau trong cùng một kỳ thi. Một người làm Toán và một người làm Vật lý, nên bài làm của họ phát triển theo những cách khác nhau, nhưng đồng hồ trên tường là như nhau đối với cả hai. Phép so sánh này có giới hạn vì hai chuyển động không thực sự là hai vật riêng biệt; chúng là các thành phần của cùng một vectơ vận tốc.

Giả sử một vật được phóng với tốc độ \(u\) theo góc \(\theta\) so với phương ngang. Các thành phần vận tốc ban đầu của nó là

\[
u_x=u\cos\theta
\]

và

\[
u_y=u\sin\theta
\]

trong đó:

• \(u\) là tốc độ phóng, đơn vị \(\text{m s}^{-1}\),
• \(u_x\) là vận tốc ngang ban đầu, đơn vị \(\text{m s}^{-1}\),
• \(u_y\) là vận tốc thẳng đứng ban đầu, đơn vị \(\text{m s}^{-1}\),
• \(\theta\) là góc phóng so với phương ngang.

Theo mô hình tiêu chuẩn,

\[
a_x=0
\]

và

\[
a_y=-g
\]

nếu chọn chiều hướng lên là chiều dương.

Từ đó,

\[
x=u_x t
\]

và

\[
y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2
\]

khi vật bắt đầu tại \(x=0\) và \(y=0\).

Các thành phần vận tốc của vật tại thời điểm sau đó là

\[
v_x=u_x
\]

và

\[
v_y=u_y-gt
\]

trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây.

Hãy chú ý điều vừa xảy ra. Chúng ta không bắt đầu bằng việc học thuộc bốn phương trình. Chúng ta bắt đầu từ hai khẳng định vật lý: không có lực theo phương ngang và trọng lực hướng xuống xấp xỉ không đổi. Các phương trình được suy ra từ những khẳng định đó.

03Giả định 1: trọng lực không đổi

Một lỗi phổ biến là nghe cụm từ “trọng lực không đổi” rồi cho rằng vận tốc hướng xuống của vật phải không đổi.

Không phải vậy.

Trọng lực không đổi nghĩa là gia tốc không đổi. Vì thế, vận tốc thay đổi một lượng như nhau sau mỗi giây.

Gần bề mặt Trái Đất,

\[
g\approx9.8\text{ m s}^{-2}
\]

nên nếu bỏ qua lực cản không khí, vận tốc thẳng đứng thay đổi khoảng \(9.8\text{ m s}^{-1}\) theo hướng xuống sau mỗi giây.

Nếu ban đầu một quả bóng có

\[
v_y=+15\text{ m s}^{-1},
\]

thì khoảng một giây sau,

\[
v_y=+5.2\text{ m s}^{-1}.
\]

Sau thêm một giây nữa, nó đang chuyển động xuống dưới với

\[
v_y\approx-4.6\text{ m s}^{-1}.
\]

Gia tốc vẫn giữ nguyên. Vận tốc thì không.

Tại sao \(g\) chỉ xấp xỉ không đổi?

Trên thực tế, trọng lực yếu dần khi bạn ra xa Trái Đất.

Ở khoảng cách \(r\) tính từ tâm Trái Đất,

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}
\]

trong đó:

• \(G\) là hằng số hấp dẫn phổ quát,
• \(M_E\) là khối lượng Trái Đất,
• \(r\) là khoảng cách đến tâm Trái Đất.

Tại bề mặt Trái Đất, \(r\) xấp xỉ bán kính Trái Đất \(R_E\). Ở độ cao \(h\),

\[
g(h)=g_0\left(\frac{R_E}{R_E+h}\right)^2
\]

trong đó \(g_0\) là gia tốc trọng trường tại bề mặt.

Đối với một quả bóng đá bay cao vài chục mét trên một sân thể thao, \(h\) nhỏ đến mức không đáng kể so với bán kính Trái Đất, khoảng \(6.37\times10^6\text{ m}\). Vì vậy, coi \(g\) là không đổi là một xấp xỉ rất tốt.

Nhưng giả sử một vật lên cao 100 km.

Dùng \(R_E=6370\text{ km}\),

\[
g=9.8\left(\frac{6370}{6470}\right)^2
\approx9.50\text{ m s}^{-2}.
\]

Giá trị này thấp hơn giá trị tại bề mặt khoảng 3%. Khi đó, giả định \(g\) không đổi không còn hoàn toàn vô hại nữa.

Còn một vấn đề khác. Trọng lực luôn hướng về tâm Trái Đất. Trong phạm vi chiều rộng của một sân trường, hướng “xuống” về cơ bản giống nhau ở mọi nơi. Nhưng trên khoảng cách hàng trăm hoặc hàng nghìn kilômét thì không phải vậy.

Vì thế, mô hình trọng lực không đổi bao gồm hai phép xấp xỉ:

• độ lớn của \(g\) không thay đổi đáng kể,
• hướng của \(g\) không thay đổi đáng kể.

Cả hai đều là những xấp xỉ rất tốt cho các bài toán chuyển động ném HSC thông thường gần bề mặt Trái Đất.

04Giả định 2: lực cản không khí không đáng kể

Hãy thả một tờ giấy phẳng và một tờ giấy giống hệt nhưng được vo chặt.

Mô hình chuyển động ném đơn giản có dự đoán hai vật có gia tốc khác nhau không?

Không. Chúng có cùng gia tốc trọng trường vì trong mô hình, trọng lực là lực quan trọng duy nhất.

Thực tế lại khác biệt rõ rệt. Tờ giấy phẳng chịu lực cản không khí lớn hơn nhiều so với trọng lượng của nó.

Điều đó cho chúng ta một kết luận quan trọng: “có thể bỏ qua lực cản không khí” không có nghĩa là không khí thật sự biến mất. Nó có nghĩa là lực do không khí gây ra đủ nhỏ để việc bỏ qua nó vẫn cho một dự đoán chấp nhận được đối với câu hỏi mà chúng ta đang cố gắng trả lời.

Lực cản không khí thực sự gây ra điều gì?

Trong không khí đứng yên, lực cản tác dụng theo hướng ngược với vận tốc của vật so với không khí.

Nếu một vật đang chuyển động lên trên và sang phải, lực cản hướng xuống dưới và sang trái.

Nếu vật đang chuyển động xuống dưới và sang phải, lực cản hướng lên trên và sang trái.

Điều này lập tức phá vỡ một trong những đặc điểm thuận tiện nhất của mô hình chuyển động ném đơn giản. Khi có lực cản, vận tốc ngang không còn không đổi.

Một mô hình gần đúng phổ biến cho lực cản ở tốc độ đủ cao là

\[
F_D=\frac{1}{2}\rho C_D A v^2
\]

trong đó:

• \(F_D\) là lực cản, đơn vị niutơn,
• \(\rho\) là khối lượng riêng của không khí, đơn vị \(\text{kg m}^{-3}\),
• \(C_D\) là hệ số cản không thứ nguyên, liên quan đến hình dạng,
• \(A\) là diện tích tiết diện ngang, đơn vị \(\text{m}^2\),
• \(v\) là tốc độ của vật so với không khí, đơn vị \(\text{m s}^{-1}\).

Bạn không cần biểu thức này cho các phép tính chuyển động ném HSC thông thường. Nó hữu ích ở đây vì cho thấy rằng “chỉ cần thêm lực cản không khí” không phải là một hiệu chỉnh nhỏ đối với các phương trình quen thuộc. Lực thay đổi khi tốc độ thay đổi, và hướng của lực cũng thay đổi khi hướng vận tốc thay đổi.

Do đó, gia tốc không còn không đổi.

Nhanh hơn không đơn giản có nghĩa là “cùng một parabol nhưng ngắn hơn”

Đây là hình dung rất dễ mắc phải: tính quỹ đạo parabol khi không có lực cản rồi nén nó lại một chút.

Nói chung, điều đó không đúng.

Lực cản không khí có thể:

• làm giảm vận tốc ngang trong suốt quá trình bay,
• làm thay đổi thời gian cần để đạt độ cao cực đại,
• làm giảm độ cao cực đại,
• làm giảm tốc độ tại một thời điểm sau đó,
• phá vỡ tính đối xứng giữa quá trình đi lên và đi xuống,
• khiến quỹ đạo không còn là parabol.

Các phương trình ngang và thẳng đứng của vật cũng trở nên liên kết với nhau thông qua lực cản vì hướng của lực cản phụ thuộc vào toàn bộ vectơ vận tốc.

Đó là lý do mô hình HSC đơn giản lại hữu ích đến vậy. Bỏ qua lực cản không khí biến một bài toán phức tạp với lực thay đổi thành hai bài toán gia tốc không đổi.

05Các giả định đem lại lợi ích toán học gì

Đối với một vật được phóng với tốc độ \(u\) theo góc \(\theta\),

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta.
\]

Với \(g\) không đổi và lực cản không khí không đáng kể,

\[
x=(u\cos\theta)t
\]

và

\[
y=(u\sin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

Nếu vật rơi xuống cùng độ cao với điểm phóng, tổng thời gian bay là

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

Khi đó, tầm xa theo phương ngang là

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

Hãy cẩn thận với phương trình cuối cùng. Đây không phải là “công thức tầm xa của vật ném” áp dụng cho mọi trường hợp. Nó giả định:

• tốc độ phóng cố định,
• điểm phóng và điểm rơi ở cùng độ cao,
• gia tốc trọng trường không đổi,
• lực cản không khí không đáng kể,
• hệ quy chiếu cục bộ được xem là phẳng.

Nếu thay đổi một trong các điều kiện đó, bạn có thể phải quay lại các phương trình thành phần.

06Làm thế nào để biết có thể bỏ qua lực cản không khí một cách an toàn

Không có một tốc độ kỳ diệu nào mà dưới đó lực cản không khí đột ngột biến mất.

Một phép so sánh hữu ích là giữa lực do không khí gây ra và trọng lượng \(mg\) của vật.

Nếu

\[
F_{\text{air}}\ll mg,
\]

thì ít nhất tại thời điểm đó, gia tốc do không khí gây ra nhỏ hơn nhiều so với gia tốc trọng trường.

Nhưng thời gian tác dụng cũng quan trọng. Một gia tốc bổ sung nhỏ tác dụng trong thời gian dài vẫn có thể tạo ra thay đổi đáng kể về vận tốc hoặc vị trí.

Lực cản không khí trở nên đáng nghi ngờ hơn khi vật:

• chuyển động nhanh,
• nhẹ so với kích thước của nó,
• có hình dạng rộng hoặc không đều,
• ở trong không khí trong thời gian dài,
• chuyển động qua không khí có khối lượng riêng lớn,
• chịu ảnh hưởng mạnh của gió,
• quay đủ nhanh để chịu lực nâng khí động học đáng kể.

Một quả bóng đặc chuyển động trên quãng đường ngắn có thể được mô tả khá tốt bằng mô hình không có lực cản. Quả cầu lông gần như là trường hợp ngược lại: chuyển động của nó bị chi phối bởi các lực khí động học, nên giả định vận tốc ngang không đổi là kém chính xác ngay cả trong một quãng bay tương đối ngắn.

07Khi nào giả định trọng lực không đổi bắt đầu không còn phù hợp

Đối với một cú ném thông thường, cả độ cao lẫn tầm xa đều cực kỳ nhỏ so với bán kính Trái Đất. Mô hình \(g\) cục bộ không đổi hoạt động rất tốt.

Khi quy mô tăng lên, một số hiệu ứng có thể trở nên đáng kể.

Thứ nhất, độ lớn của trọng lực giảm theo độ cao:

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}.
\]

Thứ hai, hướng của trọng lực thay đổi vì “xuống” luôn hướng về tâm Trái Đất.

Thứ ba, bề mặt cong của Trái Đất không còn có thể được coi như một đường ngang phẳng kéo dài vô hạn.

Với thời gian bay và tầm xa rất lớn, sự quay của Trái Đất cũng có thể trở nên đáng kể.

Đây là những vấn đề riêng biệt. Một vật có thể chịu lực cản không khí không đáng kể nhưng vẫn bay xa đến mức mô hình \(g\) không đổi theo hướng xuống trở thành một mô hình kém phù hợp.

Không gian là ví dụ rõ ràng. Loại bỏ khí quyển không có nghĩa là các phương trình chuyển động ném ở cấp phổ thông bỗng trở nên chính xác mãi mãi.

08Các giả định độc lập với nhau

Học sinh đôi khi gộp hai giả định chính thành một:

“Mô hình chuyển động ném không chính xác vì trọng lực thay đổi và có lực cản không khí.”

Cách nói đó có thể che khuất điều thật sự đang xảy ra.

Các giả định độc lập với nhau.

Một vật chuyển động ở độ cao thấp có thể chịu \(g\) gần như không đổi trong khi lực cản không khí lại rất quan trọng. Quả cầu lông là một ví dụ điển hình.

Một vật ở độ cao lớn trong môi trường gần chân không có thể chịu lực cản không khí không đáng kể trong khi độ lớn của trọng lực thay đổi đáng kể.

Khi một mô hình thất bại, hãy hỏi giả định nào đã trở nên kém phù hợp thay vì chỉ nói rằng “thế giới thực phức tạp hơn”.

09Năm quan niệm sai rất dễ mắc phải

Điểm cuối đặc biệt đáng ghi nhớ. Khi lực cản có ảnh hưởng, góc cho tầm xa cực đại nói chung không còn bắt buộc là \(45^\circ\). Khi độ cao điểm phóng và điểm rơi khác nhau, ngay cả kết quả không có lực cản cũng thay đổi.

10Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một quả bóng lăn theo phương ngang ra khỏi mép một vách cao \(19.6\text{ m}\) với tốc độ \(12.0\text{ m s}^{-1}\). Giả sử \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) và lực cản không khí không đáng kể.

Hãy tính:

• thời gian để quả bóng chạm đất,
• quãng đường theo phương ngang,
• thành phần thẳng đứng của vận tốc khi va chạm,
• tốc độ va chạm.

Hãy nêu giả định vật lý cho phép bạn giữ vận tốc ngang ở \(12.0\text{ m s}^{-1}\).

Lời giải 1

Quả bóng mất \(2.00\text{ s}\), đi được \(24.0\text{ m}\) theo phương ngang, có vận tốc va chạm theo phương thẳng đứng là \(-19.6\text{ m s}^{-1}\), và va chạm với tốc độ \(23.0\text{ m s}^{-1}\). Vận tốc ngang không đổi là hệ quả của việc bỏ qua lực cản không khí.

Đối với chuyển động thẳng đứng, vận tốc thẳng đứng ban đầu bằng không:

\[
u_y=0.
\]

Chọn chiều hướng lên là chiều dương,

\[
\Delta y=-19.6\text{ m}
\]

và

\[
a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Dùng

\[
\Delta y=u_yt+\frac{1}{2}a_yt^2.
\]

Thay số,

\[
\begin{aligned}
-19.6&=0+\frac{1}{2}(-9.8)t^2\\
t^2&=4.00\\
t&=2.00\text{ s}.
\end{aligned}
\]

Theo phương ngang,

\[
\begin{aligned}
x&=v_xt\\
&=(12.0)(2.00)\\
&=24.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Vận tốc va chạm theo phương thẳng đứng là

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y+a_yt\\
&=0+(-9.8)(2.00)\\
&=-19.6\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

Tốc độ va chạm tổng hợp là

\[
\begin{aligned}
v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\
&=\sqrt{(12.0)^2+(-19.6)^2}\\
&=23.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

Một lỗi dễ mắc là nói rằng vận tốc ngang giữ nguyên “vì chuyển động ngang và chuyển động thẳng đứng độc lập”. Cách nói đó bỏ qua nguyên nhân vật lý thực sự. Vận tốc ngang không đổi vì sau khi bỏ qua lực cản không khí, không có lực theo phương ngang và do đó không có gia tốc theo phương ngang.

Câu hỏi 2

Hai vật được phóng từ mặt đất bằng phẳng với cùng tốc độ \(30.0\text{ m s}^{-1}\). Vật A được phóng theo góc \(35.0^\circ\), còn vật B theo góc \(55.0^\circ\).

Giả sử \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) không đổi và lực cản không khí không đáng kể:

1. tính tầm xa của mỗi vật,
2. tính thời gian bay của mỗi vật,
3. tính độ cao cực đại của mỗi vật.

Một thí nghiệm thực tế cho thấy tầm xa ở hai góc phóng khác nhau rõ rệt mặc dù tốc độ phóng đo được là bằng nhau. Chỉ riêng quan sát đó có chứng minh rằng lực cản không khí gây ra sự khác biệt không?

Lời giải 2

Theo mô hình đơn giản, cả hai vật đều đi được \(86.3\text{ m}\), nhưng vật phóng ở \(55.0^\circ\) ở trên không lâu hơn và đạt độ cao lớn hơn nhiều. Tầm xa đo được khác nhau cho thấy mô hình lý tưởng không mô tả đầy đủ thí nghiệm, nhưng chỉ riêng sự khác biệt về tầm xa không chứng minh rằng lực cản không khí là nguyên nhân.

Khi điểm phóng và điểm rơi ở cùng độ cao,

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

Đối với vật A,

\[
\begin{aligned}
R_A&=\frac{(30.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}\\
&=86.3\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Đối với vật B,

\[
\begin{aligned}
R_B&=\frac{(30.0)^2\sin110.0^\circ}{9.8}.
\end{aligned}
\]

Vì

\[
\sin110.0^\circ=\sin70.0^\circ,
\]

ta có

\[
R_B=86.3\text{ m}.
\]

Kết quả về hai góc phụ nhau này là hệ quả của mô hình lý tưởng.

Bây giờ tính thời gian bay:

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

Đối với A,

\[
\begin{aligned}
T_A&=\frac{2(30.0)\sin35.0^\circ}{9.8}\\
&=3.51\text{ s}.
\end{aligned}
\]

Đối với B,

\[
\begin{aligned}
T_B&=\frac{2(30.0)\sin55.0^\circ}{9.8}\\
&=5.02\text{ s}.
\end{aligned}
\]

Đối với độ cao cực đại,

\[
H=\frac{(u\sin\theta)^2}{2g}.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
H_A&=\frac{[(30.0)\sin35.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=15.1\text{ m},
\end{aligned}
\]

trong khi

\[
\begin{aligned}
H_B&=\frac{[(30.0)\sin55.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=30.8\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Kết luận dễ bị hấp dẫn là: “Tầm xa thực tế không bằng nhau, vậy lực cản không khí đã được chứng minh.”

Kết luận đó đi quá xa. Lực cản không khí là một lời giải thích hợp lý vì vật có thời gian bay dài hơn chịu tác dụng của các lực khí động học lâu hơn, và lực cản phá vỡ kết quả tầm xa bằng nhau đối với các góc phụ nhau. Tuy nhiên, sai số trong phép đo góc phóng, tốc độ phóng không thực sự bằng nhau, gió, chuyển động quay hoặc các hiệu ứng thí nghiệm khác cũng có thể tạo ra tầm xa không bằng nhau.

Kết luận đúng phải hẹp hơn: mô hình \(g\) không đổi và không có lực cản không khí không thể giải thích tất cả các quan sát khi sử dụng các điều kiện ban đầu đã nêu.

Câu hỏi 3

Vị trí của một vật ném được đo sau mỗi \(0.50\text{ s}\). Các tọa độ là:

Giả sử các phép đo là chính xác.

1. Dùng các khoảng thời gian bằng nhau để xác định gia tốc ngang và gia tốc thẳng đứng.
2. Các dữ liệu này có thể mô tả chuyển động ném lý tưởng với lực cản không khí không đáng kể không?
3. Giả sử có người cho rằng lực cản thông thường trong không khí đứng yên giải thích được dữ liệu. Nhận định đó có phù hợp với toàn bộ bảng khi vật đang đi lên không?

Lời giải 3

Dữ liệu cho \(a_x=-4.0\text{ m s}^{-2}\) và \(a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}\). Vì vậy, chúng không thể mô tả chuyển động ném lý tưởng không có lực cản, và lực cản thông thường trong không khí đứng yên cũng không giải thích chúng một cách phù hợp.

Đối với các phép đo cách nhau một khoảng thời gian bằng nhau \(\Delta t\), chuyển động có gia tốc không đổi cho hiệu sai phân bậc hai của vị trí:

\[
x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=a_x(\Delta t)^2.
\]

Ở đây,

\[
\Delta t=0.50\text{ s}.
\]

Với ba vị trí ngang đầu tiên,

\[
\begin{aligned}
18.0-2(9.5)+0&=-1.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
-1.0&=a_x(0.50)^2\\
a_x&=\frac{-1.0}{0.25}\\
&=-4.0\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

Ba điểm tiếp theo cho cùng một kết quả:

\[
25.5-2(18.0)+9.5=-1.0\text{ m}.
\]

Theo phương ngang, vật rõ ràng đang chậm lại.

Bây giờ dùng các tọa độ thẳng đứng:

\[
11.100-2(6.775)+0=-2.450\text{ m}.
\]

Vì vậy,

\[
\begin{aligned}
-2.450&=a_y(0.50)^2\\
a_y&=\frac{-2.450}{0.25}\\
&=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

Ba vị trí thẳng đứng tiếp theo cho cùng một kết quả:

\[
12.975-2(11.100)+6.775=-2.450\text{ m}.
\]

Vì vậy, gia tốc thẳng đứng đúng bằng gia tốc trọng trường cục bộ trong khi gia tốc ngang khác không.

Mô hình chuyển động ném lý tưởng yêu cầu

\[
a_x=0,
\]

nên nó thất bại ngay lập tức.

Nhưng còn một cái bẫy thứ hai. Có vẻ tự nhiên khi nói: “Được rồi, sự giảm tốc theo phương ngang chắc chỉ là do lực cản.”

Trong khi vật đang chuyển động lên trên và sang phải qua không khí đứng yên, lực cản thông thường phải hướng xuống dưới và sang trái. Vì thế, nó phải đóng góp cả một thành phần hướng sang trái lẫn một thành phần hướng xuống.

Thay vào đó, dữ liệu cho thấy một gia tốc ngang đáng kể trong khi gia tốc thẳng đứng vẫn chính xác bằng \(-g\).

Vì vậy, lực cản đơn giản luôn ngược hướng vận tốc trong không khí đứng yên cũng không phù hợp với toàn bộ mẫu dữ liệu. Cần phải có một yếu tố bổ sung nào đó, chẳng hạn một loại lực khí động học khác, không khí đang chuyển động, một ngoại lực khác hoặc khẳng định về phép đo là không chính xác.

Bài học sâu hơn là chỉ phát hiện một đặc điểm trông giống lực cản vẫn chưa đủ. Một lực được đề xuất phải giải thích được mọi thành phần của gia tốc đo được.

Câu hỏi 4

Một tàu thăm dò được phóng thẳng đứng lên trên từ bề mặt Trái Đất với tốc độ \(3.00\times10^3\text{ m s}^{-1}\). Bỏ qua khí quyển và sự quay của Trái Đất.

Ban đầu, một học sinh giả sử \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) không đổi.

1. Tính độ cao cực đại mà mô hình \(g\) không đổi dự đoán.
2. Sau đó, xét sự thay đổi độ lớn của trọng lực bằng thế năng hấp dẫn

\[
U=-\frac{GM_Em}{r}.
\]

Dùng \(R_E=6.37\times10^6\text{ m}\) và hệ thức

\[
GM_E=gR_E^2.
\]

Tính độ cao cực đại chính xác hơn.
3. Giải thích tại sao dự đoán dùng \(g\) không đổi lại quá nhỏ chứ không phải quá lớn.

Lời giải 4

Mô hình \(g\) không đổi dự đoán khoảng \(459\text{ km}\), trong khi mô hình có trọng lực thay đổi dự đoán khoảng \(495\text{ km}\). Giả định \(g\) không đổi đánh giá thấp độ cao vì nó giả định rằng trọng lực giữ nguyên độ mạnh như tại bề mặt trong suốt quá trình đi lên.

Đối với mô hình \(g\) không đổi, tốc độ tại độ cao cực đại bằng không. Dùng

\[
v^2=u^2+2a\Delta y,
\]

ta có

\[
\begin{aligned}
0&=(3.00\times10^3)^2+2(-9.8)h\\
h&=\frac{(3.00\times10^3)^2}{2(9.8)}\\
&=4.59\times10^5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Do đó,

\[
h\approx459\text{ km}.
\]

Bây giờ dùng định luật bảo toàn cơ năng trong trường hấp dẫn biến thiên.

Khi phóng,

\[
E_i=\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}.
\]

Tại độ cao cực đại, tốc độ bằng không, nên nếu khoảng cách cuối cùng đến tâm Trái Đất là \(r_{\max}\),

\[
E_f=-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

Đặt \(E_i=E_f\),

\[
\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}
=
-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

Khử \(m\):

\[
\frac{u^2}{2}-\frac{GM_E}{R_E}
=
-\frac{GM_E}{r_{\max}}.
\]

Dùng

\[
GM_E=gR_E^2,
\]

ta được

\[
\frac{1}{r_{\max}}
=
\frac{1}{R_E}
–
\frac{u^2}{2gR_E^2}.
\]

Thay các giá trị vào, ta được xấp xỉ

\[
r_{\max}=6.865\times10^6\text{ m}.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
h&=r_{\max}-R_E\\
&=(6.865-6.370)\times10^6\\
&=4.95\times10^5\text{ m}\\
&\approx495\text{ km}.
\end{aligned}
\]

Độ chênh lệch là khoảng

\[
495-459=36\text{ km},
\]

hay khoảng 8% so với dự đoán của mô hình \(g\) không đổi.

Một lập luận dễ bị hấp dẫn là việc trọng lực yếu đi phải khiến phép tính “mất” một phần nào đó và do đó cho độ cao nhỏ hơn. Thực tế xảy ra điều ngược lại. Khi tàu thăm dò đi lên, gia tốc hướng xuống thực tế của nó trở nên nhỏ hơn \(9.8\text{ m s}^{-2}\). Vì vậy, mô hình \(g\) không đổi làm tàu giảm tốc quá mạnh và dự đoán rằng nó dừng lại quá sớm.

Ở các độ cao thông thường của chuyển động ném, hiệu ứng này rất nhỏ. Ở độ cao hàng trăm kilômét, chính quy mô của bài toán cho thấy phép xấp xỉ cần được kiểm tra.

Câu hỏi 5

Một quả bóng được phóng từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ \(25.0\text{ m s}^{-1}\) và góc \(40.0^\circ\) so với phương ngang. Cuối cùng nó quay trở lại cùng độ cao.

Lần này, lực cản không khí là đáng kể. Giả sử không khí đứng yên, độ lớn trọng lực không đổi trên toàn bộ quỹ đạo và lực cản luôn ngược hướng với vận tốc tức thời của quả bóng so với không khí.

Không cần cố giải toàn bộ các phương trình có lực cản:

1. so sánh tốc độ va chạm của quả bóng với tốc độ phóng,
2. so sánh tốc độ ngang tại đỉnh quỹ đạo với thành phần ngang ban đầu,
3. một học sinh đề xuất bỏ qua lực cản nhưng thay \(g\) bằng một hằng số lớn hơn \(g_{\text{eff}}\), được chọn sao cho mô hình không lực cản đã hiệu chỉnh cho đúng thời gian bay đo được. Khi đó, mô hình này có thể đồng thời tái hiện tốc độ ngang thực tế tại đỉnh quỹ đạo và tốc độ va chạm thực tế không? Hãy giải thích.

Lời giải 5

Tốc độ va chạm phải nhỏ hơn \(25.0\text{ m s}^{-1}\), tốc độ ngang tại đỉnh quỹ đạo phải nhỏ hơn giá trị ban đầu khoảng \(19.2\text{ m s}^{-1}\), và không có lựa chọn nào cho hằng số \(g_{\text{eff}}\) có thể khiến một mô hình không có lực cản tái hiện tất cả những quan sát đó.

Trước tiên, tính thành phần ngang ban đầu:

\[
\begin{aligned}
u_x&=u\cos\theta\\
&=(25.0)\cos40.0^\circ\\
&=19.2\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

Khi lực cản đáng kể, lực do không khí gây ra thực hiện công âm lên quả bóng. Nó làm giảm cơ năng.

Điểm phóng và điểm rơi có cùng thế năng hấp dẫn vì chúng ở cùng độ cao. Vì thế, động năng cuối phải nhỏ hơn động năng ban đầu:

\[
K_f<K_i.
\]

Vì

\[
K=\frac{1}{2}mv^2,
\]

nên ta phải có

\[
v_{\text{impact}}<25.0\text{ m s}^{-1}.
\]

Điều này cho thấy một cái bẫy phổ biến. Học sinh thường nhớ rằng một vật ném không chịu lực cản sẽ trở lại cùng tốc độ khi trở lại cùng độ cao và vô tình coi điều đó như một định luật tổng quát. Điều này chỉ đúng khi không có lực tiêu tán làm mất cơ năng.

Bây giờ xét đỉnh quỹ đạo.

Tại đỉnh,

\[
v_y=0,
\]

nhưng quả bóng vẫn đang chuyển động theo phương ngang. Lực cản đã có thành phần hướng sang trái trong suốt quá trình vật chuyển động sang phải, nên tốc độ ngang đã giảm.

Do đó,

\[
v_{x,\text{apex}}<19.2\text{ m s}^{-1}.
\]

Bây giờ xét đề xuất “trọng lực hiệu dụng” của học sinh.

Giả sử họ chọn một giá trị lớn hơn nào đó \(g_{\text{eff}}\) để phép tính không có lực cản tình cờ tái hiện đúng thời gian bay đo được. Điều đó khớp với một quan sát, nhưng cấu trúc của mô hình vẫn sai.

Khi không có lực cản không khí, mô hình đã hiệu chỉnh vẫn phải thỏa mãn

\[
a_x=0.
\]

Vì vậy, nó dự đoán

\[
v_x=19.2\text{ m s}^{-1}
\]

trong toàn bộ quá trình bay, kể cả tại đỉnh quỹ đạo. Vật ném thực tế thì không như vậy.

Còn có một mâu thuẫn mạnh hơn. Trong bất kỳ mô hình trọng lực không đổi và không có lực cản nào, một vật ném quay trở lại độ cao ban đầu phải quay lại với tốc độ ban đầu, bất kể giá trị \(g_{\text{eff}}\) được chọn là bao nhiêu.

Do đó, mô hình đã hiệu chỉnh vẫn khẳng định rằng

\[
v_{\text{impact}}=25.0\text{ m s}^{-1},
\]

trong khi quả bóng thực tế phải đến nơi với động năng thấp hơn và do đó tốc độ nhỏ hơn.

Đây là điểm mấu chốt về mặt khái niệm: khớp được một đại lượng đo không có nghĩa là mô hình đã được xác nhận. Một mô hình sai đôi khi vẫn có thể được điều chỉnh để tái hiện một kết quả. Việc kiểm tra mô hình tốt cần xem xét nhiều dự đoán độc lập, đặc biệt là những dự đoán mà mô hình không thể điều chỉnh riêng rẽ.

Ý tưởng này còn quan trọng vượt ra ngoài chuyển động ném. Trong các bài toán cơ học sau này, phép kiểm tra mạnh nhất đối với một mô hình thường không phải là liệu nó có thể được điều chỉnh để khớp với một kết quả hay không, mà là liệu cùng một tập hợp giả định có dự đoán đúng nhiều đặc điểm khác nhau của chuyển động cùng một lúc hay không.